Méthodologie de pré-dimensionnement de convertisseurs de

N° d’ordre 2006ISAL0085
Année 2006
Thèse
Présentée devant
L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Pour obtenir
Le grade de docteur
Ecole doctorale : Electronique, Electrotechnique et Automatique.
Spécialité : Génie électrique
Par
HELALI Hassan
Pour une soutenance le 24 Novembre 2006
Méthodologie de pré-dimensionnement de convertisseurs de puissance :
Utilisation des techniques d’optimisation multi-objectif et prise en compte
de contraintes CEM
Jury
M. COSTA François
M. SCHANEN Jean Luc
M. MOREL Hervé
Mme. SLAMA-BELKHODJA Ilhem
M. BEN AMMAR Faouzi
M. BEN HADJ SLAMA Jaleleddine
Professeur
Professeur
Directeur de recherche
Professeur
Maître de conférence (HDR)
Maître de conférence
Membre invité : M. BERGOGNE Dominique
Remerciements
Arrivant au terme de ce travail de thèse, je tiens à adresser ma gratitude envers tous ceux qui
m’ont aidé et soutenu.
Je tiens à remercier particulièrement M Hervé MOREL. Au-delà de l’aspect scientifique, je
lui suis reconnaissant pour ses qualités humaines. Après cette expérience, je reconnais que le
savoir seul n’est pas suffisant pour encadrer et motiver les jeunes chercheurs. Des
remerciements aussi sincères vont à M Dominique Bergogne, Mme Ilhem Slama-Belkhodja et
M Jaleleddine Hadj Slama.
C’est avec un grand plaisir que je remercie M François Costa, M Jean Luc Schanen et M
Faouzi Ben Ammar qui ont accepté de faire partie de mon jury de thèse.
Des remerciements aussi chaleureux vont à mes collègues du CEGELY avec qui j’ai partagé
ces années de travail, je pense à tout(e)s les doctorant(e)s ainsi qu’au personnel permanent (la
liste est longue et je suis sûr qu’ils vont se reconnaître facilement).
Je réserve la fin de mes remerciements à ma famille pour leur soutien quotidien.
2
A mon père,
ma mère,
mon frère et ma sœur.
3
Table des matières
Table des matières
Introduction générale............................................................................................................... 7
Chapitre I. Modélisation et conception des systèmes de puissance. .................................... 9
I.
Conception et pré-dimensionnement des systèmes de puissance..................................... 10
1.
Problématique de la conception des systèmes de puissance ........................................ 10
2.
Le pré-dimensionnement en électronique de puissance............................................... 12
3.
Approche de pré-dimensionnement par optimisation .................................................. 13
4.
Démarche de pré-dimensionnement retenue et exemple traité .................................... 19
II.
Modélisation en électronique de puissance...................................................................... 20
1.
Modèles et choix de composants.................................................................................. 20
2.
Câblage et performances de la technologie SMI.......................................................... 32
III.
Cas d’étude : Application............................................................................................. 35
1.
Considérations de conception....................................................................................... 35
2.
Formulation du problème d’optimisation..................................................................... 45
IV.
Conclusion.................................................................................................................... 46
Chapitre II. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites ...... 47
I.
II.
La CEM dans les convertisseurs de puissance ................................................................. 48
1.
Généralités.................................................................................................................... 48
2.
Normes CEM en électronique de puissance................................................................. 49
3.
Etude phénoménologique............................................................................................. 53
Etat de l’art sur les méthodes d’estimation spectrale ....................................................... 54
1. Méthode indirect .............................................................................................................. 54
2. Méthodes directes : modélisation analytique ................................................................... 59
III. Mise en équation systématique basée sur la causalité........................................................ 64
4
Table des matières
1.
Modélisation unifiée : graphe des liens........................................................................ 64
2.
Mise en équation systématique : Analyse de causalité ................................................ 68
3.
Graphe des liens commuté ........................................................................................... 71
IV. La méthode proposée : description et validation ............................................................... 72
1.
Principe et Atouts de la méthode proposée .................................................................. 72
2.
Description de la méthode et exemple pédagogique.................................................... 73
3. Validation de la méthode : Application détaillé (hacheur série)...................................... 79
V.
Conclusion........................................................................................................................ 91
Chapitre III. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement .. 93
I. Introduction........................................................................................................................... 94
II. Utilisation des techniques uni-objectifs............................................................................... 96
1. Les algorithmes génétiques .............................................................................................. 96
2. Choix des algorithmes génétiques et outil d’optimisation : DARWIN............................ 97
3. Optimisations avec fonctions coûts discrètes et continues............................................... 98
4. Convertisseurs optimisés................................................................................................ 102
5. Validations de la conception .......................................................................................... 104
6. Conclusion...................................................................................................................... 104
III. Les techniques d’optimisation multi-objectif................................................................... 105
1. Définitions...................................................................................................................... 105
2. Les différentes approches de résolution des problèmes multi-objectifs ........................ 108
IV. Notre démarche d’optimisation multi-objectif................................................................. 126
1. Introduction .................................................................................................................... 126
2. Description de la méthode.............................................................................................. 126
3. Exemple pédagogique .................................................................................................... 129
4. Application dans le cas d’étude : hacheur série 42 /14V ............................................... 131
5
Table des matières
V. Optimisation avec prise en compte de contrainte CEM .................................................... 136
VI. Conclusion ....................................................................................................................... 137
Conclusion générale ............................................................................................................. 139
Bibliographie......................................................................................................................... 142
Résumé et mots clés.............................................................................................................. 147
6
Introduction générale
Introduction générale
Dans le cas de l’électronique de puissance, la conception des convertisseurs peut être
dégrossie à l’aide du pré-dimensionnement. Ce dernier permet surtout d’assurer la
fonctionnalité souhaitée ainsi que le respect des principales spécifications décrites dans le
cahier des charges. Dans ce cadre nous n’avons pas besoin de modéliser les différents
phénomènes (électrique, thermique, CEM, dynamique, ….) avec grande précision, par contre
la rapidité et la simplicité des modèles sont importantes.
Les convertisseurs de puissance couvrent de plus en plus de domaines d’applications, Ceci
implique des environnements de fonctionnement différents, allant des utilisations domestiques
(grand public) aux applications à exigence de fiabilité élevées (aéronautique); Suivant
l’application pour laquelle est dédié le convertisseur, un ou plusieurs objectifs de prédimensionnement sont souvent spécifiés et doivent être optimisés.
La conception de convertisseurs de puissance fait intervenir en général un nombre important
de variables de conception ainsi que plusieurs contraintes physiques contradictoires et de
nature différente. Dans de tels cas, le raisonnement humain seul n’est plus suffisant, car il
devient difficile de percevoir tous les couplages et de comprendre comment agir pour
améliorer les objectifs choisis. Cette complexité du problème conduit naturellement à
l’utilisation de techniques d’optimisations robustes destinées à faciliter la détermination des
meilleures solutions (solutions optimales). Dans le cas où l’on cherche à optimiser un seul
objectif, on utilise des techniques d’optimisation dites uni-objectifs, dans le cas de plusieurs
objectifs simultanés on fait appelle aux techniques multi-objectifs.
7
Introduction générale
Des études antérieures ont montrés l’apport des techniques uni-objectifs dans le cas de la
conception des convertisseurs de puissance, nous présenterons une fois de plus l’utilisation de
ces techniques ainsi que l’apport des techniques multi-objectifs dans ce type d’applications.
Autant la solution à un problème uni-objectif est simple à imaginer, autant le cas multiobjectifs reste assez délicat. Ceci est dû aux conflits qui existent entre les différents objectifs à
optimiser simultanément. Généralement la solution à un problème multi-objectifs se ramène à
un compromis entre les différents objectifs et toute la complexité consiste à trouver le
meilleur compromis.
Dans ce travail nous proposons d’optimiser un hacheur abaisseur de tension, typique pour des
applications automobiles, suivant plusieurs objectifs simultanément.
Ce cas a été choisi car il pose assez peu de problèmes de modélisation en se limitant à des
composants unipolaires (VDMOS et diode Schottky) tout en restant assez réaliste.
Dans le premier chapitre nous allons présenter les différentes spécifications de conception, le
cahier des charges ainsi que les modèles utilisés pour représenter le comportement du
hacheur. Sachant qu’une grande contribution de notre travail concerne la modélisation des
perturbations électromagnétiques (EM), nous y avons consacré tout le chapitre 2. Dans ce
dernier nous allons présenter les différentes méthodes de prédiction des perturbations EM et
nous allons proposer une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations EM
conduites. Dans le chapitre 3, nous présenterons l’utilisation des techniques d’optimisation
uni-objectif et multi-objectif pour l’exemple d’étude.
8
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Chapitre I
Modélisation et conception des systèmes de puissance.
I.
Conception et pré-dimensionnement des systèmes de puissance..................................... 10
1.
Problématique de la conception des systèmes de puissance ........................................ 10
2.
Le pré-dimensionnement en électronique de puissance............................................... 12
3.
Approche de pré-dimensionnement par optimisation .................................................. 13
4.
Démarche de pré-dimensionnement retenue et exemple traité .................................... 19
II.
Modélisation en électronique de puissance...................................................................... 20
1.
Modèles et choix de composants.................................................................................. 20
2.
Câblage et performances de la technologie SMI.......................................................... 32
III.
Cas d’étude : Application............................................................................................. 35
1.
Considérations de conception....................................................................................... 35
2.
Formulation du problème d’optimisation..................................................................... 45
IV.
Conclusion.................................................................................................................... 46
9
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
I. Conception et pré-dimensionnement des systèmes de puissance
1. Problématique de la conception des systèmes de puissance
Actuellement, la conception de systèmes de puissance ou même plus généralement de
systèmes analogiques se base sur « l’art du compromis », c'est-à-dire l’accommodation d’un
grand nombre de contraintes, la plupart conflictuelles. Il est ainsi communément admis que le
dimensionnement d’un dispositif analogique performant n’est pas un processus purement
algorithmique et qu’il requiert l’incorporation d’heuristiques, c'est-à-dire un ensemble de
règles basées sur l’expertise. Pour une même fonctionnalité, il existe souvent plusieurs
topologies de circuit susceptibles de répondre de manière optimale au jeu de performances
demandées et de manière moins performante suivant d’autres critères non explicitement
spécifiées. La nature pluridisciplinaire des systèmes de puissance fait intervenir en général
plusieurs compétences dans différents domaines plus au moins pointus. C’est ce qui fait
l’intérêt mais aussi la difficulté du Groupement de Recherche ISP [GDR04].
Ceci va à l’encontre de l’avancée technologique de la majorité des Systèmes et Technologies
de l’Information de la Communication, qui recourt à des alimentations qui seront de plus en
plus intégrées pour des raisons de volume, de fiabilité ou de coûts. Plus généralement, les
systèmes micro-électroniques ont connu une expansion industrielle exceptionnelle puisque
l’on peut estimer que, depuis 1963, la production double tous les ans. Un des éléments de ce
succès se trouve dans la maîtrise de la conception des systèmes sur puce « Systems-OnChip » (SoC). Cette démarche, appelé plutôt « flot de conception », permet de réduire
considérablement le temps de conception tout en garantissant des performances d’intégration
et de fonctionnement incomparable. La figure 1.1 décrit les étapes de la conception d’un
circuit intégré.
10
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Conception fonctionnelle
Placement-routage
Test : simulation
Fig. 1.1. « Flot de conception » général de système en micro-électronique,
sera considéré comme exemple à suivre dans notre démarche
de dimensionnement pour les systèmes de puissance .
