Câble coaxial I Introduction

TP Ondes – 1
Câble coaxial
I
Introduction
1 Présentation
2 Méthodes
II Rappel
1 Équation de propagation
2 Réflexion en bout de ligne
III Régime impulsionnel
1 Impédance caractéristique
2 Mesure de la vitesse de groupe
3 Schéma équivalent en entrée
4 Mesure de l’atténuation
IV Régime harmonique
1 Courbe de dispersion
2 Onde stationnaire
V Mesures complémentaires
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
5
6
6
7
9
I Introduction
1 Présentation
On se propose d’étudier la propagation d’onde dans un câble coaxial.
Les objectifs de ce TP sont :
• Étudier la propagation d’impulsion de tension dans un câble coaxial ; mettre en évidence les phénomènes de réflexion et
d’atténuation dans le câble.
• Mesurer les vitesses de propagation de différents types d’onde dans le câble.
• Étudier les phénomènes de résonances en tension dans le câble.
2 Méthodes
Mesure d’un retard
Mesure d’une résistance
o Relier le conducteur ohmique à mesurer à l’ohmmètre;
le conducteur ohmique ne doit être relier à aucun
autre circuit.
o Donner le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs et une unité adaptée.
o Régler l’affichage des courbes comme pour un relevé;
o Mesurer le retard entre les deux courbes Measure →
Time → Next Menu → Next Menu → Delay
o Si l’oscilloscope n’affiche pas la valeur souhaitée, utiliser le bouton rotatif Horizontal – Delay pour changer la mesure.
o Donner le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs et une unité adaptée.
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Câble coaxial
II Rappel
1 Équation de propagation
𝑖(𝑥 − d𝑥, 𝑡) 𝜆d𝑥
𝑣(𝑥 − d𝑥, 𝑡)
𝜆d𝑥
𝑖(𝑥, 𝑡)
𝛾d𝑥
𝑣(𝑥, 𝑡)
𝑖(𝑥 + d𝑥, 𝑡) 𝜆d𝑥
𝑥
𝑥 − d𝑥
𝑣(𝑥 + d𝑥, 𝑡)
𝛾d𝑥
𝛾d𝑥
𝑥
𝑥 + d𝑥
On considère un câble coaxial caractérisé par son inductance linéique 𝜆 et sa capacité linéique 𝛾.
Le schéma ci-dessus modélise les propriétés électriques d’un tronçon de longueur d𝑥. La tresse extérieure est reliée à la
masse.
La tension entre la tresse et l’âme est notée 𝑣(𝑥, 𝑡), l’intensité qui parcourt l’âme est 𝑖(𝑥, 𝑡). Ces deux grandeurs vérifient
l’équation de d’Alembert :
𝜕2𝑢
1 𝜕2𝑢
𝜕2𝑖
1 𝜕2𝑖
− 2 2 =0
− 2 2 =0
2
2
𝜕𝑥
𝑣 𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑣 𝜕𝑡
1
où la vitesse des ondes est 𝑣 = √ .
𝜆𝛾
La solution générale est de la forme :
⎧
{𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡)
1
1
⎨
𝑖(𝑥, 𝑡) =
𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) −
𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡)
{
𝑍u�
𝑍u�
⎩
où 𝑍u� est l’impédance caractéristique du câble : 𝑍u� = √
𝜆
𝛾
2 Réflexion en bout de ligne
𝑖(𝑥, 𝑡)
𝑣(𝑥, 𝑡)
𝑥
𝜆d𝑥
𝑖(𝑥 + d𝑥, 𝑡)
𝑖(0, 𝑡)
𝑣(𝑥 + d𝑥, 𝑡)
𝛾d𝑥
𝑣(0, 𝑡)
𝑥 + d𝑥
𝑅
𝑂
𝑥
Une ligne coaxiale occupe la demi-droite 𝑥 < 0. Elle est fermée en 𝑥 = 0 par une résistance 𝑅. Une onde incidente
(𝑢u� (𝑥, 𝑡), 𝑖u� (𝑥, 𝑡)) se propage dans le sens des 𝑥 croissants, une onde réfléchie (𝑢u� (𝑥, 𝑡), 𝑖u� (𝑥, 𝑡)) se propage dans le sens des 𝑥
décroissants.
