7. Résolution d`équations différentielles du

 SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE
RESOLUTION D’EQUATIONS DIFFERENTIELLES
DU DEUXIEME ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS
APPLICATION EN SCIENCES PHYSIQUES
VERSION 1.0.8
I- Equations différentielles du second ordre à coefficients constants
On s’intéresse aux équations différentielles du 2ème ordre du type :
 1  d 2 g ( t )  2m  dg ( t )

⋅
 ⋅
+ 
+ g( t ) = g ∞
 ω 2  dt 2
ω
dt
 0
 0 
On suppose le système initialement au repos :
g ( t = 0) = 0

 dg ( t = 0)
=0
 dt
g(t) est une fonction d’une variable t
En pratique, g représente une grandeur physique (tension électrique, vitesse,
température …).
t désigne le temps (en seconde).
dg(t)
ou g' (t) ou g& est la dérivée de la fonction g par rapport à la variable t
dt
d 2 g(t)
ou g' ' (t) ou &g& est la dérivée deuxième de la fonction g par rapport à la variable t
dt 2
m est le coefficient d’amortissement du système (sans unité) ; m > 0 pour un système
stable
ω0 est la pulsation propre du système (en radians par seconde)
ω
f 0 = 0 est la fréquence propre du système (en hertz)
2π
g∞ est une constante : elle correspond à la valeur finale g(t → ∞)
Ce type d’équation est très courant en sciences physiques : il caractérise les « systèmes du 2ème
ordre ».
Fabrice Sincère
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I-1- Résolution
Equation caractéristique :
 1 



r ² +  2m r + 1 = 0
2


ω 
 ω0 
 0 
Discriminant :
 2m 
4
4(m 2 − 1)
 − 2 =
∆ = 
ω0 2
 ω0  ω 0
2
I-1-1- Premier cas : ∆ > 0
m > 1 ou bien m < -1
Racines de l’équation caractéristique :

2m
2m 2 m 2 − 1

−
+ ∆ −
+
ω0
ω0
r = ω 0
=
= ω0 − m + m 2 − 1
1
2
2

2
2

ω0
ω0

r2 = ω0 − m − m 2 − 1
(
(
)
)
Solution générale de l’équation différentielle : g(t) = A ⋅ e r1⋅t + B ⋅ e r2 ⋅t + g ∞
m > 1 ⇒ r1 < 0 et r2 < 0 ⇒ système stable (régime apériodique)
m < -1 ⇒ r1 > 0 et r2 > 0 ⇒ système instable
A et B sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales :
r

A = −g ∞ 2
g ( t = 0) = 0

r2 − r1
A + B + g ∞ = 0


⇒
⇒
 dg ( t = 0)
r
= 0 A ⋅ r1 + B ⋅ r2 = 0 
 dt
B = g∞ 1

r2 − r1
En définitive :
g(t) = −g ∞
r2
r
⋅ e r1⋅t + g ∞ 1 ⋅ e r2 ⋅t + g ∞
r2 − r1
r2 − r1
 r ⋅ e r1⋅t − r1 ⋅ e r2 ⋅t
g ( t ) = g ∞ 1 − 2
r2 − r1





 (− m − m 2 − 1) ⋅ e ω0 ( − m +
g ( t ) = g ∞ 1 +


m 2 −1 )⋅t
− (− m + m 2 − 1) ⋅ e ω0 ( − m−
2 m2 −1
m 2 −1 )⋅t




(valable pour m > 1 ou bien m < -1)
Fabrice Sincère
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Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre
Régime apériodique (m > 1)
1,2
1
m= 2
m = 1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
temps (s)
(ω0 = 2π × 1000 rad/s)
N.B. On parle de « réponse indicielle » ou « réponse unitaire » quand la valeur finale est 1.
Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre
Régime instable (m < -1)
1000
900
800
m = -1,1
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
temps (s)
(ω0 = 2π × 1000 rad/s)
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I-1-2- Deuxième cas : ∆ < 0
-1 < m < 1
L’équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées : r1, 2 = α ± βj
2m


ω
α = − 0 = −m ⋅ ω0
2

2

ω0

avec : 
2 1− m2


ω0
= 1 − m 2 ⋅ ω0
β =
2

2

ω0

Solution générale de l’équation différentielle : g(t) = e α⋅t ⋅ [A ⋅ cos(β ⋅ t ) + B ⋅ sin(β ⋅ t )] + g ∞
0 < m < 1 ⇒ α < 0 ⇒ système stable
(régime pseudo-périodique de pulsation : 1 − m 2 ⋅ ω0 )
m = 0 ⇒ α = 0 ⇒ système oscillant (pulsation ω0)
-1 < m < 0 ⇒ α > 0 ⇒ système instable
A et B sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales :
A = − g ∞
g ( t = 0) = 0
A + g ∞ = 0