Dans un « flot de conception » on trouve d’une manière générale trois principales étapes: La
première consiste à réaliser un schéma électrique qui satisfait aux exigences, à partir d’un
cahier des charges précis. On parle de « conception fonctionnelle » du circuit. L’étape
suivante consiste à dessiner le circuit, le « placement-routage ». Cette opération consiste à
définir l’emplacement et les dimensions des éléments. Elle se fait en dessinant les différents
masques qui seront utilisés par le fabricant. La dernière étape, le « test », consiste à tester le
circuit après son intégration à l’aide de simulations précises.
Le rêve serait d’appliquer une telle démarche dans le cas de systèmes de puissance et de
pouvoir ainsi, comme en micro-électronique, fabriquer un circuit fonctionnel du premier coup
[GDR04].
11
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
2. Le pré-dimensionnement en électronique de puissance
Le pré-dimensionnement en électronique de puissance permet de dégrossir le problème de
conception des convertisseurs de puissance. Il permet surtout d’assurer la fonctionnalité
souhaitée ainsi que le respect des principales spécifications décrites dans le cahier des
charges. Dans ce cadre nous n’avons pas besoin de modéliser les différents phénomènes
(électrique, thermique, CEM, dynamique, ….) avec grande précision; par contre la rapidité et
la simplicité des modèles sont importantes.
Par analogie avec la micro-électronique, le pré-dimensionnement en électronique de puissance
se situe dans la phase de « conception fonctionnelle ». Au cours de cette étape, les différentes
spécifications de fonctionnement que doit remplir le convertisseur, sont décrites par des
modèles analytiques. En électronique de puissance la phase de « placement routage » est
partiellement incluse dans la « conception fonctionnelle ». Il n’est pas possible de séparer
complètement les deux étapes comme c’est le cas en micro-electronique. Ceci est dû au fort
couplage multi-physique qui existe en électronique de puissance. En effet, la géométrie
intervient dans plusieurs phases du pré-dimensionnemet des systèmes de puissance. A titre
d’exemple, elle intervient en thermique pour fixer le chemin de propagation de la chaleur et
en CEM pour fixer le chemin de propagation des perturbations électromagnétiques ainsi que
les boucles de courant.
En micro-électronique, le « test » permet de réduire le nombre de prototypes durant la phase
de conception. En électronique de puissance, cette tâche reste très délicate vu le couplage
multi-physique ainsi que la complexité des modèles des composants semi-conducteurs. Pour
représenter le comportement réel des composants de puissance on a souvent recourt à des
simulations fines. On peut distinguer entre deux niveaux de finesse des modèles des
composants de puissance, un premier niveau à l’aide de simulations de type circuit, comme
SABER, SIMPLORER, SPICE, PACTE, qui reste suffisamment valable dans le cas de
12
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
composants unipolaire. Dans le cas de composants bipolaires et surtout en régime de forte
injection, les simulations de type circuit sont moins adaptées et on a recours à des modèles
plus précis à l’aide de simulation de type éléments finis, comme ISE-DESIS, SYNOPSYSMEDICI. Ce type de simulation permet de retrouver fidèlement le comportement réel des
composants de puissance. Dans [Gar05], des simulations de type éléments finis on été
utilisées pour extraire les paramètres de conception de diodes bipolaires (diode PiN). Une
modélisation précise du système de test (montage hacheur) au niveau du câblage, des
instruments de mesure (sondes de tension et de courant) ainsi que des éléments actifs
(MOSFET et Diode PiN), a permis de retrouver par simulation les commutations réelles en
fort niveau d’injection. Malgré la précision qu’offre ce type de simulation, elle reste non
attractive dans le cadre d’une démarche de pré-dimensionnement global de systèmes de
puissance. En effet ce type de simulation et surtout celles de type éléments finis réclame la
description complète de la structure des composants, les dopages des couches et dimensions
géométriques, impliquant ainsi des ressources importantes en termes de temps calculs et de
moyens informatiques.
3. Approche de pré-dimensionnement par optimisation
3.1. Le pré-dimensionnement suivant objectif(s)
Actuellement, les convertisseurs de puissance couvrent une large gamme de domaine
d’application. Ceci implique des environnements de fonctionnement différents, allant des
utilisations domestiques (grand public) aux applications à exigence de fiabilité élevées
(aéronautique).
Suivant l’application pour laquelle est dédié le convertisseur, un objectif de prédimensionnement est souvent spécifié et optimisé. Les contraintes de fonctionnement
dépendent aussi de l’application.
13
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
L’objectif de pré-dimensionnement peut être unique ou multiple. Dans certaines applications,
il est indispensable d’optimiser plusieurs objectifs en même temps. Par exemple en
aéronautique, on cherche à minimiser la masse et l’encombrement en même temps et ceci
pour des contraintes de fonctionnement et de fiabilité assez sévères.
Ainsi, le pré-dimensionnement des convertisseurs de puissance peut être formulé en un
problème d’optimisation contraint uni-objectif ou multi-objectif.
Les méthodes d’optimisation uni-objectif sous contraintes consistent à minimiser (ou
maximiser) une fonction objectif suivant des contraintes spécifiques reliant les différentes
variables de la fonction. Dans le cas multi-objectif, plusieurs fonctions souvent conflictuelles,
sont à optimiser simultanément. Dans ce cas on parle de vecteur de fonctions coût.
La prise en compte des contraintes d’optimisation permet le respect des spécifications de
fonctionnement du convertisseur. Ces contraintes sont exprimées directement à partir du
cahier des charges du convertisseur à l’aide de modèles analytiques. Les différents paramètres
de conception (composants, technologie, fréquence de découpage,…) sont utilisés en tant que
variables d’optimisations. L’algorithme d’optimisation manipule ces variables afin de
retrouver la combinaison permettant d’avoir le convertisseur optimal suivant l’objectif(s)
fixé(s) tout en respectant toutes les contraintes de fonctionnement. Un exemple de
transformation d’un problème de pré-dimensionnement de convertisseurs de puissance en un
problème d’optimisation contraint est présenté sur le tableau suivant :
Fonction(s) objectif(s)
Variables d’optimisation
Contraintes
Surface
Composants
Electrique
Coût en euros
Technologie
Thermique
Rendement
Fréquence de découpage
CEM
Masse
Dynamique
Tab. 1.1. Principe de description d’un problème de pré-dimensionnement d’un convertisseur
de puissance en un problème d’optimisation contraint
14
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
3.2. Etat de l’art
Dans certains travaux antérieurs une telle démarche a été suivie pour concevoir des
convertisseurs de puissances. Dans [Bus01] et [Her01] des techniques d’optimisation uniobjectifs à base d’algorithmes génétiques ont été utilisées pour réduire le coût d’une structure
boost avec PFC (Correction de Facteur de Puissance) en prenant en compte des contraintes
de conception thermiques, électriques et CEM. Dans [Lar02] le volume total d’une structure
Flyback en mode PFC a été optimisé à l’aide de techniques uni-objectif de type gradient sous
les mêmes contraintes définies précédemment. On trouve aussi dans la littérature des
applications industrielles impliquant ce type de démarche de conception de convertisseurs de
puissance. Dans [Jou02], le volume d’une structure hacheur réversible, pour des applications
automobiles, a été optimisé suivant des contraintes électriques, thermiques et CEM. Un outil
de dimensionnement, LAMPE, a été développé afin d’automatiser cette tâche. Cet outil se
base sur des techniques d’optimisation uni-objectif de type gradient.
Les convertisseurs ainsi optimisés dans ces travaux sont excellents suivant un seul critère (le
volume ou le coût en Euros ou le rendement, ou...) mais pas forcément très bons suivant les
autres. Ceci est surtout dû aux conflits entre les différents objectifs à optimiser lors de la
conception des systèmes de puissance. Dans [Reg03] une contribution démontre le fort
potentiel de l’utilisation des techniques d’optimisation multi-objectifs dans le cas d’une
chaîne de traction de type véhicule électrique a été présentée. La technique d’optimisation
utilisée permet de fournir un ensemble de solutions efficaces parmi lesquels le concepteur
devra choisir la meilleure solution à retenir. Cette intervention humaine pose un réel problème
lors de l’utilisation des techniques d’optimisation multi-objectif, car elle fait que la solution
dépend fortement du choix personnel du concepteur.
15
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
3.3. Particularités du pré-dimensionnement en électronique de puissance
Le problème de pré-dimensionnement en électronique de puissance présente certaines
particularités concernant la nature des paramètres mis en jeu. En effet, en électronique de
puissance, nous avons un mélange de variables continues (comme par exemple la fréquence
de découpage) et discrètes (comme par exemple les composants discrets). De même, pour les
fonctions objectifs, nous avons des coûts continus tel que le rendement et des coûts discrets
comme la masse des composants.
La plupart des méthodes d’optimisation nécessitent des expressions analytiques des fonctions
coût à optimiser. Ainsi à notre connaissance, dans tous les travaux antérieurs, des techniques
d’interpolation sont utilisés pour déterminer des expressions analytiques pour les fonctions
coûts à partir des coûts réels discrets. Ceci ne permet pas une mise à jour simple de la liste de
composants car elle oblige le concepteur à recalculer les fonctions coût à chaque fois qu’il
veut rajouter un nouveau composant.
Nous avons fait le choix de prendre en compte les valeurs discrètes pour les coûts ainsi que
toutes les caractéristiques (valeurs, dimensions géométrique,…) des composants utilisés,
fournis directement auprès des fournisseurs et fabricants. Tous ces paramètres sont stockés
dans une base de données qui alimentera l’outil d’optimisation en coûts et en variables
d’optimisation. Nous avons utilisé une technique qui permet de mélanger ces paramètres avec
ceux qui sont de nature continue.
Ce choix permet d’une part la mise à jour en composants et d’autre part d’éviter les erreurs
d’interpolation que nous présenterons dans le chapitre 3.
3.4. Choix de la méthode d’optimisation
Le choix de la méthode adéquate pour l’optimisation des convertisseurs de puissance doit
tenir compte des particularités du pré-dimensionnement en électronique de puissance. Ces
particularités sont surtout la nature mixte (discret/continue) des paramètres d’optimisation
16
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
ainsi que des coûts, présentés dans le paragraphe précédent, auquel est rajouté la nécessité de
prise en compte de contraintes d’optimisation. Certaines méthodes ne permettent pas cette
dernière fonctionnalité.
Ce choix est d’autant plus difficile vu que la solution du problème dépend fortement de
l’algorithme qu’utilise la méthode. Ceci fait que certaines méthodes sont plus robustes que
d’autres et ont moins de mal pour retrouver l’optimum absolu (global) de la fonction à
optimiser.
Nous rencontrons dans la littérature deux classes d’algorithmes d’optimisation qui se
distinguent par la manière de chercher la solution : les algorithmes déterministes et les
algorithmes stochastiques [Cul94].
Les premiers dirigent la recherche de la solution en se basant sur des propriétés
mathématiques ce qui les rend rapide. Dans cette famille on distingue les méthodes indirectes,
qui nécessitent le calcul des dérivées premières voire des dérivées secondes, et les méthodes
directes ne nécessitant aucun calcul de dérivée. Cependant toutes les méthodes directes
présentent l’inconvénient de pouvoir être piégées par un minimum local. Pour essayer de
remédier à ce problème, une solution consiste à tester plusieurs valeurs initiales des
paramètres d’entrée, sans aucune garantie.
Les secondes parcourent l’espace des solutions d’une manière aléatoire, ce qui rend la
convergence lente, notamment pour les modèles numériques. De plus, la précision de
convergence est inconnue, mais ils ont l’avantage de ne pas être piégé par un optimum local
et ne requièrent pas la connaissance de propriétés mathématiques. Ils sont aussi bien adaptés
pour prendre en compte des variables ainsi que des fonction coûts discretes. Le tableau 1.2
présente les propriétés de quelques méthodes d’optimisation [Mor03].
