Arbres couvrants des arbres couvrants - Aléa

Arbres couvrants
des
arbres couvrants
Guillaume Chapuy (CNRS – LIAFA – Université Paris 7)
Philippe
travail commun avec
Biane (CNRS – IGM – Marne-La-Vallée
)
Journées Aléa 2015, Luminy
1. Introduction (le matrix-tree theorem)
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
f.c.
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
NON f.c.
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
NON f.c.
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
NON f.c.
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
f.c.
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
• Pour nous: arbre couvrant = arbre couvrant enraciné et dirigé vers sa racine
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
• Pour nous: arbre couvrant = arbre couvrant enraciné et dirigé vers sa racine
Degrés sortants 0 (racine)
ou 1 (autres sommets) +
racine accessible
Graphes et arbres couvrants
• Dans cet exposé les graphes seront dirigés.
(cela inclut les graphes non dirigés)
∗
• Graphe fortement connexe: ∀ u, v sommets ∃ u −→ v chemin dirigé.
• On dit que W ⊂ V est fortement connexe si le graphe induit GW est fortement
connexe.
• Pour nous: arbre couvrant = arbre couvrant enraciné et dirigé vers sa racine
Degrés sortants 0 (racine)
ou 1 (autres sommets) +
racine accessible
Poids, Laplacienne, et matrix tree theorem
• Chaque arête e = (i, j) porte un poids xe = xi,j .
Q
• Le poids d’un arbre couvrant t est ρ(t) = e∈t we
Poids, Laplacienne, et matrix tree theorem
• Chaque arête e = (i, j) porte un poids xe = xi,j .
Q
• Le poids d’un arbre couvrant t est ρ(t) = e∈t we
• Fonction de partition
P
Zv =
ρ(t)
t:a.c.
racine
v
Poids, Laplacienne, et matrix tree theorem
• Chaque arête e = (i, j) porte un poids xe = xi,j .
Q
• Le poids d’un arbre couvrant t est ρ(t) = e∈t we
• Fonction de partition
P
Zv =
ρ(t)
t:a.c.
racine
v
• Matrice Laplacienne Q
- lignes et colonnes indexées par V
0 si v 6= w et vw 6∈ E
Qvw =
- définie par:
xvw si v 6= w et vw ∈ E
P
− u6=v xvu si v = w
{
Note:
P
ligne
=0
Poids, Laplacienne, et matrix tree theorem
• Chaque arête e = (i, j) porte un poids xe = xi,j .
Q
• Le poids d’un arbre couvrant t est ρ(t) = e∈t we
• Fonction de partition
P
Zv =
ρ(t)
t:a.c.
racine
v
• Matrice Laplacienne Q
- lignes et colonnes indexées par V
0 si v 6= w et vw 6∈ E
Qvw =
- définie par:
xvw si v 6= w et vw ∈ E
P
− u6=v xvu si v = w
{
• Matrix-tree theorem:
Zv = (−1)n−1 det
Q
v
(i.e. Q où on a rayé la
v ligne et la colonne
indexées par V )
Note:
P
ligne
=0
(plus: si on raye les
lignes et colonnes
indexées par W ⊂ V
on obtient les forêts
enracinées en V )
Poids, Laplacienne, et matrix tree theorem
• Chaque arête e = (i, j) porte un poids xe = xi,j .
Q
• Le poids d’un arbre couvrant t est ρ(t) = e∈t we
• Fonction de partition
P
Zv =
ρ(t)
t:a.c.
racine
v
• Matrice Laplacienne Q
- lignes et colonnes indexées par V
0 si v 6= w et vw 6∈ E
Qvw =
- définie par:
xvw si v 6= w et vw ∈ E
P
− u6=v xvu si v = w
{
• Matrix-tree theorem:
Zv = (−1)n−1 det
Q
v
(i.e. Q où on a rayé la
v ligne et la colonne
indexées par V )
EXO: preuve combinatoire
directe (en développant le
déterminant
comme
P
σ (σ)...