Les équations caractéristiques du système sont :
⎧∀(𝑥, 𝑡) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢u� (𝑥, 𝑡) + 𝑢u� (𝑥, 𝑡)
{
∀(𝑥, 𝑡) 𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝑖u� (𝑥, 𝑡) + 𝑖u� (𝑥, 𝑡) =
⎨
{∀𝑡 𝑢(0, 𝑡) = 𝑅𝑖(0, 𝑡)
⎩
On en déduit le coefficient de réflexion en tension : 𝑟u� =
1
u�u� 𝑢u� (𝑥, 𝑡)
𝑢u� (0, 𝑡)
𝑅 − 𝑍u�
=
𝑢u� (0, 𝑡)
𝑅 + 𝑍u�
−
1
u�u� 𝑢u� (𝑥, 𝑡)
Câble coaxial
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III Régime impulsionnel
1 Impédance caractéristique
Montage 1 : Étude de l’impédance
â Le générateur délivre des impulsions rectangulaire de durée 𝜏 = 100 ns,
de fréquence 𝑓 = 100 Hz, de niveau bas 0 V et de niveau haut maximal.
â La ligne courte (1 m) est terminée par un té relié à une charge de 50 Ω.
â La ligne de 60 m, d’impédance 50 Ω, est terminée par un té relié à un
potentiomètre 𝑅 réglable entre 0 et 100 Ω.
â Les tés ont une impédance caractéristique de 50 Ω.
Fonction Pulse : freq 100 Hz ; width 100 ns ; edge 5ns
Oscillo.
1m
Gén.
60 m
50 Ω
1. Modifier la valeur de la résistance réglable et relever les courbes pour 𝑅 = 0 Ω (court-circuit), une valeur de 𝑅 quelconque
(mesurée à l’ohmmètre) et 𝑅 → ∞ (sortie ouverte).
𝑅 = 0Ω
Base de temps :
Sensibilité vert. voie 1 :
Sensibilité vert. voie 2 :
𝑅=
Base de temps :
Sensibilité vert. voie 1 :
Sensibilité vert. voie 2 :
𝑅→∞
Base de temps :
Sensibilité vert. voie 1 :
Sensibilité vert. voie 2 :
Commenter les courbes obtenues. On interprétera les différents pics observés.
R = 0 Ohm : 1er pic signal direct par ligne d'un mètre , second pic signal après réflexion en fin de
ligne 50 m ; seconde courbe nulle car u = 0 en fin de ligne avec R nul.
R = 5O Ohms : pas de réflexion en bout de ligne 5Om (pas de second pic sur la première courbe.;
seconde courbe pic correspondant au signal incident provenant du générateur, atténué par la
propagation.
R infinie : première courbe : second pic du à une réflexion en bout de la ligne 50 m ; seconde
courbe : pic plus fort que dans le cas précédent car s'y ajoute l'onde réfléchie.
2. Régler la valeur de la résistance de façon à ce qu’il n’y ait plus de réflexion en fin de ligne. Mesurer à l’ohmmètre cette
valeur critique.
On mesure 𝑅u� = 52,7 Ω
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Câble coaxial
2 Mesure de la vitesse de groupe
1. Mesurer la durée nécessaire pour qu’une impulsion de tension fasse un aller-retour dans le câble.
On mesure 𝜏 = 612 ns
2. En déduire la vitesse de groupe 𝑣u� de ces ondes.
La vitesse est 𝑣u� = u�ℓ avec ℓ = 120 m
Donc 𝑣u� = 1,96 × 108 m/s
3. Commenter la valeur obtenue.
La valeur obtenue est plus faible mais du même ordre de grandeur que la vitesse de la lumière dans le vide.
3 Schéma équivalent en entrée
Montage 2 : Étude de l’impédance
â Le générateur de signaux délivre une tension sinusoïdale de fréquence
𝑓 = 1 Mhz et d’amplitude maximale.
𝑒(𝑡) =
√
2𝐸0 cos 𝜔𝑡
â La ligne courte (1 m) est terminée par un té relié à une charge de 50 Ω.
â La ligne de 60 m, d’impédance 50 Ω, est terminée par une charge de 50 Ω.
â Les tés ont une impédance caractéristique de 50 Ω.
Oscillo.
1m
Gén.
60 m
50 Ω
Câble coaxial
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𝑌1
Lorsque l’impédance est adaptée en bout de ligne, le montage est équivalent au circuit ci-contre avec 𝑅 = 50 Ω.
