chapitre 10 Le moment cinétique Quiz de bienvenue Soit une rotation, représentée par l’opérateur dans l’espace de Hilbert, ce qui signifie qu’une fonction d’onde tournée sous l’action de cette rotation s’écrit . On considère un système décrit par l’hamiltonien supposé invariant sous l’action de cette rotation. Quelle est la relation ci-dessous la plus générale qui soit toujours vérifiée ? 1. 2. 3. 4. Si vous avez changé de canal, tapez: [Ch]-[4]-[1]-[Ch] ou [Go]-[4]-[1]-[Go] 1. Le moment cinétique orbital L’observable moment cinétique De même : On ne peut pas connaître simultanément les différentes composantes cartésiennes du moment cinétique! L’observable De même : (voir QCM) et Il est donc possible de mesurer simultanément la norme du moment cinétique et l’une de ses composantes cartésiennes. 2. Moment cinétique et rotations Représentation d’une rotation dans l’espace de Hilbert On considère l’effet d’une rotation d’un angle autour de l’axe sur une fonction d’onde Représentation d’une rotation infinitésimale On considère une rotation d’un angle autour de l’axe . sont les générateurs infinitésimaux du groupe des rotations. Invariance et commutation Soit un système invariant par l’opération représentée par Mais Donc dans l’espace de Hilbert. Invariance par rotation et moment cinétique Invariance par rotation : Pour tout axe et tout angle Ceci est vrai en particulier pour les petits angles. On peut donc chercher une base propre commune à composantes cartésiennes de On choisit traditionnellement : et l’une des 3. Elie Cartan 1869 - 1951 Le problème général d’une observable de moment cinétique Recherche des états propres communs de Les valeurs propres de Les valeurs propres de et sont positives ou nulles. On les note : On appelle l’espace propre commun à propres respectives et et associé aux valeurs Les opérateurs Alors : et et (voir QCM) Action de et sur un vecteur propre commun Que dire de ? Calcul de la norme de avec Valeurs autorisées pour j et m 2 3/2 1 1/2 0 -1/2 -1 -3/2 -2 1/2 1 3/2 2 Vecteurs propres et valeurs propres de Soit une base propre de On définit la base standard 2 3/2 1 1/2 0 -1/2 -1 -3/2 -2 1/2 1 3/2 2 selon la relation 4. Application au moment cinétique orbital Expression des opérateurs en coordonnées sphériques En coordonnées sphériques, on a C’est un peu fastidieux, mais on peut également montrer (exercice) Variables radiales et angulaires La variable radiale r n’intervient pas Les valeurs propres de Mais : et entier 2 1 0 -1 -2 1 2 entier (PC) Les harmoniques sphériques Legendre 1752 - 1833 Cas est un opérateur différentiel linéaire du premier ordre Solution unique. On montre On applique la relation de récurrence : est une fonction réelle qui s’annule fois dans l’intervalle Reconnaissez l’harmonique sphérique (1) Quelles sont les valeurs de et représentée ci-dessous ? A. B. C. D. E. F. G. H. I. pour l’harmonique sphérique Reconnaissez l’harmonique sphérique (2) Quelles sont les valeurs de et représentée ci-dessous ? A. B. C. D. E. F. G. H. I. pour l’harmonique sphérique Représentation graphique des harmoniques sphériques est une fonction réelle qui s’annule fois dans l’intervalle 5. Rotation d’une molécule diatomique Espace de Hilbert associé à un « rotateur rigide » On modélise l’état de rotation d’une molécule diatomique à l’aide de l’orientation d’un « rotateur rigide », repérée par les angles q et j. Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert correspondant ? 1. Dimension 1 2. Dimension 2 3. Dimension 3 4. Dimension infinie Hamiltonien d’un rotateur rigide Mécanique classique Moment d’inertie : Energie cinétique de rotation : Mécanique quantique Illustrations expérimentales Niveaux rotationnels de molécules froides de Cs2 Fioretti et al., Eur. Phys. J. D 5, 389 (1999) Laboratoire Aimé Cotton, Orsay Spectre rotationnel du monoxyde de carbone (infrarouge lointain) 115 GHz Fleming & Chamberlain, J. Infrared Phys. 14, 277 (1974) Spectroscopie rotationnelle de la nébuleuse d’Orion Conclusion 2 3/2 1 1/2 0 -1/2 1/2 1 3/2 2 -1 -3/2 -2 Cas du moment cinétique orbital Que dire des valeurs demi-entières de ?