Introduction à la relativité
Restreinte
Notes de cours SMP S5
Pr. M. Benjelloun
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Contenu
Introduction à la relativité .............................................................................................. 3
Relativité galiléenne .................................................................................................... 3
Mise en défaut de la relativité Galiléenne .................................................................. 4
Expérience de Michelson et Morley (1887).................................................................. 5
Relativité restreinte ........................................................................................................ 7
Principes de la relativité .............................................................................................. 7
Simultanéité de deux événements............................................................................... 7
Conséquences de ces deux postulats ........................................................................... 8
Dilatation du temps ................................................................................................. 8
Contraction des longueurs ......................................................................................11
Transformation de Lorentz ............................................................................................13
L’espace-temps à quatre dimensions ..........................................................................13
Transformation de Lorentz .........................................................................................13
Point de vue classique ou Galiléen : .......................................................................14
Point de vue relativiste ...........................................................................................14
Transformation des vitesses ...................................................................................15
Masse et la quantité de mouvement en mécanique relativiste..................................16
Quadrivecteurs ...............................................................................................................19
Définitions ...................................................................................................................19
Produit scalaire et norme ...........................................................................................19
4-vitesse d'une particule relativiste ...........................................................................19
Quadrivecteur impulsion-énergie ...............................................................................20
Impulsion et masse des photons .................................................................................22
Quadrivecteur d'onde ..................................................................................................22
Références.......................................................................................................................23
Exercices .........................................................................................................................24
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Introduction à là relàtivite
La description d’une expérience physique nécessite un système de référence, c’est-àdire un système de coordonnées servant à indiquer la position des particules dans
l’espace.
Si un observateur, dans un référentiel R(O,x,y,z) réalise une expérience, et si un
observateur, dans un référentiel R’(O’,x’,y’,z’), observe le même phénomène. Si les
équations du mouvement dans R’ ont la même forme que dans le référentiel R, on dira
que la loi physique régissant le phénomène est invariante.
Relativité galiléenne
Une transformation de Galilée correspond aux formules de transformations des
coordonnées spatiales et temporelles entre deux référentiels galiléens donnés. Tout
référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel
donné supposé galiléen, est lui-même galiléen.
Étant donnés un référentiel (R) supposé galiléen, et un second référentiel (R') en
mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse u par rapport à (R), l'objet de la
transformation de Galilée est de déterminer comment se transforme les coordonnées de
temps et d'espace d'un même évènement, noté E  x, y, z, t  dans (R) et E  x ', y ', z ', t ' dans
(R'), lors du changement de référentiel.
Le cas le plus simple de transformation de Galilée consiste à considérer la situation
où les repères d'espace associés respectivement à (R) et (R') sont choisis de telle sorte que
leurs origines O et O' coïncident à l'origine commune des dates t et t' dans chacun des
référentiels, et que les trois axes soient colinéaires, (R') se déplaçant le long de la
direction Ox à la vitesse v constante.
Dans le cadre de la mécanique newtonienne, le temps possède un caractère absolu,
autrement dit si les origines des dates des horloges associées à chacun des référentiels
sont identiques, on aura t  t ' .
x '  x  ut
y'  y
z'  z
t'  t
Si l’événement possède une vitesse vx dans R, alors dans R’ il aura la vitesse v’x par la
transformation Galiléenne de la vitesse

x  x2  x1

t  t2  t1 

x
 vx 
t


x '  x2'  x1'  x  ut

 v 'x  vx  u
t '  t

x ' x  ut
 v 'x 

 vx  u
t '
t

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•
•
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Les lois de composition des vitesses s’obtiennent en dérivant les relations
spatiales par rapport au temps.
En dérivant une nouvelle fois on obtient les lois de composition de l’accélération
x '  x  ut  vx '  vx  u  ax '  ax
 

y'  y
  v y '  v y   a y '  a y

 
z' z
 vz '  vz
 az '  az
Les lois de la mécanique classique, en particulier l’équation de Newton m
d 2x
 F sont
dt 2
invariantes sous ce groupe de transformations. Les référentiels correspondants sont dits
inertiels. Dans de tels référentiels le mouvement d’une particule libre, F  0 , est
rectiligne et uniforme.
Mise en défaut de la relativité Galiléenne
Toutes les lois de la physique prennent la même forme dans tous les référentiels
inertiels. Les lois de la mécanique classique satisfont le principe de relativité vis à vis
des transformations galiléennes.
Qu’en est-il des interactions électromagnétiques décrites par les équations de
Maxwell ?
Les manipulations d’électrostatiques et de magnétostatique ont permis la mesure de
 0  8,85418782  1012 m3kg 1s 4A 2
0  1, 25663706  106 m kg s 2A 2
En 1864, James Clerk Maxwell établit les équations régissant les ondes
électromagnétiques et notamment les ondes lumineuses.