⇒
⇒
α
 dg ( t = 0)
= 0 αA + β B = 0 B = g ∞
 dt
β

En définitive :
g(t) = e α⋅t ⋅ [A ⋅ cos(β ⋅ t ) + B ⋅ sin(β ⋅ t )] + g ∞



α
= g ∞ 1 − e α⋅t  cos(β ⋅ t ) − sin(β ⋅ t )  
β



(
)
(


m
g(t) = g ∞ 1 − e −m⋅ω0 ⋅t  cos 1 − m 2 ⋅ ω0 ⋅ t +
sin 1 − m 2 ⋅ ω0 ⋅ t


2
1− m


) 

(valable pour -1 < m < 1)
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Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre
Régime pseudo périodique ( 0 < m < 1 )
2
1,8
m = 0,1
m = 0,4
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
temps (s)
(ω0 = 2π × 1000 rad/s)
m = 0 : système oscillant de pulsation ω0
g(t) = g ∞ (1 − cos(ω0 ⋅ t ) )
Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre
Régime oscillant ( m = 0 )
2,5
m= 0
2
1,5
1
0,5
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
-0,5
temps (s)
(ω0 = 2π × 1000 rad/s)
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Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre
Régime instable ( -1 < m < 0 )
5
m = -0,05
4
3
2
1
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
-1
-2
-3
temps (s)
(ω0 = 2π × 1000 rad/s)
I-1-3- Troisième cas : ∆ = 0
m = 1 ou m = -1
L’équation caractéristique a une racine double réelle r :
−
r=
2m
ω0
= − m ⋅ ω0
2
ω0 2
La solution générale est :
g(t) = (A ⋅ t + B) ⋅ e
r ⋅t
+ g∞
m = 1 ⇒ r < 0 ⇒ système stable (régime « critique »)
m = -1 ⇒ r > 0 ⇒ système instable
A et B sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales :
g ( t = 0) = 0
B = − g ∞
B + g ∞ = 0

⇒
⇒
 dg ( t = 0)
= 0 A + B ⋅ r = 0 A = g ∞ ⋅ r
 dt
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En définitive :
g(t) = ( A ⋅ t + B) ⋅ e
(
r ⋅t
= g ∞ 1 − (1 − r ⋅ t ) ⋅ e
r ⋅t
+ g∞
)
(
0
g(t) = g ∞ 1 − (1 + m ⋅ ω0 ⋅ t ) ⋅ e
(valable pour m = 1 ou -1)
− m ⋅ω ⋅ t
)
(
m = 1 (régime critique) : g(t) = g ∞ 1 − (1 + ω0 ⋅ t ) ⋅ e
− ω0 ⋅t
)
Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre
Régime critique (m = 1)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
temps (s)
(ω0 = 2π × 1000 rad/s)
Fabrice Sincère
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Le régime critique fait la transition entre le régime pseudo-périodique et le régime
apériodique :
Réponse indicielle d'un système du 2ème ordre
1,8
1,6
m = 0,2
m = 1,5
m= 1
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,001
0,002
0,003
0,004
temps (s)
(ω0 = 2π × 1000 rad/s)
I-2- En résumé
Coefficient d’amortissement
m
0<m<1
Pseudo-périodique
m=1
m>1
m=0
m<0
(pulsation : 1 − m 2 ⋅ ω0 )
Critique
Apériodique
Régime oscillant (pulsation ω0)
Instable
Fabrice Sincère
Régime
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II - Exemple d’application : circuit électrique RLC
u(t) est la tension électrique aux bornes d’un condensateur C = 100 nF alimenté à travers une
résistance R = 100 Ω et une bobine d’inductance L = 100 mH par une source de tension
constante E = 10 V :
R
L
E
C
u(t)
Les lois de l’Electricité donnent :
d 2 u(t)
du(t)
LC
+ RC
+ u(t) = E
2
dt
dt
On suppose le condensateur initialement déchargé et le courant nul :
 u ( t = 0) = 0

 du ( t = 0)
=0
 dt
Cherchons la loi d’évolution de la tension électrique u(t) :
L’équation est du type :
 1  d 2 g ( t )  2m  dg ( t )

⋅
 ⋅
+ 
+ g( t ) = g ∞
 ω 2  dt 2
 ω0  dt
 0 
Les coefficients de l’équation différentielle donnent directement :
La pulsation propre du circuit :
Le coefficient d’amortissement :
La valeur finale de la tension :
ω0 =
1
LC
= 10 000 rad / s
R C
= 0,05
2 L
u(t → ∞) = E = 10 volts
m=
0 < m < 1 donc nous sommes en régime pseudo-périodique.
La pseudo-période est :
T=
2π
1 − m ⋅ ω0
2
Fabrice Sincère
≈
2π
≈ 628 µs
ω0
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Graphiquement :
u(t)
20
m = 0,05
18
16
14
tension (V)
12
10
8
6
4
2
0
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
0,005
0,0055
0,006
temps (s)
(C) Fabrice Sincère
Fabrice Sincère
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