Un nombre permet d’exprimer une quantité (une grandeur), par exemple : 50 €. Un nombre permet aussi d’exprimer un ordre, par exemple : le ticket n°8. Calcul vient du latin « calculus » qui signifie caillou. Calculer, c’est compter les cailloux. Avec le temps, les hommes ont appris certaines relations entre les nombres et ont inventé un langage et des signes pour exprimer ces relations. La somme est le résultat d’une addition : 1+4=5 Le produit est le résultat d’une multiplication : 3 x 77 = 241 Le quotient est le résultat d’une division : 23 : 4 donne 5 reste 3 3 est le reste 5 est le quotient 4 est le diviseur 23 est le dividende Termes Somme Facteurs Produit La différence est le résultat d’une soustraction : 9–5=4 On peut écrire : 23 : 4 = 5 + 3 Doubler : multiplier par 2. Tripler : multiplier par 3. Quadrupler : multiplier par 4. 4 Les compétences à maîtriser Compétences N1 / entiers N2 / en fractions N3 / décimaux Repérer sur une droite Placer sur une droite N1.…… N2.…… N3.…… N1.…… N2.…… N3.…… Décomposer N1.…… N2.…… N3.…… Comparer N1.…… N2.…… N3.…… Ranger N1.…… N2.…… N3.…… Encadrer N1.…… N2.…… N3.…… Arrondir N1.…… N2.…… N3.…… Termes Différence = égal < inférieur à > supérieur à ( ) commencer par ce calcul Nombre 3,45 partie entière du nombre partie décimale du nombre Calculer C Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 1 N1 / Les entiers Il y a très longtemps, les humains ont commencé à compter avec de petits cailloux et leurs doigts. Comme tous les humains ont dix doigts, ils ont fait des groupes de dix pour rendre le comptage plus facile. Plus tard, ils ont utilisé les chiffres pour écrire des nombres, de la même façon qu’on utilise des lettres pour écrire des mots. Comprendre Plus le chiffre est à gauche, plus la valeur qu’il exprime est grande : 1000 < 100 < 10 < 1 1 dizaine <=> 10 unités 1 centaine <=> 10 dizaines <=> 100 unités 1 millier <=> 10 centaines <=> 100 dizaines <=> 1000 unités Lire et écrire On lit les nombres en regroupant les chiffres par classe en commençant par la gauche. 1 354 284 un MILLION trois-cent-cinquante-quatre MILLE deux cent quatre-vingt-quatre 1 x 1 000 000 385 x 1 000 284 Pour écrire un nombre entier, il faut regrouper les chiffres par trois en partant de la droite et laisser un espace. 12567 12 567 Cela permet de le lire plus facilement. Quelques photos Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 2 Lire N2 / Les fractions Lorsqu’ils doivent mesurer, les hommes utilisent une unité. Cette unité peut être une bande (un morceau de tissu), une ligne (un fil), une aire (une surface). Parfois, l’unité est trop grande pour mesurer. Il faut donc la découper en demis, en tiers, en quarts, en dixièmes… Les fractions permettent d’écrire ces mesures et ces partages. On utilise les mots demi, quart, tiers… On met –ième après le nombre. Exemple : 1 un demi : 2 3 trois quarts : 4 7 sept dixièmes : 10 Comprendre « 3 quarts » Numérateur : nombre de part prise 3 4 Dénominateur (il nomme la fraction): nombre de part partagée dans une unité Ecrire Les fractions décimales : Il existe une famille de fractions particulières et très utilisées : la famille des fractions décimales. Ce sont des fractions dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, 10 000… Certaines fractions sont égales. Dans l’écriture, elles sont équivalentes. Pour simplifier, on écrit souvent la fraction avec le plus petit dénominateur. 20 2 𝟏 = = 40 4 𝟐 (Quand il existe un seul multiple pour le numérateur et le dénominateur, Il faut simplifier. Pour cela, on peut utiliser un moule à simplifier.) Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 3 N3 / Les nombres décimaux Les nombres décimaux sont des nombres qui peuvent s’écrire avec une virgule. Ils permettent de tenir compte de ce qui est plus petit qu’une unité dans une mesure ou un dénombrement : 3,5 cm ou 9,50 €. Comprendre Plus le chiffre est à droite de la virgule, plus la valeur qu’il exprime est petite. 0,1 > 0,01 > 0,001 > 0,0001 1 0,1 c’est 10 d’unité 1 0,01 c’est 100 d’unité 1 0,001 c’est 1000 d’unité 1 0,0001 c’est 10 000 d’unité Lire Ecrire On utilise les mots : dixième (dix fois plus petit que l’unité) centième (cent fois plus petit que l’unité) millième (mille fois plus petit que l’unité) dix-millième (dix mille dois plus petit que l’unité) Exemples : 0,1 se lit 1 dixième 3,047 se lit 3 047 millièmes ou 3 et 47 millièmes ou 3, 4 centièmes et 7 millièmes Pour écrire un nombre décimal, je peux utiliser les fractions. cinq-cent-quatre-vingt-cinq centièmes 585 = 5, 𝟖𝟓 1𝟎𝟎 Généralement, on n’écrit pas les zéros inutiles (ceux tout à droite, dans la partie décimale) : 7,80 = 7,8 Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 4 C / Les 7 points d’appui pour calculer plus facilement C1 / La table d’additions C2 / Les doubles, les triples, les quadruples Double 5 10 15 20 25 50 100 Triple 10 20 30 40 50 100 200 Demi (moitié) Quadruple 15 30 45 60 75 150 300 Tiers 20 40 60 80 100 200 400 Quart C3 / Ordre de grandeur Pour les grands nombres, il est parfois inutile de calculer avec précision. On utilise un ordre de grandeur. La population de ce pays est de 63 753 140 habitants. La population de ce pays est d’environ 64 000 000 habitants. Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 5 C4 / La table de multiplications (et les carrés) C5 / La commutativité de l’addition et de la multiplication 15 + 7 + 5 = 15 + 5 + 7 = 20 + 7 = 27 Je remarque que 15 + 5 = 20, donc je les rassemble. Je remarque que : 71 x 127 = 127 x 71 Je pose donc l’opération la plus simple : 127 x 71 Je ne connais pas la table de 9, mais je connais la table de 3, donc : 9 x 3 = 3 x 9 = 27 C6 / La distributivité 13 x 7 = (10 + 3 ) x 7 = ( 10 x 7 ) + ( 3 x 7 ) = = 70 + 21 91 C7 / Les multiples Un nombre est multiple de… 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. 6 s'il est divisible à la fois par 2 et par 3. 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 10 si son dernier chiffre est 0. Exemples 16 et 4 562 562 123 (car 1 + 2 + 3 = 6) 116 1270 et 705 252 1188 100 ou 123 230 Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 6 AIDE / Tableau de numération CLASSES ORDRES CLASSE DES MILLIARDS PARTIE ENTIERE CLASSE DES MILLIONS CLASSE DES MILLIERS PARTIE DECIMALE CLASSE DES UNITES C D U C D U C D U C D U e n t a i n e i z a i n e n i t é e n t a i n e i z a i n e n i t é e n t a i n e i z a i n e n i t é e n t a i n e i z a i n e n i t é d i x i e m e s c e n t i è m e s m i l l i è m e s d i x m i l l i è m e s , , , Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 7 AIDE / Ecrire Pour écrire un nombre en lettres : 1. Mille est invariable 2. Les numéraux composés sont unis par des traits d’union sauf miller(s), million(s), milliard(s) : 21 302 vingt-et-un-milletrois-cent-deux 2 300 000 deux millions trois-cent-mille 3. 20 et 100 s'accordent quand ils sont multipliés par un nombre sans être suivis par un autre nombre : 80 quatre-vingts 83 quatre-vingt-trois 400 quatre-cents 421 quatre-cent-vingt-et-un AIDE / Entiers Décomposer : en somme : 86 526 = 80 000 + 6 000 + 500 + 20 + 6 en somme de produit : 3 564 = 3 x 1000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 4 Attention ! Dans un nombre comme 205, on n’écrit pas le 0 dans la décomposition : 205 = 2 x 100 + 0 x 10 + 5 = 2 x 100 + 5 Comparer : 235 345 > 96 723 184 < 189 Nombre qui précède 235 345 est supérieur à 96 723 184 est inférieur à 189 Nombre qui suit Encadrer : à l’unité : 235 < 236 < 237 à la dizaine : 230 < 236 < 240 à la centaine : 200 < 235 < 300 au millier : 0 < 235 < 1000 Ordonner : Ordre croissant (du plus petit au plus grand) : 24 < 234 < 457 Ordre décroissant (du plus grand au plus petit) : 457 > 234 > 24 ou ranger Arrondir : 234 arrondi à la dizaine : 230 1250 arrondi à la centaine : 1300 Rappel : Les chiffres de 0 à 4 0 Les chiffres de 5 à 9 + 1 dans le rang de gauche Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 8 AIDE / Décimaux Décomposer : en somme : 1,263 = 1 + 0,2 + 0,06 + 0,003 En somme de produit : 2,951 = 2 + 9 x 0,1 + 6 x 0,01 + 0,001 En somme de fractions : 2,951 2 9 5 1 10 100 1000 En distinguant les parties entière et décimale : 24,035 24 AIDE / Fractions Décomposer : Ordonner : 5 4 1 1 1 4 4 4 4 5 1 0,25 4 1 ou ranger 35 1000 3 3 2 2 1 1 1 1 4 5 3 5 2 3 4 5 Attention ! Dans un nombre comme 8,09, on n’écrit pas le 0 dans la décomposition : 8,09 = 8 x 1 + 0 x 0,1 + 9 x 0,01 Comparer : 1,9 > 1,12 0,12 < 0,13 1,9 est supérieur à 1,12 0,12 est inférieur à 0,13 Encadrer : à l’unité / entre deux entiers consécutifs : 2 < 2,196 < 3 au dixième : 2,1 < 2,196 < 2,2 au centième : 2,19 < 2,196 < 2,2 au millième : 2,195 < 2,196 < 2,197 Ordonner : Ordre croissant (du plus petit au plus grand) : 0,0012 < 0,09 < 0,1 Ordre décroissant (du plus grand au plus petit) : 0,1 > 0,09 > 0,0012 ou ranger Arrondir : 8,5 arrondi à l’unité / à l’entier (le plus proche) : 9 8,14 arrondi au dixième : 8,1 9,205 arrondi au centième : 9,21 54,2052 arrondi au millième : 54,205 Encadrer : entre deux unités : 2 7 3 3 Transformer en écriture décimale : 1 0,5 2 1 0,2 4 1 0,2 5 3 2 1 0,75 0,4 0,001 4 5 1000 1 1 0,1 0,01 10 100 Calculer Addition Soustraction Il faut les mettre sur le même dénominateur. Il faut les mettre sur le même dénominateur. 1 3 2 3 5 2 4 4 4 4 3 1 3 2 1 4 2 4 4 4 Division 1 1: 2 2 Rappel : Les chiffres de 0 à 4 0 Les chiffres de 5 à 9 + 1 dans le rang de gauche Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 9 Nombres et calculs – Alexandre Royal – MàJ 06/2011 10