.E 
0
.B  0
2 
 




 E (r , t )  0
0 0
 
t 2 
 

2 
1 E  
  B  0 J  2
    0 0 2  B ( r , t )  0
t 
c t  
B
 E  
t
Ces équations permettent

de prédire l'existence d'une onde électromagnétique
La vitesse de propagation "c" des ondes électromagnétiques comme étant une
constante puisque reliée à deux autres constantes de la physique et caractéristiques du
vide : la "permittivité magnétique o" et la "permittivité électrique o ".
c



1
 0 0
la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la
vitesse de la lumière mesurée expérimentalement c  3 ×108 m/s.
de conclure que la lumière était une onde électromagnétique de vitesse c
Les équations de Maxwell semblent n'être valables que dans le référentiel
privilégié (éther) et ne sont pas invariantes sous une transformation de Galilée.
(Démonstration : http://www.relativite.info/invariance maxwell1.htm )
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A l’image des ondes sonores, le son est un phénomène ondulatoire de vitesse (~330
m/s) définie dans le référentiel où l’air est au repos; Sans air ou autre milieu, il n’y peut
pas exister d’onde sonore! D’où l'hypothèse de l'éther, milieu de propagation de la
lumière
Expérience de Michelson et Morley (1887)
Si la lumière se propageait grâce à la vibration de l’éther, alors la composition de la
vitesse de la lumière avec le mouvement d’un instrument lié à la Terre (dont la vitesse
est v=30 km/s), permet d’avoir des observations différentes en changeant les conditions
de composition des vitesses.
Il s’agit de


diviser un faisceau de lumière monochromatique en deux rayons orthogonaux,
puis de les réunir après réflexion sur des miroirs.
Supposons que l’axe horizontal (source-miroir1) soit parallèle au mouvement de
rotation de la Terre (axe Est-Ouest). Si v est la vitesse instantanée de rotation de la
Terre, le rayon horizontal met un temps t1 pour faire un aller-retour.
t1 
L
L


cv cv
t1 
2L
1
c 1  v2 / c2
On peut calculer le temps de parcours du rayon Nord-Sud dans le référentiel lié à
l’éther. Pendant le temps ta du parcours du rayon de A vers le miroir, ce dernier s’est
déplacé de vta pour atteindre B’ ; puis de B’ vers la source A’ de vta . Le rayon de
lumière parcourt la distance AB’A’ à la vitesse « c », ce qui donne un temps t
t2 
AB ' A '
 2ta
c
AB '  cta  L2  (vta ) 2
AB ' A '  2cta  2 L2  (vta ) 2
 cta 
2
 L2  (vta ) 2  ta 
1
L
c 1  v2 / c2
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t2  2ta 
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2L
1
c 1  v2 / c2
D’après les calculs, les deux rayons arrivent donc déphasés, ce qui provoque des
franges d’interférence. Si on fait tourner de 90° tout le dispositif autour d’un axe passant
par A, les durées de parcours sont inversées  On doit voir ces franges se décaler, et
même disparaître. . .
Le résultat de l'expérience de Michelson-Morley contredisait les prévisions de toutes
les théories de l'éther (milieu de propagation de la lumière).
Aucune expérience d’optique n’ayant permis de mettre en évidence le mouvement
relatif de la terre par rapport à ce référentiel (éther), il a fallu non seulement
remettre en question l’existence d’un référentiel absolu mais aussi renoncer aux
transformations galiléennes.
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Relàtivite restreinte
En 1905, après les travaux de Voigt, Lorentz, Fitzgerald, Poincaré, … Albert
Einstein abandonne la notion de référentiel absolu (l’éther) et de temps et d’espace
absolus.
Il réussit en à éliminer définitivement toute contradiction, en énonçant deux
principes ou postulats;
Principes de la relativité

Postulat 1 : Les lois de la physique respectent le principe de relativité.
Les lois physiques s'expriment de manière identique dans tous les référentiels
inertiels. Ce qui implique que pour deux expériences préparées de manière identique
dans deux référentiels inertiels, les mesures faites sur l'une et l'autre dans leur
référentiel respectif sont identiques.
Cela ne signifie pas que les mesures au cours d'une expérience sont les mêmes pour
les différents observateurs, chacun mesurant depuis son référentiel inertiel respectif,
mais cela implique que les mesures faites par les différents observateurs vérifient les
mêmes équations, un changement de référentiel pour l'observation intervenant sous la
forme de la variation d'un ou plusieurs paramètres dans les équations. On dit que les lois
sont « invariantes par changement de référentiel inertiel ».
•
Postulat 2 : La vitesse de la lumière dans le vide est égale à c dans tous les
référentiels inertiels. Elle ne dépend ni du mouvement de la source ni de
l’observateur.
De l'invariance de la vitesse de la lumière, Einstein saura tirer toutes les conclusions
logiquement possibles. Il pratiquera ainsi un grand nombre d'expériences de pensée qui
l'amèneront finalement à rejeter catégoriquement le caractère absolu des notions
de temps et de longueurs. En fait c'est une analyse de la notion de simultanéité qui
conduit Einstein à rejeter le caractère absolu du temps. Il démontre que la simultanéité
de deux événements est relative au référentiel d'étude
Simultanéité de deux événements
Imaginons un wagon de longueur "2L" se déplaçant de la gauche vers la droite, à
vitesse constante v, et au milieu duquel se trouve une lampe éteinte. Lorsque la lampe
passe juste devant un observateur immobile situé sur le quai de la gare, celle-ci s'allume
et des photons partent dans toutes les directions avec la vitesse constante c.
Pour un passager situé au milieu du wagon, les photons atteindront les deux
extrémités du wagon au même instant puisque les distances à parcourir pour les photons
seront rigoureusement les mêmes (à savoir L) vu que la lampe est au milieu du wagon.
Pour l'observateur sur le quai,
Le temps mis par un photon pour toucher le côté droit du wagon vaudra :
ct2  L  (v  t2 )
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L
L/c

c  v 1  v / c 
t2 
Le temps mis par un photon pour toucher le côté gauche du wagon vaudra :
ct1  L  (v  t2 )
t1 
L
L/c