Ainsi, les méthodes stochastiques sont mieux adaptées que les méthodes déterministes pour
résoudre des problèmes d’optimisation en électronique de puissance. Elles permettent de
17
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
répondre à toutes les particularités des problèmes de pré-dimensionnement en électronique
de puissance.
Parmi ces méthodes, on trouve les algorithmes génétiques qui seront détaillés au chapitre 3.
Nous avons utilisé ces techniques pour résoudre le problème de pré-dimensionnement. Nous
avons aussi traité le cas multi-objectif en proposant une nouvelle démarche qui permet de
retenir la meilleure solution parmi l’ensemble des solutions fournies par la résolution du
problème multi-objectif. Tous les détails sur l’utilisation des techniques d’optimisation, uniobjectif et multi-objectifs, ainsi que la méthode que l’on propose sont fournis dans le
chapitre3.
Type
Catégorie
nom
Prise en
Calcul des Calcul des Recherche
compte des
dérivées
contraintes
premières
dérivées
du
secondes minimum
global
Méthode de
Oui
Relaxation
Descente
Méthode du
Oui
gradient
Méthode de
Oui
gradient
déterministe
conjugué
Méthode de
Oui
Oui
Newton
pénalisation
Oui
Oui
Primale-duale
Oui
Oui
Programmati
on linéaire
stochastique
Oui
simplexe
Recuit simulé
Oui
Oui
génétique
Oui
Oui
Tab. 1.2. Classification des principales méthodes d’optimisation
18
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
4. Démarche de pré-dimensionnement retenue et exemple traité
4.1. Démarche de pré-dimensionnement
Nous proposons une démarche de pré-dimensionnement générale, pouvant s’appliquer à
n’importe quel structure de puissance. Cette démarche permet d’optimiser plusieurs
performances en même temps à l’aide de techniques d’optimisation multi-objectifs robustes (à
base d’algorithmes génétiques) et fournit en sortie une unique solution au problème, la plus
proche de l’objectif idéal (l’objectif idéal est formé par l’ensemble des objectifs optimisés
indépendamment des autres). Des contraintes de conception, permettant de garantir un
fonctionnement respectueux de l’environnement réel, sont prises en compte à l’aide de
modèles analytiques que nous avons développés. Ces contraintes sont surtout de type
électriques, thermiques et CEM.
Cette démarche prend en compte l’aspect discret et continu des paramètres d’optimisation
(variables et coûts) à l’aide d’une base de données de composants. Cette base de données est
déterminée directement à partir des données fournies par les fabricants, permettant ainsi une
mise à jours de la liste de composants simple et rapide.
4.2. Exemple traité : hacheur série
Nous avons traité le cas d’un hacheur série 42 V/14 V en technologie SMI (Substrat
Métallique Isolé) typique pour des applications automobiles. La démarche retenue a été
appliquée pour optimiser la surface, le coût en euro ainsi que le rendement en même temps,
suivant des contraintes électriques, thermiques et CEM. Le choix de cette structure est fait
pour démontrer d’une part la faisabilité de notre démarche et d’autre part, l’apport des
techniques d’optimisation surtout multi-objectifs dans le cas de la conception de
convertisseurs de puissance, pour des applications réelles. Nous développerons dans la suite,
19
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
plus de détails sur le cahier des charges ainsi que les différentes considérations de conception
et modèles utilisés lors de notre étude.
II.
Modélisation en électronique de puissance
La conversion d’énergie en électronique de puissance nécessite au minimum deux phases
complémentaires, le découpage et le stockage d’énergie. Ces deux tâches sont rendues
possible à l’aide de composants spécifiques de l’électronique de puissance (composants de
puissance actifs et passifs).
Le découpage est assuré par des interrupteurs de puissance à base de semi-conducteurs. On
trouve des interrupteurs à commutation commandée (MOSFET, IGBT,…) nécessitant une
commande et d’autres à commutation naturelle (diodes PiN, Schottky,…)
Le stockage d’énergie s’effectue dans des composants passifs, dits de stockage d’énergie, les
condensateurs et les inductances.
1.
Modèles et choix de composants
1.1. Interrupteurs de puissance : les semi-conducteurs
1.1.1. Choix des composants
Actuellement, il existe un grand nombre de composants à base de semi-conducteur assurant la
fonction d’interrupteur. Tous ces composants fonctionnement en commutation entre deux
états, ouvert (ou bloqué) et fermé (ou passant). La fermeture (ou mise en conduction) désigne
le basculement de l’état bloqué à l’état passant, et l’ouverture (ou blocage), le basculement
inverse.
Il est possible de distinguer deux familles de composants à base de semi-conducteurs, suivant
les phénomènes physiques présents lors du fonctionnement. On parle de composants bipolaire
et unipolaire [Let1]:
20
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
•
Composants bipolaires, comme la diode PIN et le transistor bipolaire : ils mettent en
jeu l’effet de modulation de conductivité qui permet de réduire autant que possible la
chute de tension à l’état passant. Par contre, ceci dégrade les performances
dynamiques à l’ouverture et la fermeture. Le principe est l’injection, dans la base, de
porteurs (électrons/trous), qui réduisent la résistivité dès que leur concentration
devient notablement supérieure à celle des porteurs normalement présents
(phénomène de forte injection).
•
Composants unipolaire, exemple la diode Schottky, transistor MOS : au contraire des
précédents, ne mettent en jeu qu’un seul type de porteurs, les majoritaires de la région
de base. Ainsi, la résistivité intrinsèque de la région de base n’est pas modulée et
intervient pleinement dans la chute de tension. Il en résulte que l’emploi de ce type de
composants est plutôt réservé aux applications de basse tension (jusqu’à quelques
centaines de volts). Ce sont des composants plus rapides que les bipolaires.
Le choix de composants est souvent délicat, car la réduction de la chute de tension à l’état
passant s’accompagne par une dégradation des performances dynamiques et nécessite ainsi
l’utilisation de modèles physiques complets et précis.
Dans le cas du pré-dimensionnement d’un hacheur basse tension (42 /14V), il est préférable
d’utiliser des composant unipolaires. Ce choix permet de réduire les pertes dans les
composants tout en évitant la nécessité de modèles physiques précis. Nous avons utilisé des
transistors MOSFET et des diodes Schottky en Silicium. De nouveau matériaux existent et
permettent de pousser la limite en température des semi-conducteurs, notamment le Carbure
de Silicium (SiC) qui constitue une thématique assez développée au CEGELY. Les
composants à base de SiC peuvent monter à des températures de 300 °C par rapport à 175 °C
pour ceux à base de Si.
21
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Ces valeurs de températures maximales sont des limites conseillées par les fabricants afin de
limiter le courant de fuite en régime bloqué. La majorité des composants de puissance sont
capables d’assurer leurs fonctions d’interrupteur jusqu'à des températures de jonction plus
grande que ces limites.
1.1.2. Modèles de composants à semi-conducteurs
Pour représenter le comportement des composants à base de semi-conducteurs, différents
modèles avec plusieurs niveaux de précisions existent dans la littérature. Suivant les
phénomènes que l’on cherche à modéliser dans le système (CEM, pertes, dynamique,
stabilité, …), on choisit le niveau adéquat pour le modèle. Nous avons représenté sur le
tableau 1.3, une classification des différents niveaux de modèles de composants semiconducteurs (bipolaire et unipolaire). Cette classification montre le niveau du modèle en
fonction des phénomènes pris en compte par le composant, de sa validité pour le calcul des
pertes ainsi que son degré de précision sur le spectre des perturbations électromagnétiques
conduit dans le système.
22
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Modèle
Idéal
Statique
Dynamique
Bipolaire
(niveau)
thermique
Phénomènes 2 états
considérés
Pertes
Electro-
Non
Résistance
Effet
Prise en compte
Auto-
et
capacitif,
de la forte
échauffement
modulation
parasites
injection
conduction
• conduction
• conduction
• Conduction
• commutation
• commutation
• Commutation
pour les
pour les
composants
composants
unipolaires
bipolaires
• Aire de
sécurité
Conséquence
Précis
Précis
Précis au delà
Précis au delà
Précis au delà
sur le spectre
jusqu'à
jusqu'à
de 20 Mhz
de 20 Mhz
de 20 Mhz
conduit
20 Mhz
20 Mhz
pour les
pour les
pour tous les
composants
composants
composants
unipolaires
bipolaires
Tab. 1.3 Les différents niveaux de modèles des composants semi-conducteurs
On peut distinguer cinq niveaux, allant du plus simple (Idéal) au plus fin (Electro-thermique) :
• Le modèle Idéal, Switch (Sw), est basé sur des commutations idéales. Il représente
grossièrement le comportement des interrupteurs de puissances. Suivant la commande,
le composant se comporte comme un circuit ouvert ou bien comme un circuit fermé
(court circuit). D’un point de vue énergétique, ce modèle peut être remplacé par une
source de courant nulle lorsqu’il est ouvert et par une source de tension nulle lorsqu’il
est fermé. Aucune caractéristique n’est déterminée à l’aide de ce modèle. Son schéma
équivalent est représenté sur la figure suivante :
23
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Fig. 1.2. Modèle équivalent d’un interrupteur idéal Sw
C’est le modèle le plus simple qui est à la base de l’analyse des convertisseurs
statiques (Henri Foch). Malgré sa simplicité, ce modèle a été largement utilisé dans la
modélisation moyennée des convertisseurs de puissance, les modèles moyens. Ces
derniers sont des modèles simples et rapides à simuler et permettent bien de décrire la
fonction conversion d’énergie. Ils représentent le convertisseur par un gain (variable
ou fixe). De nombreux travaux ont permis de développer et d’appliquer de tels
modèles [Lau98], [All00]. Dans [Amm02], une démarche de construction
systématique de modèles moyens a été proposée et appliquée pour différentes
structures de puissance. Ce modèle a été aussi utilisé pour prédire les perturbations
électromagnétiques conduites [Sch93], [Teu97]. La précisons obtenue à l’aide de ce
modèle est assez bonne jusqu'à des fréquences suffisamment haute du spectre, 20 Mhz
[Rev03] (la norme CEM conduite va jusqu'à 30 Mhz pour les application
automobiles). Le grand obstacle dans l’utilisation de ce modèle est le calcul des pertes,
car par nature ce modèle n’a pas de pertes.
•
Le modèle statique permet de prendre en compte la chute de tension à l’état passant et
les courants de fuites. Il peut être basé sur l’élément Sw avec une résistance série ron,
un seuil Von, voire une résistance en parallèle rf pour représenter les courants de fuites,
24
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Fig. 1.3. Ce niveau de modèle correspond aussi au modèle analytique de la jonction
PN ou du canal d’un MOSFET. Ce modèle permet le calcul des pertes en conduction,
par contre il ne prend pas en compte les pertes en commutation. La figure 1.4, montre
la caractéristique statique en direct d’une diode Schottky.
Fig. 1.3. Modèle statique, rf est la résistance qui permet
de prendre en compte les courants de fuites.
I
ron
Von
V
Fig. 1.4. Caractéristique statique en direct d’une diode,
Von es la chute de tension à l’état passant.
•
Le modèle dynamique ajoute par rapport au modèle statique les capacités intrinsèques
(Cj) au composant et les éléments inductifs extérieurs (Le), voir Fig. 1.5.a.