Note:
P
ligne
=0
(plus: si on raye les
lignes et colonnes
indexées par W ⊂ V
on obtient les forêts
enracinées en V )
Example: graphe complet
• Prenons le graphe complet sur {1, 2, , . . . , n}.
avec poids w ≡ 1.
Q=
(1−n) 1
1 (1−n)
Qvw =
1
1
1
1
1
Z1 = (−1)n det
1
1 (1−n)
= nn−2
(formule de Cayley)
sur espace des vecteurs de somme nulle: −n
sur orthogonal: 1
xvw si v 6= w et vw ∈ E
−
P
u6=v
xvu si v = w
Zv = det
1
1
{
0 si v 6= w et vw 6∈ E
Le graphe des arbres couvrants et le
MCTT
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants)
• Les sommets sont les arbres couvrants de G = (V, E).
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants)
• Les sommets sont les arbres couvrants de G = (V, E).
• Pour chaque arbre couvrant t on a degout (r) arêtes sortantes où r est la racine de t:
t:
xe
e
r
un arbre couvrant de G
t0 :
une arête de
TG
un autre arbre couvrant de G
Exemple !
x23
1
x31
2
x43 x34
3
4
Un graphe G avec 14
arbres couvrants
Le graphe T G
t:
xe
e
t0 :
une arête de T G
r
un arbre couvrant de G
un autre arbre couvrant de G
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 2
• Le graphe T G est eulérien: il y a degout (r) arêtes qui
sortent mais aussi degout (r) arêtes qui rentrent en chaque
t (enraciné en r)
t
e1
ek
dans le graphe T G
r
t a.c. de G
e1
e2
ek
e2
t:
xe
e
r
t0 :
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 2
• Le graphe T G est eulérien: il y a degout (r) arêtes qui
sortent mais aussi degout (r) arêtes qui rentrent en chaque
t (enraciné en r)
u
t
e1
ek
dans le graphe T G
r
t a.c. de G
e1
e2
ek
e2
t:
xe
e
r
t0 :
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 2
• Le graphe T G est eulérien: il y a degout (r) arêtes qui
sortent mais aussi degout (r) arêtes qui rentrent en chaque
t (enraciné en r)
u
t
e1
ek
dans le graphe T G
r
t a.c. de G
e1
e2
ek
e2
t:
xe
e
r
t0 :
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 2
• Le graphe T G est eulérien: il y a degout (r) arêtes qui
sortent mais aussi degout (r) arêtes qui rentrent en chaque
t (enraciné en r)
u = (t − e1 ) ∪ eσ1
u
eσ1
eσ1
t
e1
ek
dans le graphe T G
r
t a.c. de G
e1
e2
ek
e2
t:
xe
e
r
t0 :
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 2
• Le graphe T G est eulérien: il y a degout (r) arêtes qui
sortent mais aussi degout (r) arêtes qui rentrent en chaque
t (enraciné en r)
u = (t − e1 ) ∪ eσ1
u
eσ1
eσ2
eσk
e1
ek
t
e1
e2
ek
dans le graphe T G
r
t a.c. de G
eσ1
e2
t:
xe
e
r
t0 :
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 2
• Le graphe T G est eulérien: il y a degout (r) arêtes qui
sortent mais aussi degout (r) arêtes qui rentrent en chaque
t (enraciné en r)
u = (t − e1 ) ∪ eσ1
u
eσ1
eσ2
eσk
e1
ek
t
xe
e
r
e1
e2
ek
dans le graphe T G
r
t a.c. de G
eσ1
t:
e2
• La mesure ρ(t) := poids de t est une mesure invariante sur T G.
i.e. ρR = 0 où R est la matrice Laplacienne du graphe
t0 :
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 2
• Le graphe T G est eulérien: il y a degout (r) arêtes qui
sortent mais aussi degout (r) arêtes qui rentrent en chaque
t (enraciné en r)
u = (t − e1 ) ∪ eσ1
u
eσ1
eσ1
eσ2
eσk
e1
ek
xe
t0 :
e
r
e1
e2
ek
dans le graphe T G
r
t a.c. de G
t
t:
e2
• La mesure ρ(t) := poids de t est une mesure invariante sur T G.