c  v 1  v / c 
La différence des temps est :
t  t2  t1 
L/c
L/c
2L


   2
1  v / c  1  v / c  c

v
1

c
1  2
Les photons n'atteindront pas les deux extrémités du wagon au même instant. En
effet, pour l'observateur immobile, les photons ont une distance plus grande à parcourir
pour toucher l'extrémité droite du wagon du fait que celui-ci avance. Inversement les
photons se déplaçant vers la gauche auront une distance plus petite à parcourir. C’est la
notion de simultanéité qui conduit Einstein à rejeter le caractère absolu du temps.
Ainsi, si la vitesse de la lumière est une constante, deux évènements simultanés pour
une personne en mouvement ne le sont plus pour une autre immobile. La notion de
simultanéité dépend du référentiel dans lequel on se place ce qui n'était pas le
cas dans la conception galiléenne.
Conséquences de ces deux postulats
Considérons deux référentiels inertiels R et R'. On peut prendre par exemple pour R
un référentiel lié au quai d’une gare et pour R' celui lié à un train.



L’origine O de R est située initialement au bout du quai et celle O' de R' à l’arrière
du train, de sorte que les deux origines coïncident à l’origine des dates.
On appellera O’ l’observateur qui est dans le train, et O celui se trouvant sur le
quai.
Considérons une source lumineuse (dans O’) qui émet une impulsion lumineuse
(flash) sur un miroir qui la réfléchi au point de départ. Quand elle atteint le point
de départ un second flash est émis.
La mesure du temps se fait en registrant le délai d’un aller-retour d’une impulsion
lumineuse (temps entre deux flashes).
Dilatation du temps
On considère le train en mouvement :

Pour l’observateur O’, l'horloge est au repos, et l’intervalle de
temps entre deux flash est : t0  2 L0 / c
t0 est l'intervalle de temps (propre) qui est mesurée lorsque l'horloge
est au repos par rapport à l'observateur O’.
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
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Pour l’observateur O, l'horloge est en mouvement, et le temps entre deux flash est
t qui s’obtient par:
L2  L20  (ut / 2)2  t 
t0
1 u
2
/c
2
 t    t0  t  t0
car > 1
Une horloge en mouvement (rectiligne uniforme) bat plus lentement par rapport à une
horloge au repos.
On peut donc conclure que le temps s’écoule plus lentement dans un système de
référence en mouvement relativement au notre.
L’effet de dilatation temporelle est négligeable, sauf si u approche c. les vitesses dont
nous faisons ordinairement l’expérience étant extrêmement plus petites que c, ce n’est
donc pas surprenant que nous ne nous rendions pas compte de la dilatation du temps.
Des expériences sur les muons ont confirmé la dilatation. Il a en effet été prouvé que
le muon dont la durée de vie au repos est de 2,2 μs, vivait plus longtemps lorsqu’il
voyageait à grande vitesse
Exemple muons
Les muons sont produits par l’interaction entre les rayons cosmiques émis par le Soleil
et la haute atmosphère de la Terre, à une altitude d’environ 10 km. Ils sont émis avec une
vitesse égale à 99,8 % c.
Un muon au repos se désintègre en moyenne au bout d’une durée de valeur  = 2,2 µs.
On considère souvent que le fait de pouvoir détecter des muons à la surface de la Terre
est une preuve expérimentale de la dilatation des durées.
1. Calculer la distance parcourue par un muon pendant 2,2 µs.
2. Pourquoi le fait que des muons parviennent à la surface de la Terre est-il une
preuve expérimentale de la dilatation des durées ?
3. En tenant compte de la dilatation des durées, calculer la distance que parcourt, en
moyenne, un muon, avant de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les
événements considérés et durée propres et durée mesurée depuis la Terre. Montrer
que ce calcul permet d’interpréter le fait de pouvoir détecter des muons à la surface
de la Terre.
 Dans le référentiel terrestre, La distance moyenne que parcourent les muons
est :
d = u ×  = 0,998 × c ×  = 659 m
 Les muons sont produits à au moins 10 km de la surface de la Terre et
parviennent à la surface de la Terre, alors que la distance moyenne qu’ils
parcourent est de 659 m. Cela est compatible avec l’idée selon laquelle, vus de la
Terre, leur durée de vie moyenne, lorsqu’ils sont en mouvement, se dilate.
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 On étudie les événements « naissance du muon » et « désintégration du même
muon ». La durée propre qui sépare ces deux événements est celle qui est
mesurée dans le référentiel « muon ». C’est aussi la durée de vie moyenne d’un
muon au repos, soit :
∆t0 = 2,2 µs
Lorsque les muons sont en mouvement, leur durée de vie moyenne mesurée depuis la
Terre se dilate et vaut :
tm 
t0
u2
1 2
c

2,2
1  0,9982
 34.8 µs
La distance moyenne parcourue par le muon entre son émission et sa désintégration
vaut donc, mesurée depuis la Terre :
dm = v × ∆tm = 0,998 × c × ∆tm = 10.4 km
Cette distance permet d’interpréter que les muons peuvent franchir une distance
assez grande dans l’atmosphère pour que nous puissions les détecter au sol.
Paradoxe des jumeaux
Le paradoxe des jumeaux est un problème théorique, basé sur une expérience de
pensée, posé par Paul Langevin en 1911 afin de populariser les idées d’Albert Einstein.
On considère deux jumeaux P et R de 40 ans. P part pour un voyage dans la
constellation X située à 20 années-lumière, à la vitesse de 0,95 c, et R (reste) sur terre.
Dès que P a atteint X, il retourne instantanément vers la Terre où l’attend R qui n’a pas
voyagé.


