Cours d`Electrocinétique

L'ENSIde
Bourges
L'école de la maîtrise des risques
1 ER C YCLE I NGÉNIEUR
DE L’ENSI DE
B OURGES
UE S CIENCE A PPLIQUÉES
S UPPORT
DE
C OURS
D ’É LECTRO C INÉTIQUE
David FOLIO
<[email protected]>
http://perso.ensi-bourges.fr/dfolio/Teaching.php
L’objet de se support de cours n’est pas de fournir le cours complet d’électrocinétique. Il s’agit plutôt
d’un guide pour vous aider à suivre et comprendre le cours. Il vous appartient de le compléter et de
l’enrichir des différents éléments abordé en cours et en TD.
Année Universitaire : 2013–2014
ii
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
Table des matières
I
Les
I.1
I.2
I.3
II Les
II.1
II.2
II.3
II.4
bases de l’électrocinétique
Les grandeurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dipôles
Notions de dipôle et défintions .
Dipôles linéaires passifs . . . .
Dipôles linéaires actifs . . . . .
Les associations de dipôles . . .
1
1
5
6
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7
7
11
14
15
III Les Circuits linéaires
III.1 Les lois et théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Régimes transitoire des circuits linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
23
A Références Bibliographiques
29
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TABLE DES MATIÈRES
iv
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
Chapitre I
L ES BASES
DE L’É LECTRO C INÉTIQUE
Introduction
L’électrocinétique (Eng.: electrokinetics) est le domaine de la physique (notamment l’électromagnétisme) où les manifestations des mouvements de porteurs de charges mobiles (p.c.m.)
sont étudiées en terme de courants et de tensions. Il s’agit ainsi d’étudier la circulation
des courants électriques dans des circuits électriques assez simples composés de sources,
résistance, bobine, condensateur, etc. À ne pas confondre avec :
• l’Électrostatique : étude des phénomènes liés aux charges électriques immobiles (dans
le référentiel d’étude).
• l’Électronique : étude de la production, transformation et détection d’information
contenue dans les signaux électriques.
,→ Points communs entre l’électronique et l’électrocinétique : mêmes grandeurs fondamentales (courant, tension) et mêmes lois fondamentales (loi de Kirchhoff)
I.1
Les grandeurs électriques
Les grandeurs physiques
Une grandeur physique est une quantité qui peut se calculer ou se mesurer. Elle peut être
décrite par un nombre réel, un nombre complexe, un vecteur, etc., parfois accompagné d’une
unité de mesure (mais pas toujours !). Certaines grandeurs physiques sont liées par une relation
mathématique, dite loi physique.
Une grandeur algébrique est une grandeur physique affectée d’un signe, ce qui permet d’en
orienter le sens sur un axe donné.
I.1.1
Le courant électrique
Définition 1 (Courant électrique). Un courant électrique est la grandeur algébrique
correspondant à la circulation de porteurs de charges mobiles (p.c.m.) électriques dans un
conducteur.
Milieu conducteur
Un milieu est dit conducteur s’il existe des p.c.m. (électrons, ions, etc.) susceptibles de se
déplacer dans tout le milieu. Dans le cas contraire, le milieu est dit isolant.
1
I.1 Les grandeurs électriques
2
Différents types de courant
• Courant particulaire : particules chargées se déplaçant dans le vide
(Ex.: faisceau d’électrons dans un tube cathodique).
• Courant de convection : mouvement des p.c.m. provoqué par le mouvement de leur
support matériel chargé .
• Courant de conduction ∗ : déplacement des p.c.m. dans un milieu fixe dans le référentiel
d’étude.
Différents types de porteurs de charges (p.c.m.)
• Dans les métaux : électrons libres q = −e
(charge élémentaire e = 1.6021710−19 C).
Chaque atome du métal libère un ou plusieurs électrons qui se propagent librement dans
le métal.
• Dans les semi-conducteurs : électrons libres (charge q = −e) et trous (charge q = +e).
• Dans les liquides : cations (ions +), anions (ions −).
• Dans les gaz : porté à très haute température, il peut y avoir ionisation d’une partie
d’un gaz dans certaines conditions comme une décharge électrique, on parle de plasma.
Définition 2 (Intensité électrique). On désigne l’intensité du
courant électrique i(t) à travers une section (S) de conducteur,
le débit de charges d q(t) qui traverse la section (S) de conducteur
pendant un intervalle de temps dt, soit :
i(t) =
d q(t)
dt
(I.1)
L’intensité i(t) est une grandeur algébrique, et s’exprime en ampère
(A=C/s) dans le S.I. Elle se mesure au moyen d’un ampèremètre (branché
en série).
Symbole:
A
Par convention, le sens positif du courant est celui des porteurs de charges positives : d q > 0.
Densité de courant électriques
Soit un matériau conducteur dans lequel tous les porteurs de charge (p.c.m.) sont de même
type : tous les p.c.m. portent la même charge q. Chaque p.c.m. a une vitesse assimilée à la
−
vitesse de groupe →
v (cf. électromagnétisme).
→
−
On appelle vecteur densité volumique de courant, noté j
exprimé en A/m2 , le vecteur :
i
→
−
−
j = ρ→
v
(I.2)
j
(S )
avec ρ est la densité volumique des porteurs :
dS
(I.3)
ρ = nq
dS'
u
cte
(S')
r
du
n
co
où n correspond à la densité de p.c.m. par unité de volume.
L’intensité qui traverse une surface S quelconque et orientée par un contour C est égale au
flux de la densité de courant à travers S :
x→
− →
−
i=
j dS
(I.4)
(S)
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
3
Chap. I Les bases de l’électrocinétique
Conservation de la charge
Définition 3 (Régime stationnaire). Un système est en régime stationnaire (relié au régime
continu) si les grandeurs physiques le caractérisant sont indépendantes du temps.
Soit une portion de conducteur (C) constituée des sections Sk . En
régime stationnaire, l’intensité du courant électrique a la même
valeur à travers toute section Sk du conducteur (C) :
∀Sk ∈ C, i(Sk , t) = I = Cste
Considérons, toujours en régime stationnaire, un conducteur (C)
comportant une bifurcation. La conservation de la charge contenue
dans le volume du conducteur se traduit par :
dq1 + dq2 = dq3 , soit : i1 + i2 = i3
La charge qui rentre entre t et t + dt est donc à la charge qui sort entre t et t + dt.
