Introduction à la relativité Restreinte Notes de cours SMP S5 Pr. M. Benjelloun Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 2 Contenu Introduction à la relativité .............................................................................................. 3 Relativité galiléenne .................................................................................................... 3 Mise en défaut de la relativité Galiléenne .................................................................. 4 Expérience de Michelson et Morley (1887).................................................................. 5 Relativité restreinte ........................................................................................................ 7 Principes de la relativité .............................................................................................. 7 Simultanéité de deux événements............................................................................... 7 Conséquences de ces deux postulats ........................................................................... 8 Dilatation du temps ................................................................................................. 8 Contraction des longueurs ......................................................................................11 Transformation de Lorentz ............................................................................................13 L’espace-temps à quatre dimensions ..........................................................................13 Transformation de Lorentz .........................................................................................13 Point de vue classique ou Galiléen : .......................................................................14 Point de vue relativiste ...........................................................................................14 Transformation des vitesses ...................................................................................15 Masse et la quantité de mouvement en mécanique relativiste..................................16 Quadrivecteurs ...............................................................................................................19 Définitions ...................................................................................................................19 Produit scalaire et norme ...........................................................................................19 4-vitesse d'une particule relativiste ...........................................................................19 Quadrivecteur impulsion-énergie ...............................................................................20 Impulsion et masse des photons .................................................................................22 Quadrivecteur d'onde ..................................................................................................22 Références.......................................................................................................................23 Exercices .........................................................................................................................24 Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 3 Introduction à là relàtivite La description d’une expérience physique nécessite un système de référence, c’est-àdire un système de coordonnées servant à indiquer la position des particules dans l’espace. Si un observateur, dans un référentiel R(O,x,y,z) réalise une expérience, et si un observateur, dans un référentiel R’(O’,x’,y’,z’), observe le même phénomène. Si les équations du mouvement dans R’ ont la même forme que dans le référentiel R, on dira que la loi physique régissant le phénomène est invariante. Relativité galiléenne Une transformation de Galilée correspond aux formules de transformations des coordonnées spatiales et temporelles entre deux référentiels galiléens donnés. Tout référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel donné supposé galiléen, est lui-même galiléen. Étant donnés un référentiel (R) supposé galiléen, et un second référentiel (R') en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse u par rapport à (R), l'objet de la transformation de Galilée est de déterminer comment se transforme les coordonnées de temps et d'espace d'un même évènement, noté E x, y, z, t dans (R) et E x ', y ', z ', t ' dans (R'), lors du changement de référentiel. Le cas le plus simple de transformation de Galilée consiste à considérer la situation où les repères d'espace associés respectivement à (R) et (R') sont choisis de telle sorte que leurs origines O et O' coïncident à l'origine commune des dates t et t' dans chacun des référentiels, et que les trois axes soient colinéaires, (R') se déplaçant le long de la direction Ox à la vitesse v constante. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, le temps possède un caractère absolu, autrement dit si les origines des dates des horloges associées à chacun des référentiels sont identiques, on aura t t ' . x ' x ut y' y z' z t' t Si l’événement possède une vitesse vx dans R, alors dans R’ il aura la vitesse v’x par la transformation Galiléenne de la vitesse x x2 x1 t t2 t1 x vx t x ' x2' x1' x ut v 'x vx u t ' t x ' x ut v 'x vx u t ' t Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun • • Page 4 Les lois de composition des vitesses s’obtiennent en dérivant les relations spatiales par rapport au temps. En dérivant une nouvelle fois on obtient les lois de composition de l’accélération x ' x ut vx ' vx u ax ' ax y' y v y ' v y a y ' a y z' z vz ' vz az ' az Les lois de la mécanique classique, en particulier l’équation de Newton m d 2x F sont dt 2 invariantes sous ce groupe de transformations. Les référentiels correspondants sont dits inertiels. Dans de tels référentiels le mouvement d’une particule libre, F 0 , est rectiligne et uniforme. Mise en défaut de la relativité Galiléenne Toutes les lois de la physique prennent la même forme dans tous les référentiels inertiels. Les lois de la mécanique classique satisfont le principe de relativité vis à vis des transformations galiléennes. Qu’en est-il des interactions électromagnétiques décrites par les équations de Maxwell ? Les manipulations d’électrostatiques et de magnétostatique ont permis la mesure de 0 8,85418782 1012 m3kg 1s 4A 2 0 1, 25663706 106 m kg s 2A 2 En 1864, James Clerk Maxwell établit les équations régissant les ondes électromagnétiques et notamment les ondes lumineuses. .E 0 .B 0 2 E (r , t ) 0 0 0 t 2 2 1 E B 0 J 2 0 0 2 B ( r , t ) 0 t c t B E t Ces équations permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique La vitesse de propagation "c" des ondes électromagnétiques comme étant une constante puisque reliée à deux autres constantes de la physique et caractéristiques du vide : la "permittivité magnétique o" et la "permittivité électrique o ". c 1 0 0 la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière mesurée expérimentalement c 3 ×108 m/s. de conclure que la lumière était une onde électromagnétique de vitesse c Les équations de Maxwell semblent n'être valables que dans le référentiel privilégié (éther) et ne sont pas invariantes sous une transformation de Galilée. (Démonstration : http://www.relativite.info/invariance maxwell1.htm ) Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 5 A l’image des ondes sonores, le son est un phénomène ondulatoire de vitesse (~330 m/s) définie dans le référentiel où l’air est au repos; Sans air ou autre milieu, il n’y peut pas exister d’onde sonore! D’où l'hypothèse de l'éther, milieu de propagation de la lumière Expérience de Michelson et Morley (1887) Si la lumière se propageait grâce à la vibration de l’éther, alors la composition de la vitesse de la lumière avec le mouvement d’un instrument lié à la Terre (dont la vitesse est v=30 km/s), permet d’avoir des observations différentes en changeant les conditions de composition des vitesses. Il s’agit de diviser un faisceau de lumière monochromatique en deux rayons orthogonaux, puis de les réunir après réflexion sur des miroirs. Supposons que l’axe horizontal (source-miroir1) soit parallèle au mouvement de rotation de la Terre (axe Est-Ouest). Si v est la vitesse instantanée de rotation de la Terre, le rayon horizontal met un temps t1 pour faire un aller-retour. t1 L L cv cv t1 2L 1 c 1 v2 / c2 On peut calculer le temps de parcours du rayon Nord-Sud dans le référentiel lié à l’éther. Pendant le temps ta du parcours du rayon de A vers le miroir, ce dernier s’est déplacé de vta pour atteindre B’ ; puis de B’ vers la source A’ de vta . Le rayon de lumière parcourt la distance AB’A’ à la vitesse « c », ce qui donne un temps t t2 AB ' A ' 2ta c AB ' cta L2 (vta ) 2 AB ' A ' 2cta 2 L2 (vta ) 2 cta 2 L2 (vta ) 2 ta 1 L c 1 v2 / c2 Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun t2 2ta Page 6 2L 1 c 1 v2 / c2 D’après les calculs, les deux rayons arrivent donc déphasés, ce qui provoque des franges d’interférence. Si on fait tourner de 90° tout le dispositif autour d’un axe passant par A, les durées de parcours sont inversées On doit voir ces franges se décaler, et même disparaître. . . Le résultat de l'expérience de Michelson-Morley contredisait les prévisions de toutes les théories de l'éther (milieu de propagation de la lumière). Aucune expérience d’optique n’ayant permis de mettre en évidence le mouvement relatif de la terre par rapport à ce référentiel (éther), il a fallu non seulement remettre en question l’existence d’un référentiel absolu mais aussi renoncer aux transformations galiléennes. Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 7 Relàtivite restreinte En 1905, après les travaux de Voigt, Lorentz, Fitzgerald, Poincaré, … Albert Einstein abandonne la notion de référentiel absolu (l’éther) et de temps et d’espace absolus. Il réussit en à éliminer définitivement toute contradiction, en énonçant deux principes ou postulats; Principes de la relativité Postulat 1 : Les lois de la physique respectent le principe de relativité. Les lois physiques s'expriment de manière identique dans tous les référentiels inertiels. Ce qui implique que pour deux expériences préparées de manière identique dans deux référentiels inertiels, les mesures faites sur l'une et l'autre dans leur référentiel respectif sont identiques. Cela ne signifie pas que les mesures au cours d'une expérience sont les mêmes pour les différents observateurs, chacun