Reconstruction de graphe par un agent mobile disposant d`une vue

Reconstruction de graphe par un agent mobile
disposant d’une vue locale
Jérémie Chalopin
Laboratoire : Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Marseille (LIF)
Encadrant : Jérémie Chalopin ([email protected])
Dans ce stage, on s’intéresse à un problème classique d’algorithmique distribuée pour agents mobiles : la cartographie. On considère un agent mobile
(qui représente un robot ou un agent logiciel) qui se déplace dans un environnement modélisé par un graphe. L’agent peut se déplacer d’un sommet à l’autre
le long des arêtes du graphe. Un algorithme de cartographie permet à l’agent
de reconstruire une carte du graphe sous-jacent.
On suppose que le graphe est anonyme, c’est à dire que les sommets du
graphe ne possède pas d’identifiants, et un agent ne peut pas a priori distinguer
deux sommets de même degré. Dans ce cadre, il n’est pas toujours possible de
reconstruire une carte du graphe sous-jacent : il existe des graphes qu’un agent
ne peut pas distinguer les uns des autres. Par exemple, si un agent est dans
un cycle, il n’arrivera pas à reconstruire la carte du graphe sauf s’il connaı̂t
initialement le nombre de sommets du graphe. La connaissance initiale dont
dispose l’agent sur le réseau initial est aussi un paramètre important à prendre
en compte. Par exemple, il est connu que si l’agent sait qu’il est initialement
dans un arbre, alors il arrivera toujours à reconstruire une carte du graphe
sous-jacent sans avoir besoin de connaissance intitiale supplémentaire.
Dans ce stage, on souhaite considérer un agent mobile qui a une vue locale,
c’est à dire que lorsqu’il est sur un sommet v, il voit le graphe induit par les
voisins de v (dans les travaux existants, on suppose généralement qu’il ne connaı̂t
que le degré de v). Dans ce cadre, on souhaite caractériser les graphes pour
lesquels il existe un algorithme de cartographie selon l’information initiale dont
l’agent dispose à propos du graphe (par exemple, il peut connaı̂tre le diamètre,
la taille, ou une borne sur la taille du graphe).
Dans la littérature, il existe de nombreux résultats pour des agents ne pouvant observer que le degré du sommet où il se trouve. Dans ce cadre, les caractérisations existantes utilisent les notions de revêtements et de fibrations [1]
qui sont des outils combinatoires empruntés à la topologie algébrique.
Dans le cadre du stage, on propose d’étudier le complexe de clique associé au
graphe sous-jacent. Le complexe de clique d’un graphe est un complexe simplicial
où les simplexes sont les cliques du graphe. On souhaite utiliser les revêtements
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de complexes simpliciaux [2] pour caractériser les graphes pour lesquels il existe
un algorithme de cartographie.
En plus de caractériser les graphes pour lesquels le problème peut être résolu,
on souhaite proposer des algorithmes efficaces pour résoudre le problème. Ici, on
cherche à minimiser le nombre d’arêtes que l’agent traverse lors de l’exécution
de l’algorithme.
Références
[1] P. Boldi and S. Vigna, Fibrations of graphs, Discrete Mathematics 243 (2002), no. 1-3,
21–66.
[2] Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
MR1867354 (2002k :55001)
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