LES NOMBRES I) Les différents types de nombres 1) Les nombres entiers Définitions : • {0 ; 1 ; 2 ; 3 ...} est l’ensemble des nombres entiers naturels : l’ensemble des nombres entiers naturels est noté N (comme Naturel). • {... −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...} est l’ensemble des nombres entiers relatifs : il est noté Z. Remarques : • En ajoutant aux entiers naturels les entiers négatifs, on passe de l’ensemble N à l’ensemble Z. ‚ Tout entier naturel est relatif. On dit que N est inclus dans Z et on le note : N W Z. 2) Les nombres rationnels : Définitions : • Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction ou quotient du type a où a ∈ Z et b b ∈ N−{0}. L’ensemble des nombres rationnels se note Q (comme Quotient). a • Un nombre décimal est un nombre rationnel pouvant s’écrire n où a S Z et n S N. L’ensemble des nombres 10 décimaux est noté D (comme Décimal). Remarques : • Tout décimal s’écrit sous la forme d’une fraction. Par exemple : − 2, 63 = −263 . 100 On écrit alors : D W Q. ‚ On démontre qu’il existe des nombres qui ne sont pas rationnels comme par exemple 2 ou π. Ces nombres sont appelés les nombres irrationnels. 3) Les nombres réels Définition : L’ensemble regroupant les nombres rationnels et les nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels que l’on note R (comme Réel). Théorème : On représente l’ensemble des nombres réels par une droite : les abscisses des points de cette droite forment l’ensemble R. Le nombre réel 0 est l’abscisse de l’origine O et le nombre réel 1 celle du point I. Propriété : Les remarques précédentes permettent d’écrire : N W Z W D W Q W R. Les nombres 1/3 II) Intervalles de R Définition : L’intervalle fermé d’extrémités a et b (a ≤ b) noté [a ; b] est l’ensemble des nombres réels x tels que a ; x ; b . Les bornes a et b appartiennent à l’intervalle [a ; b]. Remarque : x ∈ [a ; b] signifie a ≤ x ≤ b. Exemples : L’intervalle [−3 ; 5] est représenté par le segment [AB] suivant : A -4 -3 B -2 -1 x ∈ [−3 ; 5] signifie −3 ≤ x ≤ 5. 4 −2,8 ∈ [−3 ; 5] ∈ [−3 ; 5] 3 Intervalle Inégalités associées [3 ; +∞[ x≥3 ]−1 ; +∞[ x > .1 ]−∞ ; 2[ x<2 [−2 ; 5] −2 ≤ x ≤ 5 0 5 ∈ [−3 ; 5] 1 2 3 4 5 6 8 ∉ [−3 ; 5]. Représentation −1 ≤ x ≤ 4 2<x<7 −1 < x ≤ 3 Remarques : • Les bornes a et b appartiennent à l’intervalle [a ; b], mais n’appartiennent pas à ]a ; b[. ‚ Les symboles +o et .o (plus l’infini et moins l’infini) ne désignent pas des nombres réels : les crochets sont donc toujours « ouverts » en +o ou en .o. III) Valeur absolue et distance Définition : Soit une droite munie d’un repère (O ;I). Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x notée x est la distance du point M d’abscisse x à l’origine O. • si x ? 0 alors x = x . • Si x ; 0 alors x = − x . Conséquence : pour tout nombre réel x , x est positif. Définition : Soit x et y deux nombres réels, la distance entre les nombres x et y est le nombre réel positif x − y . Remarque : x − y peut aussi s’écrire y − x . Exemples : Les nombres 2/3 IV) Nombres premiers 1) Diviseurs d’un nombre entier naturel Définition : Soit a et b deux entiers naturels (b ≠ 0). On dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel q tel que a = b × q. Remarque : q représente le quotient de la division de a par b. Si la division « s’arrête » avec un quotient entier, alors b divise a. On dit aussi que a est divisible par b. Exemples : 2) Nombres premiers Définition : Un entier naturel est dit premier s’il admet seulement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : La liste des nombres premiers commence par : 3) Décomposition en produit de nombres premiers Théorème : Tout entier naturel se décompose en produit de facteurs premiers. Exemples : Les nombres 3/3