X
X
,→ Généralisation :
ie (t) =
is (t)
entrant
I.1.2
(I.5)
sortant
Potentiel et Tension électrique
Dans un conducteur, le mouvement des p.c.m. est du à la force éléctromagnétique :
→
−
→
−
F = q E (P )
→
−
avec E (P ) le champs électrique au point P du conducteur. Généralement, le champ électrique
→
−
→
−
E (P ) est imposé par un élément générateur. La connaissance de E (P ) permet de déterminer
le potentiel électrique V dont il découle :
Z
−
→
− →
V =−
E ·d l
(I.6)
S
Définition 4 (Potentiel électrique). Le potentiel électrique, exprimé en volts (V) dans
le S.I., est l’une des grandeurs définissant l’état électrique d’un point P de l’espace.
,→ Il est défini à partir de la distribution des charges électriques dans l’espace à l’aide de
l’application de la loi de Coulomb à une distribution volumique de charge et en utilisant
le principe de superposition.
Définition 5 (Tension électrique). La tension électrique (aussi confondue avec la différence
de potentiel), est la valeur algébrique correspondant à la circulation du champ électrique
→
−
E le long d’un circuit.
La tension électrique UAB entre les points A et B, est la
différence entre les potentiels VA au point A et VB au point B :
UAB = VA − VB
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
(I.7)
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I.1 Les grandeurs électriques
4
UAB est une grandeur algébrique, c’est-à-dire : UAB = −UBA . Elle
se mesure au moyen d’un voltmètre ou d’un oscilloscope (branché en
parallèle).
Symbole:
V
• La tension au bornes d’un court-circuit (ou fil) est nulle
• Conséquence, une source de tension branché entre 2 points au même potentiel ne
fonctionne pas.
On parle de la tension aux bornes d’un dipôle, et de l’intensité traversant ce dipôle.
Un peu de vocabulaires
Définition 6 (Circuit électrique). Un circuit ou réseau électrique est constitué par un
ensemble de composants (dipôles, diodes, transistors, AOP, CI, µP. . . ) reliés entre eux, et qui
agissent sur les courants et tensions électriques
• Nœud : point de jonction entre au moins
3 fils de connexion.
• Branche : ensemble de dipôles montés en
série entre 2 nœuds consécutifs.
,→ Un seul et même courant circule dans les
composants d’une branche.
• Maille : ensemble de branches formant
une boucle fermée (contour fermé) qui ne
passe qu’une fois par un nœud donné.
,→ Une maille indépendante comporte au
moins une branche non incluse dans les
autres.
• La masse (eg. notée M ) définie la référence des potentiels pour
un circuit, soit : VM = 0 V
Symbole:
,→ Pour un circuit, il sera sous entendu, que le potentiel VA d’un point A est référencé
à la masse du montage : VA = VA − VM = UAM .
• La terre est une connexion physique au sol.
Symbole:
Chaque appareil électrique, équipé d’une prise de terre, comporte une de ses bornes
reliée à la «Terre». Son potentiel est constant et sa valeur est généralement par
convention fixée à 0 V : la terre joue donc le rôle de masse. À l’inverse, les appareils
pour lesquels cette liaison n’existe pas sont dits à masse flottante.
,→ En pratique, fréquemment les générateurs alimentant les montages ont leur masse reliée
à la terre, d’où les confusions faites sur ces différents termes.
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
5
Chap. I Les bases de l’électrocinétique
I.2
Les lois de Kirchhoff
I.2.1
1ère loi de Kirchhoff : la loi des nœuds
Cette loi découle directement de la conservation de la charge électrique. En particulier, les
charges électriques ne peuvent pas s’accumuler à un endroit quelconque du circuit. Les charges
qui arrivent à un nœud compensent celles qui en repartent :
Loi des nœuds (I.8)
X
X
ie (t) =
is (t)
entrant
I.2.2
sortant
2ème loi de Kirchhoff : les lois des branches et des mailles
La loi des branches
Toutes les tensions Vk (t) situées sur une même branche peuvent se simplifier par leurs sommes
algébriques V (t) :
Loi des branches (I.9)
X
Vk (t)
V (t) =
k∈branche
La loi des mailles
La loi des mailles découle de l’additivité des différences de potentiel entre deux points (c.-à-d.
la loi des branches). Dans une maille quelconque d’un réseau électrique la somme algébrique
des différences de potentiel le long de la maille est constamment nulle :
Loi des mailles (I.10)
X
Vk (t) = 0
k∈maille
I.2.3
Méthode d’utilisation des lois de Kirchhoff
• Orienter arbitrairement les mailles ;
• Nommer et orienter les différentes tensions et intensités en tenant compte directement
de la loi des nœuds et en commençant par les inconnues ;
• Dénombrer les intensités inconnues et écrire autant de lois des mailles que d’inconnues ;
• Remplacer les tensions de chaque maille par leurs expressions en fonctions des données
du problème.
• Résoudre le système d’équations.
Dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, les lois de Kirchhoff sont toujours
vérifiés, que le circuit électrique soit linéaire ou non, contenant des composants passifs ou
actifs, en régime continu ou variable, etc.
Toutefois, pour certains circuit complexes (eg. contenant de très nombreuses mailles) les lois
de Kirchhoff peuvent devenir fastidieuses à utiliser.
©
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I.3 Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires
I.3
6
Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires
Un réseau électrique peut être étudié :
• en régime stationnaire (ou régime permanent) : les grandeurs électriques i(t), u(t). . . sont
indépendantes du temps : i(t) = I et u(t) = U .
,→ Elles sont en général notées par des lettres majuscules I, U , V , etc.
• en régime variable : les grandeurs électriques dépendent du temps i(t), u(t). . .
,→ Elles sont en général notées par des lettres minuscules : i, u, v, etc.
→
−
En régime variable, le champ électrique E se propage dans le conducteur à vitesse finie (de
l’ordre de c = 3108 m/s). Du fait de ce phénomène de propagation, l’intensité à un instant t
en 2 points distants de l sera différente.
On sera dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) si ce temps
de propagation est négligeable devant la grandeur temporelle T caractérisant les variations des
grandeurs électriques. C’est à dire si les dimensions du circuit l, vérifient l c · T (dans le cas
de signaux périodiques : T = période des signaux).
L’électrocinétique est une partie de l’électricité qui étudie les circuits électriques dans le
cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). C’est une discipline
essentielle pour l’électronique et l’électrotechnique. L’électrocinétique comprend ainsi les
études :
• Des dipôles : classification, modélisation par des dipôles idéaux, associations. . .
• De la topologie des circuits ;
• Du comportement des circuits lorsqu’ils sont soumis à des tensions particulières.
Nous travaillerons toujours dans le cadre de l’ARQS.
,→ Les lois fondamentales de l’électrocinétique seront considérés valables.
Exercices
Exercice I.1. Pour charger une batterie, un chargeur délivre un courant de 5A sous une tension de
12V.
• Quelle quantité de courant circule dans la batterie pour une charge de 10h ?