mesurant depuis son référentiel inertiel respectif, mais cela implique que les mesures faites par les différents observateurs vérifient les mêmes équations, un changement de référentiel pour l'observation intervenant sous la forme de la variation d'un ou plusieurs paramètres dans les équations. On dit que les lois sont « invariantes par changement de référentiel inertiel ». • Postulat 2 : La vitesse de la lumière dans le vide est égale à c dans tous les référentiels inertiels. Elle ne dépend ni du mouvement de la source ni de l’observateur. De l'invariance de la vitesse de la lumière, Einstein saura tirer toutes les conclusions logiquement possibles. Il pratiquera ainsi un grand nombre d'expériences de pensée qui l'amèneront finalement à rejeter catégoriquement le caractère absolu des notions de temps et de longueurs. En fait c'est une analyse de la notion de simultanéité qui conduit Einstein à rejeter le caractère absolu du temps. Il démontre que la simultanéité de deux événements est relative au référentiel d'étude Simultanéité de deux événements Imaginons un wagon de longueur "2L" se déplaçant de la gauche vers la droite, à vitesse constante v, et au milieu duquel se trouve une lampe éteinte. Lorsque la lampe passe juste devant un observateur immobile situé sur le quai de la gare, celle-ci s'allume et des photons partent dans toutes les directions avec la vitesse constante c. Pour un passager situé au milieu du wagon, les photons atteindront les deux extrémités du wagon au même instant puisque les distances à parcourir pour les photons seront rigoureusement les mêmes (à savoir L) vu que la lampe est au milieu du wagon. Pour l'observateur sur le quai, Le temps mis par un photon pour toucher le côté droit du wagon vaudra : ct2 L (v t2 ) Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 8 L L/c c v 1 v / c t2 Le temps mis par un photon pour toucher le côté gauche du wagon vaudra : ct1 L (v t2 ) t1 L L/c c v 1 v / c La différence des temps est : t t2 t1 L/c L/c 2L 2 1 v / c 1 v / c c v 1 c 1 2 Les photons n'atteindront pas les deux extrémités du wagon au même instant. En effet, pour l'observateur immobile, les photons ont une distance plus grande à parcourir pour toucher l'extrémité droite du wagon du fait que celui-ci avance. Inversement les photons se déplaçant vers la gauche auront une distance plus petite à parcourir. C’est la notion de simultanéité qui conduit Einstein à rejeter le caractère absolu du temps. Ainsi, si la vitesse de la lumière est une constante, deux évènements simultanés pour une personne en mouvement ne le sont plus pour une autre immobile. La notion de simultanéité dépend du référentiel dans lequel on se place ce qui n'était pas le cas dans la conception galiléenne. Conséquences de ces deux postulats Considérons deux référentiels inertiels R et R'. On peut prendre par exemple pour R un référentiel lié au quai d’une gare et pour R' celui lié à un train. L’origine O de R est située initialement au bout du quai et celle O' de R' à l’arrière du train, de sorte que les deux origines coïncident à l’origine des dates. On appellera O’ l’observateur qui est dans le train, et O celui se trouvant sur le quai. Considérons une source lumineuse (dans O’) qui émet une impulsion lumineuse (flash) sur un miroir qui la réfléchi au point de départ. Quand elle atteint le point de départ un second flash est émis. La mesure du temps se fait en registrant le délai d’un aller-retour d’une impulsion lumineuse (temps entre deux flashes). Dilatation du temps On considère le train en mouvement : Pour l’observateur O’, l'horloge est au repos, et l’intervalle de temps entre deux flash est : t0 2 L0 / c t0 est l'intervalle de temps (propre) qui est mesurée lorsque l'horloge est au repos par rapport à l'observateur O’. Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 9 Pour l’observateur O, l'horloge est en mouvement, et le temps entre deux flash est t qui s’obtient par: L2 L20 (ut / 2)2 t t0 1 u 2 /c 2 t t0 t t0 car > 1 Une horloge en mouvement (rectiligne uniforme) bat plus lentement par rapport à une horloge au repos. On peut donc conclure que le temps s’écoule plus lentement dans un système de référence en mouvement relativement au notre. L’effet de dilatation temporelle est négligeable, sauf si u approche c. les vitesses dont nous faisons ordinairement l’expérience étant extrêmement plus petites que c, ce n’est donc pas surprenant que nous ne nous rendions pas compte de la dilatation du temps. Des expériences sur les muons ont confirmé la dilatation. Il a en effet été prouvé que le muon dont la durée de vie au repos est de 2,2 μs, vivait plus longtemps lorsqu’il voyageait à grande vitesse Exemple muons Les muons sont produits par l’interaction entre les rayons cosmiques émis par le Soleil et la haute atmosphère de la Terre, à une altitude d’environ 10 km. Ils sont émis avec une vitesse égale à 99,8 % c. Un muon au repos se désintègre en moyenne au bout d’une durée de valeur = 2,2 µs. On considère souvent que le fait de pouvoir détecter des muons à la surface de la Terre est une preuve expérimentale de la dilatation des durées. 1. Calculer la distance parcourue par un muon pendant 2,2 µs. 2. Pourquoi le fait que des muons parviennent à la surface de la Terre est-il une preuve expérimentale de la dilatation des durées ? 