Feuille de TD no5 - Université de Bordeaux

Université de Bordeaux I – 2012/13
MOSE 1003
Feuille de TD no5
Vecteurs propres, valeurs propres, diagonalisation
Exercice 1
1
−1
On considère la matrice définie par A =
1.
2.
3.
4.
2
.
4
Déterminer les valeurs propres de A puis les vecteurs propres associés.
Expliquer pourquoi la matrice A est diagonalisable.
Trouver des matrices D diagonale et P inversible telles que A = P DP −1 .
En déduire en fonction de n la matrice An pour tout entier naturel n.
Exercice 2
Soit la matrice définie par A =
1.
2.
3.
4.
5.
m
1
1−m 0
où m est un paramètre réel.
Montrer que les valeurs propres de A sont données par 1 et m − 1.
En déduire en fonction de m les vecteurs propres associés.
Montrer que A est diagonalisable si et seulement si m 6= 2.
Écrire dans ce cas A sous la forme A = P DP −1 où D diagonale et P inversible.
Calculer la matrice Ak pour tout entier naturel k.
* Exercice 3
2
−5
Soient C l’ensemble des nombres complexes et la matrice définie par A =
1
.
−2
1. Déterminer dans C les valeurs propres de A.
2. En déduire les vecteurs propres associés.
3. Déduire de ce qui précède une diagonalisation de A dans C.
Diagonalisation et ses applications
Exercice 4
Soient (xn ) et (yn ) deux suites vérifiant pour tout entier n ≥ 0 le système d’équations récurrentes
xn+1 = xn − yn
yn+1 = 2xn + 4yn .
On cherche à exprimer le terme général xn en fonction de n et x
0 , de même le terme général yn en fonction
xn
de n et y0 . Pour cela, on pose pour tout entier n ≥ 0, Xn =
.
yn
1 −1
1. Vérifier que le système ci-dessus s’écrit Xn+1 = AXn avec A =
.
2
2.
3.
4.
5.
4
An X0
En déduire que Xn =
pour tout entier n ≥ 0.
Déterminer les valeurs propres de A puis les vecteurs propres associés.
Donner une diagonalisation de la matrice A puis calculer An pour tout entier n ≥ 0.
Conclure en utilisant l’égalité Xn = An X0 .
26 novembre 2012 – feuille de TD no 5
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Université de Bordeaux I – 2012/13
** Exercice 5
MOSE 1003
Système différentiel linéaire à coefficients constants
Soient x = x(t) et y = y(t) deux fonctions de la variable t. On considère le système d’équations linéaires 2 × 2
(
dx
dt = x − y
(1)
dy
dt = 2x + 4y.
On veut résoudre ce système différentiel à deux inconnuesxet y. On cherche donc à trouver des fonctions x(t)
x
et y(t) verifiant le système. Soit le vecteur colonne X =
.
y
1. Vérifier que le système (1) est équivalent à l’égalité
dX
1 −1
(2)
= AX
avec
A=
.
2 4
dt
2. Déterminer les valeurs propres de A puis les vecteurs propres associés.
3. En déduire des matrices D diagonale et P inversible telles que D = P −1 AP .
4. On pose Y = P −1 X. En utilisant l’égalité (2) puis en remarquant que X = P Y , montrer que
dY
dX
= P −1
= DY.
dt
dt
(3)
u
. Montrer que l’égalité (3) est équivalente au système différentiel linéaire
5. On pose Y =
v
(
(4)
du
dt
dv
dt
= au
= bv
où a et b sont respectivement les valeurs propres de la matrice A.
6. Montrer que les solutions du système (4) sont de la forme
(
u = C1 eat
(5)
v = C2 ebt
où C1 et C2 sont des constantes arbitraires.
7. En revenant à l’égalité X = P Y , déduire des solutions données par (5) l’ensemble des solutions du
système (1).
26 novembre 2012 – feuille de TD no 5
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