Fig. 1.5.a. Modèle dynamique
25
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Ce modèle offre une bonne précision dans le calcul des pertes, en commutation et par
conduction, dans les composants unipolaire. La figure 1.5.b. présente un modèle
dynamique de MOSFET utilisé dans [But04] pour les simulations exactes des pertes
globales.
Fig. 1.5.b. Modèle dynamique classique d’un MOSFET.
[But04] a montré la bonne qualité du calcul des
pertes en conduction et en commutation.
Un modèle dynamique de MOSFET similaire, Fig. 2.9 a été utilisé dans [Pop99] pour
prédire les perturbations électromagnétiques conduite dans les convertisseurs de
puissance. Ce modèle a permis de calculer le spectre conduit pour des fréquences au
delà de 20 MHz.
•
Le modèle Bipolaire prend en compte les phénomènes de forte injection dans la base
des dispositifs bipolaire. Ce type de modèle est basé sur la résolution des équations
des semi-conducteurs, qui sont fortement non linéaires. Cette dernière est assez lourde
et fait appel à des méthodes numérique délicates, comme les éléments finis (FEM).
Ces derniers nécessitent la description complète de la structure interne des dispositifs.
La structure des bipolaires est généralement complexe, la figure 1.6 montre l’exemple
de la structure interne d’un transistor bipolaire [let2]. Les équations des semiconducteurs sont ensuite calculées pour chaque point du maillage. La précision des
résultats, ainsi que la convergence des méthodes numérique dépendent étroitement da
26
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
la finesse du maillage. Ceci fait que cette méthode est lente et nécessite beaucoup de
ressources informatiques.
Fig. 1.6. Structure interne d’un transistor bipolaire [Let2]
Il existe certains travaux dans la littérature, [Mor94/2] [Stro94] [Let98] qui ont
approximés ces équations. Par exemple [Mor94/2] utilise la méthode d’approximation
variationelle sans avoir recours au maillage (Mesh-less). Les méthodes numériques
utilisées sont lourdes à mettre en œuvre et nécessitent une technicité particulière.
Le modèle ‘bipolaire’ permet de prédire les formes d’onde des courants et des tensions
lors des commutations, offrant ainsi une grande précision pour le calcul des pertes par
conduction et en commutation dans les composants bipolaires.
Malgré la précision qu’offre ce modèle, il n’est pas utile dans le cadre du prédimensionnement des convertisseurs de puissance basse tension.
• Le modèle électrothermique prend en compte la dérive des caractéristiques en fonction
de l’auto-echauffement dans les composants. L’auto-echauffement est dû aux pertes
dans les semi-conducteurs. Le principe de ce modèle est de considérer la température
comme variable dans les équations semi-conducteur, au même titre que les courants
ou les tensions. Il se base sur la discrétisation de l’équation de la chaleur faisant ainsi
intervenir des méthodes numériques, différences finis et éléments finis. Dans
27
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
[Amm99] est montré que les méthodes de type élément fini sont beaucoup plus
efficaces que les différences finies dans le cas d’une impulsion de courte durée. Elles
nécessitent beaucoup moins de nœuds de calcul pour une précision comparable. Un
schéma thermique équivalent est déterminé suite à la discrétisation et implanté ensuite
dans un logiciel de simulation électrique type circuit, exemple (Saber, Pspice,
Simplorer, Pacte, …) pour assurer le couplage électro-thermique. La figure 1.7 ;
montre le schéma équivalent du modèle thermique obtenu par différences finies.
Fig. 1.7. Modèle thermique équivalent obtenu par discrétisation du
système à l’aide de la méthode des différences finies.
Ces méthodes n’aboutissent pas à des modèles analytiques et font intervenir des
méthodes numériques assez délicates. Elles ne sont pas adaptées pour le prédimensionnement des convertisseurs de puissance.
La modélisation électrothermique permet la détermination des « aires de sécurité » du
composant, c'est-à-dire des domaines tension-courant à l’intérieur desquels le point de
fonctionnement doit demeurer [Let0]. Cette notion est introduite pour des raisons de
fiabilité, car une possibilité de destruction de composants est une augmentation très
élevé de la densité de courant ou une très forte dissipation locale de puissance [Let0].
Après cette brève description des différents niveaux des modèles d’interrupteurs de puissance,
il en découle que les modèles Idéal ou statique sont bien adaptés au pré-dimensionnement des
convertisseurs de puissance. Ils présentent le meilleur compromis rapidité-précision. Ce type
28
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
de modèles permet de représenter la fonctionnalité du système ainsi que de prédire les
perturbations électromagnétiques conduites jusqu’au des fréquences assez hautes (20 Mhz).
Néanmoins, il n’est pas valable pour le calcul des pertes en commutation et un modèle
dynamique est nécessaire.
Dans ce travail, nous avons utilisé un modèle d’interrupteur idéal pour représenter les
phénomènes électromagnétiques ainsi que la modélisation fonctionnelle du système. Les
pertes on été modélisées à l’aide d’un modèle dynamique simplifié.
1.3. Composants passifs
1.3.1. Choix et dimensionnement
De nombreuses technologies de condensateurs existent sur le marché et sont destinées
chacune à des applications particulières. Pour des applications en électronique de puissance,
trois grandes familles sont utilisées : les condensateurs électrolytiques, utilisés généralement
pour le filtrage d’une tension continue, leur principale caractéristique est une grande valeur de
capacité. La deuxième famille est formée par les condensateurs céramiques, utilisés surtout en
haute fréquence pour l’accord ou le découplage en haute tension, ainsi que le filtrage de sortie
des alimentations à découpage. La dernière famille, est générale formée par les condensateurs
à films plastiques. Le choix de la technologie dépend fortement de la fonction que doit
remplir le condensateur mais aussi d’autres paramètres exprimés généralement d’une manière
implicite dans le cahier des charges ou lors du dimensionnement de la structure de puissance,
tel que la capacité souhaitée, la tension supportée, la valeur efficace du courant traversant et la
température. La Fig. 1.8, montre les différentes technologies de condensateurs pour des
applications en tension continue, et leurs domaines d’utilisation en fonction de la tension, de
la capacité et du courant [Mou0].
29
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Fig. 1.8. Technologies des condensateurs en tension continue [Mou0].
Nous avons fait le choix d’utiliser des condensateurs électrolytiques pour le filtrage de la
tension d’entrée et des condensateurs céramiques pour le filtre de sortie.
Le dimensionnement des inductances nécessite plus de précautions, car celui-ci fait intervenir
des aspects multi-physiques tels les phénomènes magnétiques qui permettent de prendre en
compte la saturation. Le choix du matériaux magnétique, des dimensions du circuit ainsi que
de la perméabilité relative et du nombre des spires permet d’obtenir la valeur L désirée en
évitant la saturation et en limitant les pertes dans l’inductance à des valeurs acceptables.
Face à la complexité de cette tâche, de nombreux travaux dans la littérature proposent des
méthodes de dimensionnement pour les éléments magnétiques, tel que la méthode dite du
produit des aires présentée dans [Fer99].
30
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Contrairement à certains travaux de conception de convertisseur de puissance [Bus01],
[Her01] et [Lar02] et [Jou02], qui dimensionnent leurs propres inductances, nous avons fait le
choix d’utiliser des composants standard commercialisés. Ceci nous permet d'utiliser
directement les caractéristiques fournies par les constructeurs, tels que les modèles des pertes,
la masse ainsi que les dimensions. D’ailleurs ce choix ne se limite pas aux composants
magnétiques mais il est valable aussi pour tous les composants que nous avons utilisés.
1.3.2. Modèles de composants passifs : « Modèles constructeurs »
Comme tous les composants, les éléments passifs ne sont pas parfaits et possèdent des
éléments parasites. Suivant les phénomènes qu’on cherche à décrire, on choisi les éléments
parasites à prendre en compte dans la description du modèle équivalent. Dans le cadre du prédimensionnent de structure de puissance, les modèles dit «modèles constructeurs » sont
suffisants pour décrire les principaux phénomènes lors de la conception (phénomènes
électriques, thermiques et CEM). En plus de leurs simplicités, se sont des modèles fournis par
les fabricants, permettant ainsi de gagner du temps en terme de dimensionnement et
caractérisation de composants.
Le condensateur est représenté par un simple modèle R-L-C série, qui donne entière
satisfaction sur toute la plage de fréquence considérée. Dans notre travail nous avons identifié
le modèle R-L-C série pour plusieurs condensateurs de filtrage à l’aide du pont d’impédance
HP4194A. Les paramètres des modèles (R, L, et C) ont été utilisés dans la base des données
des composants pour identifier les différents condensateurs. La figure 1.9 montre l’exemple
d’un condensateur de capacité 407 µF.
31
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Fig 1.9. Comportement fréquentiel d’un condensateur électrolytique. Le modèle série R-L-C
donne une bonne précision sur toute la gamme de fréquence.
La mesure est faite à l’aide du pont d’impédance HP4194A
L’inductance bobinée est représentée par une inductance idéale en série avec une résistance de
perte par effet joule RDC. Les pertes totales dans l’inductance sont constituées à la fois de par
les pertes par effet joule dans RDC et des composantes qui dépendent de la fréquence et de la
variation du flux, tel que les pertes dans le noyau (pertes par hystérésis, pertes par courant de
Foucault) [Zen04].
Les « modèles constructeurs » ont été largement utilisés dans la littérature pour la conception
des convertisseurs de puissance. [Sch99] utilise de tels modèles et montre leur efficacité pour
prédire les performances CEM sur différents montages (Flyback, Forward).
2. Câblage et performances de la technologie SMI
2.1. Le câblage en électronique de puissance
D’une manière générale, le câblage (ou connectique) désigne le réseau d’interconnections
entre les différents composants d’un dispositif électrique. Il désigne également les liaisons
32
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
entre ce dispositif et le monde extérieur (câbles d’alimentation, câbles de liaison à la charge,
fils de commande…). Dans le domaine des convertisseurs de puissance, le câblage suscite
un intérêt tout particulier. Du fait des brusques variations de courant et de tension
auxquelles sont soumises ces liaisons, elles ne peuvent plus être considérées comme de
simples équipotentielles. Leurs comportements s’apparente plutôt à un assemblage de type
R, L, C. De nombreux travaux ont montré l’influence du câblage sur les performances des
convertisseurs, des exemples sont présentés dans [Rou99]. Des outils spécifiques pour le
calcul des éléments parasites dus à la connectique sont disponibles. Parmi eux, le logiciel
INCA (Inductor Calculation) développé au Laboratoire d’Electrotechnique de Grenoble. Cet
outil permet d’obtenir un schéma électrique équivalent (inductances et résistances) à partir
de la saisie de la géométrie des interconnections. Grâce à la méthode analytico-numérique,
PEEC (Partial Element Equivalent Circuit) [Rue96] et [Cla96], sur laquelle est basé cet
outil, il offre une bonne précision même dans le cas de structure 3D d’interconnexions et
permet de générer automatiquement des composants "connectiques" vers des simulateurs de
circuit type SPICE ou SABER. A notre connaissance il n’existe pas encore d’outil général
permettant de calculer les capacités parasites dans le cas de l’électronique de puissance. Il
faut noter aussi que la connectique dépend fortement de la technologie utilisée, (PCB, SMI
ou DBC). Nous présentons dans le paragraphe qui suit les propriétés spécifiques de la
technologie SMI que nous avons adoptée.
2.2. Le câblage en technologie SMI
En basse tension lorsque l’énergie à dissiper devient importante, on a souvent recours à la
technologie SMI, qui en plus de ces bonnes performances thermiques, présente certaines
particularités au niveau du câblage. Le SMI est un empilement de trois couches de natures
différentes, Fig. 1.10. La chaleur s’évacue à travers le substrat vers un radiateur. La couche
33
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
de cuivre pour la réalisation des pistes est isolée de la base métallique par un diélectrique
mince avec une faible résistance thermique. La base est généralement en aluminium
permettant une bonne tenue mécanique ainsi qu’une faible résistance thermique. Les
composants sont montés en surface sur la couche de cuivre.