i.e. ρR = 0 où R est la matrice Laplacienne du graphe
P
P
ρ(u)xut − ρ(t)
xtu (tout ce qui rentre moins tout ce qui sort)
dém: ρR t =
u→t
=
Pk
i=1
t→u
ρ(t)xei − ρ(t)
Pk
i=1
x ei = 0
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 3
• Interprétation probabiliste: supposons que pour tout i on a
P
j6=i
xi,j = 1.
On a donc une chaı̂ne de Markov à temps discret sur G (et sur T G)
Alors la mesure sur T G donnée par t 7→ ρ(t) est une (la) mesure invariante de
cette chaı̂ne de Markov.
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 3
• Interprétation probabiliste: supposons que pour tout i on a
P
j6=i
xi,j = 1.
On a donc une chaı̂ne de Markov à temps discret sur G (et sur T G)
Alors la mesure sur T G donnée par t 7→ ρ(t) est une (la) mesure invariante de
cette chaı̂ne de Markov.
• Remarque: La projection T G → G qui envoie un
arbre sur sa racine est un morphisme de graphes, qui
envoie la chaı̂ne sur T G sur la chaı̂ne sur G.
TG
proj.
G
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 3
• Interprétation probabiliste: supposons que pour tout i on a
P
j6=i
xi,j = 1.
On a donc une chaı̂ne de Markov à temps discret sur G (et sur T G)
Alors la mesure sur T G donnée par t 7→ ρ(t) est une (la) mesure invariante de
cette chaı̂ne de Markov.
• Remarque: La projection T G → G qui envoie un
arbre sur sa racine est un morphisme de graphes, qui
envoie la chaı̂ne sur T G sur la chaı̂ne sur G.
• On en déduit le Markov Chain Tree Theorem
Si M est une chaı̂ne de Markov irréductible
de graphe de transition G, alors sa mesure
invariante est donnée par:
P
ρ(t),
(v ∈ V )
Zv =
t:a.c.
racine
v
TG
proj.
G
Le graphe T G (graphe des arbres couvrants) – 3
• Interprétation probabiliste: supposons que pour tout i on a
P
j6=i
xi,j = 1.
On a donc une chaı̂ne de Markov à temps discret sur G (et sur T G)
Alors la mesure sur T G donnée par t 7→ ρ(t) est une (la) mesure invariante de
cette chaı̂ne de Markov.
• Remarque: La projection T G → G qui envoie un
arbre sur sa racine est un morphisme de graphes, qui
envoie la chaı̂ne sur T G sur la chaı̂ne sur G.
• On en déduit le Markov Chain Tree Theorem
TG
proj.
Si M est une chaı̂ne de Markov irréductible
de graphe de transition G, alors sa mesure
invariante est donnée par:
P
ρ(t),
(v ∈ V )
Zv =
t:a.c.
racine
v
(remarque: cela donne une démonstration du Matrix-tree theorem! En effet: 1.
par Perron-Frobenius on a “unicité” de la mesure invariante; 2. le déterminant
du MT theorem donne une mesure invariante en développant le déterminant)
G
The B polynomial et notre résultat
Les arbres couvrants du graphe des arbres couvrant (I)
• On va regarder les arbres couvrants du graphe des arbres couvrants.
X
(arbres couvrants de T G enracinés en t a.c. de G)
Soit Zt =
ρ(T )
T a.c. de T G
racine t
Les arbres couvrants du graphe des arbres couvrant (I)
• On va regarder les arbres couvrants du graphe des arbres couvrants.