• Le générateur se comporte comme un générateur de Thévenin de force
électromotrice 𝑒(𝑡) et de résistance interne 𝑅.
• vu depuis le générateur, chaque câble se comporte comme un conducteur
ohmique d’impédance 𝑅.
𝑅
𝑒(𝑡)
𝑅
𝑅
ligne courte ligne longue
Générateur
1. Déterminer la relation attendue entre la valeur efficace 𝐸0 de la force électromotrice 𝑒(𝑡) et celle de la tension 𝑢(𝑡) observée
sur la voie 1 de l’oscilloscope.
La montage est un pont diviseur de tension :
𝑈=
1
2𝑅
1
𝑅
+
2
Donc
𝑈=
𝑅
Eo
𝐸
1
𝐸
3 Eo
2. Réaliser alors le montage 2. Mesurer la valeur efficace de la tension aux bornes de l’oscilloscope.
On mesure 𝐸
u0 = 2,66 V
3. Proposer un montage permettant de mesurer la valeur efficace de la force électromotrice du générateur. Réaliser alors cette
mesure.
On branche directement le générateur sur la voie 1 de l’oscilloscope, sans té, ni bouchon.
Pour pouvoir mesurer e(t) en sortie du générateur, il faut qu'il ne passe aucun courant dans la
résistance interne de ce générateur. Il faut donc le brancher directement sur l'impédance infinie
de l'oscilloscope . On obtient bien E0 = 3 U
4. Interpréter le résultat :
Lecâble
câble
long
son
bouchon
se comporte
comme
unedeimpédance
La
avec
son avec
bouchon
adapté
se comporte
comme une
impédance
50 Ω
de 50 Ohms
4 Mesure de l’atténuation
Montage 3 : Mesure de l’atténuation
â Le générateur d’impulsion alors délivre des impulsions de durée 𝜏 =
100 ns et de fréquence 𝑓 = 100 Hz, de niveau bas nul et de niveau haut
maximal.
â La ligne courte (1 m) est terminée par un té relié à une charge de 50 Ω.
â La ligne de 50 m, d’impédance 75 Ω, est terminée par un té relié à un
potentiomètre 𝑅 réglable entre 0 et 100 Ω.
â Les tés ont une impédance caractéristique de 75 Ω.
Oscillo.
1m
Gén.
50 m
75 Ω
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Câble coaxial
On note 𝑉u� l’amplitude des impulsions en début de ligne (à la sortie du G.B.F.) et 𝑉u� leur amplitude après avoir parcouru
une longueur 𝐿 de ligne.
20 log
u�u�
u�u�
L’amortissement est défini par 𝛽 =
et s’exprime en dB/m.
u�
1. Quelle valeur faut-il donner à la résistance en bout de ligne pour pouvoir mesurer 𝛽.
Impédante adaptée pour qu’il n’y ait pas de réflexion.
2. Mesurer 𝑉u� et 𝑉u� .
On mesure 𝑉u� = 4,29 V et 𝑉u� = 3,85 V.
3. En déduire la valeur de 𝛽.
𝛽 = −14,7 dB/km
IV Régime harmonique
1 Courbe de dispersion
Montage 4 : Courbe de dispersion
â Le générateur de fonction délivre une tension sinusoïdale de fréquence
𝑓.
â La ligne courte (1 m) est terminée par un té relié à une charge de 50 Ω.
â La ligne de 60 m, d’impédance 50 Ω, est terminée par un té relié à une
résistance de 50 Ω.
â Les tés ont une impédance de 50 Ω.
Oscillo.
1m
Gén.
60 m
50 Ω
1. Pour des fréquences 𝑓 comprises entre 100 kHz et 2 MHz, mesurer le temps de propagation 𝜏 entre les deux extrémités du
câble. En déduire la vitesse de phase 𝑣u� des ondes de fréquence 𝑓.
Tracer la courbe 𝑣u� (𝑓)
Câble coaxial
7/10
2,2
2,1
2
𝑣/(1 × 108 m/s)
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
𝑓/MHz
2. Commenter les résultats obtenus. Le milieu est-t-il dispersif ?
La vitesse de phase dépend de la fréquence.
Mettre en entrée Ucos (wt) ; en sortie U cos (w(t -x/v)) ; Le déphasage donne x/v dont on déduit
la vitesse de phase v
3. Ce câble d’impédance caractéristique 50 Ω peut être utilisé pour relier un émetteur ou un récepteur Wifi à une antenne. La
fréquence utilisée est de 2,40 GHz. Les phénomènes de dispersion observés sont-ils gênants pour cette application ?