Fig. 1.10. Structure de la technologie SMI.
D’un point de vue câblage, cette structure a l’avantage de réduire les inductances parasites (du
fait de l’effet d’image apporté par le substrat métallique), par contre les capacité entre pistes
et le substrat d’aluminium sont beaucoup plus importantes qu’avec du circuit imprimé 1.6 mm
d’épaisseur [Sch94]. Cet aspect capacitif est bénéfique pour réduire les surtensions à
l’ouverture des composants semi-conducteurs, par contre il offre en même temps un chemin
aux perturbations conduites de mode commun.
Dans [Bog88], plusieurs modèles analytiques sont proposés pour calculer la capacité entre
une piste et un plan de masse, en tenant compte des effets de bord et de l’épaisseur de la piste.
Ces formulations sont à l’origine destinées aux lignes micro-ruban. Ainsi, elles ne
s’appliquent qu’au cas des pistes rectangulaires, de longueurs pouvant être considérées
infinies. Cependant, dans le cas de l’électronique de puissance, les pistes sont en général
larges et courtes et ces formulations ne peuvent être utilisées en l’état. Des adaptations de ces
modèles dans le cadre de l’électronique de puissance sont proposées dans [Sch94]. Ces
corrections prennent en compte les effets de bord aux extrémités des pistes et permettent de
calculer la capacité formée par une plaque de forme plus complexe au dessus d’un plan de
34
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
masse. Une formulation empirique plus simple est proposée dans [But04], une série de motifs
de test a été réalisée sur un SMI. Les capacités parasites de ces différents motifs ont été
mesurées au pont d’impédance HP4194A. La mesure a montrée que la capacité surfacique est
presque constante et de l’ordre de 70 pf/cm². Dans cette étude les effets de bord ont été
négligés vu que les pistes sont de formes proche du carré, avec des surfaces de plusieurs cm²
et une épaisseur de diélectrique inférieure à 100 µm. Ceci reste tout à fait légitime dans notre
cas d’étude. Cette formule servira surtout dans l’étude des perturbations électromagnétiques
(CEM) dans le chapitre 2.
III.
Cas d’étude : Application
1. Considérations de conception
1.1. Conception fonctionnelle et cahier des charges
1.1.1. Conception fonctionnelle
La structure utilisée pour réaliser la fonction abaisseur de tension continue 42V / 14V est
représentée sur la Fig1.11. Il existe deux modes de conduction [Fer99]: le Mode de
Conduction Discontinu (MCD), quand le courant dans l’inductance s’annule et le Mode de
Conduction Continu (MCC), quand le courant inductif est toujours positif.
Fig. 1.11. Hacheur abaisseur de tension
35
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Le principe de fonctionnement de cette structure est assez simple. Suivant la commande,
l’interrupteur K, se trouve dans deux états possibles (le régime permanent est supposé établi).
Entre 0 et αT (T est la période de découpage et αT le temps de conduction), l’interrupteur K
est fermé et il y a transition de l’énergie depuis l’alimentation vers la charge, pendant cette
phase l’énergie est stockée dans l’inductance L. Entre αT et T, la charge est débranchée de
l’alimentation et il y a décharge de L dans la charge R. Les formes d’ondes simplifiées
obtenues en conduction continue sont représentées sur la Fig1.12.
Fig. 1.12. Formes d’ondes en conduction continue. Obtenues en régime établi
à l’aide de modèle d’interrupteur idéal
36
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
La notion de modèle moyen permet d’écrire une expression reliant, en régime établi, la
tension moyenne de sortie à la tension moyenne d’entrée, comme suit [Amm02] :
Vs= α Ve
(equ.1.1)
1.1.2. Cahier des charges
A travers le cahier des charges, sont fixées les différentes contraintes que doit respecter les
convertisseurs de puissance afin de garantir un fonctionnement normal dans un
environnement spécifique. La description d’un cahier des charges peut aller du plus simple,
en considérant le minimum de phénomènes à prendre en compte, jusqu’au plus détaillé en
fixant le fonctionnement du convertisseur avec des contraintes sévères et de nature différente.
Lors de la description de notre cahier des charges, nous avons pris en compte les contraintes
les plus importantes qu’un convertisseur doit remplir pendant son fonctionnement dans un
environnement réel. Ce sont des contraintes de type électrique, thermique et CEM. Ce choix a
été inspiré d’un exemple réel de pré-dimensionnement d’une structure similaire pour des
applications automobiles, traité dans [Jou02]. Le cahier des charges retenu est présenté sur le
tableau suivant :
Electrique
Thermique
Ve= 42 V
Tambmax = 50°C
Vs= 14 V
Is= 8A
Tj
max
CEM
EN55022 :
Classe A
= 175°C
Classe B
∆(Vs)max = 400 mV
MCC
Tab. 1.4 Cahier des charges retenu.
37
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Avec : Ve : Tension d’entrée (continue)
Vs : Tension de sortie (continue)
Is : Courant de sortie moyen
∆(Vs)max: Ondulation maximale sur la tension de sortie
MCC : Mode de Conduction Continu
Tambmax: Température ambiante maximale
Tjmax : Température de jonction maximale
EN 55022 : Normes générique pour domaines résidentiels, commerciaux et
l’industrie légère, voir paragraphe 1.3
Pour chaque contrainte de pré-dimensionnement, soit chaque phénomène pris en compte, des
modèles analytiques sont nécessaires pour le décrire. Ces modèles sont développés dans la
suite de ce chapitre.
1.2. Spécifications électriques
Comme montrées dans le cahier des charge retenu, Tab.1.4, les spécifications électriques
permettent de fixer un taux d’ondulation maximal pour la tension de sortie ainsi qu’un
fonctionnement en mode de conduction continu. Nous rappelons juste que cette étude peut
aussi s’appliquer au MCD en adaptant les modèles de calcul.
L’ondulation du courant inductif, ∆I, fixe le mode de conduction continu si ∆I < 2*Is.
Dans [Fer99], l’ondulation du courant inductif (∆I) et l’ondulation de la tension de sortie
(Vs) sont déterminées à partir des formes d’ondes, il est démontré que :
∆Vs =
∆I =
α (1 - α) Ve
8LCf ²
α (1 - α ) Ve
Lf
Avec : α =
(equ.1.2)
(equ1.3)
Ve
rapport cyclique, f : fréquence de découpage.
Vs
38
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
Ces équations ont été utilisées dans le choix des composants. La liste des condensateurs et des
MOSFET est établie en fonction de la tension de service.
Tension maximale du MOSFET : Vdsmax = Ve, Tension maximale aux bornes du
condensateur : Vcmax=Vs + (1/2)*∆Vs.
La base de données des inductances est choisie en fonction de la valeur (Henry) et du courant
de saturation.
Un facteur de sécurité (x2) a été utilisé pour les différents calibres de tension/courant pour le
choix des composants.
1.3. Spécification électromagnétique : CEM
La CEM est devenue un critère incontournable dans la conception des convertisseurs. Les
normes imposées sont garantes de l’aptitude d’un système à fonctionner dans son
environnement de façon satisfaisante et sans produire de perturbations électromagnétiques
intolérables pour les appareils du voisinage.
Deux types de perturbations peuvent être distingués suivant leurs modes de propagations. Les
perturbations conduites qui se propagent par conduction électrique (plan de masse,
câblages,…) et les perturbations rayonnées qui se propagent par un champ électromagnétique.
Ces perturbations sont quantifiées par le niveau des harmoniques des grandeurs électriques.
La norme impose à certaines grandeurs électriques d’avoir un niveau d’harmonique inférieur
à une limite généralement exprimée en dBµV (equ.1.4.). Ces limites dépendent du domaine
d’application de l’appareil, la Fig 1.13 montre les limites imposées par la norme européenne
EN 55022 qui spécifie les niveaux hautes fréquences des émissions conduites et rayonnées
applicables dans les domaines résidentiels, commerciaux et l’industrie légère. L’équivalent
international est la norme CIPSR16 [Nor87].
39
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
dBµV( x ) = 20 log10 (
x
10
_
6
)
(equ.1.4)
Fig. 1.13.Niveaux des perturbations conduites et rayonnées fixés par la norme EN55022.
Classe A : appareil destiné au secteur industriel
Classe B : appareil destiné au secteur hospitalier et domestique
Dans la pratique, la CEM intervient souvent dans les dernières phases du développement, bien
que le bon sens demande d’intégrer la CEM dés le début de la conception. Il a été déjà montré
que plus l’on tarde à intégrer la CEM dans le flot de conception, plus le coût global est élevé.
Afin de prendre en compte la CEM dans le dimensionnement de la structure et de l’intégrer
dans la boucle l’optimisation, il est important de pouvoir estimer le spectre (niveaux des
harmoniques) à l’aide de modèles analytiques. Ceci permettra de valider ou non la conformité
du dispositif par rapport aux normes, avant sa réalisation et ainsi économiser les coûts élevés
engendrés par une modification en phase de prototypage.
Certains travaux antérieurs ont déjà proposés des modèles analytiques pour prédire le spectre
CEM conduit, [Sch93], [Pop99]. Face à certaines limitations et difficultés de mise en œuvre
de ces méthodes, nous avons proposé une nouvelle méthode. Cette méthode utilise des
interrupteurs idéaux, et se base sur l’analyse de causalité des graphes de liens. Elle permet de
40
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
développer de manière systématique des modèles analytiques pour prédire les perturbations
électromagnétiques conduites
Vu qu’une grande contribution de notre travail concerne la modélisation CEM, nous avons
consacré le chapitre 2 pour décrire notre méthode.
1.4. Spécifications thermiques
Les contraintes thermiques visent surtout à s’assurer que la température de jonction des semiconducteurs reste en dessous d’une limite maximale qui garantie la fiabilité des composants.
Suivant le milieu de fonctionnement du convertisseur, la température ambiante est fixée. Pour
certaines applications et lorsqu’on part d’un milieu « chaud », on ne dispose pas d’une marge
suffisante entre l’ambiante et la limite sur la jonction pour réaliser le refroidissement naturel
des semi-conducteurs, par exemple la température ambiante pour des applications automobile
est de 95 °C [Jou02].
Le calcul de la température de jonction ainsi que le dimensionnement du radiateur, si
nécessaire, nécessite le calcul des pertes dans le système. Un modèle thermique est ainsi
déterminé en prenant en compte les pertes dans le montage ainsi que les différents chemins de
propagation de la chaleur. Ce modèle permet de relier la température de jonction aux pertes
dans le système.
1.4.1. Modèles des Pertes
Les pertes prises en compte dans ce travail sont : les pertes dans le MOSFET, les pertes dans
les inductances ainsi que les pertes dans la diode Schottky. Les modèles des pertes sont tous
pris à partir des données du constructeur :
• Les pertes dans la diode Schottky (Pd) sont surtout les pertes par conduction, vu son faible
recouvrement. Ces pertes sont approximées par le modèle suivant :
Pd = Vd I (1 - α )
(equ. 1.5)
41
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
• Les pertes dans les inductances sont formées par les pertes par effet joule et celle dans le
noyau. Le modèle utilisé est le suivant [Pul06] :
PIND = I² RMS R DC + K1 f 0.55 (K 2 ∆I) 2.23 ,
(equ.1.6)
PIND=P par effet joule + P dans le noyau
IRMS
valeur RMS du courant de sortie
RDC
résistance DC de l’inductance
K1, K2
facteurs de pertes dans le noyau
∆I
ondulation du courant inductif
RDSON
résistance du MOSFET en conduction
tR
temps de descente du courant, supposé constant
Vd
chute de tension directe de la diode
α
rapport cyclique
• Les pertes dans le MOSFET sont formées par les pertes en conduction et les pertes en
commutation. Pour prendre en compte les pertes en commutation, il est nécessaire d’utiliser
un modèle dynamique pour le MOSFET.