• Les p.c.m. étant des électrons, combien on circulé durant cette charge ?
Exercice I.2. Pour un circuit électrique dont les dimensions sont de l’ordre du mètre : l = 1 m,
et dont les p.c.m. se déplacent à la vitesse c = 10−8 s, qu’elle est la condition ARQS sur la
période T du signal électrique ? Qu’elle est la fréquence correspondante ?
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
Chapitre II
L ES D IPÔLES
II.1
ÉLECTRO C INÉTIQUES
Notions de dipôle et défintions
Définition 1 (Le dipôle électrique). Un dipôle est un conducteur électrique possédant deux
bornes (A et B). Le comportement d’un dipôle est caractérisé par :
• la tension ou différence de potentielle (ddp) entre ces bornes : UAB = (VA − VB )
• le courant I qui le traverse.
,→ Conservation de la charge : à tout instant le courant entrant par une borne est
égal au courant sortant par l’autre borne.
II.1.1
Caractéristique des dipôles
La fonction liant UAB à I (et réciproquement) imposée par le dipôle est appelée caractéristique du dipôle. Par extension ce terme désigne aussi la représentation graphique de cette
fonction. On a ainsi la caractéristique tension-courant : UAB = f (I), et la caractéristique
courant-tension : I = g(UAB ). On distingue :
• la caractéristique statique en régime stationnaire
,→ la relation entre I et UAB ne comporte ni dérivée, ni primitive.
• la caractéristique dynamique en régime variable.
Points de fonctionnement
Soit deux dipôles A (générateur) et B (récepteur) possédant chacune leur caractéristique tensioncourant propre :
U = fA (I) et U = fB (I)
L’intersection de c’est deux caractéristiques définit
le point de fonctionnement Q = (U Q ; I Q ) de l’ensemble du montage.
U
I
7
II.1 Notions de dipôle et défintions
8
Table II.1 – Caractéristiques des dipôles
U
U
U
I
I
I
U
U
U
I
I
I
On désigne par :
• Intensité de court-circuit du dipôle : Icc = g(U = 0)
• Tension à vide ou tension en circuit-ouvert du dipôle : U0 = f (I = 0)
II.1.2
Classification des dipôles électrique
• Un dipôle est dit passif s’il ne peut fournir de l’énergie électrique de façon permanente.
Sa caractéristique passe par l’origine (ie. I = 0 si UAB = 0)
• Un dipôle est dit actif s’il est capable de fournir de l’énergie électrique de façon
permanente
• Un dipôle est dit symétrique si sa caractéristique est symétrique par rapport à l’origine.
• Un dipôle est dit linéaire si sa caractéristique est définit par une fonction linéaire (eg.
l’équation d’une droite) :
I = pUAB + q
ou
UAB = aI + b
(II.1)
ou une équation différentielle linéaire à coefficient constant :
N
X
M
dk u(t) X dp i(t)
=
bp
ak
dtp
dtk
p=0
k=0
(II.2)
Un circuit électrique est dit linéaire s’il est constitué uniquement de composants linéaires.
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
9
Chap. II Les dipôles
II.1.3
Conventions
Convention récepteurs
Le courant et la tension sont orientés en sens inverse. Cela permet
d’obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles s’opposant à la
circulation du courant.
I
A
B
UAB
Convention générateurs
Le courant et la tension sont orientés dans le même sens. Cela permet d’obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles favorisant
la circulation du courant.
I
A
B
UAB
Les grandeurs électriques courant et tension sont des grandeurs algébriques : leurs signes
dépendent de la convention utilisée.
,→ La caractéristique d’un dipôle dépendra de la convention choisie.
II.1.4
Énergie et Puissance Électrique
Définition 2 (L’Énergie). En physique, l’énergie correspond à la capacité de faire un
travail, c-à-d. d’agir
(unité joules : J)
Lorsque deux systèmes interagissent, ils échangent de l’énergie. Au cours de l’interaction, la
somme des variations d’énergie dans le premier système est l’opposée de la somme des variations
d’énergie dans le second : il y a conservation de l’énergie.
“Rien ne se perd, rien ne se crée tout se transforme” (attribuer à Lavoisier, 1789)
dé
ch
g
ar
é
e,
ve
s
r ti
se
ur
h
sp
é
c en
ce
vo
o to
lta ï
qu e
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Energie
RAYONNANTE ca
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mac
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m
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Energie
MECANIQUE
pompes
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nd
on
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ne
comb
fermenustion,
tation
Energie
CHIMIQUE
lyse
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p i é z o - r n a n t e,
électricité
urs
chimioluminescence
photochimie,
photosynthèse
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m
u
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r s élec t r
iq u es
Energie
ELECTRIQUE
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m
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ce
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nucléaire
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Energie
THERMIQUE
ts, chocs
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turbines
hydrauliques
Energie
NUCLEAIRE
re
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co
le
olu
c tr
es
min
e,
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t
moteu
Energie
HYDRAULIQUE
co
effet joule (rés
istance électriques, fours, etc.)
n ve
r t is s e
urs thermoélectriques, thermoïoniques, magnétohydro
dy
i qu
na m
es
Fig. II.1 – Les différentes formes d’énergie
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II.1 Notions de dipôle et défintions
10
Définition 3 (La puissance). En physique, la puissance est la quantité d’énergie par unité
de temps fournie par un système à un autre. La puissance correspond donc à un débit
d’énergie :
d E(t)
p(t) =
(II.3)
dt
Elle s’exprime en watt (W) dans le SI.
porteurs de charge qui
Pendant un intervalle de temps dt il y a Idt
q
Idt
entrent en A, leur énergie est : q × qVA , correspondant à énergie
d’un porteur (cf. électromagnétisme). Il y en a le même nombre qui
sortent en B, leur énergie vaut : Idt
× qVB . Le dipôle reçoit donc
q
l’énergie : d EA (t) = Idt (VA − VB ) = U Idt
Définition 4 (Puissance électrique). La puissance électrique instantanée échangé par un
dipôle est définit par le produit :
p(t) = u(t) · i(t)
(II.4)
Dans le cas d’un régime constant, la puissance électrique devient : P = U · I
La puissance électrique peut se mesurer au moyen d’un wattmètre :
Symbole:
I
En convention récepteur,
• si p(t) > 0 ⇔ puissance consommée par le dipôle ⇔ dipôle récepteur
• sinon p(t) < 0 ⇔ puissance fournie par le dipôle ⇔ dipôle générateur
W
U
En convention générateur c’est l’inverse !