v
 0.95
c


1
1  2
 3.2
Du point de vue de R (qui est resté sur Terre), le vaisseau met donc 21 ans pour
atteindre sa destination et autant pour revenir. D'après R la durée du voyage est
tR  2L0 / v  2  20 / 0.95  42 ans

Du point de vue de R, le temps s'écoule plus lentement dans la fusée. Ce qui
correspond à un raccourcissement du temps de 0,31 la durée du voyage pour P
est
tP  42  0.31  13 ans
Pour l’observateur terrestre, quand P sera de retour, R aura 82 ans et P 53 ans.
P dit :
« Je suis en mouvement par rapport à mon frère : le facteur de Lorentz vaut environ 
3; En vertu de la dilatation des durée, pendant que mon horloge fait un tour, la sienne
fait 3 tours. Ainsi, à mon retour mon frère sera plus âgé que moi »
R répond :
« Je ne suis pas d’accord ! On peut très bien considérer que c’est moi qui suis en
mouvement à la vitesse v par rapport à mon frère ! Donc de mon point de vue, c’est la
durée mesurée par lui qui est dilatée ! Pendant que mon horloge fait un tour, la sienne
fait 3 tours, c’est donc lui qui reviendra plus âgé que moi ! »
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En réalité, l’aventure n’est pas symétrique.
Contrairement à la Terre, la fusée doit effectuer un demi-tour pour revenir. Elle subit
donc une accélération/décélération qui fait toute la différence. Cela crée une rupture
dans le mouvement uniforme. Et donc un changement de référentiel.
Il fallut attendre la relativité générale formulée par Einstein en 1916 pour sortir de
cette impasse et interpréter correctement la situation: « Le voyageur est plus jeune »
Contraction des longueurs
Supposons maintenant que les observateurs O et O’ veuillent mesurer la longueur du
wagon.
Par rapport à O, le flash émis de la source atteindra le miroir après un temps t1.
Pendant ce temps le miroir s’est déplacé (par rapport à O) de ut1 . Entre la source et le
miroir la lumière a parcourue la distance ct1. Donc L  ut1  ct1
Flash émis par la source au temps Flash reçu par le miroir au temps t1
Par rapport à O, le flash réfléchi par le miroir atteindra la source après un temps t2.
Pendant ce temps la source s’est déplacé (par rapport à O) de ut2. Entre le miroir et la
source la lumière a parcourue la distance ct2. Donc L  ut2  ct2
Flash réfléchi par le miroir Flash atteint la source au temps t2
Le temps total pour un aller-retour est t  t1  t2
t 
L
L
2L 
1
2L



2

2
2 
c u c u
c  1 u / c 
c
Par ailleurs t est un temps impropre, car mesuré par O, pour une horloge dans O’.
Dans le référentiel lié au wagon, la longueur du wagon mesurée est L0 qui est sa
longueur propre, ou encore longueur au repos : ct0  2 L0 . Donc
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t    t0  
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2L0
c
ce qui conduit à
L0    L

L  L0 / 
(  1)
C’est ce qu’on appelle la contraction des longueurs dans le sens du mouvement.
On peut alors conclure que la mesure de la longueur d’un corps en mouvement est
plus petite que la mesure de la longueur de ce même corps au repos. Toutefois, seule la
mesure de la longueur parallèle à la vitesse est contractée, les mesures perpendiculaires
à la vitesse ne changent pas d'un référentiel à l'autre.
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Trànsformàtion de Lorentz
L’espace-temps à quatre dimensions
Un passager dans un train roulant à grande vitesse, supposons 0,65c (figure cidessous) commence son repas à 19h et le termine à 19h15, selon l’horloge du train.
Comme les deux événements, soit le début et la fin du repas, se produisent au même
point du train, le temps entre ces deux événements est un temps propre de 15 minutes.
Pour l’observateur au sol, le repas dure plus longtemps, soit 20 minutes selon l’équation
t    t0 avec   1.31 .
Supposons que le diamètre du plateau sur lequel le repas est servi est de 20 cm.
Pour l’observateur au sol, le plateau n'a que 15 cm de longueur (contraction des
longueurs). Donc bien que la quantité de nourriture soit plus petite, il a l’impression que
le repas dure plus longtemps.
En ce sens, la dilatation du temps et la contraction des longueurs se contrebalancent.
Du point de vue de l’observateur au sol, le repas semble gagner en durée ce que la
nourriture perd en quantité. L’espace ou la longueur est échangé pour le temps.
t    t0
L  L0 / 
Ces considérations ont mené à l’idée de l’espace-temps à quatre dimensions, l’espace
correspondant à trois dimensions et le temps à une quatrième dimension. Le temps et
l’espace sont intimement inter reliés.
L’idée de quatre dimensions peut nous sembler étrange, mais elle provient du fait
qu’il faut quatre quantités pour situer tout corps ou tout événement : trois pour décrire
où il se trouve dans l’espace et une pour dire où il est dans le temps.
Transformation de Lorentz
Après cette approche très qualitative, qui nous a permis de comprendre certaines
caractéristiques essentielles de la nouvelle cinématique; il nous reste à donner la forme
explicite de la transformation de Lorentz, décrivant un changement de référentiel.
Autrement dit, Les transformations de Galilée doivent être remplacées par de nouvelles
transformations qui laissent invariante l’équation de propagation des ondes
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électromagnétiques. Ces transformations sont appelées: les transformations de
Lorentz.
Point de vue classique ou Galiléen :
Considérons deux systèmes de référence R et R’ constitués chacun par un ensemble
d’axes de coordonnées. Les axes x, y et z appartiennent à R, tandis que les axes x’, y’ et z’
appartiennent à R’ . Les axes x et x‘ sont colinéaires, et nous supposons que R’ bouge
vers la droite (dans la direction des x) à la vitesse de v relativement à R. par simplicité,
on supposera que les origines O et O’ des deux systèmes de références sont superposés
au temps t = t’ = 0.
Soit maintenant un événement se produisant en un point E(x,y,z) dans le système R
au temps t. Quelles sont les coordonnées de E(x’,y’,z’) dans le système de référence R’?
Comme initialement R et R’ coïncident, après un temps t, R’ aura parcouru une
distance ut’, par conséquent au temps t, x = ut' + x' D’autre part, les coordonnées y et z
ne sont pas affectés par le mouvement le long de l’axe x et donc y = y’ et z = z’. Enfin,
comme dans la physique newtonienne, on suppose que le temps est absolu, les horloges
dans les deux systèmes indiqueront le même temps, de sorte que t = t’. Résumons tous
ces résultats dans les équations de la transformation Galiléenne suivantes :
x  x ' ut
y  y'
z  z'
t t'
Et les équations de la transformation galiléenne de la vitesse
vx  vx'  u
vy  vy'
vz  vz'
Ces équations donnent les coordonnées d’un événement E dans le système de
référence R quand les coordonnées de l’événement dans le système R’ sont connues. A
l’inverse on peut aisément trouver les coordonnées dans le référentiel R’ en fonction de
celles dans le référentiel R :
x '  x  ut
y'  y
v  vx  u
'
x
z' z
v  vy
'
y
t t'
v  vz
'
z
Point de vue relativiste
Supposons que les transformations linéaires et de la forme :
x    x ' ut '
y  y'
z  z'
Elles ne différent des équations galiléenne que par le facteur  qu’on va déterminer
plus tard (pour y et z il n’y a pas de contraction de longueur). On ne supposera rien pour
t, on la déduira plutôt. Les équations inverses ont la même forme :
x '    x  ut  ; y '  y ; z '  z
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Comme une impulsion lumineuse émise à l’origine commune de R et de R’ au temps t
= t’ = 0, après un temps t, aura parcouru sur l’axe x, une distance x  ct ou x '  ct ' On
obtient à partir des équations pour x et x’ que :