3. En tenant compte de la dilatation des durées, calculer la distance que parcourt, en moyenne, un muon, avant de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les événements considérés et durée propres et durée mesurée depuis la Terre. Montrer que ce calcul permet d’interpréter le fait de pouvoir détecter des muons à la surface de la Terre. Dans le référentiel terrestre, La distance moyenne que parcourent les muons est : d = u × = 0,998 × c × = 659 m Les muons sont produits à au moins 10 km de la surface de la Terre et parviennent à la surface de la Terre, alors que la distance moyenne qu’ils parcourent est de 659 m. Cela est compatible avec l’idée selon laquelle, vus de la Terre, leur durée de vie moyenne, lorsqu’ils sont en mouvement, se dilate. Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 10 On étudie les événements « naissance du muon » et « désintégration du même muon ». La durée propre qui sépare ces deux événements est celle qui est mesurée dans le référentiel « muon ». C’est aussi la durée de vie moyenne d’un muon au repos, soit : ∆t0 = 2,2 µs Lorsque les muons sont en mouvement, leur durée de vie moyenne mesurée depuis la Terre se dilate et vaut : tm t0 u2 1 2 c 2,2 1 0,9982 34.8 µs La distance moyenne parcourue par le muon entre son émission et sa désintégration vaut donc, mesurée depuis la Terre : dm = v × ∆tm = 0,998 × c × ∆tm = 10.4 km Cette distance permet d’interpréter que les muons peuvent franchir une distance assez grande dans l’atmosphère pour que nous puissions les détecter au sol. Paradoxe des jumeaux Le paradoxe des jumeaux est un problème théorique, basé sur une expérience de pensée, posé par Paul Langevin en 1911 afin de populariser les idées d’Albert Einstein. On considère deux jumeaux P et R de 40 ans. P part pour un voyage dans la constellation X située à 20 années-lumière, à la vitesse de 0,95 c, et R (reste) sur terre. Dès que P a atteint X, il retourne instantanément vers la Terre où l’attend R qui n’a pas voyagé. v 0.95 c 1 1 2 3.2 Du point de vue de R (qui est resté sur Terre), le vaisseau met donc 21 ans pour atteindre sa destination et autant pour revenir. D'après R la durée du voyage est tR 2L0 / v 2 20 / 0.95 42 ans Du point de vue de R, le temps s'écoule plus lentement dans la fusée. Ce qui correspond à un raccourcissement du temps de 0,31 la durée du voyage pour P est tP 42 0.31 13 ans Pour l’observateur terrestre, quand P sera de retour, R aura 82 ans et P 53 ans. P dit : « Je suis en mouvement par rapport à mon frère : le facteur de Lorentz vaut environ 3; En vertu de la dilatation des durée, pendant que mon horloge fait un tour, la sienne fait 3 tours. Ainsi, à mon retour mon frère sera plus âgé que moi » R répond : « Je ne suis pas d’accord ! On peut très bien considérer que c’est moi qui suis en mouvement à la vitesse v par rapport à mon frère ! Donc de mon point de vue, c’est la durée mesurée par lui qui est dilatée ! Pendant que mon horloge fait un tour, la sienne fait 3 tours, c’est donc lui qui reviendra plus âgé que moi ! » Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 11 En réalité, l’aventure n’est pas symétrique. Contrairement à la Terre, la fusée doit effectuer un demi-tour pour revenir. Elle subit donc une accélération/décélération qui fait toute la différence. Cela crée une rupture dans le mouvement uniforme. Et donc un changement de référentiel. Il fallut attendre la relativité générale formulée par Einstein en 1916 pour sortir de cette impasse et interpréter correctement la situation: « Le voyageur est plus jeune » Contraction des longueurs Supposons maintenant que les observateurs O et O’ veuillent mesurer la longueur du wagon. Par rapport à O, le flash émis de la source atteindra le miroir après un temps t1. Pendant ce temps le miroir s’est déplacé (par rapport à O) de ut1 . Entre la source et le miroir la lumière a parcourue la distance ct1. Donc L ut1 ct1 Flash émis par la source au temps Flash reçu par le miroir au temps t1 Par rapport à O, le flash réfléchi par le miroir atteindra la source après un temps t2. Pendant ce temps la source s’est déplacé (par rapport à O) de ut2. Entre le miroir et la source la lumière a parcourue la distance ct2. Donc L ut2 ct2 Flash réfléchi par le miroir Flash atteint la source au temps t2 Le temps total pour un aller-retour est t t1 t2 t L L 2L 1 2L 2 2 2 c u c u c 1 u / c c Par ailleurs t est un temps impropre, car mesuré par O, pour une horloge dans O’. Dans le référentiel lié au wagon, la longueur du wagon mesurée est L0 qui est sa longueur propre, ou encore longueur au repos : ct0 2 L0 . Donc Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun t t0 Page 12 2L0 c ce qui conduit à L0 L L L0 / ( 1) C’est ce qu’on appelle la contraction des longueurs dans le sens du mouvement. On peut alors conclure que la mesure de la longueur d’un corps en mouvement est plus petite que la mesure de la longueur de ce même corps au repos. Toutefois, seule la mesure de la longueur parallèle à la vitesse est contractée, les mesures perpendiculaires à la vitesse ne changent pas d'un référentiel à l'autre. Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 13 Trànsformàtion de Lorentz L’espace-temps à quatre dimensions Un passager dans un train roulant à grande vitesse, supposons 0,65c (figure cidessous) commence son repas à 19h et le termine à 19h15, selon l’horloge du train. Comme les deux événements, soit le début et la fin du repas, se produisent au même point du train, le temps entre ces deux événements est un temps propre de 15 minutes. Pour l’observateur au sol, le repas dure plus longtemps, soit 20 minutes selon l’équation t t0 avec 1.31 . Supposons que le diamètre du plateau sur lequel le repas est servi est de 20 cm. Pour l’observateur au sol, le plateau n'a que 15 cm de longueur (contraction des longueurs). Donc bien que la quantité de nourriture soit plus petite, il a l’impression que le repas dure plus longtemps. En ce sens, la dilatation du temps et la contraction des longueurs se contrebalancent. Du point de vue de l’observateur au sol, le repas semble gagner en durée ce que la nourriture perd en quantité. L’espace ou la longueur est échangé pour le temps. t t0 L L0 / Ces considérations ont mené à l’idée de l’espace-temps à quatre dimensions, l’espace correspondant à trois dimensions et le temps à une quatrième dimension. Le temps et l’espace sont intimement inter reliés. L’idée de quatre dimensions peut nous sembler étrange, mais elle provient du fait qu’il faut quatre quantités pour situer tout corps ou tout événement : trois pour décrire où il se trouve dans l’espace et une pour dire où il est dans le temps. Transformation de Lorentz Après cette approche très qualitative, qui nous a permis de comprendre certaines caractéristiques essentielles de la nouvelle cinématique; il nous reste à donner la forme explicite de la transformation de Lorentz, décrivant un changement de référentiel. Autrement dit, Les transformations de Galilée doivent être remplacées par de nouvelles transformations qui laissent invariante l’équation de propagation des ondes Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 14 électromagnétiques. Ces transformations sont appelées: les transformations de Lorentz. Point de vue classique ou Galiléen : Considérons deux systèmes de référence R et R’ constitués chacun par un ensemble d’axes de coordonnées. Les axes x, y et z appartiennent à R, tandis que les axes x’, y’ et z’ appartiennent à R’ . Les axes x et x‘ sont colinéaires, et nous supposons que R’ bouge vers la droite (dans la direction des x) à la vitesse de v relativement à R. par simplicité, on supposera que les origines O et O’ des deux systèmes de références sont superposés au temps t = t’ = 0. Soit maintenant un événement se produisant en un point E(x,y,z) dans le système R au temps t. Quelles sont les coordonnées de E(x’,y’,z’) dans le système de référence R’? Comme initialement R et R’ coïncident, après un temps t, R’ aura parcouru une distance ut’, par conséquent au temps t, x = ut' + x' D’autre part, les coordonnées y et z ne sont pas affectés par le mouvement le long de l’axe x et donc y = y’ et z = z’. Enfin, comme dans la physique newtonienne, on suppose que le temps est absolu, les horloges dans les deux systèmes indiqueront le même temps, de sorte que t = t’. Résumons tous ces résultats dans les équations de la transformation Galiléenne suivantes : x x ' ut y y' z z' t t' Et les équations de la transformation galiléenne de la vitesse vx vx' u vy vy' vz vz' Ces équations donnent les coordonnées d’un événement E dans le système de référence R quand les coordonnées de l’événement dans le système R’ sont connues. A l’inverse on peut aisément trouver les coordonnées dans le référentiel R’ en fonction de celles dans le référentiel R : x ' x ut y' y v vx u ' x z' z v vy ' y t t' v vz ' z Point de vue relativiste Supposons que les transformations linéaires et de la forme : x x ' ut ' y y' z z' Elles ne différent des équations galiléenne que par le facteur qu’on va déterminer plus tard (pour y et z il n’y a pas de contraction de longueur). On ne supposera rien pour t, on la déduira plutôt. Les équations inverses ont la même forme : x ' x ut ; y ' y ; z ' z Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 15 Comme une impulsion lumineuse émise à l’origine commune de R et de R’ au temps t = t’ = 0, après un temps t, aura parcouru sur l’axe x, une distance x ct ou x ' ct ' On obtient à partir des équations pour x et x’ que : ct x ' ut ' ct c u t ' x x ' ut ' x ' ct ' 1 et 1 u 2 / c2 x ' ct ' ct ' x ut ct ' c u t x ' x ut x ct x ct Maintenant que nous connaissons , il ne nous reste plus qu’à trouver la relation entre t et t’, pour cela combinons x et x’, ce qui va donner : x ' x ut 2 x ' x ' ut ' ut t ( x ' ux '/ c ) x x ' ut ' Par conséquents les transformations de Lorentz de R vers R’ sont : x ' x ut y' y z' z t ' t ux / c 2 Ou encore x ' x ct y' y z' z ct ' ct x Ce sont les équations de la transformation de Lorentz établie en 1904 mais retrouvées un an plus tard indépendamment par Einstein dans le cadre de sa théorie de la relativité. On constate qu’elles ne diffèrent de la transformation classique que par les composantes x et t, et la dernière équation montre que le temps et l’espace sont interreliés. Exercice : Démontrer la formule de la contraction des longueurs et de la dilatation du temps par la transformation de