Circuit électrique
Bilan des puissances d’un circuit électrocinétique
Dipôle A
• Puissance absorbée à l’entrée : Pa
• Puissance utiliséeà la sortie : Pu
• Puissance perdue (ou perte) : Pp
Pa
puissance
absorbée
Dipôle B
I
Pf
Pr
U
Pu
puissance
utile
Pp
puissance perdue
La puissance reçue est l’énergie reçue par unité de temps. Comme l’énergie, la puissance se
conserve :
• Le dipôle A (eg. générateur) fournit la puissance Pf au circuit
,→ Pa : puissance mécanique (alternateur), chimique (pile), thermique (module Peltier),
ou rayonnante (photovoltaïque).
• Le dipôle B (eg. récepteur) reçoit la puissance Pr du circuit
,→ Pu : puissance mécanique (moteur), chimique (électrolyse), thermique (effet joule),
ou rayonnante (ampoule).
On considère : Pf + Pr = 0
,→ La somme des puissances fournies par les dipôles générateurs d’un circuit est égale à
la somme ds puissances reçues par les dipôles récepteurs de ce circuit, plus les pertes
éventuelles : Pa = Pu + Pp
Rendement
ρ=
Psortie
Pu
=
Pentree
Pa
⇔
ρ=
P a − Pp
Pu
=
Pa
Pu + P p
(II.5)
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
11
Chap. II Les dipôles
II.2
Dipôles linéaires passifs
• PASSIF : le dipôle ne peut fournir de l’énergie électrique de
façon permanente ( ⇔ p(t) ≥ 0).
• LINÉAIRE : la caractéristique électrique du dipôle est linéaire
,→ Sa caractéristique passe par l’origine (ie. I = 0 si UAB = 0)
,→ dipôle récepteur.
On adopte dans cette partie la convention récepteur.
II.2.1
Résistor ou conducteur ohmique (résistance R)
En électricité, le terme résistance désigne différentes notions :
• une propriété physique : l’aptitude d’un matériau conducteur à ralentir le passage du
courant électrique ;
• un modèle mathématique qui respecte idéalement la loi d’Ohm, baptisé conducteur
ohmique et qui permet de modéliser les dipôles réels ;
• un composant électronique conçu pour approcher de manière très satisfaisante la loi
d’Ohm dans une large plage d’utilisation.
,→ La résistance est un “dipôle résistant”, aussi appelée résistor ou conducteur ohmique.
Aspect physique
La résistance d’un conducteur dépend de la nature de ce conducteur et de sa géométrie. Dans
le cas d’un conducteur cylindrique homogène, de section droite S et de longueur L, on montre
que :
1L
L
(II.6)
R=ρ =
S
σS
où R est la résistance du résistor en ohm (Ω) dans le SI ; ρ est la résistivité du milieu (exprimé
en Ωm), et σ définit la conductivité (exprimé en /Ω/m ou S/m)
,→ Ordre de grandeur de la résistivité : métaux : ρ ≈ 10−7 Ωm ; semi-conducteur : 1 < ρ <
104 Ωm ; et isolant : ρ > 105 Ωm.
Équation caractéristique : la loi d’Ohm
En convention récepteur, un conducteur ohmique vérifie la loi d’Ohm :
(II.7)
u(t) = R · i(t)
avec R la résistance du résistor en ohm (Ω) dans le SI.
On peut également écrire :
i(t) = G · u(t) ,
où G = 1/R correspond à la conductance exprimé en siemens (S).
La caractéristique tension-courant du résistor (en convention récepteur).
,→ Le conducteur ohmique correspond à un dipôle
linéaire, passif et symétrique se comportant en
récepteur (p(t) > 0)).
• Quand R → 0 : le résistor se comporte comme . . . .
• Quand R → ∞ : le résistor se comporte comme . . .
©
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U
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II.2 Dipôles linéaires passifs
12
Aspect énergétique
L’énergie reçue par le résistor est d E = p(t).dt, ou la puissance consommée :
p(t) = u(t) · i(t)
,→ Avec la loi d’Ohm il vient :
(II.8)
P = R · I2 = G · U 2
Cette énergie est entièrement dissipée sous forme de chaleur, c’est l’effet Joule.
II.2.2
Condensateur de capacité C
Un condensateur (Eng.: capacitor) est constitué de deux armatures conductrices qui se font
faces séparées par un matériau isolant (le diélectrique). Lorsqu’il est soumis à une ddp u(t) des
charges opposées qA = q et qB = −q s’accum̀ulent sur les deux armatures.
Aspect physique
La capacité électrique d’un condensateur se détermine essentiellement en fonction de la géométrie des armatures et de la nature du ou des isolants. Dans le cas où les armatures sont
plans on a :
S
(II.9)
C=ε
L
avec C capacité du condensateur en farad (F) ; S la surface des armatures ; L la distance entre
les armatures, et ε = ε0 εr la permittivité du diélectrique (ε0 = 8.85410−12 F/m).
Équations caractéristique
La charge d’un condensateur est proportionnelle à la tension u a ses bornes :
(II.10)
q =C ·u
avec C capacité du condensateur en farad (F).
La capacité représente ainsi la quantité de charge électrique stockée pour un potentiel électrique
donné.
Dans le cadre de l’ARQS (conservation de la charge), la relation courant-tension d’un condensateur idéal s’écrit en convention récepteur (voir aussi Eq. (I.1)) :
i(t) =
d u(t)
d q(t)
=C
dt
dt
(II.11)
Si u(t) = Cste alors i(t) = 0, ∀C , le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
Aspect énergétique
Puissance reçue par un condensateur idéal :
p=u·i=u·C
d u(t)
d Eelec
=
dt
dt
⇔
d Eelec = Cu d u
(II.12)
où d Eelec est l’énergie électrostatique emmagasiné dans le condensateur pendant la durée
infinitésimale dt. Il vient :
Z
Z
1
Eelec = d Eelec = Cu d u = Cu2
(II.13)
2
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
13
Chap. II Les dipôles
II.2.3
Bobine d’inductance L
Une bobine (Eng.: self) est constituée de spires obtenues par enroulement d’un fil métallique
(eg. du cuivre) éventuellement autour d’un noyau en matériau ferromagnétique (noyau de fer).
Aspect physique
Selon le théorème d’Ampère (cf. électromagnétisme) tout courant parcourant un circuit crée
un champ magnétique à travers la section qu’il entoure. Le conducteur est alors traversée par
le flux du champ magnétique Φ, exprimé en weber (Wb). Se flux Φ est proportionnelle au
courant circulant dans la bobine :
Φ
(II.14)
L=
I
où L est appelé le coefficient d’auto-inductance du circuit de la bobine en henry (H).