 ct    x ' ut ' 

  ct    c  u  t '
x    x ' ut ' 
x '  ct '


1

et
 
1  u 2 / c2

x '  ct '
 ct '    x  ut  

  ct '    c  u  t 
x '    x  ut  
x  ct


x  ct
Maintenant que nous connaissons , il ne nous reste plus qu’à trouver la relation entre
t et t’, pour cela combinons x et x’, ce qui va donner :
x '    x  ut  

2
  x '     x ' ut '  ut   t   ( x ' ux '/ c )
x    x ' ut ' 

Par conséquents les transformations de Lorentz de R vers R’ sont :
x '    x  ut 
y' y
z' z
t '    t  ux / c 2 
Ou encore
x '    x   ct 
y'  y
z' z
ct '    ct   x 
Ce sont les équations de la transformation de Lorentz établie en 1904 mais retrouvées
un an plus tard indépendamment par Einstein dans le cadre de sa théorie de la
relativité. On constate qu’elles ne diffèrent de la transformation classique que par les
composantes x et t, et la dernière équation montre que le temps et l’espace sont interreliés.
Exercice : Démontrer la formule de la contraction des longueurs et de la dilatation du
temps par la transformation de Lorentz.
Transformation des vitesses
Si dans O, on observe une particule qui se déplace à la vitesse v (vx , vy , vz ), quelle est
sa vitesse v’ dans O’ qui est animé d’une vitesse u (selon x) par rapport à O?
les transformations de Lorentz de R vers R’ sont :
x '    x   ct 
y'  y
z' z
ct '    ct   x 
Pour obtenir dans O’, les composantes de la vitesse en fonction de vx, vy, vz et c, on
différencie d'abord la transformation de Lorentz:
dx '    dx   cdt 
dy '  dy
dz '  dz
On divise les trois premières équations par la dernière
cdt '    cdt   dx 
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dx '   dx   cdt 

cdt '   cdt   dx 
  dx   cdt 
dx '
cdt

cdt '   cdt   dx 
cdt
Page 16
dy '
dy

cdt '   cdt   dx 
dz '  dz
dy
dy '
cdt

cdt '   cdt   dx 
cdt
dz
dz '
cdt

cdt '   cdt   dx 
cdt
Donc les équations relativistes de la transformation des vitesses :
vx' 
vx  u
1  uvx / c 2
v'y 
vy
 1  uvx / c
2
vz' 