X
(arbres couvrants de T G enracinés en t a.c. de G)
Soit Zt =
ρ(T )
T a.c. de T G
racine t
• Remarque
Il existe un polynôme ΦG ∈ Z[(xe )e∈E ] tel que pour tout a.c. t de G:
Zt = ρ(t) · ΦG
Les arbres couvrants du graphe des arbres couvrant (I)
• On va regarder les arbres couvrants du graphe des arbres couvrants.
X
(arbres couvrants de T G enracinés en t a.c. de G)
Soit Zt =
ρ(T )
T a.c. de T G
racine t
• Remarque
Il existe un polynôme ΦG ∈ Z[(xe )e∈E ] tel que pour tout a.c. t de G:
Zt = ρ(t) · ΦG
• Exemple 1
t=
u=
2
2
2
2
2
2
Zt = x2,3x3,1 x1,2 x2,1x2,3x3,1 + 2 x1,2 x2,1x2,3x3,1x3,2 + 16 termes
Zu = x3,1x1,1 x1,2 x2,1x2,3x3,1 + 2 x1,2 x2,1x2,3x3,1x3,2 + 16 termes
2
3
mais en fait...
Les arbres couvrants du graphe des arbres couvrant (I)
• On va regarder les arbres couvrants du graphe des arbres couvrants.
X
(arbres couvrants de T G enracinés en t a.c. de G)
Soit Zt =
ρ(T )
T a.c. de T G
racine t
• Remarque
Il existe un polynôme ΦG ∈ Z[(xe )e∈E ] tel que pour tout a.c. t de G:
Zt = ρ(t) · ΦG
• Exemple 1
t=
u=
2
2
2
2
2
2
Zt = x2,3x3,1 x1,2 x2,1x2,3x3,1 + 2 x1,2 x2,1x2,3x3,1x3,2 + 16 termes
Zu = x3,1x1,1 x1,2 x2,1x2,3x3,1 + 2 x1,2 x2,1x2,3x3,1x3,2 + 16 termes
2
3
mais en fait...
Les arbres couvrants du graphe des arbres couvrant (I)
• On va regarder les arbres couvrants du graphe des arbres couvrants.
X
(arbres couvrants de T G enracinés en t a.c. de G)
Soit Zt =
ρ(T )
T a.c. de T G
racine t
• Remarque
Il existe un polynôme ΦG ∈ Z[(xe )e∈E ] tel que pour tout a.c. t de G:
Zt = ρ(t) · ΦG
• Exemple 1
t=
u=
2
2
2
2
2
2
Zt = x2,3x3,1 x1,2 x2,1x2,3x3,1 + 2 x1,2 x2,1x2,3x3,1x3,2 + 16 termes
Zu = x3,1x1,1 x1,2 x2,1x2,3x3,1 + 2 x1,2 x2,1x2,3x3,1x3,2 + 16 termes
2
3
mais en fait...
Zt = x2,3x3,1 (x2,1x3,1 + x2,1x3,2 + x3,1x2,3) (x1,2x3,1 + x1,2x3,2 + x1,3x3,2) (x1,2x2,3 + x1,3x2,1 + x1,3x2,3)
Notre résultat principal (1)
• Théorème (Biane - GC - 2015)
Le polynôme ΦG ∈ Z[(xe )e∈E ] est méga factorisé. Plus précisément on a:
ΦG =
Y
(det QW )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
où QW : matrice Laplacienne de G où on garde lignes/colonnes indexées par W
det(QW ): nombre (ou polynôme générateur) des forêts couvrantes de G
dont les racines sont W c .
m(W ) sont des entiers que je vais décrire mais qui restent mystérieux...