La loi de Lenz-Faraday fait que lorsque le flux du champ magnétique qui traverse un circuit
conducteur varie au cours du temps, il apparaît dans ce circuit une tension appelée force
électromotrice (f.é.m.) :
d Φ(t)
u(t) = −
(II.15)
dt
La f.é.m. ainsi créée est orientée de façon à générer des courants s’opposant à la variation du
flux.
Équations caractéristique
Toute variation du courant au sein d’une bobine produit une variation du champ magnétique
induit, ce qui a pour effet de produire une tension qui s’oppose à la variation du courant, on
obtient :
d i(t)
(II.16)
u(t) = L
dt
avec L l’inductance propre de la bobine en henry (H).
Si i(t) = Cste alors u(t) = 0, ∀L, la bobine se comporte comme court-circuit.
Aspect énergétique
Puissance reçue par une bobine idéal :
p=u·i=L
d i(t)
1 d i2 (t)
· i(t) = L
dt
2
dt
(II.17)
L’énergie magnétique emmagasiné dans la bobine pendant la durée infinitésimale dt :
1
Emagn = Li2
2
©
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(II.18)
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II.3 Dipôles linéaires actifs
II.3
14
Dipôles linéaires actifs
Un dipôle est dit actif s’il est capable de fournir de l’énergie électrique
de façon permanente.
On adopte dans cette partie la convention générateur.
La caractéristique électrique d’un dipôle générateur ne passe pas par l’origine.
II.3.1
Sources de tension idéales
Une source de tension est idéale si quelle que soit l’intensité du courant
qui la traverse, la tension u à ses bornes reste constante :
∀i,
U
(II.19)
u=e
où e désigne la force électromotrice (f.é.m.) de la source de tension.
La puissance fournie par ce dipôle s’écrit : Pf = e · i.
II.2-a
II.2-b (américain)
I
II.2-c (régime continue)
Fig. II.2 – Symboles des sources de tensions.
II.3-a
II.3-b
II.3-c (américain)
Fig. II.3 – Symboles des sources de courants.
II.3.2
Sources de courant idéales
Une source de courant est idéale si quelle que soit la tension à ses
bornes, l’intensité du courant qui la traverse reste constante :
∀u,
i = IN
(II.20)
où IN (ou Icc ) désigne le courant électromoteur (c.é.m.) de la source.
La puissance fournie par ce dipôle s’écrit : Pf = u · IN .
II.3.3
U
I
Sources réelles
Dans la réalité, les modèles idéaux précédent ne sont utilisable que pour une plage de tension
ou de courant très limitée. Dans un domaine plus large d’utilisation, la caractéristique statique
de ces éléments peut être représentée par l’équation d’une droite.
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
15
Chap. II Les dipôles
Source de tension réelle
U
On représente une source de tension réelle
par l’association en série d’une source de
tension idéale de f.é.m. E = U0 (tension
à vide), et d’une résistance Ri correspond à
la résistance interne de la source.
I
On a alors : V = U0 − Ri I, avec Ri = IUcc0 .
La puissance fournie par ce dipôle s’écrit : Pf = U0 · I − Ri I 2 .
,→ Cette représentation correspond au modèle de Thévenin (cf. chapitre III)
Source de courant réelle
On représente une source de courant réelle
par l’association en parallèle d’une source
de courant idéale de c.é.m. η = Icc (courant de court-circuit), et d’une résistance Ri
de conductance Gi = R1i correspond à la
conductance interne de la source.
U
I
On a alors : I = Icc − Gi U , avec Gi = IUcc0 .
La puissance fournie par ce dipôle s’écrit : Pf = U · Icc − Gi U 2 .
,→ Cette représentation correspond au modèle de Norton (cf. chapitre III)
II.3.4
Sources liées
Lorsque la tension (ou le courant) délivrée par une source dépend de la tension aux bornes
d’un des composants du circuit (ou du courant le parcourant), la source est dite “liée”. Dans
le cas contraire la source est dite “indépendante”.
II.4
II.4.1
Les associations de dipôles
Dipôles en séries
On considère l’association série de n dipôle linéaire, lorsqu’ils sont situés sur une même branche, c-à-d qu’ils sont
parcourus par le même courant d’intensité i(t). La tension
v(t) totale aux bornes de l’association vaut :
v(t) =
n
X
(II.21)
vk (t)
k
• Si chaque dipôles Dk correspond à une résistance Rk , on obtient :
v(t) =
n
X
Rk i(t) = Req i(t),
k
avec
Req =
n
X
Rk
(II.22)
k
• Si chaque dipôles Dk correspond à une capacité Ck (initialement déchargé : v(t0 ) = 0),
on obtient :
Z
Z
n
n
X
X
1
1
−1
i(τ )dτ =
i(τ )dτ,
avec Ceq =
Ck−1
(II.23)
v(t) =
Ck
Ceq
k
k
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II.4 Les associations de dipôles
16
• Si chaque dipôles Dk correspond à une inductance Lk , on obtient :
v(t) =
n
X
k
Lk
di
di
= Leq
dt
dt
avec
Leq =
n
X
(II.24)
Lk
k
Diviseur de tension
Dans l’association série de n conducteur ohmiques, la tension va (t) aux bornes du conducteur
ohmique de résistance Rk est :
va (t) =
Ra
Ra
v(t) = Pn v(t)
Req
k Rk
II.4.2
R2
R1
Exemple II.4.1 (Pont diviseur de tension). Exprimer Vout en fonction de
Vin , R1 et R2 , et retrouver la relation du “pont diviseur de tension”.
Vout
Vin
Dipôles en parallèles
On considère l’association parallèle de n dipôle linéaire, lorsqu’ils
ont à leurs bornes la même tension v(t). L’intensité i(t) totale du
courant traversant l’association vaut :
i(t) =
n
X
k
n
X
1
ik (t) =
v(t)
D
k
k
(II.25)
• Si chaque dipôles Dk correspond à une résistance Rk , on obtient :
i(t) =
n
X
Gk v(t) = Geq v(t),
avec
Geq =
k
n
X
Gk =
−1
Req
=
n
X
k
Rk −1
(II.26)
k
• Si chaque dipôles Dk correspond à une capacité Ck (initialement déchargé : v(t0 ) = 0),
on obtient :
n
n
X
X
dv
dv
= Ceq ,
avec Ceq =
Ck
(II.27)
i(t) =
Ck
dt
dt
k
k
• Si chaque dipôles Dk correspond à une inductance Lk , on obtient :
Z
Z
n
X
1
1
i(t) =
v(τ )dτ =
v(τ )dτ
L
L
k
eq
k
avec
L−1
eq =
n
X
(II.28)
L−1
k
k
Diviseur de courant
Dans l’association série de n conducteur ohmiques, l’intensité ia (t) du courant traversant le
conducteur ohmique de conductance Ga est :
ia (t) =
Exemple II.4.2 (Pont diviseur de courant). Exprimer Iout en fonction de
Iin , R1 et R2 , retrouver la relation du “pont diviseur de courant”.