vz
 1  uvx / c 2 
Exercice : un missile est mis à feu depuis une fusée avec une vitesse de 0,60c dans le
sens et la direction de la fusée. Quelle est la vitesse du missile par rapport à la terre
sachant que la fusée possède une vitesse de 0,60c relativement à la terre.
Exercice : Montrer à partir du carré du vecteur vitesse v’ que les facteurs de Lorentz
vérifient l’expression v'  u v (1  uvx / c2 ) avec  u 
1
1  u 2 / c2
Masse et la quantité de mouvement en mécanique relativiste
Après avoir montré que la longueur et le temps sont des quantités relativistes, on
peut aussi supposer que la masse est aussi une quantité relativiste.
Considérons la collision élastique entre deux particules identiques (de même masse
au repos). Nous prenons deux référentiels inertiels A et B se déplaçant à la vitesse v l’un
par rapport à l’autre.
Dans le référentiel B, la particule B est en mouvement à la vitesse u dans la direction
yB négatif.
Dans le référentiel A, la particule A est en mouvement à la vitesse u dans la direction
yB positif.
Supposons que les deux particules interagissent de façon élastique et que chacune,
lorsqu’elle est observée depuis le référentiel d’où elle a été lancée, rebondit alors à la
vitesse u, dans la direction opposée à sa vitesse initiale.
La figure montre l’observation depuis le référentiel A.
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Page 17
Résumons la situation dans le tableau ci-dessous, où on a déterminé les vitesses des
particules dans chaque référentiel.
Référentiel A
Particule A
(avant)
Référentiel B
Particule A
(après)
Particule B
(avant)
Particule B
(après)
ux  0
ux  0
ux  0
ux  0
uy  u
uy  u
uy  u
uy  u
uz  0
uz  0
uz  0
uz  0
On va appliquer la conservation de la quantité de mouvement avant et après collision
dans le référentiel A, La transformation de Lorentz des vitesses (avec B se déplaçant
vers A)
ux' 
ux  v
1  vux / c 2
u 'y 
uy
 1  vux / c
2
uz' 

uz
 1  vux / c 2 
permet de déterminer les vitesses de B avant et après collision vu du référentiel A
(tableau ci-dessous)
Référentiel A
Particule A
(avant)
Référentiel A
Particule B
(avant)
Particule A
(après)
Particule B
(après)
ux  0
ux  v
ux  0
ux  v
uy  u
u y  u / 
uy  u
uy  u / 
uz  0
uz  0
uz  0
uz  0
La conservation de la quantité de mouvement avant et après collision selon l’axe y
mAu  mBu /   mAu  mBu /   mB    mA
Avec mA  mA (u,v) et mB  mB (v,u) les masses des particules A et B dépendantes
des vitesses, car quand les balles sont au repos mA (0)  mB (0) . Comme on travaille dans
le référentiel A, alors mA (u,v)  mA (u,0)  mA (u) .
mB (u,v) 
mA (u)
1  v2 / c 2
Si on choisit u très petit de telle sorte qu’il soit proche de zéro, on obtient
m(v) 
m0
1  v2 / c 2
La quantité de mouvement relativiste se définit de la manière suivante
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p  mv 
m0
1  v2 / c 2
Page 18
v
La loi de conservation de la quantité de mouvement est donc valable en relativité. La
seconde loi dans sa forme générale reste valide en relativité :
F
dp d
dm
dv
 mv   v
m
 ma
dt dt
dt
dt
Mais F  ma n’est pas valide
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Page 19
Quàdrivecteurs
Définitions
Les coordonnées Xl, X2, X3, X4 d'un événement peuvent être considérées comme les
composantes d'un 4-vecteur R  ( X1 , X2 , X3 , X4 )
R  (r , ct )
appelé rayon-vecteur, dans l'espace-temps à quatre dimensions.
Produit scalaire et norme
Pour tout couple de 4-vecteurs (A, B) d'un espace vectoriel on associe un scalaire noté
A.B,
A.B
 A4 B4  A1 B1  A2 B2  A3 B3
qui vérifie les axiomes suivants :




commutativité : A.B = B.A ;
distributivité par rapport à l'addition vectorielle: (A + B).C =A.C + B.C
associativité avec la multiplication par un scalaire: ( A). B = (A.B)
si A.B = 0, quel que soit B, alors A = 0.
Lorsqu'on passe d'un référentiel d'inertie R à un autre R' se déplaçant parallèlement à
l'axe des x à la vitesse uniforme u, les composantes de du 4-vecteur R se transforment
selon
X 1'   ( X 1   X 4 )
X 2'  X 2
X 3'  X 3
X 4'   ( X 4   X 1 )
Mise sous forme matricielle, la transformation précédente
 X 1'   
 ' 
 X2    0
 X 3'   0
 ' 
 X 4   
0 0    X 1 
 X1 



X 
1 0 0   X2 
2
  
 X3 
0 1 0   X3 
 
 
0 0    X4 
 X4 
Le symbole  représente la transformation de Lorentz-Poincaré
4-vitesse d'une particule relativiste
Puisque le temps propre  de la particule en mouvement est indépendant du choix de
référentiel, ce temps propre permet donc de définir un 4-vecteur vitesse U à partir du 4vecteur position R:
R  (r , ct )  U 
dR
d
Ecrivons cette quantité en fonction de la vitesse spatiale ordinaire v de la particule dans
un référentiel R donné.
R  (r , ct )

dR
 ( v, c )
dt
Si le temps propre varie de d, le temps dans R varie de dt = d (dilation du temps).
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dt   d

dR
 ( v ,  c )  (u,  c )
d
U
Page 20

1
1  v2 c 2
la vitesse propre u  v forme les trois composantes du quadrivecteur vitesse U  (u, c ) ,
et dont les composantes sont données par les expressions:
U 1  ux   vx U 2  uy   vy 
  U  ( v ,  c )
U 3  uz   vz U 4  u4   c 
Quadrivecteur impulsion-énergie
En multipliant le 4-vecteur vitesse U par la masse propre (au repos) m0 de la particule,
qui est un 4-scalaire, et par « c » on définit un 4-vecteur impulsion-énergie P de la
particule
P  m0 cU  m0 c(u ,  c )  cm0 ( v ,  c )  (cmv , mc 2 )

