Développements d`Analyse et de Probabilités

Développements d'analyse
Igor Kortchemski
Développements d'Analyse et de Probabilités
Version préliminaire du 9 septembre 2009
Igor Kortchemski
Ce document regroupe les développements d'Analyse et de Probabilités que j'ai préparés pour
l'agrégation externe de mathématiques en 2009. Ceux-ci sont classés par thème, puis par degré
d'originalité . Les développements plutôt originaux sont complètement rédigés. Quant aux
autres, je me contente de citer le résultat et de renvoyer aux références, mais cela ne signie
pas nécessairement qu'ils sont plus faciles. Chaque développement est auto-susant, en ce sens
qu'il n'admet pas de résultat intermédiaire délicat et chacun est suivi d'un petit commentaire
illustrant son intérêt.
Par ailleurs, j'espère qu'après avoir parcouru ce document le lecteur sera persuadé qu'on peut
faire de belles mathématiques au niveau de l'agrégation.
Table des matières
I Probabilités
1 Développements un peu originaux
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Théorème de continuité de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . .
Construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . .
Étude de marches aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi du spectre d'une matrice symétrique aléatoire . . . . . . .
Étude asymptotique du nombre de records d'une permutation
Nombre moyen de cycles d'une permutation et TCL . . . . . .
Lemme de Cerf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
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5
5
6
6
6
6
6
7
7
2 Développements moins originaux
7
3 Développements plus classiques
7
II
7
2.1
3.1
3.2
Séries de Taylor aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topologie et analyse fonctionnelle
7
7
7
Développements d'analyse
4 Développements a
un peu originaux
4.1
4.2
Igor Kortchemski
p
Résolution de u = 0 avec condition L au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nieaux d'énérgies de l'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
5 Développements moins originaux
7
6 Développements plus classiques
7
III
8
5.1
6.1
6.2
6.3
Théorème de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compacité séquentielle faible et opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . .
Algèbre de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcul diérentiel
7
7
7
7
7 Développements un peu originaux
8
8 Développements moins originaux
8
9 Développements plus classiques
8
IV Suites et séries numériques
9
10 Développements un peu originaux
9
11 Développements moins originaux
9
12 Développements plus classiques
9
7.1
7.2
8.1
9.1
9.2
Théorème de stabilité de Liapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Développement asymptotique de la période d'un pendule . . . . . . . . . . . . . .
Théorème d'Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Autour du théorème de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Ètude d'une série trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Fonction continue nulle part dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Un calcul de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
8
8
9
9
9
9
V Fonctions numériques
10
13 Développements un peu originaux
10
14 Développements plus classiques
10
13.1 Inégalité isopérimétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
14.1 Automorphismes de la sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
14.2 Théorème de Sarkovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Développements d'analyse
Igor Kortchemski
14.3 Prolongement de la fonction Gamma au plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . 10
Développements d'analyse
Igor Kortchemski
Première partie
Probabilités
Nota Bene. Dans ce texte, lorsque nous écrivons X est une variable aléatoire réelle , nous
signions qu'un espace probabilisé1 (Ω, F, P) est xé et que X est une application dénie sur Ω
à valeurs réelles, mesurable lorsque Ω est muni de la tribu F et R de la tribu borélienne.
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté possible, dans un soucis de simplication usuel en théorie de
probabilités, au lieu d'écrire X(ω) avec ω ∈ Ω, nous omettrons la dépendance par rapport à l'aléa
ω pour simplement écrire X . Par exemple, au lieu d'écrire :
¡
¢
P {ω ∈ Ω; X(ω)2 ≤ 1} ,
nous écrirons :
¡
¢
P X2 ≤ 1 .
J'espère nalement que le lecteur ne sera pas trop ousqué lorsque la mesurablité de certaines
applications ne sera pas justiée, du moins lorsque celle-ci est quasiment immédiate.
1 C'est-à-dire
que F est une tribu sur Ω et P est une mesure sur l'espace mesurable (Ω, F) telle que P(Ω) = 1.
Développements d'analyse
Igor Kortchemski
1 Développements un peu originaux
1.1 Théorème de continuité de Kolmogorov
Ce développement donne une condition susante pour qu'un processus à temps continu admette
une modication continue.
Théorème 1.1 (Théorème de continuité de Kolmogorov). Soit (Xt )t∈[0,1] une famille de variable
aléatoires réelles telle qu'il existe des constantes c, γ, ² > 0 telles que :
E [|Xs − Xt |γ ] ≤ c|s − t|1+² .
∀0 ≤ s ≤ 1,
et )t∈[0,1] telle que que :
Alors il existe une famille de variable aléatoires réelles (X
et .
1. Pour tout t ∈ [0, 1], presque sûrement, Xt = X
2. Pour tout 0 < α < ²/γ :
"Ã
E
es − X
et
X
sup
α
s6=t |s − t|
!γ #
< +∞.
Preuve. À venir.
¥
Références. Ceci est bien fait dans Continuous martingales and brownian motion (par
Revuz-Yor), au début du chapitre consacré au mouvement brownien.
Remarques. À venir.
Développements d'analyse
Igor Kortchemski
1.2 Construction du mouvement brownien
1.3 Étude de marches aléatoires
1.4 Loi du spectre d'une matrice symétrique aléatoire
t2
1.5 Étude asymptotique du nombre de records d'une permutation
1.6 Nombre moyen de cycles d'une permutation et TCL
t
3
2 D'après
3 Inspiré
une discussion entre Nicolas Tholozan et moi
par un développement de Nicolas Tholozan proposé à la préparation d'Ulm
Développements d'analyse
Igor Kortchemski
1.7 Lemme de Cerf
1.8 Théorème de Bochner
2 Développements moins originaux
2.1 Séries de Taylor aléatoires
3 Développements plus classiques
3.1 Loi faible des grands nombres
3.2 Loi forte des grands nombres
Deuxième partie
Topologie et analyse fonctionnelle
4 Développements un peu originaux
4.1 Résolution de
a
u = 0 avec condition Lp au bord
4.2 Nieaux d'énérgies de l'oscillateur harmonique
5 Développements moins originaux
5.1 Théorème de Riemann
6 Développements plus classiques
6.1 Compacité séquentielle faible et opérateurs compacts
6.2 Algèbre de Wiener
6.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Développements d'analyse
Igor Kortchemski
Troisième partie
Calcul diérentiel
7 Développements un peu originaux
7.1 Théorème de stabilité de Liapounov
7.2 Développement asymptotique de la période d'un pendule
8 Développements moins originaux
8.1 Théorème d'Hadamard
t4
9 Développements plus classiques
9.1 Théorème de Von Neumann
9.2 Lemme de Morse
4 Proposé
à la préparation d'Ulm par Sylvain Arguillère.
Développements d'analyse
Quatrième partie
Suites et séries numériques
10 Développements un peu originaux
10.1 Autour du théorème de Bohr
11 Développements moins originaux
11.1 Ètude d'une série trigonométrique
11.2 Fonction continue nulle part dérivable
11.3 Un calcul de volume
12 Développements plus classiques
Igor Kortchemski
Développements d'analyse
Igor Kortchemski
Cinquième partie
Fonctions numériques
13 Développements un peu originaux
13.1 Inégalité isopérimétrique
14 Développements plus classiques
14.1 Automorphismes de la sphère de Riemann
14.2 Théorème de Sarkovski
14.3 Prolongement de la fonction Gamma au plan complexe