Iin
R1
R2
Ga
i(t)
Geq
Iout ?
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
17
Chap. II Les dipôles
II.4.3
Les associations de dipôles
Association séries de sources de tensions
On considère l’association série de N générateurs de tension linéaires réels (Ek , Rk ) ssi il sont
traversé par la même intensité I. Les lois d’association en séries s’appliquent au circuit, et
on obtient une source de tension réelle unique définit par la f.é.m. total E et la résistance
équivalente Req :
N
N
X
X
E=
Ek
et
Req =
Rk
(II.29)
k
k
,→ L’association en série permet “d’augmenter ” la tension U mais pas l’intensité I
E1
E2
R1
EN
R2
E
RN
U
R
U
Fig. II.4 – Association série de N générateurs de tension linéaires.
Association parallèle de sources de courant
On considère l’association parallèle de N générateurs de courant linéaires réels (Ik , Gk ) ssi il
sont soumis à la même d.d.p. U . Les lois d’association en parallèle s’appliquent au circuit, et
on obtient une source de courant réelle unique définit par le courant total I et la conductance
équivalente Geq :
N
N
X
X
I=
Ik
et
Geq =
Gk
(II.30)
k
k
,→ L’association en parallèle permet “d’augmenter ” l’intensité I mais pas la tension U
η1
η2
R1
ηN
R2
I
RN
U
η
I
R
U
Fig. II.5 – Association parallèle de N générateurs de courant linéaires.
En pratique. . .
• on n’associe pas les sources de tension différentes en parallèles.
• on n’associe pas les sources de courant différentes en séries.
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II.4 Les associations de dipôles
18
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
Chapitre III
É TUDES
DES
C IRCUITS L INÉAIRES
Rappels
Définition 1 (Circuit électrique). Un circuit ou
réseau électrique est constitué par un ensemble
de composants (dipôles, diodes, transistors, AOP,
CI, µP. . . ) reliés entre eux, et qui agissent sur les
courants et tensions électriques
Définition 2 (Circuits linéaire). Un circuit (ou réseau) électrique est dit linéaire s’il est
constitué uniquement de composants linéaires.
,→ Les circuits linéaires considérés seront constitués de résistances, capacités, inductances,
sources de tension et de courant.
III.1
Les lois et théorèmes fondamentaux
III.1.1
Les lois de Kirchhoff
Loi des nœuds (III.1)
X
X
ie (t) =
is (t)
entrant
sortant
Loi des branches (III.2)
X
V (t) =
Vk (t)
k∈branche
Loi des mailles (III.3)
X
Vk (t) = 0
k∈branche
Dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, les lois de Kirchoff sont toujours
vérifiés, que le circuit électrique soit linéaire ou non, contenant des composants passifs ou
actifs, en régime continu ou variable, etc.
19
III.1 Les lois et théorèmes fondamentaux
III.1.2
20
Le principe de superposition
Théorème III.1.1 (Principe de superposition). Lorsqu’un circuit linéaire possède plusieurs
sources indépendantes, la réponse (courant et tension) dans chaque branche est la somme
algébrique des réponses que ferait circuler dans cette branche chaque source prise séparément
(toutes les autres ayant été remplacées par leur résistance interne).
,→ Le principe de superposition découle de la linéarité des circuits.
• Pour chacune des sources indépendantes, on étudie la réponse du circuit les autres
sources indépendantes étant “éteintes”. Mais les sources commandées restent actives
Les sources de tension sont remplacées par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les sources de courant sont remplacées par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple III.1.2. V4 = V4a + V4b + V4c , I4 = I4a + I4b + I4c , . . .
=
III.1.3
+
+
Le théorème de Thévenin
+
V
B
=
RTh
VTh
+
V
A
Charge
+
I
I A
Charge
ci
r
qucuit
el li
co né
nq ai
ue re
Théorème III.1.3 (Thévenin). Tout circuit électrique linéaire à deux bornes (∼ dipôle
linéaire), est équivalent à une source de tension idéale VTh , dite générateur de Thévenin,
en série avec une résistance unique RTh .
B
Modélisation de Thévenin
• Détermination de VTh : la tension vue entre les deux bornes du dipôle lorsqu’il est à
vide ; (la charge est déconnecté) ⇒ VTh = VAB 0
• Détermination de RTh : la “résistance équivalente” vue entre les deux bornes du dipôle
lorsque toutes ses sources indépendantes sont éteinte (ie. impédance de sortie du
montage) ⇒ RTh = VITh
cc
III.1.4
Le théorème de Norton
Théorème III.1.4 (Norton). Tout circuit électrique linéaire à deux bornes (∼ dipôle linéaire), est équivalent à une source de courant idéale IN , dite générateur de Norton, en
parallèle avec une résistance unique RN .
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
21
Chap. III Les Circuits linéaires
V
+
≡ IN
V
RN
Charge
ci
r
qucuit
el li
co né
nq ai
ue re
+
Charge
I A
I A
B
B
Modélisation de Norton
• Détermination de IN : le courant de court-circuit vue entre les deux bornes du dipôle
(la charge est court-circuitée) ⇒ IN = Icc
• RN = G1N : la “résistance équivalente” vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes
ses sources indépendantes sont éteinte
III.1.5
Équivalence entre les modèles de Thévenin et de Norton
Les modèles de Thévenin et de Norton sont reliés par les relations :
RTh
VTh
+
V
ou VTh = IN Req
I A
A
Charge
I
VTh
Req
≡ IN
B
V
Charge
et IN =
RN
RTh = RN = Req ,
B
,→ On peut d’une représentation à l’autre de manière équivalente.
On distingue 2 types de sources : les sources liées, dont les caractèristiques dépendent
d’un autre élément du circuit (cf. section II.3.4), et les sources indépendantes.
Lorsqu’on éteint les sources (théorèmes de superposition, de Thévenin, de Norton, etc.)
on éteint UNIQUEMENT les sources INDEPENDANTES,
et JAMAIS les sources LIÉES.