Lorentz. Transformation des vitesses Si dans O, on observe une particule qui se déplace à la vitesse v (vx , vy , vz ), quelle est sa vitesse v’ dans O’ qui est animé d’une vitesse u (selon x) par rapport à O? les transformations de Lorentz de R vers R’ sont : x ' x ct y' y z' z ct ' ct x Pour obtenir dans O’, les composantes de la vitesse en fonction de vx, vy, vz et c, on différencie d'abord la transformation de Lorentz: dx ' dx cdt dy ' dy dz ' dz On divise les trois premières équations par la dernière cdt ' cdt dx Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun dx ' dx cdt cdt ' cdt dx dx cdt dx ' cdt cdt ' cdt dx cdt Page 16 dy ' dy cdt ' cdt dx dz ' dz dy dy ' cdt cdt ' cdt dx cdt dz dz ' cdt cdt ' cdt dx cdt Donc les équations relativistes de la transformation des vitesses : vx' vx u 1 uvx / c 2 v'y vy 1 uvx / c 2 vz' vz 1 uvx / c 2 Exercice : un missile est mis à feu depuis une fusée avec une vitesse de 0,60c dans le sens et la direction de la fusée. Quelle est la vitesse du missile par rapport à la terre sachant que la fusée possède une vitesse de 0,60c relativement à la terre. Exercice : Montrer à partir du carré du vecteur vitesse v’ que les facteurs de Lorentz vérifient l’expression v' u v (1 uvx / c2 ) avec u 1 1 u 2 / c2 Masse et la quantité de mouvement en mécanique relativiste Après avoir montré que la longueur et le temps sont des quantités relativistes, on peut aussi supposer que la masse est aussi une quantité relativiste. Considérons la collision élastique entre deux particules identiques (de même masse au repos). Nous prenons deux référentiels inertiels A et B se déplaçant à la vitesse v l’un par rapport à l’autre. Dans le référentiel B, la particule B est en mouvement à la vitesse u dans la direction yB négatif. Dans le référentiel A, la particule A est en mouvement à la vitesse u dans la direction yB positif. Supposons que les deux particules interagissent de façon élastique et que chacune, lorsqu’elle est observée depuis le référentiel d’où elle a été lancée, rebondit alors à la vitesse u, dans la direction opposée à sa vitesse initiale. La figure montre l’observation depuis le référentiel A. Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 17 Résumons la situation dans le tableau ci-dessous, où on a déterminé les vitesses des particules dans chaque référentiel. Référentiel A Particule A (avant) Référentiel B Particule A (après) Particule B (avant) Particule B (après) ux 0 ux 0 ux 0 ux 0 uy u uy u uy u uy u uz 0 uz 0 uz 0 uz 0 On va appliquer la conservation de la quantité de mouvement avant et après collision dans le référentiel A, La transformation de Lorentz des vitesses (avec B se déplaçant vers A) ux' ux v 1 vux / c 2 u 'y uy 1 vux / c 2 uz' uz 1 vux / c 2 permet de déterminer les vitesses de B avant et après collision vu du référentiel A (tableau ci-dessous) Référentiel A Particule A (avant) Référentiel A Particule B (avant) Particule A (après) Particule B (après) ux 0 ux v ux 0 ux v uy u u y u / uy u uy u / uz 0 uz 0 uz 0 uz 0 La conservation de la quantité de mouvement avant et après collision selon l’axe y mAu mBu / mAu mBu / mB mA Avec mA mA (u,v) et mB mB (v,u) les masses des particules A et B dépendantes des vitesses, car quand les balles sont au repos mA (0) mB (0) . Comme on travaille dans le référentiel A, alors mA (u,v) mA (u,0) mA (u) . mB (u,v) mA (u) 1 v2 / c 2 Si on choisit u très petit de telle sorte qu’il soit proche de zéro, on obtient m(v) m0 1 v2 / c 2 La quantité de mouvement relativiste se définit de la manière suivante Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun p mv m0 1 v2 / c 2 Page 18 v La loi de conservation de la quantité de mouvement est donc valable en relativité. La seconde loi dans sa forme générale reste valide en relativité : F dp d dm dv mv v m ma dt dt dt dt Mais F ma n’est pas valide Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 19 Quàdrivecteurs Définitions Les coordonnées Xl, X2, X3, X4 d'un événement peuvent être considérées comme les composantes d'un 4-vecteur R ( X1 , X2 , X3 , X4 ) R (r , ct ) appelé rayon-vecteur, dans l'espace-temps à quatre dimensions. Produit scalaire et norme Pour tout couple de 4-vecteurs (A, B) d'un espace vectoriel on associe un scalaire noté A.B, A.B A4 B4 A1 B1 A2 B2 A3 B3 qui vérifie les axiomes suivants : commutativité : A.B = B.A ; distributivité par rapport à l'addition vectorielle: (A + B).C =A.C + B.C associativité avec la multiplication par un scalaire: ( A). B = (A.B) si A.B = 0, quel que soit B, alors A = 0. Lorsqu'on passe d'un référentiel d'inertie R à un autre R' se déplaçant parallèlement à l'axe des x à la vitesse uniforme u, les composantes de du 4-vecteur R se transforment selon X 1' ( X 1 X 4 ) X 2' X 2 X 3' X 3 X 4' ( X 4 X 1 ) Mise sous forme matricielle, la transformation précédente X 1' ' X2 0 X 3' 0 ' X 4 0 0 X 1 X1 X 1 0 0 X2 2 X3 0 1 0 X3 0 0 X4 X4 Le symbole représente la transformation de Lorentz-Poincaré 4-vitesse d'une particule relativiste Puisque le temps propre de la particule en mouvement est indépendant du choix de référentiel, ce temps propre permet donc de définir un 4-vecteur vitesse U à partir du 4vecteur position R: R (r , ct ) U dR d Ecrivons cette quantité en fonction de la vitesse spatiale ordinaire v de la particule dans un référentiel R donné. R (r , ct ) dR ( v, c ) dt Si le temps propre varie de d, le temps dans R varie de dt = d (dilation du temps). Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun dt d dR ( v , c ) (u, c ) d U Page 20 1 1 v2 c 2 la vitesse propre u v forme les trois composantes du quadrivecteur vitesse U (u, c ) , et dont les composantes sont données par les expressions: U 1 ux vx U 2 uy vy U ( v , c ) U 3 uz vz U 4 u4 c Quadrivecteur impulsion-énergie En multipliant le 4-vecteur vitesse U par la masse propre (au repos) m0 de la particule, qui est un 4-scalaire, et par « c » on définit un 4-vecteur impulsion-énergie P de la particule P m0 cU m0 c(u , c ) cm0 ( v , c ) (cmv , mc 2 ) 2 m0 P (cp , mc ) p m0 u mv m 1 v2 c 2 Pour une particule (ponctuelle) de masse m non nulle, la loi fondamentale de la dynamique dans un référentiel galiléen reste valable dp dv dm F m v dt dt dt Le théorème de l’énergie cinétique pour un corps de masse m s’écrit : dT F .v.dt Et compte tenu que F m Comme m Donc dT m0 1v c 2 2 dv dm alors dT mvdv v2 dm v dt dt alors dm m0 vdv c 1 v c 2 2 2 3/2 mvdv c 1 v2 c 2 2 m0vdv 1 v 2 c2 3/2 Lorsque le point d'application de la force se déplace d'une position r1 (vitesse v1=0) à une position r2 (vitesse v2 = v), par intégration on obtient T m0 c2 1 v 2 2 c2 1/2 m0 c2 T est égal à l'énergie cinétique acquise par un objet de masse au repos m0 lorsqu'il est mis en mouvement et atteint la vitesse v. Alors T m0 c2 m0 c 2 T mc2 m0 c2 mc2 T m0 c 2 Par définition l'énergie totale d'un objet matériel est E mc2 Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 21 Elle est composée de l'énergie cinétique et de l'énergie équivalente à la masse au repos E T m0 c2 Le proton, par exemple, a une masse, lorsqu'il est au repos, d'environ m = 1,67 x 10- 27 kg ce qui correspond à une énergie m0c2 = 938 MeV. L’expression du 4-vecteur impulsion-énergie P de la particule s’écrit donc comme P (cp, E) et le produit scalaire P.P P 2 c2 p2 E 2 D'autre part, en utilisant les expressions explicites de E et p: E p 1 v2 c 2 P m0 v 2 2 1 v c m0 c 2 2 (c 2 v 2 ) E p c m c m02 c 4 2 2 1v c 2 2 2 2 2 0 Par conséquent E 2 p2 c 2 m0 c 4 La relation d'Einstein E mc2 établit une équivalence entre masse et énergie. L'impulsion seule ou l'énergie seule ne sont plus invariantes lors d'un changement de référentiel. Toutes deux changent d'un référentiel à un autre, mais, en revanche, la norme du quadrivecteur impulsion-énergie reste invariante lorsqu'on passe d'un référentiel à un autre : la norme du quadrivecteur impulsion-énergie est égale à la constante E0=m0c2, énergie de la particule au repos. On est donc conduit à admettre que de la masse peut se transformer en énergie et vice versa. On vérifie tous les jours qu'il en est bien ainsi. Les réactions nucléaires, celle des réacteurs à fission comme celles du soleil et des autres étoiles, les expériences faites sur les particules élémentaires au moyen des grands accélérateurs, sont là pour nous le prouver: le bilan des masses (au repos) entre partenaires et produits de la réaction donne grâce à cette relation la valeur de l'énergie libérée ou absorbée. Ainsi, par commodité, les masses au repos des particules atomiques et subatomiques sont écrites en unités d'énergie et non en unité de masse. On donne ci-dessous les plus courants. Particule Symbole Masse (MeV) Electron e± 0.511 Muon µ 105.7 Pion chargé ± 139.6 Pion neutre 135 Proton p 938.3 Neutron n 939.6898 Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 22 Impulsion et masse des photons De ce qui précède, nous avons p m0 v 2 Ev c p E m0 c 2 Or, les photons sont des particules associées aux ondes lumineuses, et dont la vitesse v est égale à c. Ev c 2 p E pc Or E 2 p2 c 2 m0 c 4 m0 0 le photon est une particule de masse nulle. C'est Einstein qui, en 1917, proposa d'attribuer au photon une impulsion p=E/c , complétant ainsi le caractère corpusculaire du photon. Quadrivecteur d'onde En utilisant la relation de Planck E h avec la fréquence de l'onde lumineuse, de pulsation 2 . p E h n n n p k c c c L’expression du 4-vecteur impulsion-énergie P de la particule qui s’écrit comme P (cp , E) P (c k , ) c ( k , K (k , c ) est appelé quadrivecteur d'onde. ) c P cK Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 23 References 1. Jean Hladik, Michel Chrysos : Introduction à la relativité restreinte Cours et exercices corrigés-Dunod (2001) 2. Kenneth S. Krane: Modern Physics 3rd Edition 3. Bernard Schutz : A First Course in General Relativity-Cambridge University Press (2009) 4. www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/jmr/relativite.pdf Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 24 Exercices Exercice 1 (Relativité Galiléenne) Un tapis roulant de 95 m de longueur transporte des passagers à une vitesse de 0,53 m/s. Un passager qui a une marche normale possède une vitesse de 1,24 m / s. 1. Si le passager se tient sur le tapis roulant sans marcher, combien de temps faut-il pour parcourir le tapis? 2. Si le passager marche normalement sur le tapis, combien de temps faut-il pour parcourir toute sa longueur? 