Le pont des deux rives Fiche élève Terminale S Auteur : IREM de Lorraine Après s’être longuement attardé à la brasserie « les deux rives », M. Heine Ken décide de rentrer chez lui. Pour cela il doit emprunter un pont sans garde-corps de 15 pas de long et 4 pas de large. La démarche de Ken est très particulière : – Soit il avance d’un pas en avant ; – soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas en avant) ; – soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas en avant). On suppose de plus que ces trois déplacements possibles sont aléatoires et équiprobables. On suppose également que Ken se trouve au milieu du pont au début de la traversée. L’objectif de cette activité est de déterminer une estimation de la probabilité de l’événement « Ken réussit à traverser le pont » (c’est à dire de l’événement « Ken se trouve encore sur le pont après 15 déplacements »). 1. Avec un dé (a) Simulez 4 tentatives de traversée de Ken sur ce pont en vous servant d’un dé. Expliquez par écrit la méthode utilisée et marquez les positions successives de Ken sur les représentations de ce pont données en annexe. Combien de fois Ken a-t-il traversé la rivière sans encombre ? (b) Après regroupement des résultats des simulations de tentatives de traversée faites par les élèves de la classe, calculez la fréquence de traversées réussies. 2. Algorithme et simulation informatique On munit la figure représentant le pont d’un repère orthonormé (O; I,J) comme l’indique la figure ci-contre et on considère l’algorithme dont on donne le début ci-après, qui simule une tentative de traversée du pont : Entrées : / Sortie : Le texte « Traversée réussie » est renvoyé si la traversée est réussie, dans le cas contraire « Plouf » est renvoyé Traitement : x←0 y←0 tant que x ≥ −2 et x ≤ 2 et y ≤ 15 faire x ← la somme de la valeur de x et d’un entier choisi au hasard parmi −1, 0, 1 y ← y+1 ........................ . ........................ 1 (a) Exécutez cet algorithme incomplet et écrivez les différentes valeurs prises par x et y. Complétez cet algorithme pour que son exécution renvoie le résultat escompté. (b) Traduisez cet algorithme en langage Python afin qu’il soit exécuté par un ordinateur. (c) Complétez et/ou modifiez l’algorithme précédent afin que son exécution simule 10000 tentatives de traversée et renvoie la fréquence de traversées réussies. (d) En prenant la fréquence f de traversées réussies après 10000 simulations comme valeur approchée de la probabilité cherchée, quelle précision peut-on espérer ? 3. Par le calcul On travaille dans cette partie avec le repère de la question 2. Pour n entier naturel compris entre 0 et 15, on note : An l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse −2 » Bn l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse −1 » Cn l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse 0 » Dn l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse 1 » En l’événement « Après n déplacements, Ken se trouve sur un point d’abscisse 2 » On note an , bn , cn , dn et en les probabilités respectives de An , Bn , Cn , Dn et En . (a) Déterminez a0 , b0 , c0 , d0 , e0 . (b) Montrez que pour tout entier n compris entre 0 et 15 : an + bn an+1 = 3 a + bn + cn n b n+1 = 3 bn + cn + dn cn+1 = 3 c + d n n + en dn+1 = 3 d + e n n en+1 = 3 (c) A l’aide de l’outil informatique, déterminez des valeurs approchées de a15 , b15 , c15 , d15 et e15 . (d) Déduisez-en une valeur approchée de la probabilité que Ken réussisse à traverser le pont. Annexe 2