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III.1 Les lois et théorèmes fondamentaux
III.1.6
22
Le théorème de Millmann
Théorème III.1.5 (Millmann). Dans un réseau électrique comprenant N branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en
série avec un dipôle linéaire de conductance Gk , la
tension VM aux bornes des branches est donné par :
N
X
VM =
Ek Gk
k=1
N
X
(III.4)
R1
R2
RK
RN
E1
E2
EK
EN
VM
Gk
k=1
III.1.7
Le théorème de Kennelly
Le théorème de Kennelly, ou transformation triangle-étoile, est une technique mathématique
qui permet de simplifier l’étude de certains réseaux électriques.
a
Rat
t
Rbt
b
A
Rct
RAB
RAC
B
RBC
C
c
Fig. III.1
Transformation triangle vers étoiles
Rab Rac
Rat =
Rab + Rbc + Rac
Rab Rbc
Rbt =
Rab + Rbc + Rac
Rac Rbc
Rct =
Rab + Rbc + Rac
Transformation étoile vers triangle
Rat Rbt + Rbt Rct + Rct Rat
Rct
Rat Rbt + Rbt Rct + Rct Rat
=
Rat
Rat Rbt + Rbt Rct + Rct Rat
=
Rbt
Rab =
Rbc
Rac
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
23
Chap. III Les Circuits linéaires
III.2
Étude des régimes transitoire des circuits
linéaires
Définitions
On parle de régime permanent pour désigner un régime de fonctionnement qui se maintient
pendant un temps infiniment long. Un régime permanent peut être un régime continu ou un
régime variable (comme par exemple le régime sinusoïdal permanent).
On appelle régime transitoire, le régime de fonctionnement d’un circuit entre le moment où
aucun courant ne circule pas et celui où s’établit un régime permanent.
y3(t)
x0
x(t)
y2(t)
y1(t)
t
t0
Fig. III.2
Le régime transitoire peut être caractérisé par :
• Le taux d’amortissement (damping ratio), noté ξ, est une grandeur sans dimension
caractérisant l’évolution et la décroissance au cours du temps des oscillations d’un
système physique.
• Le facteur de qualité d’un système, noté Q, est une mesure du taux d’amortissement
d’un oscillateur.
• Une constante de temps, noté τ , est une grandeur homogène à un temps, caractérisant
la rapidité de l’évolution d’une grandeur physique dans le temps lorsque cette évolution
est exponentielle.
Réponse d’un circuit
x( t )
vin
Dans cette partie du cours on s’intéresse principalement aux circuits
linéaires soumis à un signal échelon, noté U(t) :
0 si t < t0
U(t) =
(III.5)
U0 si t ≥ t0
re
iin
éa
i
Considérons un circuit linéaire quelconque soumis à une
action x(t), appelée excitation. Cette excitation peut être
une excitation en tension (vin (t)) ou en courant (iin (t)).
Le circuit réagit à l’excitation et on appelle réponse du
circuit la grandeur y(t) déterminée.
lin
III.2.1
iout
y( t )
vout
U
t
,→ Pour cette étude on reste donc dans le cadre de l’ARQS.
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III.2 Régimes transitoire des circuits linéaires
24
Dans le cas général, le comportement d’un circuit linéaire quelconque peut se caractériser par
une équation différentielle linéaire à coefficient constants avec second membre du type :
dn y(t)
d y(t)
an
+ . . . a1
+ a0 y(t) = x(t)
n
dt
dt
(III.6)
dont les solutions sont de la forme :
(III.7)
y(t) = yh (t) + yp (t)
où yh (t) est la solution de l’équation (III.6) sans second membre (équation homogène) et yp (t)
est la solution particulière. La solution homogène s’exprime comme une somme d’exponentielle :
yh (t) =
n
X
(III.8)
Ak erk t
k=1
où les coefficients Ak sont déduites à partir des conditions initiales, et les rk sont les solutions
de l’équation caractéristique :
an rkn + . . . a2 rk2 + a1 rk + a0 = 0
(III.9)
Si les n racines sont distinctes, cette équation fait apparaître les n fonctions indépendantes suffisantes pour déterminer toutes les solutions de l’équation homogène. Dans le cas de l’équation
complète (III.7), il ne reste plus qu’à trouver une seule solution de celle-ci.
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
25
Chap. III Les Circuits linéaires
III.2.2
Circuit du premier ordre
Systèmes linéaires du 1er ordre
Les équations différentielles du 1er ordre rencontrées seront du type :
τ ddty + y(t) = x(t)
où τ désigne une constante de temps, y(t) la réponse du signal étudié et x(t) l’excitation due
à la source (ici x(t) = U(t) — signal échelon).
Les solutions sont de la forme : y(t) = yh (t) + yp (t), avec
• la solution homogène : yh (t) = A e−t/τ ;
,→ Le coefficient A se détermine à partir des conditions initiales sur la solution globale.
• la solution particulière yp (t) de la même “nature” que x(t), c-à-d. entre autre même
fréquence :
si x(t) est constante, alors yp (t) est constante et le régime permanent est continu ;
si x(t) est sinusoïdale (cf. cours d’électrocinétique II), alors yp (t) est sinusoïdale et
le régime permanent est sinusoïdal de même fréquence.
Circuit R,C série
En réponse à un échelon de tension e(t) = U(t), la tension
uC aux bornes d’un condensateur en série avec une résistance
vérifie l’équation différentielle :
RC
d uC
+ uC (t) = e(t)
dt
(III.10)
La solution de cette équation (III.10) est, si le condensateur est
initialement déchargé :
uC (t) = E 1 − exp − τt
uC
τ = RC est la constante de temps de charge de la capacité.
Pour un condensateur pleinement chargé sous une tension
e(t) = E relié à t = t0 à une résistance R, la tension uC vérifie
uC
l’équation différentielle : RC ddt
+ uC (t) = 0, avec pour CI
uC (t0 ) = E. La solution de la décharge du condensateur est
alors :
uC (t) = E exp − τt
t
uC
t
• Bilan de tension : e(t) = uR + uC (t) = R · i(t) + Cq
uC
• Bilan de puissance : e(t) · i = R · i2 + uC · C ddt
Z +∞
Z +∞
1
• Bilan énergétique :
E · i(t)dt =
R · i2 (t)dt + Cu2C
2
0
0
Penser à vérifier que : Egen = ER + EC
Circuit R, L série
En réponse à un échelon de tension e(t) = U(t), le courant
i circulant dans une inductance en série avec une résistance
vérifie l’équation différentielle :
L
©
di
+ Ri(t) = e(t)
dt
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III.2 Régimes transitoire des circuits linéaires
La
solution
i(t) =
E
R
26
i
de
cette
équation (III.11)
est
:
1 − exp − τt
, τ = L/R est la constante de
temps de relaxation de la bobine.
t
• Bilan de tension : e(t) = uR + uL (t) = R · i(t) + L ddti
2
• Bilan de puissance : e(t) · i = R · i2 + 21 L ddti
Z +∞
Z +∞
1
R · i2 (t)dt + Li2
E · i(t)dt =
• Bilan énergétique :
2
0
0
Penser à vérifier que : Egen = ER + EL
III.2.3
Circuit du second ordre
Systèmes linéaires du 2nd ordre
Les équations différentielles du 2nd ordre rencontrées seront :
d2 y
dt2
+ 2ξ ddty + ω02 y(t) = ω02 x(t)
où ω0 définit la pulsation propre du système, ξ est coefficient qui quantifie l’amortissement
du système, y(t) est la réponse le signal étudié et x(t) l’excitation due au générateur (ici
x(t) = U(t) — signal échelon).