Le modèle des pertes utilisé est [IRF1] :
PMOS = α R DSON I² +
1
Vin I out t R f ,
2
(equ. 1.7)
PMOS= P Conduction + P commutation
Ce modèle est basé sur des commutations simplifiées, Fig.1.14, il donne une approximation
grossière des pertes en commutation et une bonne précision sur les pertes en conduction en
supposant que la résistance RDSON varie peu. Ce modèle est surtout utile pour l’analyse
quantitative de la répartition des pertes dans le MOSFET. Il permet de savoir quand les pertes
42
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
en commutation deviennent plus importantes que les pertes en conduction. Les pertes en
commutation sont constituées par celle à l’ouverture de l’interrupteur et celle à sa fermeture.
Dans notre cas nous avons négligé les pertes de commutation à la fermeture, (equ. 1.7)
Fig. 1.14. Pertes en conduction et par commutation dans le MOSFET.
Modèle approximatif des commutations.
1.4.2. Modèle thermique
Le modèle thermique est statique. Il prend en compte les résistances thermiques, la
technologie SMI et le radiateur.
En technologie SMI, le radiateur est modélisé différemment, car la base métallique permet
de répartir la chaleur et de faire office de radiateur dans certaines limites. Lorsque c’est
nécessaire, le radiateur est fabriqué sur mesure pour s'adapter aux dimensions mécaniques
du circuit SMI et pour fournir la résistance thermique requise. Le diélectrique est un
mélange de polymère et de céramique ce qui donne à la technologie SMI son excellente
43
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
propriété électrique d'isolement et une faible résistance thermique (RthI). La densité de
résistance thermique est de 0.06 (°C.cm²)/W pour le diélectrique à hautes températures
(jusqu’a 140 °C), déterminée à partir du catalogue du fabricant [Ber04].
Fig. 1.15: Schéma thermique
Fig. 1.16 : Modèle thermique
La figure 1.15 montre le schéma thermique. Des simplifications sont faites : direction
verticale de la chaleur, pas d’échange thermique entre les composants et l’ambiante, la base
métallique est isotherme. Ceci permet de déduire le modèle thermique de la figure 1.16.
A l’aide de ce modèle, la température de jonction du MOSFET peut s’exprimer comme
suit :
44
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
T j = (PMOS + PL + Pdiode + PPISTES )Rth + PMOS (Rth I MOS + Rth j c ) + Tamb
(equ. 1.8)
Avec: Rth = Rthal −amb Sans radiateur.
Rth = Rthhs − amb
2.
Avec radiateur
Formulation du problème d’optimisation
Suivant le principe énoncé dans le tableau Tab.1.1, nous avons défini le problème
d’optimisation suivant :
Fonctions objectifs à optimiser :
•
S, Surface du circuit : somme des surfaces des composants plus une constante qui
correspond à l’écart minimal entre les différents composants.
•
C, Coût en euros du circuit : somme des coûts des composants (actifs, passifs) plus
celui du radiateur.
•
M, Masse du circuit : somme des masses des composants, du SMI et du radiateur.
•
r, Rendement : calcul des pertes dans le MOSFET, l’inductance et la diode.
Variables d’optimisation :
•
Composants passifs de stockage d’énergie : L (µH), C (µF)
•
Eléments du filtre CEM (inductances et capacités)
•
Composant actif: MOSFET
•
Epaisseur du cuivre du circuit (SMI)
•
Radiateur (résistance thermique)
•
Fréquence de découpage (20 kHz-500 kHz)
Toutes les données concernant les composants sont fournies par les constructeurs.
Contraintes :
•
Ondulation sur la tension de sortie : ∆Vs< ∆Vsmax
•
Conduction Continue : ∆I < 2 Is
45
Chapitre 1. Modélisation et conception des systèmes de puissance
•
Température du MOS : Tj < Tjmax
•
Norme CEM : EN55022, classe A et B
Ces contraintes sont décrites par les modèles analytiques développés dans le paragraphe
« considérations de conception ». Le modèle pour la CEM est décrit dans le chapitre 2.
IV.
Conclusion
Le compromis précision rapidité dans le choix des modèles des composants de puissance reste
très difficile à faire. Néanmoins, dans le cadre d’une démarche de pré-dimensionnement de
convertisseurs de puissance, la précision n’est pas primordiale, par contre des modèles
analytiques simples sont nécessaires.
L’optimisation des convertisseurs de puissance, consiste à transformer un problème de prédimensionnement en un problème d’optimisation contraint. C’est à l’aide des modèles
analytiques que seront décrites les différentes contraintes d’optimisation qui permettront de
satisfaire le cahier des charges imposé par le concepteur.
Le modèle d’interrupteur idéal permet de décrire les phénomènes électriques et CEM (détails
dans le chapitre 2) pris en compte dans le pré-dimensionnement de structure de puissance. Ce
modèle ne prend pas en compte les pertes dans les composants, par nature. Aussi, avons-nous
utilisé un modèle de pertes lors du dimensionnement thermique.
La nature mixte (discret/continu) des paramètres du pré-dimensionnement des convertisseurs
de puissance implique certaines particularités dans le choix de la méthode d’optimisation. Les
algorithmes génétiques sont bien adaptés pour ce problème. Ils permettent de mélanger des
variables d’optimisation continues et discrètes ainsi que la prise en compte de fonction coûts
discrètes. La prise en compte de coûts discrets permet d’éviter les erreurs d’interpolation ainsi
que la mise à jour simple de la liste des composants.
46
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Chapitre II.
Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
I.
La CEM dans les convertisseurs de puissance ................................................................. 48
1.
Généralités.................................................................................................................... 48
2.
Normes CEM en électronique de puissance................................................................. 49
3.
Etude phénoménologique............................................................................................. 53
II.
Etat de l’art sur les méthodes d’estimation spectrale ....................................................... 54
1. Méthode indirect .............................................................................................................. 54
2. Méthodes directes : modélisation analytique ................................................................... 59
III. Mise en équation systématique basée sur la causalité........................................................ 64
1.
Modélisation unifiée : graphe des liens........................................................................ 64
2.
Mise en équation systématique : Analyse de causalité ................................................ 68
3.
Graphe des liens commuté ........................................................................................... 71
IV. La méthode proposée : description et validation ............................................................... 72
1.
Principe et Atouts de la méthode proposée .................................................................. 72
2.
Description de la méthode et exemple pédagogique.................................................... 73
3. Validation de la méthode : Application détaillé (hacheur série)...................................... 79
V.
Conclusion........................................................................................................................ 91
47
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
I. La CEM dans les convertisseurs de puissance
1. Généralités
1.1.Origine des perturbations électromagnétiques dans les convertisseurs de puissance.
Le convertisseur statique, par son fonctionnement en découpage, produit des variations
brusques de tension et de courant. Ces variations sont à l’origine de parasites, appelés
perturbations électromagnétiques, qui se propagent de manière involontaire au sein du circuit
et/ ou vers son extérieur. Ces perturbations s’ajoutent aux signaux utiles et nuisent au
fonctionnement normal du circuit et celui des appareils du voisinage. Ainsi, chaque système
peut être vu comme émetteur ou récepteur des perturbations, on parle d’émission et de
susceptibilité.
Deux types de perturbations peuvent être distingués suivant la nature de leurs propagations.
Les perturbations conduites se propagent par conduction électrique (plan de masse,
câblages,…) et les perturbations rayonnées se propagent par champ électromagnétique. Dans
notre étude nous nous limiterons à l’étude des perturbations conduites.
1.2.Mode commun et mode différentiel
Les perturbations conduites peuvent se propager suivant deux modes différents, le mode
commun et le mode différentiel. Lorsque les courants parasites circulent en parcourant les
liaisons dans le même sens, en se refermant par équipotentielle, on parle de mode commun.
Dans le cas ou les courants circulent en sens inverse on parle de mode différentiel.
Une définition classique, très souvent utilisée, des tensions et courants de mode commun
(Vmc, imc) et de mode différentiel (Vmd, imd) est exprimée par les équations (equ 2.1) et (equ
2.2). Ces formules sont déduites à partir de la figure 2.1 :
Vmd = V1-V2
imd= i1-i2
(equ 2.1)
Vmc = (V1+V2)/2
imc=(i1+i2)/2
(equ 2.2)
48
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.1. Modes de propagation des perturbations conduites
Certains travaux [Rev03], [Pop99], ont montrés que le mode commun peut se recombiner en
mode différentiel, suivant la symétrie électrique du montage.
Dans ce chapitre avons choisi de considérer les perturbations directement, sans se soucier de
leurs modes de propagation, afin d’éviter tout problème de définition ou de conversion de
modes. Ces derniers peuvent être déduits par la suite par combinaisons des perturbations.
2. Normes CEM en électronique de puissance
2.1.Réglementations en électronique de puissance
Historiquement, les premières normes CEM sont nées dans les années 1930 pour protéger la
radiodiffusion. Plus tard, les industriels ont proposés des normes afin d’améliorer la
protection de leurs matériels. Une rationalisation des différentes normes issues de plusieurs
secteurs d’activités industriels s’est produite dans les années 1980 [Cha1]. Principalement, les
normes internationales pour la protection des émissions radioélectriques sont gérées par le
Comité International Spécial des Perturbations Radioélectrique (CISPR).
Par nature, les normes CEM peuvent se diviser en deux catégories. La première définie les
niveaux tolérés d’émission conduite ou rayonnée. La deuxième définie la susceptibilité
électromagnétique des équipements. Dans [Cos1] est présenté un tableau qui résume les
49
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
principales normes d’émission concernant les équipements intégrant les convertisseurs de
puissance. Nous allons nous intéresser à la norme européenne EN 55022 qui spécifie les
niveaux hautes fréquences des émissions conduites et rayonnées applicables dans les
domaines résidentiels, commerciaux et l’industrie légère, le niveau des limites imposé par
cette norme est présenté sur la figure Fig. 1.13.
L’objectif des normes ne se limite pas à fixer les niveaux de tolérance en fonction des
domaines d’application, mais elle va jusqu'à la spécification des conditions et moyens de
mesures afin d’assurer des mesures reproductibles et fiables. Il s’agit de caractériser aussi
précisément que possible l’environnement de mesure en conduit et en rayonné (mesure en
espace libre, en chambre anéchoique, support des appareils, …), les conditions de mesures
(longueurs de câbles, distances des appareils, hauteur,…) ainsi que la calibration et le réglage
des appareils de mesures utilisés [Cos1]. La figure 2.2 présente les différentes conditions de
mesures normatives en conduit [Cha1].
Fig. 2.2 Conditions de mesure normative des perturbations conduites [Cha1]
Une description plus détaillée de certains éléments de mesures normalisées, présentées sur la
figure Fig. 2.2, est abordée dans les paragraphes qui suivent.
50
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
2.2.Le Réseau Stabilisateur d’Impédance de Ligne RSIL
Le RSIL est équivalent à un filtre inséré entre le réseau d’alimentation et l’entrée de
l’équipement sous test. Son rôle est multiple, il permet d’isoler l’équipement sous test du
réseau d’énergie, de fixer l’impédance prescrite aux points de mesure et de canaliser les
perturbations conduites vers le récepteur de mesure. Par ces différentes tâches, le RSIL assure
ainsi la reproductibilité des mesures.
