ELMAGQ_20 Equations Maxwell et propagation

G.P.
Questions de cours électromagnétisme
Équations de Maxwell:
Écrire les quatre équations locales de Maxwell. Donner leur nom. Quelles sont les deux
 ,B
  ? Expliquer, de manière très
équations qui mettent en évidence le couplage  E
qualitative, en quoi ce couplage permet l'existence d'ondes électromagnétiques.
Rappeler le théorème de Stokes et le théorème d'Ostrogradski et démontrer les quatre
« équations intégrales » correspondantes. Donner leur nom usuel.
Réponse:
Les quatre équations locales:
1) équation de Maxwell-Gauss:

div  
E =
0
2) équation de Maxwell-Faraday:

 =− ∂ B
 E
rot
∂t
3) équation de Maxwell-flux:
div  
B =0
4) équation de Maxwell-Ampère:

1
 =0 j 0 0 ∂ E ( avec  0 0= 2 )
 B
rot
∂t
c
Les deux équations locales montrant que 
E et 
B sont liés l'un à l'autre:
équation de Maxwell-Faraday
et:
équation de Maxwell-Ampère
Existence d'ondes électromagnétiques:
De façon très très qualitative et très très imparfaite:
• supposons qu'on établisse le courant j dans un volume source, l'équation de MaxwellAmpère montre qu'il y a création d'un champ magnétique 
B (ce champ magnétique ne
varie pas instantanément, en tout point de l'univers, de zéro à une valeur finie...il est d'abord
produit au voisinage de la source)
• en un point de ce voisinage,
∂
B
est non nul, l'équation de Maxwell-Faraday montre qu'il
∂t
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Questions de cours électromagnétisme
y a création d'un champ électrique 
E immédiatement dans le voisinage (du voisinage) qui

∂E
passe donc de zéro à une valeur finie. De même, en ce nouveau point
est alors non
∂t
nul et l'équation de Maxwell-Ampère montre qu'il y a, à nouveau, création d'un champ
magnétique 
B d'abord au voisinage...
B (et de 
E ) un peu plus loin et le champ
• Il y a finalement création de 


électromagnétique  E , B  se propage indépendamment de la source.
Théorème de Stokes:
∮
A dl=

courbe fermée C
∬


rot  
A ⋅dS
∭
div A d 
surface S  s' appuyant sur C 
Théorème d'Ostrogradski:


A dS=
∯
surface fermée 
volume V limité par  
Les quatre équations intégrales:
(2) et (4)
 et on intègre sur la surface
• Pour les établir, on multiplie les équations locales par dS
S  s'appuyant sur un contour fermé C .
• On remarque que
∬ j dS
S 
donne le courant (grandeur algébrique) qui traverse S  donc
courant enlacé par C .
• On remarque que dans


∬ ∂∂Bt dS
S
, on peut permuter
∬
∂
et ∂t car C (donc
∂
B  d

B dS
 puisque,  B=∬ 
dS = ∬ 
B dS
S  ) est fixe. Alors ∬
ne dépendant que
∂t
d t S
S 
S
du temps, la dérivée est une dérivée totale.
E .
• Idem pour 
2) Loi de Faraday:
∮ E dl =−
d B
dt
4) Théorème d'Ampère (généralisé aux régimes variables):
∮ B dl =0 I enlacé 0 0
d E
dt
G.P.
Questions de cours électromagnétisme
(1) et (3)
•
Pour les établir, on multiplie les équations locales par d  et on intègre sur le volume
V  limité par la surface fermée   .On remarque que ∭  d  donne la charge
V 
contenue à l'intérieur de   .
1) Théorème de Gauss:
∯ E dS =
Q intérieur
0
3) Conservation du flux de B:
 =
0
∯ B dS