T4. Correction du Dm7. 3. Exprimer f (x + π) en fonction de f (x). pour tout x ∈ R, f (x + π) = 1 − cos(2(x + π)) Exercice 1 (no 78 page 87) f est la fonction définie sur R par f (x) = 1 − cos(2x). On donne sa h πi courbe représentative sur 0; . 2 1. Reproduire la courbe de f . 0 2 −π − π2 0 π 2 π 3π 2 Exercice 2 (no 109 page 89) √ f est la fonction définie sur I = [−2π; 2π] par f (x) = 3x − 2 sin x f (−x) = 1 − cos(−2x) = 1 − cos(2x) = f (x) Cela montre que la fonction f est paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On complète la courbe par symétrie d’axe (Oy). 1. Exprimer f (−x) en fonction de f (x). Pour tout x ∈ I, √ 3 × (−x) − 2 sin(−x) f (−x) = √ = − 3x + 2 sin(x) = −f (x) 2. Justifier pourquoi il suffit d’étudier f sur [0; 2π]. Comme pour tout x ∈ I, f (−x) = f (x), la fonction f est impaire, et donc sa courbe est symétrique par rapport au point O. Il suffit d’étudier f sur [0; 2π] et l’on complètera la courbe représentative par symétrie par rapport à O sur [−2π; 0]. 2 − π2 = f (x) π π 2 2. Exprimer f (−x) en fonction de f (x). Pour tout x ∈ R, cos(−x) = cos(x) (la fonction cos est paire). Donc pour tout x ∈ R, −π = 1 − cos(2x) Ceci montre que la fonction f est π-périodique. Il suffit de connaı̂tre la courbe sur un intervalle de longueur π pour pouvoir compléter le tracé par des translations. → − La courbe de f est invariante par la translation de vecteur π i . 2 − π2 = 1 − cos(2x + 2π) 0 π 2 π 3. Déterminer l’expression de f ′ (x) en fonction de x. f est dérivable sur I par somme de √ fonctions dérivables. ′ Pour tout x ∈ [−2π; 2π], f (x) = 3 − 2 cos(x). 4. Étudier le signe de f ′ (x) sur [0; 2π], et dresser le tableau de variation de f sur [0; 2π]. x π/6 0 f ′ (x) − 0 11π/6 + 0 f ′ (x) > 0 √ 3 − 2 cos(x) > 0 f (x) √ −2 cos x > − 3 √ 3 cos x < 2 En raisonnant sur le cercle, sur l’intervalle [0; 2π], on observe que 11π π ; . f ′ (x) > 0 lorsque x ∈ 6 6 2π − 0 √ 11π 3 +1 6 √ π 3 −1 6 √ 2π 3 Exercice 3 (no 112 page 90) sin x La fonction tangente est définie par tan x = . x h i πcos π On va étudier cette fonction, notée f , sur − ; . On note C sa courbe 2 2 représentative dans un repère orthogonal. 1. (a) Exprimer f (−x) en fonction de f (x). + π 6 1/2 → − j π sin(−x) cos(−x) − sin x = cos x = − tan x tan(−x) = π 2 O − √ → i 3 2 0; 2π 11π 6 h πh (b) En déduire qu’il suffit détudier f sur J = 0; . 2 La fonction tangente est donc impaire, et sa courbe représentative est symétrique h π hpar rapport au point O. Il suffit d’étudier f sur 0; , et l’on complètera la courbe 2 i π h par symétrie par rapport au point O sur l’intervalle − ; 0 . 2 π 2. Déterminer la limite de f en . Que peut-on en déduire ? 2 π limπ sin x = sin = 1. 2 x→ 2 limπ cos x = 0+. x→ 2 x< π2 Par quotient, limπ tan x = +∞. x→ 2 x< π2 La droite d’équation x = f (0) = 0, et f ′ (0) = π est asymptote verticale à C . 2 3. Exprimer f ′ (x) en fonction de x. Les ifonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R, et pour tout π πh x ∈ − ; , cos x 6= 0. 2 2 i π πh Par quotient, la fonction f est dérivable sur − ; . 2 2 i π πh Pour tout x ∈ − ; , 2 2 f ′ (x) = = = cos(x) × cos(x) − sin(x) × (− sin x) cos2 (x) cos2 + sin2 x cos2 x 1 >0 cos2 x 4. Dresser le tableau de variation de f sur J. Comme un carré est toujours positif, pour tout x ∈ J, f ′ (x) = 1 > 0. cos2 x h πh Donc f est strictement cropissante sur J = 0; . 2 f (0) = 0, et on a vu que limπ f (x) = +∞. x→ 2 x< π2 x 1 = 1. cos2 (0) y = f ′ (0)(x − 0) + f (0) y = 1x + 0 y = x La tangente T a pour équation y = x. 6. Étudier la position relative de C et T sur I. On étudie la signe de f (x) − x. f (x) − x = = i π πh Sur I = − ; , il est clair que cos x > 0. 2 2 Donc f (x) − x est du signe de g(x) = sin x − x cos x. La fonctions g est dérivable sur I par produit et somme de fonctions dérivables. Pour tout x ∈ I, g′ (x) = cos x − (1 × cos x + x × (− sin x)) = cos x − cos x + x sin x = x sin x x 0 sin x −x cos x sin x − x cos x cos x −π/2 π/2 0 x − 0 + π/2 sin x − 0 + +∞ g′ (x) = x sin x + 0 + tan x 0 5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d’abscisse 0. La dérivée de g est strictement positive sur I sauf en 0 où elle s’annule. i π πh La fonction g est donc strictement croissante sur I = − ; . 2 2 On remarque que g(0) = sin 0 − 0 × cos 0 = 0. Comme g est strictement croissante et I et g(0) = 0, on peut donner le signe de g : 4 T C 3 2 x g(x) −π/2 π/2 0 − 0 1 + −3 −2− π 2 −1 0 −1 πh La courbe C est au-dessus de la tangente T sur 0; , i 2π h La courbe C est en-dessous de la tangente T sur − ; 0 . 2 i −2 −3 −4 7. Tracer T et C sur I. −5 1 π 2 2 3