2
m0
  P  (cp , mc )
p  m0 u  mv
m

1  v2 c 2

Pour une particule (ponctuelle) de masse m non nulle, la loi fondamentale de la
dynamique dans un référentiel galiléen reste valable
dp
dv
dm
 F m
v
dt
dt
dt
Le théorème de l’énergie cinétique pour un corps de masse m s’écrit :
dT  F .v.dt
Et compte tenu que F  m
Comme m 
Donc dT 
m0
1v c
2
2
dv
dm
alors dT  mvdv  v2 dm
v
dt
dt
alors dm 
m0 vdv
c 1  v c
2
2

2 3/2

mvdv
c  1  v2 c 2 
2
m0vdv
1  v
2
c2

3/2
Lorsque le point d'application de la force se déplace d'une position r1 (vitesse v1=0) à une
position r2 (vitesse v2 = v), par intégration on obtient
T
m0 c2
1  v
2
2
c2

1/2
 m0 c2
T est égal à l'énergie cinétique acquise par un objet de masse au repos m0 lorsqu'il est
mis en mouvement et atteint la vitesse v. Alors
T  m0 c2  m0 c 2
T  mc2  m0 c2  mc2  T  m0 c 2
Par définition l'énergie totale d'un objet matériel est
E  mc2
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Page 21
Elle est composée de l'énergie cinétique et de l'énergie équivalente à la masse au repos
E  T  m0 c2
Le proton, par exemple, a une masse, lorsqu'il est au repos, d'environ m = 1,67 x 10- 27 kg
ce qui correspond à une énergie m0c2 = 938 MeV.
L’expression du 4-vecteur impulsion-énergie P de la particule s’écrit donc comme
P  (cp, E)
et le produit scalaire
P.P  P
2
 c2 p2  E 2
D'autre part, en utilisant les expressions explicites de E et p:
E
p


1  v2 c 2 
 P
m0
v
2
2
1  v c 
m0 c 2
2
(c 2  v 2 )
E p c m c
 m02 c 4
2
2
1v c
2
2 2
2 2
0
Par conséquent
E 2  p2 c 2  m0 c 4
La relation d'Einstein E  mc2 établit une équivalence entre masse et énergie.
L'impulsion seule ou l'énergie seule ne sont plus invariantes lors d'un changement de
référentiel. Toutes deux changent d'un référentiel à un autre, mais, en revanche, la
norme du quadrivecteur impulsion-énergie reste invariante lorsqu'on passe d'un
référentiel à un autre : la norme du quadrivecteur impulsion-énergie est égale à la
constante E0=m0c2, énergie de la particule au repos.
On est donc conduit à admettre que de la masse peut se transformer en énergie et vice
versa. On vérifie tous les jours qu'il en est bien ainsi. Les réactions nucléaires,
celle des réacteurs à fission comme celles du soleil et des autres étoiles, les expériences
faites sur les particules élémentaires au moyen des grands accélérateurs, sont là
pour nous le prouver: le bilan des masses (au repos) entre partenaires et produits de la
réaction donne grâce à cette relation la valeur de l'énergie libérée ou absorbée.
Ainsi, par commodité, les masses au repos des particules atomiques et subatomiques
sont écrites en unités d'énergie et non en unité de masse. On donne ci-dessous les plus
courants.
Particule
Symbole
Masse (MeV)
Electron
e±
0.511
Muon
µ
105.7
Pion chargé
±
139.6
Pion neutre

135
Proton
p
938.3
Neutron
n
939.6898
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Page 22
Impulsion et masse des photons
De ce qui précède, nous avons
p   m0 v 
2
  Ev  c p
E   m0 c 2 
Or, les photons sont des particules associées aux ondes lumineuses, et dont la vitesse
v est égale à c.
Ev  c 2 p  E  pc
Or
E 2  p2 c 2  m0 c 4  m0  0
le photon est une particule de masse nulle.
C'est Einstein qui, en 1917, proposa d'attribuer au photon une impulsion p=E/c ,
complétant ainsi le caractère corpusculaire du photon.
Quadrivecteur d'onde
En utilisant la relation de Planck E  h   avec  la fréquence de l'onde lumineuse,
de pulsation   2 .
p
E
h

n
n
n p k
c
c
c
L’expression du 4-vecteur impulsion-énergie P de la particule qui s’écrit comme
P  (cp , E)  P  (c k ,  )  c ( k ,
K  (k ,

c
)
est appelé quadrivecteur d'onde.

 
)

