Comportement d`une suite

Comportement d'une suite
I) Approche de "sens de variation et de limite d'une suite" :
7
Soit la suite (un) telle que un = 5 –
(n + 1)2
Représentons graphiquement la suite dans un plan muni d' un repère.
Il suffit de placer les points de coordonnées (n;un)
J'obtiens facilement les termes de la suite en utilisant la calculatrice graphique ! Je peux aussi les
calculer moi même en utilisant la formule explicite :
7
7 45 – 7 38
u2 = 5 –
=5– 2=
=
≃ 4,22
9
9
(2 + 1)2
3
► Il semble que, plus n augmente, plus un augmente. On a u0 < u1 < u2 ....
On peut conjecturer la façon dont la suite évolue, c'est à dire son sens de variation.
On dira ici que la suite (un) est croissante.
•
Si les termes diminuent, on a u0 > u1 > u2 .... on dit
que la suite est décroissante.
• Elle sera dite constante si tous les termes sont égaux.
attention, certaines suites ne sont ni croissantes, ni décroissantes,
ni constantes. Par exemple, un = cos(n)
► Lorsque n augmente (on dit aussi qu'il tend vers + ), les termes se rapprochent
de plus en plus de la valeur 5. On dit que la limite de la suite (un) est 5.
On écrit alors :
•
lim (un) = 5
n→+
Si un augmente autant qu'on veut quand n augmente, on dit que la
suite tend vers +
•
lim (un) = +
n→+
Si un diminue autant qu'on veut quand n augmente, on dit que la
suite tend vers –
lim
n→+
(un) = –
attention, certaines suites n'ont pas de limite. Par exemple un = (–1)
1
n
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II) Sens d'une variation de suite :
définition : une suite (un) est :
• strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un < un+1
Ex :
la suite (vn) des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9.... est une suite strictement croissante
C'est la suite arithmétique de premier terme v0 = 1 et de raison 2
• strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un > un+1
Ex :
1 1 1 1
la suite (wn)n 1 des nombres 1, , , , .... est une suite strictement décroissante
2 3 4 5
1
C'est la suite telle que wn = pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1
n
• constante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un = un+1
on définit de la même façon une suite croissante ou décroissante en utilisant les inégalités au sens large.
(wn)n 1 est une suite décroissante car pour tout entier naturel n, wn wn+1
définition : une suite (un) est monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
Ex :
► les suites (vn) et (wn)n 1 définies précédemment sont monotones.
► la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=(–1)n n'est pas monotone
III) Etudier le sens d'une variation de suite :
Soit (un) une suite définie sur
il existe trois façons éventuelles de procéder :
► On peut étudier le signe de la différence un+ 1 – un
• si, pour tout entier naturel n, un+1 – un 0 alors la suite un est croissante
• si, pour tout entier naturel n, un+1 – un 0 alors la suite un est décroissante
justification :
un+1 – un 0 équivaut à un+1 un et (un) est croissante
un+1 – un 0 équivaut à un+1 un et (un) est décroissante
Ex : Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 2 +
1
n+1
Etudions le sens de variation de (un)
1
n+1
n+2
 – 2 + 1  = 2 + 1 – 2 – 1 =
un+1 – un = 2 +
–
(n+1)+1 
n+1
n+2
n+1 (n+1)(n+2) (n+1)(n+2)

=
–1
(n+1)(n+2)
–1 < 0 et (n+1)(n+2) > 0 donc un+1 – un < 0 et la suite (un) est strictement décroissante
2
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► On peut comparer
un+1
à1
un
(uniquement si tous les termes de la suite sont strictement positifs)
•
•
un+1
un
un+1
si, pour tout entier naturel n,
un
si, pour tout entier naturel n,
1 alors la suite un est croissante
1 alors la suite un est décroissante
justification :
un+1
1 équivaut à un+1 un et un est donc croissante
un
un+1
1 équivaut à un+1 un et un est donc décroissante
un
n'oublions pas que un>0 !
n
Ex : Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un =
2
3n+2
Etudions le sens de variation de (un)
n+1
2
n+3
n+2
n+1
un+1 3
2
3
2
2
= n = n+3 x n =
or, < 1 donc (un) est décroissante
un
3
3
2
3
2
n+2
3
► Si la suite (un) est définie à l'aide d'une fonction
sens de variation de la fonction.
•
si la fonction
est croissante sur [0 ; +
•
si la fonction
est décroissante sur [0 ; +
[, alors
par un= (n), on peut utiliser le
la suite est croissante
[, alors
la suite est décroissante
justification :
•
(n+1)
•
(n+1)
Si f est croissante sur [0 ; +
n équivaut à
(n+1)
(n) donc un+1 un (la suite (un) est donc croissante)
Si f est décroissante sur [0 ; +
n équivaut à
(n+1)
[,
[,
(n) donc un+1 un (la suite (un) est donc décroissante)
Ex : Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 3n2
Etudions le sens de variation de (un)
La fonction un est définie par un = (n) avec (x) = 3x2
La fonction
est croissante sur [0 ; + [ donc (un) est croissante.
propriété :
• une suite arithmétique de raison r est croissante si r>0 et décroissante si r<0
• la suite (vn) telle que vn = qn pour tout entier naturel n est croissante si q>1 et
décroissante si 0<q<1
► démonstration
• Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Par définition, on a un+1 = un + r donc un+1 – un = r
- si r > 0, on a un+1 – un > 0 donc la suite est croissante
- si r < 0, on a un+1 – un < 0 donc la suite est décroissante
3
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•
Soit (vn) une suite telle que vn= qn avec q 0.
Par définition, on a vn+1 = qn+1 = qn x q = vn x q donc q =
vn+1
vn
vn+1
>1 donc vn+1 > vn donc la suite est croissante
vn
vn+1
- si 0<q<1, 0<
<1 donc vn+1 < vn donc la suite est décroissante
vn
- si q>1,
IV) Notion de limite d'une suite :
a) suite ayant pour limite +
(ou –
) (limite infinie) :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un =
un
n2
10
Je prends un nombre réel A, aussi grand que je le
veux.
Je trouve alors un rang n0 à partir duquel tous les
termes de la suite seront plus grands que A
A
Démontrer ce qui précède quel que soit le nombre A,
c'est démontrer que les termes un de la suite sont
tous aussi grands qu'on veut à condition de prendre n
assez grand.
A
On dit que la suite (un) a pour limite +
et on note :
lim (un) = +
n→+
11
0 1
n0
De la même façon, on pourra montrer qu'une
suite tend vers – . Pour un nombre réel A (aussi
petit qu'on veut), il existe un rang à partir duquel
tous les termes de la suite sont inférieurs à A.
n
b) suite ayant pour limite un nombre réel (limite finie) :
Soit la suite (un)n 1 définie pour tout entier naturel n par un =
1
+3
n2
Je conjecture que la limite de la suite est 3
(à l'aide de ma calculatrice)
un
Je choisis un nombre réel positif a aussi
petit que je veux !
3+a
Je trouve alors un rang n0 à partir duquel
tous les termes de la suite seront dans l'intervalle ]3 – a ; 3 + a[
3
3–a
1
Démontrer ce qui précède quel que soit le
réel positif a, c'est démontrer que les termes un de la suite finissent par s'accumuler près de 3.
0
On dit que la suite (un) a pour limite 3 et
on note :
1
n0
lim (un) = 3
n→+
4
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un
Certaines suites n'ont pas de limite !
Par exemple, la suite (un) définie
pour tout entier naturel n par
un = cos(n)
n
5
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