2 ( m – 1 )

DM
( inspiré de l'exo 50 p 31 )
Soit l'équation définie sur R par
m x² - 2 ( m – 1 ) x + 3m + 2 = 0 ( m est un réel ).
1°) Déterminez en fonction de m le nombre de solutions de
l'équation.
L’équation m x² - 2 ( m – 1 ) x + 3m + 2 = 0 est :
du 2nd degré si m ≠ 0 ( méthode du discriminant )
du 1er degré si m = 0 ( outils algébriques de collège )
1er cas : m = 0
L’équation devient 0 x² - 2 ( 0 – 1 ) x + 3(0) + 2 = 0
2x + 2 = 0
Réponse : - 1 est solution unique de l’équation du 1er degré pour m = 0
2ème cas : m ≠ 0
Le polynôme est du 2nd degré, donc on peut avoir :
∆ < 0 ( aucune racine )
Δ = 0 ( une seule racine – b/(2a) )
ou Δ > 0 ( deux racines [- b ± √Δ] (2a) ).
x=-1
Δ = b² - 4 a c = ( - 2(m – 1) )² - 4 ( m ) ( 3m + 2 ) = 4 ( m – 1 )² - 12m² - 8m
= 4 ( m² – 2m + 1 ) - 12m² - 8m = 4m² – 8m + 4 - 12m² - 8m = – 8m² - 16m + 4
Δ est un polynôme du second degré, donc je peux étudier ses racines avec la méthode du
discriminant, donc avec un Δ ( que je vais nommer Δ’ pour ne pas le confondre avec le
premier ).
Δ’ = b² - 4 a c = ( - 16 )² - 4 ( - 8 ) ( 4 ) = 256 + 128 = 384 = (8√6)²
Δ’ > 0 donc deux racines
- b + √Δ
m1 =
- (- 16) + 8√6
=
2(- 8)
- b - √Δ
- (- 16) - 8√6
=
2a
≈ - 2,22…
=
2a
m2 =
- 2 - √6
2
- 2 + √6
≈ 0,22…
=
2(- 8)
2
Le polynôme est du signe de a = - 8 < 0 à l’extérieur des racines,
et du signe de - a = - (- 8) > 0 à l’intérieur des racines.
Réponse :
Si m est dans ] - ∞ ; m1 [ union ] m2 ; + ∞ [ il n’y a aucune solution.
Si m est dans { m1 ; m2 ; 0 } il y aura une unique solution.
Si m est dans ] m1 ; 0 [ union ] 0 ; m2 [ il y aura deux solutions.
On peut aussi répondre sous forme de tableau :
m
nb de
solutions x
-∞
0
m1
1
2
0
1
2
m2
1
+∞
0
2°) Déduisez-en les solutions uniques de l'équation.
D'après la question précédente :
Si m est dans { m1 ; m2 ; 0 } il y aura une unique solution,
et pour m = 0 la solution unique est - 1.
Je nomme ( et jeune fille ) respectivement x1 ; x2 ; - 1 ces uniques solutions.
Si m est dans { m1 ; m2 } les uniques solutions respectives sont :
-b
- [ - 2 ( m1 - 1)]
x1 =
=
2 m1 - 2
=
2a
2 m1
- 2 - √6
=
=12 m1
-
=1- 2 - √6
- 4 - √6
=
- 2 - √6
2
2 m1
- 2 - √6 - 2
2
- 2 - √6
2
≈ 1,449...
=
- 2 - √6
- 2 - √6
que l’on peut éventuellement simplifier en :
- 4 - √6
4 + √6
(4 + √6) (2 - √6)
=
=
- 2 - √6
2 + √6
-b
=
(2 + √6) (2 - √6)
- [ - 2 ( m2 - 1)]
x2 =
=
2 m2
- 2 + √6
=
- 2 + √6
- 2 + √6
4-6
2
2
=1- 2 + √6
2 m2
- 2 + √6 - 2
2
= - 1 + √6
2² - (√6)²
=12 m2
2 - 2√6
=
2 m2 - 2
=
2a
=
8 + 2√6 - 4√6 – 6
- 4 + √6
=
- 2 + √6
≈ - 3,449...
- 2 + √6
que l’on peut éventuellement simplifier en :
- 4 + √6
4 - √6
=
- 2 + √6
(4 - √6) (2 + √6)
=
2 - √6
8 - 2√6 + 4√6 - 6
=
(2 - √6) (2 + √6)
2 + 2√6
= - 1 - √6
=
2² - (√6)²
4-6
3°) Soit la fonction f définie par f(w) = l'autre solution
correspondant à la solution w de l'équation lorsqu'il y a deux
solutions différentes.
Déterminez et tracez sa courbe représentative ( on pourra s'aider
de la calculatrice graphique ).
Je connais w une des deux solutions de l'équation,
et je sais que pour qu'il y en ait deux, m est dans ] m1 ; 0 [ union ] 0 ; m2 [
avec m1 ≈ - 2,22... et m2 ≈ 0,22...
Donc w est solution de l'équation,
m w² - 2 ( m - 1 ) w + 3m + 2 = 0 (1)
m w² - 2m w + 2w + 3m + 2 = 0
m ( w² - 2w + 3 ) = - 2w - 2
Etudions w² - 2w + 3 pour savoir si on peut diviser :
∆ = (- 2)² - 4(1) (3) = 4 - 12 = - 8 < 0 donc il ne s'annule jamais.
- 2w - 2
(1) devient m =
w² - 2w + 3
f(w) et w sont les deux solutions de l'équation, et on a démontré dans le cours que leur
somme est - b/a, et leur produit c/a.
-b
-b
Utilisons par exemple la somme : w + f(w) =
f(w) =
-w
a
a
-[-2(m-1)]
f(w) =
2m - 2
-w=
m
2
-w=2-
m
2 (w² - 2w + 3)
-w=2-
m
-w
- 2w - 2
w² - 2w + 3
que l'on peut éventuellement simplifier en f(w) = 2 +
-w
w+1
Toute la démonstration est valable car les seules impossibilités sont exclues :
on a pu diviser par a car il ne peut être nul ( l'équation ne serait pas un polynôme degré 2
donc ne peut avoir deux solutions ),
on a pu diviser par m ( a = m donc mêmes raisons ),
on a pu diviser par w + 1 ( qui s'annule en - 1 qui ne peut être que l'unique solution du
polynôme degré 1 ).
Vérification : dans l'exo 50 p 31 on avait trouvé à la question 2° que m = - 2 pour que 1
soit solution, et l'autre solution était 2 :
donc w = 1 doit donner f(w) = 2
1² - 2(1) + 3
f(1) = 2 +
2
-1=2+
1+1
-1=2+1-1=2
OK
2
On obtient à l'écran :
-1
Cette année, on pourra démontrer qu'elle est décroissante sur deux intervalles
] - ∞ ; - 1 [ et ] - 1 ; + ∞ [, et l'année prochaine vous démontrerez que la courbe se
rapproche d'autres courbes ( on parlera d'asymptotes en - ∞ et en + ∞ d'équation y = 1, et d'asymptotes en - 1- et en - 1+ d'équation x = - 1 ).
-1
-1