c 
  P  cK



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Page 23
References
1. Jean Hladik, Michel Chrysos : Introduction à la relativité restreinte Cours et
exercices corrigés-Dunod (2001)
2. Kenneth S. Krane: Modern Physics 3rd Edition
3. Bernard Schutz : A First Course in General Relativity-Cambridge University
Press (2009)
4. www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/jmr/relativite.pdf
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Exercices
Exercice 1 (Relativité Galiléenne)
Un tapis roulant de 95 m de longueur transporte des passagers à une vitesse de 0,53 m/s. Un
passager qui a une marche normale possède une vitesse de 1,24 m / s.
1. Si le passager se tient sur le tapis roulant sans marcher, combien de temps faut-il pour
parcourir le tapis?
2. Si le passager marche normalement sur le tapis, combien de temps faut-il pour
parcourir toute sa longueur?
3. Quand il atteint l'extrémité du tapis, il réalise soudain qu'il a laissé un paquet à l'extrémité
opposée. Pour récupérer le paquet, il marche rapidement dans le sens opposé le long du
tapis avec une vitesse double de sa vitesse de marche normale. Combien de temps faut-il
pour atteindre le paquet?
Exercice 2 (Relativité Galiléenne)
Dans l’eau calme, une personne nage à une vitesse c. Cette personne nage dans un fleuve où le
courant possède une vitesse u (inférieur à c).
1. Supposons que le nageur nage sur une distance L de A ver B retourne au point de départ A.
Trouver le temps t1 nécessaire pour faire l’aller-retour (figure 1),
2. Supposons que la distance entre les berges du fleuve est L. le nageur, quitte le point A et
nage perpendiculairement à l'écoulement du ruisseau. Quand il atteint la berge B, il
retourne. Trouver le temps t2 nécessaire pour faire l’aller-retour (figure2).
3. Comparer les deux temps de nage dans le ruisseau.
4. Quelle expérience a-t-on évoqué. Quel rôle joue le fleuve.
Exercice 3 (Transformations de Lorentz)
Soient deux référentiels inertiel O et O’. Le référentiel O’ se déplace avec une vitesse uniforme u,
selon l’axe des x, par rapport à O. Soit une particule qui se déplace à la vitesse v ' par rapport à O’ et à
la vitesse v par rapport à O.
1) A l’aide des transformations de Lorentz, donner les composantes de v ' en fonction de celles
de v et de u  u / c .
2)
En partant du carré du module vecteur vitesse v ' , montrer que la relation entre les facteurs
 de Lorentz :
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Page 25
 v '   u   v  1  u v cos 
où l’angle  est tel que vx  v cos  ; On utilisera pour cette démonstration l’identité
1

2
u
  u2  1 .
3) En déduire la relation inverse :  v  f ( u ,  v ' , ')
4) Montrer que l’angle d’émission tg 
sin  '
 u cos  ' u /  v '
1
5) Un pion  de haute énergie se déplace le long de l’axe des x avec une vitesse u=0.8c dans le
référentiel du laboratoire. Le pion se désintègre en émettant un muon de vitesse v’ dans le
référentiel du pion. Quelle est la vitesse (module et direction) du muon dans le laboratoire si
le muon est émis le long de l’axe
a) des x’ (parallèle a x) avec une vitesse vx' '  0.268 c .
b) des y’ (parallèle à y) avec une vitesse v 'y'  0.268 c .
Exercice 4 (Dilatation des durées et contraction des longueurs)
1. Considérons deux observateurs O et O’. O’ se déplace avec une vitesse uniforme u par
rapport à O.
a) Soit une horloge H au repos dans O’. À quelle vitesse se déplace O’ par rapport à O, si
l’intervalle de temps, mesuré dans O’, est la moitié de l’intervalle de temps mesuré par
O?
b) Soit un objet K de longueur L’ au repos dans O’. À quelle vitesse se déplace O’ par
rapport à O, si la longueur observée de O est L’ /2.
2. La durée de vie moyenne des muons au repos est environ 2.2 × 10-6 s, tandis que leur durée
de vie dans un éclat de rayons cosmiques vaut 1.5 × 10- 5 s. Quelle est la vitesse de ces muons
cosmiques?
3. Un faisceau de muons se déplace avec une vitesse de v = 0,6 c. Leur durée de vie moyenne
observée dans le laboratoire vaut 2.9 ×10-6 s. Quelle est durée de vie moyenne des muons en
se désintégrant au repos?
4. La durée de vie propre d'une certaine particule est 100 ns.
a) Si elle se déplace à v = 0.960c, quelle est sa durée de vie dans le laboratoire?
b) Quelle distance va-t-elle parcourir dans le laboratoire pendant ce temps?
c) Quelle est la distance parcourue dans le laboratoire selon un observateur se déplaçant
avec la particule?
5. Des particules de haute énergie sont observées dans les laboratoires à l'aide de certains
détecteurs à partir de traces laissées sur des plaques photographiques; la longueur de la
trace dépend de la vitesse de la particule et de sa durée de vie. Une particule se déplaçant à
la vitesse de 0.995c, laisse une trace de 1.25 mm de long. Quelle est la durée de vie propre
de la particule?
6. Des pions + de haute énergie sont produits lors de la collision entre des protons et des
neutrons. Ils se désintègrent dans leur référentiel propre en accord avec la loi
N (t )  N (t0 )  exp(t /  0 ) dans laquelle 0 est la durée de vie moyenne valant 2,6.10-8 s
pour les pions.
a) Si l’on considère que les pions ont une vitesse v ≈ c (très proche de celle de la lumière),
en combien de temps franchissent-ils les 20 mètres?
b) Dans le cadre de la mécanique galiléenne quelle fraction de pions restera-t-elle après
avoir franchi la distance d=20 m?
c) En réalité on constate qu’il en reste les deux tiers à une distance d de 20 m de la source.
Déduire du calcul précédant le facteur de Lorentz .
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Page 26
d) Quelle est la vitesse des pions ?
Exercice 5 (Cinématique relativiste)
1. Quelle est la masse au repos d’un électron (me = 9.1 × 10− 31 kg)?
2. La durée de vie moyenne des muons au repos est de 2,2 × 10 -6 s. La durée de vie moyenne
observée au laboratoire est de 6,6 × 10-6 s. Calculer
a) La masse effective du muon à cette vitesse si sa masse au repos est de 207me.
b) Son énergie cinétique
c) Sa quantité de mouvement
3. Quelle est la vitesse d'un proton dont l'énergie cinétique est égale à son énergie au repos?
Est-ce que le résultat dépend de la masse de protons?
4. Un pion positif (mπ=273me) se désintègre en un muon (mμ=207me) et un neutrino (mν=0) au
repos. Calculer l'énergie transportée par le muon et le neutrino.
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Histoire de la relativité restreinte