Il existe plusieurs structures de RSIL, chacune est fixée par la norme relative au domaine
d’application. Le point commun à toutes les structures est l’impédance équivalente, qui va de
5 Ω à 10 Khz jusqu'à 50 Ω à 30 Mhz.
Le RSIL normatif est un filtre à double cellule [Cha1]. Dans la littérature, une structure
simplifiée, qui donne entière satisfaction sur toute la plage fréquentielle, est souvent utilisée.
Son schéma est présenté par la figure suivante.
Fig. 2.3. Structure simplifiée du RSIL,
C1=1 µF, Ln=5 µH, Cn=100 nF, R= 50 Ω
Le condensateur C1, par sa forte valeur, permet de détourner les perturbations issues du
réseau. L’inductance Ln, par sa forte valeur aussi, empêche le courant issu de l’équipement
sous test de revenir au réseau et canalise son passage dans la branche comportant Cn et ZN.
Le condensateur Cn permet de filtrer la puissance (BF) et ne laisse le passage qu’aux
51
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
perturbations (HF) vers l’impédance de mesure Zn. Dans notre cas, cette impédance est
l’entrée 50 Ω du récepteur de mesure, que nous avons représenté sur la figure 2.3 par une
résistance R.
2.3. Analyseur de spectre
Les normes CEM imposent que les mesures doivent se faire avec un récepteur à détection
crête, quasi-crête ou en valeur moyenne (analyseur de spectre, mesureur de champ, …). Ce
récepteur est constitué d’un filtre sélectif dont la bande passante est fixée par la norme et
dépend de la fréquence de mesure, cette bande passante à 6 dB est de [Cha1]:
-
300 Hz pour les fréquences comprises entre 9 et 150 Khz.
-
10 Khz pour les fréquences comprises entre 150 Khz et 30 Mhz.
L’analyseur de spectre est l’appareil préférentiel utilisé pour la mesure en CEM. La structure
simplifiée de cet appareil est représentée sur la figure suivante.
Fig. 2.4. Structure d’un analyseur de spectre [Cos1]
Dans [Cos1] sont présentés les principaux points à prendre en considération lors de
l’utilisation d’un analyseur de spectre pour des mesures CEM. Un résumé de ces points est le
suivant :
- La résolution : c’est la bande passante du filtre d’analyse (filtre sélectif), elle est fixée
52
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
par la norme et dépend de la fréquence de mesure, présentée précédemment. Lorsque la
bande est étroite, le filtre va sélectionner un seul harmonique dans sa bande de mesure.
Dans le cas de bande large, ce sont plusieurs harmoniques qui sont sélectionnés.
- Le mode de détection : il existe plusieurs modes de détection, le mode crête, quasi crête
et moyen. Le choix du mode est imposé par les recommandations du CISPR.
Comme tout appareil, l’analyseur de spectre n’est pas idéal et son utilisation conduit a des
sources d’erreurs. Dans [Rev03], des simulations et des mesures du filtre sélectif sont
comparées et ont montrée que ce dernier est susceptible de modifier considérablement le
spectre dans le cas d’une tension modulée. Il est montré que le spectre subit des modifications
de forme et d’amplitude importante suivant la largeur de bande du filtre dans le cas d’une
tension modulée sinusoïdalement.
Notre cas d’étude ne fait pas intervenir des tensions modulées. Nous utiliserons ainsi
l’analyseur de spectre HP 8560A comme récepteur de mesure.
3. Etude phénoménologique
Une étude très souvent utilisée en CEM pour mettre en évidence les différents phénomènes
mis en jeu, est l’étude phénoménologique. Elle consiste à identifier le problème en trois
parties : les sources, le chemin et la victime.
Les sources des perturbations sont les commutations des interrupteurs de puissance. Ces
commutations sont à l’origine des brusques variations de tensions et courants qui donnent lieu
aux perturbations électromagnétiques. Le chemin de propagation comporte toute les
connexions entre le convertisseur et l’extérieur (réseau d’alimentation et/ ou sa charge), les
connexions internes entre les divers composants du convertisseurs ainsi que leurs éléments
parasites, et les capacités parasites entre certains potentiels flottants et la référence de
potentiel (la terre). Ces capacités sont approximées à l’aide de l’expression fournis dans le
paragraphe II.2.2 du chapitre 1.
53
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
La victime est normalement l’extérieur du convertisseur, le réseaux d’alimentation et/ ou la
charge. Par contre le RSIL, intercalé entre l’extérieur et le circuit, canalise les perturbations
conduites vers son impédance fixe R, Fig. 2.5. Ainsi, la victime devient cette impédance R,
qui en pratique constitue l’entrée 50 Ω de l’analyseur de spectre.
Fig. 2.5. Etude phénoménologie en CEM
II.
Etat de l’art sur les méthodes d’estimation spectrale
D’un point de vue général, on peut distinguer deux classes de méthodes d’estimation
spectrale. La différence se situe dans le domaine de calcul du spectre. La première classe se
base sur un calcul du spectre directement dans le domaine fréquentiel, on parle de méthode
directe. Dans la deuxième classe, le spectre est déduit suite à des simulations temporelles,
appelée méthode indirecte.
1. Méthode indirect
1.1. Principe
Les méthodes indirectes sont basées sur une simulation temporelle du système suivi d’une
analyse fréquentielle des signaux simulés, le spectre des perturbations n’est déterminé qu’une
fois le calcul temporel effectué. Dans le cas des composants unipolaires, des simulations de
54
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
type circuit sont suffisante pour retrouver des formes d’onde temporelle assez précise. Dans le
cadre d’une étude de la CEM, cela implique aussi une caractérisation complète du circuit
d’étude (éléments parasites des composants, câblages) ainsi que la prise en compte des
capacités parasites entre potentiels flottants et la référence. Plus généralement, le circuit à
simuler doit comporter les éléments parasites des composants et du circuit susceptible de
contribuer dans les perturbations.
L’analyse fréquentielle est généralement faite à l’aide d’une transformée de fourrier rapide
(FFT). Pour que cette analyse soit cohérente, trois conditions sont nécessaires, mais pas
forcément suffisantes. La première consiste à ce que le régime permanent soit établi. La
seconde impose que le pas de simulation (∆t) soit choisi en fonction de la plage de fréquence
désirée en respectant les critères de Nyquist- Shannon (equ. 2.3) relatif à l’échantillonnage
(pour couvrir une plage d’étude de 30 Mhz le pas de simulation doit être inférieur à 17 ns). La
dernière condition impose que la fenêtre temporelle (Tétude) sur laquelle est réalisée la FFT
doit correspondre à un multiple entier de la période réelle du signal considéré (voir Fig. 2.6),
dans le cas contraire des harmoniques supplémentaires peuvent apparaître [Rev04]. Nous
montrerons dans la suite, qu’il est aussi important de choisir la technique de fenêtrage adaptée
dans le calcul de la FFT.
Régime établi
Régime transitoire
T
Tétude = N. T
Fig. 2.6. Signal temporel simulé dans la méthode indirecte
55
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
∆t =
1
Tétude
, où E(x) = partie entière de x
2 E(Fmax * Tétude )
(equ. 2.3)
1.2. Limitations de la méthode indirecte
L’étude CEM dans le cadre de l’électronique de puissance implique certaines particularités de
la structure d’étude, notamment le rajout du RSIL et /ou du filtre d’entrée. Ces éléments font
intervenir des constantes de temps beaucoup plus importantes que le pas de simulation, qui est
généralement très faible et limité par la plage de fréquence d’étude. Ceci fait augmenter le
régime transitoire et rend le temps de calcul assez long.
Malheureusement les simulations sont très longues et on rencontre des fois des problèmes de
convergence. Le système d’équations générées par le « solveur » lors d’une simulation de
type circuit, comporte en général des équations algébriques à résoudre en parallèle avec les
équations d’état du
système. Ceci peut avoir comme conséquence des problèmes de
convergence du système algébrique.
Le temps de simulation prohibitif ainsi que les problèmes de convergence font que cette
méthode est non pratique pour l’analyse de sensibilité, qui permet d’analyser les phénomènes
et d’y remédier.
1.3. Influence de la technique de fenêtrage
Dans la littérature [Rev04], il a été montré que la durée de la fenêtre d’étude influe peu sur le
spectre, sous condition que ça corresponde à un multiple entier de la période réelle. Par
contre, dans la théorie du traitement de signal, il a été montré que le type de fenêtre utilisé
joue un rôle très important dans l’analyse FFT [Har78]. Dans cette partie nous proposons de
démontrer l’effet du type de fenêtre sur le spectre CEM prédit par la méthode indirecte.
Suivant la forme de spectre (précision) que l’on cherche à obtenir, on peut choisir des fenêtres
de différentes formes (Rectangulaire, Hanning, Blackman, Flattop,...), voir Fig. 2.7.
56
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fenêtre rectangulaire
Fenêtre de Hanning
T
T
Fig. 2.7 Exemples de fenêtres.
Une fenêtre est caractérisée par :
-
La largeur de son lobe principal, elle fixe la résolution de l’analyse, c’est-à-dire
l’aptitude à pouvoir séparer deux fréquences proches l’une de l’autre
-
Les amplitudes des lobes secondaires, ils fixent la dynamique de l’analyse, c'est-àdire l’aptitude à mesurer les amplitudes très différentes de deux composantes de
fréquence relativement éloignées l’une de l’autre
Pour un nombre d’échantillons N fixé, la fenêtre rectangulaire est celle qui donne la meilleure
résolution, la largeur du lobe principale est égale à 2/(Tétude*N). La fenêtre rectangulaire ne
permet pas, par contre, d’obtenir une meilleure dynamique car ces lobes secondaires
décroissent très lentement. Pour obtenir une meilleure dynamique on choisit des fenêtres avec
lobes secondaires plus faible, tel que la fenêtre de Hanning, Blackman, Flattop…
Sachant que le norme impose des contraintes sur l’amplitude du spectre, il est plus intéressant
d’évaluer avec le plus de précision l’amplitudes des harmoniques sur une plage de fréquence
assez large que de chercher à distinguer les fréquences les une des autres. Ainsi, il est plus
judicieux d’utiliser la fenêtre Flattop, qui propose la meilleure dynamique grâce à son gain
constant en fréquentiel.
57
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Nous avons appliqué la méthode indirecte à l’exemple pédagogique du paragraphe IV.2.1 en
utilisant deux types de fenêtres (rectangulaire et Flatopp) pour le même signal temporel
simulé. Les spectres retrouvés sont comparés au spectre exact sur la figure ci dessous.
Fig. 2.8. Comparaison entre les spectres estimés par la méthode indirecte
suivant deux techniques de fenêtrage et le spectre exact.
On remarque le type de fenêtre utilisée pour la FFT joue un rôle important sur la précision du
spectre estimé. La fenêtre Flattop donne une meilleure précision sur l’amplitude du spectre
que la fenêtre rectangulaire (l’erreur relative maximale entre le spectre exact et celui évalué à
l’aide d’une fenêtre Flattop est de 40 %, par rapport à une erreur relative maximale de 60 %
lors de l’utilisation d’une fenêtre rectangulaire).