3. Quand il atteint l'extrémité du tapis, il réalise soudain qu'il a laissé un paquet à l'extrémité opposée. Pour récupérer le paquet, il marche rapidement dans le sens opposé le long du tapis avec une vitesse double de sa vitesse de marche normale. Combien de temps faut-il pour atteindre le paquet? Exercice 2 (Relativité Galiléenne) Dans l’eau calme, une personne nage à une vitesse c. Cette personne nage dans un fleuve où le courant possède une vitesse u (inférieur à c). 1. Supposons que le nageur nage sur une distance L de A ver B retourne au point de départ A. Trouver le temps t1 nécessaire pour faire l’aller-retour (figure 1), 2. Supposons que la distance entre les berges du fleuve est L. le nageur, quitte le point A et nage perpendiculairement à l'écoulement du ruisseau. Quand il atteint la berge B, il retourne. Trouver le temps t2 nécessaire pour faire l’aller-retour (figure2). 3. Comparer les deux temps de nage dans le ruisseau. 4. Quelle expérience a-t-on évoqué. Quel rôle joue le fleuve. Exercice 3 (Transformations de Lorentz) Soient deux référentiels inertiel O et O’. Le référentiel O’ se déplace avec une vitesse uniforme u, selon l’axe des x, par rapport à O. Soit une particule qui se déplace à la vitesse v ' par rapport à O’ et à la vitesse v par rapport à O. 1) A l’aide des transformations de Lorentz, donner les composantes de v ' en fonction de celles de v et de u u / c . 2) En partant du carré du module vecteur vitesse v ' , montrer que la relation entre les facteurs de Lorentz : Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 25 v ' u v 1 u v cos où l’angle est tel que vx v cos ; On utilisera pour cette démonstration l’identité 1 2 u u2 1 . 3) En déduire la relation inverse : v f ( u , v ' , ') 4) Montrer que l’angle d’émission tg sin ' u cos ' u / v ' 1 5) Un pion de haute énergie se déplace le long de l’axe des x avec une vitesse u=0.8c dans le référentiel du laboratoire. Le pion se désintègre en émettant un muon de vitesse v’ dans le référentiel du pion. Quelle est la vitesse (module et direction) du muon dans le laboratoire si le muon est émis le long de l’axe a) des x’ (parallèle a x) avec une vitesse vx' ' 0.268 c . b) des y’ (parallèle à y) avec une vitesse v 'y' 0.268 c . Exercice 4 (Dilatation des durées et contraction des longueurs) 1. Considérons deux observateurs O et O’. O’ se déplace avec une vitesse uniforme u par rapport à O. a) Soit une horloge H au repos dans O’. À quelle vitesse se déplace O’ par rapport à O, si l’intervalle de temps, mesuré dans O’, est la moitié de l’intervalle de temps mesuré par O? b) Soit un objet K de longueur L’ au repos dans O’. À quelle vitesse se déplace O’ par rapport à O, si la longueur observée de O est L’ /2. 2. La durée de vie moyenne des muons au repos est environ 2.2 × 10-6 s, tandis que leur durée de vie dans un éclat de rayons cosmiques vaut 1.5 × 10- 5 s. Quelle est la vitesse de ces muons cosmiques? 3. Un faisceau de muons se déplace avec une vitesse de v = 0,6 c. Leur durée de vie moyenne observée dans le laboratoire vaut 2.9 ×10-6 s. Quelle est durée de vie moyenne des muons en se désintégrant au repos? 4. La durée de vie propre d'une certaine particule est 100 ns. a) Si elle se déplace à v = 0.960c, quelle est sa durée de vie dans le laboratoire? b) Quelle distance va-t-elle parcourir dans le laboratoire pendant ce temps? c) Quelle est la distance parcourue dans le laboratoire selon un observateur se déplaçant avec la particule? 5. Des particules de haute énergie sont observées dans les laboratoires à l'aide de certains détecteurs à partir de traces laissées sur des plaques photographiques; la longueur de la trace dépend de la vitesse de la particule et de sa durée de vie. Une particule se déplaçant à la vitesse de 0.995c, laisse une trace de 1.25 mm de long. Quelle est la durée de vie propre de la particule? 6. Des pions + de haute énergie sont produits lors de la collision entre des protons et des neutrons. Ils se désintègrent dans leur référentiel propre en accord avec la loi N (t ) N (t0 ) exp(t / 0 ) dans laquelle 0 est la durée de vie moyenne valant 2,6.10-8 s pour les pions. a) Si l’on considère que les pions ont une vitesse v ≈ c (très proche de celle de la lumière), en combien de temps franchissent-ils les 20 mètres? b) Dans le cadre de la mécanique galiléenne quelle fraction de pions restera-t-elle après avoir franchi la distance d=20 m? c) En réalité on constate qu’il en reste les deux tiers à une distance d de 20 m de la source. Déduire du calcul précédant le facteur de Lorentz . Cours de Physique Nucléaire - SMP S5 – UCD – Pr. M. Benjelloun Page 26 d) Quelle est la vitesse des pions ? Exercice 5 (Cinématique relativiste) 1. Quelle est la masse au repos d’un électron (me = 9.1 × 10− 31 kg)? 2. La durée de vie moyenne des muons au repos est de 2,2 × 10 -6 s. La durée de vie moyenne observée au laboratoire est de 6,6 × 10-6 s. Calculer a) La masse effective du muon à cette vitesse si sa masse au repos est de 207me. b) Son énergie cinétique c) Sa quantité de mouvement 3. Quelle est la vitesse d'un proton dont l'énergie cinétique est égale à son énergie au repos? Est-ce que le résultat dépend de la masse de protons? 4. Un pion positif (mπ=273me) se désintègre en un muon (mμ=207me) et un neutrino (mν=0) au repos. Calculer l'énergie transportée par le muon et le neutrino.