,→ L’amortissement est relié au facteur de qualité Q :
Q=
ω0
2ξ
Les solutions sont de la forme : y(t) = yh (t) + yp (t), avec
• la solution homogène yh (t), admet comme équation caractéristique : r2 + 2ξr + ω02 = 0,
qui a pour discriminant ∆ = ξ 2 − ω02 . Ainsi selon la valeur de ∆, on distingue 3 régimes
différents d’amortissement :
−ξt
• ∆
√ < 0 (régime pseudo-périodique) : yh (t) = e (A sin(ωt) + B cos(ωt)), avec ω =
∆
−ξt
• ∆ = 0 (régime critique ) : yh (t) = (A + Bt)
e √
√ ∆t
− ∆t
−ξt
+B e
• ∆ > 0 (régime apériodique) : yh (t) = e
Ae
,→ Les coefficients A et B se déterminent à partir des conditions initiales sur la solution
globale.
• la solution particulière yp (t) de la même “nature” que x(t), calculée comme dans le cas
du 1er ordre.
Circuit R, L, C en régime propre
Soit le circuit RLC série ci-contre, dans lequel le condensateur
est considéré chargé à t0 = 0 : q(t = 0+ ) = q(t = 0− ) = q0 .
L’équation différentielle décrivant ce circuit est donné par :
di
+ Ri(t) + uC (t) = 0
dt
uC
Sachant que i(t) = ddtq = C ddt
, l’équation différentielle vérifiée par q (mais également par i(t)
et uC (t)) est alors :
d2 q
dq
LC 2 + RC
+q =0
dt
dt
qui peut se mettre sous la forme
L
d2 uC
d uC
LC
+ uC (t) = 0
2 + RC
dt
dt
(III.12)
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
27
Chap. III Les Circuits linéaires
On pose :
R
= 2ξ, où ξ correspond au coefficient d’amortissement ;
•
L
1
• ω0 = √LC
, définit la pulsation propre du circuit.
L’équation différentielle linéaire du circuit considéré :
d2 q
dq
+ ω02 q(t) = 0
2 + 2ξ
dt
dt
(III.13)
En fonction des valeurs de ξ on distingue 3 régimes différents d’amortissement :
Régime pseudo-périodique : ξ < ω0 , r12 = −ξ ± ω, avec ω 2 = ω02 − ξ 2 alors
ξ
q(t) = −q0 exp (−ξt) · cos(ωt) + sin(ωt)
ω
Régime critique (amortissement critique) : ξ = ω0 , r = −ξ = −ω0 , alors
q(t) = −q0 exp (−ξt) (1 + ξt)
Régime apériodique (fort amortissement) : ξ > ω0 , r12 = −ξ ±
q(t) = −q0 exp (−ξt) cosh(ωt) + ωξ sinh(ωt)
avec
√
∆ < 0 alors
−x
x
• cosh(x) = e +2e (cosinus hyperbolique)
x
−x
• sinh(x) = e −2e (sinus hyperbolique)
,→ La d.d.p. aux bornes du condensateur est alors : uC (t) =
uC
et le courant se déduit de : i(t) = C ddt
.
q(t)
,
C
5
Q=10
4
Q=2
Q=1/2
3
Q=1/5
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. III.3 – Différents régimes transitoires
©
Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO
<[email protected]> http://perso.ensi-bourges.fr/dfolio/Teaching.php
III.2 Régimes transitoire des circuits linéaires
28
Circuit R, L, C soumis à un échelon de tension
En réponse à un échelon de tension e(t) = U(t), le courant
i circulant dans une inductance en série avec une résistance
vérifie l’équation différentielle :
di
+ uC (t) = e(t)
dt
qui peut se mettre sous la forme suivante
Ri + L
LC
d uC
d2 uC
+ uC (t) = E
2 + RC
dt
dt
(III.14)
La solution est de la forme : q(t) = qh (t) + qp (t), avec qh (t) la solution homogène obtenu en
régime libre, et qp (t) la solution particulière : qp (t) = C
Les conditions initiales doivent être exprimées sur l’ensemble de la solution générale :
y(t) = yh (t) + yp (t)
Cycle 1, ENSI de Bourges , ÉlectroCinétique
Annexe A
R ÉFÉRENCES B IBLIOGRAPHIQUES
Pour en savoir plus en Électrocinétiques
[1] R. Noel, J.M. Brébec, P. Denève, T. Desmarais, M. Ménétrier, B. Noël, and C. Orsini.
Électronique/Électrocinétique 1ère année MPSI-PCSI-PTSI. Hachette, 2003.
[2] Emmanuel Desvoivres. Électrocinétique, 1ère année MPSI PCSI PTSI: exercices corrigés
Lavoisier, 2004.
[3] Jean-Marie PARISI. Électrocinétique, électronique, 2ème période: MPSI PCSI PTSI:
rappels de cours, méthodes, exercices corrigés. Lavoisier, 2004.
[4] B. Gendreau and C. Gripon. Électrocinétique: MPSI-PCSI-PTSI. Classe prépa. Nathan,
2006.
[5] G. Rosset. Electrocinétique PCSI. Les Nouveaux précis Bréal, 2003.
[6] Becherrawy Tamer. Électrocinétique: cours et exercices corrigés. Lavoisier, 2008.
Pour aller un peu plus loin
[7] J. Auvray. Électronique des signaux analogiques. Dunod université. Dunod, 1993.
[8] J.P. Brodier, P. Horowitz, J.P. Charlier, W. Hill, and J.C. Sabatier. Traité de l’électronique analogique et numérique: Techniques analogiques. Number 1 in La Bibliothèque
d’électronique d’Elektor. Elektor, 2009.
[9] T.L. Floyd. Électronique: composants et systèmes d’application. Reynald Goulet, 5ème
edition, 2004.
[10] M. GIRARD. Amplificateurs operationnels. Number 1 in Electronique analogique.
Ediscience international, 1995.
[11] A.P. Malvino, J.A. Hernandez, R. Joly, D.J. Bates, and B. Boittiaux.
d’électronique. Sciences Sup. Dunod, Paris, 7ème edition, 2008.
Principes
[12] J.J. Rousseau. Introduction à l’électronique: cours et exercices corrigés. Universités
électronique. Ellipses, 1999.
29