Chapitre 5 : Trigonométrie. I- ̂ mes𝐼𝑂𝑀 Longueur de l’arc IM 0° 30° 45° 60° 90° Cercle trigonométrique. A) Placer E tel que l’arc AE = Longueur d’un arc Placer F tel que AF = B) ̂ mes 𝐼𝑂𝑀 Longueur de l’arc IM 360° 90° 180° Β° ; 3 6 Cercle trigonométrique. Si on enroule la droite (I ; j ) sur le cercle, le point d’abscisse x vient s’appliquer sur un unique point M(x) du cercle. l A chaque réel x correspond un unique point du cercle. ̂ = 270° Placer B tel que mes 𝐼𝑂𝐵 Placer D tel que l’arc I D = 5 4 Placer C tel que l’arc I C = 4 x M(x) 2 3 2 4 2 4 3 4 C ) Mesure d’angle en radian. x 0 2π 3π 5π 7π π + 52×(2 π) M(x) x + 27×2 π 4 - 2 -π - 3 4 7 4 15 2 M(x) Définition : Le cercle C ainsi gradué est un cercle trigonométrique. est l’abscisse curviligne de J. … 2 Remarque : Si x est une abscisse curviligne de M alors tout réel de la forme x + … avec k ∈ ℤ est une abscisse curviligne de M. Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique et x son abscisse curviligne. ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Mesure en radian de l’angle orienté (𝑂𝐼 𝑂𝑀) : mes(𝑂𝐼 𝑂𝑀) = x Propriété : Les mesures en degrés et en radians, d’un angle géométrique, sont proportionnelles. II - Angle orienté de deux vecteurs non nuls A ) Définition. Soit C un cercle trigonométrique d’origine I. Définition : Soit les points M et N d’abscisses curvilignes xm et xn. (OM ; ON ) est un angle orienté de vecteurs. Définition : Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs non nuls. L’angle orienté des vecteurs 𝑢 ⃗ et 𝑣 est celui des vecteurs unitaires ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑂𝑀 𝑂𝑁) où M et N sont des points du cercle trigonométrique tel que 1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = ‖𝑢⃗‖ ∗ 𝑢 ⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑁 = ‖𝑣⃗‖ ∗ 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) i.e. (𝑢 ⃗ ;𝑣) =(𝑂𝑀 mes (OM ; ON ) = xn – xm. Exercice : Donner les mesures d’angles en radians. Remarque : si α est une mesure de ( u ; v ), alors mes (OI ; OE ) = mes (OE ; OJ ) = mes (OH ; OJ ) = α + k2π (k ∈ ℤ) est aussi une mesure de ( u ; v ) On écrira ( u ; v ) = α + k2π (k ∈ ℤ) ou bien ( u ; v ) = α (2π) "modulo" Définition : On appelle mesure principale d’un angle orienté de vecteurs non nuls, la mesure en radians de cet angle qui appartient à ] – π ; π ] mes (OJ ; OE ) = Exemple : ( u ; v ) = 7𝜋 2 La mesure principale de ( u ; v ) est Car ( u ; v ) = ………..= Remarque : (OM ; ON ) désignera soit l’angle soit sa mesure. B) Propriétés des angles orientés. Exemple 2 : ABC est une triangle équilatéral. Angle nul : (𝑢 ⃗ ;𝑢 ⃗ ) = 0 (2π) Compléter par les mesures : Angle plat : (𝑢 ⃗ ;−𝑢 ⃗ ) = (−𝑢 ⃗ ;𝑢 ⃗)=π (2π) ⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐴 Propriétés : k est un réel positif; 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ sont trois vecteurs non nuls. (𝑢 ⃗ ;𝑤 ⃗⃗ ) = (𝑢 ⃗ ;𝑣) + (𝑢 ⃗ ;𝑤 ⃗⃗ ) (𝑢 ⃗ ; k 𝑣) = (𝑢 ⃗ ;⃗⃗⃗𝑣) = (k𝑢 ⃗ ;⃗⃗𝑣) Conséquences : (𝑣 ;𝑢 ⃗ ) = - (𝑢 ⃗ ; 𝑣) (2π) (relation de Chasles) (2π) (2π) (-𝑢 ⃗ ; 𝑣) = (𝑢 ⃗ ; -𝑣 ) = (𝑢 ⃗ ; 𝑣) + π (2π) Démonstration : (à compléter) (𝑣 ;𝑢 ⃗ ) + (𝑢 ⃗ ; 𝑣) = …… = ….. ( 2π) d’où (-𝑢 ⃗ ; 𝑣) = (−𝑢 ⃗ ;𝑢 ⃗ ) + (𝑢 ⃗ ; 𝑣) = ….. + ……. Exemple 1 : ABCD est une rectangle ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐷𝐴 Déterminer (𝐷𝐵 (2π) ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) + π = − 𝜋 + π = 2𝜋 (𝐴𝐵 3 3 III - FONCTIONS CIRCULAIRES (sinus et cosinus) C) A ) Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en radian de l’angle orienté ( OI, OM ). Alors : cos(x) est l’abscisse de M dans le repère (O, OI, OJ ) Propriétés a) pour tout x réel , ≤ cos(x) ≤ ; ≤ sin(x) ≤ b) pour tout x réel [cos(x)] 2 + [sin(x)] 2 = que l’on écrit : cos² x + sin² x = sin(x) est l’ordonnée de M dans le repère (O, OI, OJ ) Application au tableau de valeurs suivant : x M(x) 0 4 6 sin x cos x ) = sin ( ) 4 4 En utilisant la propriété b), trouver la valeur de a. * Posons a le réel tel que a = cos ( Remarque : tan x = sin x pour x ≠ +kπ cos x 2 * M1 est le point d’abscisse curviligne B) Tableau de valeurs Que dire du triangle OIM1 ? H est le projeté orthogonal de M1 sur (OI). Que dire de H ? En déduire cos( ). Compléter : x M(x) cos(x) sin(x) 0 π -2 π 2 2 3 2 . 3 2527 π 3 En utilisant la propriété b), trouver sin( ). 3 3 2 D) Etude des fonctions cosinus, sinus et tangente. (hors programme) 1) Périodicité : Soit x un réel quelconque. Sur le cercle trigonométrique, M(x) est le point d’abscisse curviligne x. Placer le point M(x + 2π) d’abscisse curviligne x + 2π. On a : cos (x + 2π) = On peut donc étudier les fonctions sinus et cosinus sur l’intervalle ]- π ; π] 2) Parité Placer le point M(-x) d’abscisse curviligne –x A l’aide du dessin, compléter : Pour tout x réel, cos(-x) = sin(-x) = Pour tout x réel, La fonction cos est une fonction est une fonction La fonction sin On peut donc se contenter d’étudier ces fonctions sur l’intervalle ……. On admettra que : La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction sinus Tableau de dérivée : Fonction f sin ; sin (x +2π) = Remarque :Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodique sur ℝ. Pour tout x réel, cos (x + 2π) = ; sin (x +2π) = 3) Variations. La fonction sinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction cosinus cos tan x ↦ sin(ax + b) x ↦cos(ax + b) Fonction dérivée f’ Définie sur ℝ