• Exemple
1
ΦG = (x2,1 x3,1 + x2,1 x3,2 + x3,1 x2,3 )
(x1,2 x3,1 + x1,2 x3,2 + x1,3 x3,2 )
(x1,2 x2,3 + x1,3 x2,1 + x1,3 x2,3 )
ex: W = {1, 3}
2
3
m(W ) = 1
W c = {2}
det(W c ) = (x1,2 x3,1 + x1,2 x3,2 + x1,3 x3,2 )
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
5
6
3
4
1
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
5
6
3
4
1
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
5
6
3
4
1
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
5
6
3
4
1
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
5
6
3
4
1
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
→ on a fini l’exploration (note: on n’a pas
exploré tout le graphe)
5
6
3
4
1
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
→ on a fini l’exploration (note: on n’a pas
exploré tout le graphe)
5
6
3
4
1
→ on garde ψ(t) := {1, 3, 6} qui est fortement connexe
L’algorithme pour calculer les multiplicités
• Corollaire
Le nombre d’arbres couvrants de T G enracinés en t est égal à:
Y
Zt =
(forêts couvrantes de G enracinées en W c )m(W )
W ⊂V
propre,f.c.
• Définition algorithmique des nombres m(W )
Algorithme: entrée: un a.c. t de G
sortie: un sous-ensemble ψ(t) = W ⊂ V fortement connexe
parcours en largeur (en remontant les arêtes) où
ne survivent que les sommets découverts via t
2
t
→ on a fini l’exploration (note: on n’a pas
exploré tout le graphe)
5
6
3
4
1
→ on garde ψ(t) := {1, 3, 6} qui est fortement connexe
Définition-Lemme: m(W, w) = m(W ) =
nb. d’arbres couvrants enracinés en w qui
renvoient W
On vient de voir m({1, 3, 6}) ≥ 1
Exemple: le graphe complet
• On regarde le graphe dont les sommets sont les nn−1 arbres de Cayley
enracinés.
• Si on applique l’algo à un graphe de Cayley, on trouve W = 1-voisinage de la
racine.
Donc m(W ) = (k − 1)(n − 1)n−k−1 où k = |W |.
(nombre de manière de compléter les n − k sommets
restants par une forêt à k − 1 racines)
Le nombre d’arbres couvrant de ce (gros) graphe est donc:
n−1
Y
n−k−1
n
k−1 ( k )(k−1)(n−1)
(n − k)n
n=2
Exemple: le graphe complet
• On regarde le graphe dont les sommets sont les nn−1 arbres de Cayley
enracinés.
• Si on applique l’algo à un graphe de Cayley, on trouve W = 1-voisinage de la
racine.
Donc m(W ) = (k − 1)(n − 1)n−k−1 où k = |W |.
(nombre de manière de compléter les n − k sommets
restants par une forêt à k − 1 racines)
Le nombre d’arbres couvrant de ce (gros) graphe est donc:
n−1
Y
n−k−1
n
k−1 ( k )(k−1)(n−1)
(n − k)n
n=2
• Exercice: prendre pour G le graphe bouquet:
alors T G est (presque) le graphe de l’hypercube {0, 1}n .
On retrouve la formule de Stanley pour les a.c. de l’hypercube:
|T {0, 1}n| =
n
Y
n
i
(2i)( )
i=1
(n pétales)
Exemple: le graphe complet
• On regarde le graphe dont les sommets sont les nn−1 arbres de Cayley
enracinés.
• Si on applique l’algo à un graphe de Cayley, on trouve W = 1-voisinage de la
racine.
Donc m(W ) = (k − 1)(n − 1)n−k−1 où k = |W |.
(nombre de manière de compléter les n − k sommets
restants par une forêt à k − 1 racines)
Le nombre d’arbres couvrant de ce (gros) graphe est donc:
n−1
Y
n−k−1
n
k−1 ( k )(k−1)(n−1)
(n − k)n
n=2
• Exercice: prendre pour G le graphe bouquet:
alors T G est (presque) le graphe de l’hypercube {0, 1}n .
On retrouve la formule de Stanley pour les a.c. de l’hypercube:
|T {0, 1}n| =
n
Y
n
i
(2i)( )
i=1
(n pétales)
note: pas de bijection connue!
Démonstration?
• En fait c’est un peu compliqué...
• Pour chaque W ⊂ V , pour chaque w ∈ W , pour chaque arbre qui contribue à
m(W, w) on trouve une ”copie” de la matrice QW dans R.
Merci!