La dispersion observée en basse fréquence 𝑓 < 1 MHz ne sont pas gênants en VHF.
2 Onde stationnaire
Montage 5 : Onde stationnaire
â Le générateur de signaux délivre une tension sinusoïdale de fréquence 𝑓.
â La ligne courte (1 m) est reliée à l’oscilloscope, elle est
â La ligne de 100 m, d’impédance 75 Ω, est obtenue en raccordant
les deux câbles de 50 m.
â Les tés ont une impédance caractéristique de 75 Ω.
Oscillo.
1m
Gén.
100 m
75 Ω
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Câble coaxial
Étude théorique
𝑖(0, 𝑡)
𝑒(𝑡)
𝑣(0, 𝑡)
0
𝜆d𝑥
𝑖(𝑥, 𝑡)
𝑖(𝑥 + d𝑥, 𝑡)
𝑣(𝑥 + d𝑥, 𝑡)
𝛾d𝑥
𝑣(𝑥, 𝑡)
𝑥
𝑖(𝐿, 𝑡)
𝑣(𝐿, 𝑡)
𝑥 + d𝑥
𝑅
𝐿
𝑥
On considère une ligne rectiligne, entre les abscisses 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝐿. Un générateur est placé en 𝑥 = 0 et une charge de
résistance 𝑅 en 𝑥 = 𝐿.
Les ondes stationnaire dans le câble sont de la forme :
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈0 cos 𝜔𝑡 cos(𝑘𝑥 + 𝜑u� )
{
𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝐼0 sin 𝜔𝑡 sin(𝑘𝑥 + 𝜑u� )
La distance entre deux ventres de tension voisins est
avec 𝑘 =
𝜔
2𝜋
=
𝑣u�
𝜆
u�
2.
• En sortie ouverte : 𝑅 → ∞, l’extrémité 𝑥 = 𝐿 est un nœud de courant et un ventre de tension.
On observe un phénomène de résonance lorsque l’extrémité 𝑥 = 0 est aussi un ventre de tension :
𝐿=𝑝
𝜆
2
𝑝∈ℕ
ou
𝑓 =𝑝
𝑣u�
2𝐿
𝑝∈ℕ
• En court-circuit : 𝑅 = 0, l’extrémité 𝑥 = 𝐿 est un nœud de tension.
On observe un phénomène de résonance lorsque l’extrémité 𝑥 = 0 est un ventre de tension :
1 𝜆
𝐿 = (𝑝 + )
2 2
𝑝∈ℕ
ou
1 𝑣u�
𝑓 = (𝑝 + )
2 2𝐿
𝑝∈ℕ
Étude expérimentale
1. Relever les fréquences de résonance lorsque la ligne est ouverte (𝑅 → ∞) et placer les points correspondant sur le diagramme
ci-dessous.
2. Relever les fréquences de résonance lorsque la ligne est court-circuitée (𝑅 = 0). Placer les fréquences de résonance de la ligne
en fonction de 𝑝 + 12 sur le graphique.
Câble coaxial
9/10
10
9
8
7
𝑓/Mhz
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
5
4
𝑝 ou 𝑝 +
6
7
8
1
2
3. En déduire une valeur de la vitesse 𝑣 de propagation des ondes dans le câble.
V Mesures complémentaires
Pour le câble de longeur ℓ = 60 m et d’impédance 50 Ω, mesurer les caractéristiques suivantes :
1. La résistance de l’âme 𝑟u� et le résistance de la tresse extérieure 𝑟u� .
On mesure à l’ohmmètre :
On mesure
2. Le constructeur donne
𝑟u� = 17,7 Ω
𝑟u� = 2,10 Ω
𝑟u� + 𝑟u�
= 0,100 Ω/m. Comparer à la valeur que vous avez mesurée.
ℓ
Avec les valeurs mesurées :
𝑟u� + 𝑟u�
= 0,329 Ω/m
ℓ
9
10
10/10
Câble coaxial
3. Mesurer la capacité par unité de longueur 𝛾 entre l’âme et la tresse. Comparer à la valeur donnée par le constructeur
𝛾 = 112 pF/m.
Avec les valeurs mesurées :
𝛾 = 99,8 pFe/m