I- FORME EXPONENTIELLE D`UN NOMBRE COMPLEXE

COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
I-
FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Définition 1 : soit θ un nombre réel. On pose :
cos
Théorème 1 (admis) : soit
et
sin
deux nombres réels. Alors :
Définition 2 : soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le
nombre complexe de module r et d’argument θ.
est une forme exponentielle de z.
Théorème 2 (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes
exponentielles.
et
Si
sont deux formes exponentielles de z, alors
relatif k tel que
et il existe un entier
.
2
Théorème 3 (admis) : soit z, z1, z2 trois nombres complexes non nuls de formes
,
exponentielles respectives
et
. Alors :
o
o
o
o
Pour tout entier naturel n,
o
o
Exemples :
Le nombre complexe z de module
Le nombre complexe z de module
exponentielle :
a pour forme
.
exponentielle :
o
et dont un argument est
et dont un argument est
a pour forme
.
Remarque : une exponentielle complexe peut être un réel négatif. (
1).
Applications :
o
Calculs avec les formes exponentielles : Euler n° 755 (inverse) ; 756 (quotient) ;
757 (produit) ; 761 (puissance).
o
Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement : Euler n°
764 et 763.
Maths – Tnale STI o
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o
II-
Placer un point dans un repère : Euler n° 1014.
FORMULE DE MOIVRE. FORMULES D’EULER
Dans ce paragraphe, on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour
établir des formules de calcul qui s’utilisent surtout pour transformer des expressions
trigonométriques.
1) Formule de Moivre
Abraham de Moivre (1667-1754) est un mathématicien britannique d’origine
française. Il découvrit sa formule en 1717 en résolvant des équations algébriques
issues de la trigonométrie.
Théorème : soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Alors :
Démonstration :
Nous savons que nous pouvons écrire le nombre complexe de module 1 et dont un
argument vaut θ (
) de la manière suivante :
De plus, pour entier naturel n :
cos
Ainsi : cos
sin
sin
cos
.
sin
cos
sin
.
Exemple :
Leonhard Euler (1707-1783) mathématicien et physicien suisse, découvrit
l’extraordinaire parenté entre les exponentielles et la trigonométrie vers 1740.
Il écrit alors dans son Introduction à l’analyse infinitésimale la fameuse formule
Maths – Tnale STI 2) Formules d’Euler
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1
0, qu’Euler appelait la plus belle formule des mathématiques car elle réunit les cinq
nombres les plus importants en mathématiques : 0, 1, π, e et i.
Théorème : soit θ un nombre réel. Alors :
Démonstration :
Nous savons :
cos
sin
et
cos
sin
sin .
cos
cos
sin
cos
sin
En additionnant, puis en soustrayant les deux égalités membres à membres, on
On a :
obtient les formules d’Euler.
Exemple :
Remarque : les formules d’Euler servent particulièrement lors de la linéarisation de
polynômes trigonométriques.
III- TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES ASSOCIÉES
1) Translation
Théorème : soit z, z’ et a des nombres complexes. La transformation du plan qui à tout
point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’, tel que z’ = z + a, est la translation de
vecteur
ayant pour affixe a.
« Ajouter un nombre a c’est translater d’un vecteur d’affixe a ».
Démonstration :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal
; ,
,
on considère le point A d’affixe a, le point M d’affixe z
et le point M’ d’affixe z’.
, alors : dire que M’ est l’image de M
par la translation de vecteur
signifie :
.
Ce qui se traduit en termes d’affixes par : z – z’ = a.
D’où le théorème.
Maths – Tnale STI Si on pose
3 COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal
2
, soit A la point d’affixe
; ,
3.
Quelle est l’affixe du point B, image du point A par la translation de vecteur
On a
1
2
1
1,2 ?
5.
2) Rotation
« Multiplier par c’est faire tourner d’un angle θ». Théorème 1 (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère
orthonormal direct
et θ un nombre réel qulconque. Dire qu’un point M d’affixe
; ,
z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre O et d’angle θ équivaut à
.
dire que :
Théorème 2 (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère
orthonormal direct
et θ un nombre réel quelconque. Dire qu’un point M
; ,
d’affixe z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre le point Ω
d’affixe
.
et d’angle θ, équivaut à dire que :
Illustration :
Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal
A et B d’affixes respectives
et
1
; ,
, on considère les points
.
Par quelle transformation géométrique le point B est-il l’image de A ?
B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle .
Déterminer les coordonnées du point B.
Donc B a pour coordonnés :
Soit le point C d’affixe
√
; 1
2
√3
2
√3
2
√
. Par quelle transformation géométrique le point C
est-il l’image de B ? Calculer les coordonnées de C.
C est l’image de B par la translation de vecteur
d’affixe i, et
Maths – Tnale STI 1
2
4 COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE
1
Donc C a pour coordonnées :
√
; √3
2
3
√3
2
√
Applications : fiche applications cours n°9 (extraits de sujets de bac)
Maths – Tnale STI 5