1.4. Conclusion
Les méthodes indirectes ne sont pas bien adaptées aux problèmes d’optimisation des
convertisseurs de puissance, car elles ne permettent pas la formulation de modèles analytiques
58
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
des spectres CEM. Plus généralement, elles sont mal adaptées aux problèmes de prédimensionnement de structure de puissance, car elles impliquent des simulations temporelles
assez pointues et extrêmement complexes à mettre en oeuvre ainsi que de ressources
informatiques considérables et des temps de calcul onéreux. D’un autre coté, les résultats
fournis par cette méthode sont assez sensibles au signal temporel utilisé, ainsi qu’à la
technique de fenêtrage utilisée. Malgré tous ces inconvénients, cette méthode est souvent
utilisée comme référence pour valider les méthodes analytiques, que nous allons présenter
dans la suite.
2. Méthodes directes : modélisation analytique
2.1. Principe
L’objectif de ces méthodes est de proposer des modèles analytiques qui permettent le calcul
directement du spectre. Suivant le schéma sur lequel se base l’étude CEM, on peut distinguer
entre deux méthodes. La première se base sur des schémas équivalents et la seconde prend en
compte le circuit réel.
2.2. Méthodes des sources équivalentes
Les premières méthodes de modélisation analytique se basent sur le schéma conventionnel
d’étude de la CEM, l’étude phénoménologique : identification des sources de perturbations,
du chemin de propagation et de la victime.
Les sources de perturbations sont constituées par la cellule de commutation, celle-ci est
remplacée par des sources de tensions et de courants pour former un schéma CEM équivalent.
Chaque mode de propagation est remplacé par une source équivalente, le mode commun est
remplacé par une source de tension et le mode différentiel par une source de courant. Les
formes d’ondes de ces générateurs sont choisies trapézoïdales, afin de rendre compte des
commutations non idéales des éléments actifs. Le chemin de propagation est formé par les
59
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
composants passifs, les pistes du convertisseur et les capacités parasites. La victime est
généralement constituée par le RSIL du coté de l’alimentation, mais ce peut être aussi celui
du coté de la charge.
Malgré les résultats satisfaisants de cette méthode, celle-ci reste non totalement rigoureuse sur
le plan théorique [Pop99], [Rev04], et le choix des sources des perturbations reste heuristique.
Elle demande beaucoup de savoir-faire ainsi qu’une bonne connaissance de la structure de
puissance et des mécanismes mis en jeu dans l’étude de la CEM (sources et chemins de
propagation).
Deux approches ont été proposées suivant cette méthode, par fonction transfert et matricielle.
La principale différence entre ces deux approches est la séparation ou pas des deux modes de
propagation, mode commun et différentiel.
2.2.1. Approche par fonction de transfert
Cette première approche consiste à dissocier le mode commun du mode différentiel en
établissant une fonction de transfert pour chaque mode [Sch93]. Cette dichotomie, suppose
qu’il n’y a aucune interaction entre les deux et que leurs chemins de propagation sont
indépendants. Dans [Rev04] est montré qu’il existe un fort couplage entre ces les deux modes
de propagation et que suivant la symétrie électrique du montage le mode commun peut se
recombiner en mode différentiel et inversement. Cette approche trouve beaucoup de
limitations pour traiter des systèmes complexes. Par contre, dans le cadre d’une approche de
conception globale de circuits simples elle reste attractive, grâce à sa simplicité.
2.2.2. Approche matricielle
Dans cette approche, un seul schéma équivalent est utilisé pour traiter le mode commun et le
différentiel en même temps [Rev04]. Les sources des perturbations sont toujours des sources
de tension et courant équivalentes, par contre la mise en équation est globale, elle prend en
60
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
compte les deux schémas équivalents. Cette approche prend en compte également les
impédances représentant la charge ou la connectique, qui étaient négligées dans le cas
précédent pour simplifier le calcul des fonctions de transfert.
Une procédure basée sur des calculs matriciels a été établie et permet d’avoir une
représentation matricielle minimale [Rev04]. Cette procédure reste assez laborieuse,
complexe et nécessite beaucoup de savoir faire.
2.3. Méthodes des variables d’états
La deuxième méthode, plus récente, repose sur la représentation des convertisseurs par
variables d’états [Pop99]. Elle se base sur le schéma réel du circuit et ne fait pas intervenir des
hypothèses de sources équivalentes. L’interrupteur n’est plus considéré comme idéal, Fig.2.9,
il comporte certains éléments parasites, tel que la capacité à l’état ouvert (Cj) évaluée sous
forte tension (Coss s’il s’agit toujours d’un MOSFET [Pop99]) et les inductances de câblage
interne et/ ou externe (Le). Ceci a permis d’avoir une meilleure précision que les anciennes
méthodes surtout en haute fréquence (au delà de 20 Mhz).
Fig. 2.9. Modèle d’interrupteur permettant de prédire les
perturbations électromagnétiques conduite avec
précision au delà de 20 Mhz [Pop99].
A chaque topologie de la structure, suivant l’état des interrupteurs, est associée une matrice
d’état. La mise en équation se base sur la méthode nodale et donne lieu au système
d’équations d’état suivant :
dx k ( t )
= A k x k ( t ) + B k U( t ), t _ < t < t k , k ∈ (1,..., N sw )
k 1
dt
(equ 2.4)
61
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
(equ 2.5)
y k ( t ) = C k x k ( t ) + D k U( t )
Ou Nsw est le nombre d’intervalles entre les commutations pendant une période (T). A, B, C et
D sont des matrices constantes par morceau. U (t) est la tension d’entrée.
La résolution du système est déterminée en premier lieu en temporel à l’aide d’un calcul
matriciel. Les solutions sont exprimées à l’aide de formules faisant intervenir des
exponentiels de matrice. La forme générique des solutions exprimant le vecteur d’état xk et
des sorties y k, est la suivante :
x k (t) =
Ak ( t _ t _ )
k 1 .x
e
y k (t) = C k .
t
k (t k _ 1 ) +
Ak ( t _ t _ )
k 1 .x
(e
∫e Ak ( t
_
τ)
(equ. 2.6)
.B k .U( τ).dτ
t _
k 1
t
k (t k _ 1 ) +
∫e Ak ( t
_
τ)
.B k .U( τ).dτ) + D k .U( t )
(equ.2.7)
t _
k 1
Une boucle d’optimisation permet de trouver les conditions initiales qui garantissent d’obtenir
le régime permanent du système. Ce dernier est calculé à partir des contraintes liées à la
continuité des variables d’état (equ. 2.8) et de la condition de périodicité (equ.2.9)
x k ( t k ) = x k +1 ( t k )
(equ.2.8)
x 1 (0) = x NSW (T)
(equ.2.9)
Le spectre CEM est par la suite déduit à partir de la transformée de Laplace de la variable de
sortie y comme suit :
NSW
Y ( p) =
NSW t k
∑ Yk (p) = ∑ ∫y k (t ).e
k =1
∑ ∫{
k =1 t _
k 1
pt
.dt
(equ.2.10)
k =1 t _
k 1
NSW t k
Y ( p) =
_
Ck .
Ak ( t _ t _ )
k 1 .x
(e
t
k (t k _ 1 ) +
∫e Ak ( t
_ τ)
.B k .U( τ).dτ) + D k .U( t )
} e _ pt .dt
t _
k 1
L’amplitude de l’harmonique de rang n du spectre de sortie, Sn, est donnée par l’expression
suivante :
62
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Sn =
2.i.n.(pi)
2
).
. Y(
T
T
(equ.2.11)
Cette méthode nécessite moins de savoir faire que le première méthode, car elle ne considère
pas des schémas équivalents CEM. Elle permet aussi l’estimation du spectre en haute
fréquence. Par contre son principal inconvénient est l’aspect fastidieux de la mise en
équations pour aboutir à la construction de la matrice d’états ainsi que le calcul matriciel
lourd utilisé pour retrouver les solutions du système d’état et ces conditions initiales.
2.4. Conclusion
Les méthodes directes sont beaucoup mieux adaptées aux problèmes d’optimisation et de prédimensionnement des convertisseurs de puissance que la méthode indirecte.
Elles sont beaucoup plus rapides, en supposant le fonctionnement du convertisseur en régime
établi alors que les méthodes indirectes doivent en revanche passer par une simulation
transitoire afin d’arriver au régime établi. Elles permettent aussi une souplesse d’intégration
dans des processus d’optimisation par la formulation modèle analytique.
Néanmoins les méthodes directes proposées dans la littérature demandent en général
beaucoup de savoir faire que ce soit sur le plan « phénomènes CEM » mis en jeu lors de la
détermination des sources des perturbations, ou sur la mise en équation du système et sa
résolution. Cette dernière tâche reste laborieuse et demande un calcul fastidieux et ne
s’applique qu’au cas par cas. Dans la suite nous proposons une nouvelle méthode de
modélisation analytique qui systématise la mise en équation et simplifie considérablement le
calcul du spectre directement en fréquentiel. Cette méthode est générale et peut s’appliquer de
la même manière pour toutes les structures des convertisseurs.
63
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
III. Mise en équation systématique basée sur la causalité
1. Modélisation unifiée : graphe des liens
L’outil graphe des liens est un langage de représentation graphique à vocation multi-physique
qui permet à l’aide d’une modélisation unifiée d’afficher explicitement la nature des échanges
de puissance dans le système, tel que les phénomènes de stockage, de transformation et de
dissipation d’énergie et de mettre en évidence la nature physique et la localisation des
variables d’états.
Cet outil a été défini initialement en 1959 au MIT (Boston, USA) par Paynter [Pay61] et
formalisée par Karnopp et Rosenberg en 1975 [Kar90]. Cette méthodologie est entrée en
Europe à la fin des années 1970 par le Pays Bas (université de Twente), puis en France. Cet
outil, appelé aussi «bond graph» est maintenant régulièrement utilisé par de nombreuse
entreprises, en particulier dans l’industrie automobile (PSA, Ford,…), et pénètre également
l’aéronautique (Airbus) ou l’électrochimie (Hélion) [Rob1]. C’est aussi une technique utilisée
dans l’équipe depuis 1988 [Mor03/1].
Un des grands apports de l’utilisation des graphes des liens est la causalité physique. C’est le
respect de la relation cause-à-effet définit par Spinoza en 1675 [Mor03], l’effet a
nécessairement lieu après la cause.
D’un point de vue pratique, le graphe des liens offre une vision graphique très structurée, en
permettant d’établir des règles allant de la construction de modèles à leur mise en équation, ce
qui permet de guider le concepteur dans la démarche souvent complexe de modélisation puis
de l’analyse: aspect systématique dans la mise en équation d’un système. En plus, le modèle
graphe de lien est évolutif, ce qui permet aisément d’affiner le modèle (en fonction des
hypothèses de modélisation retenues) par simple ajout de nouveaux éléments (pertes
thermique, effet d’inertie, …) sans avoir à reprendre la démarche depuis le début : c’est
l’exemple de l’étude de sensibilité.
64
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Un récapitulatif des principales caractéristiques qui permettent l’adaptabilité de ce langage
dans l’étude de phénomènes multi-physique complexes est [Bou1] :
- Une approche énergétique qui permet une décomposition du système étudié en soussystèmes puis éléments qui échangent de la puissance et qui structurent la procédure de
modélisation.
- Une terminologie unifiée pour les domaines physiques, fondée sur la notion d’analogie entre
phénomènes
- Une représentation graphique pour visualiser les transferts de puissance, mais aussi de
causalité.
- Une souplesse inhérente qui permet de faire évoluer le modèle en ajoutant des phénomènes
négligés.
- Une écriture systématique des équations mathématiques issues du modèle « bond graph »
sous forme d’équation différentielle (système d’état).
- Un support pour une analyse structurelle des propriétés du modèle en vue de la conception
de systèmes de surveillance ou de commande.
1.1. Représentation unifiée
Le graphe des liens est basé sur une expression énergétique unifiée de la dynamique des
systèmes. Un système est divisé en sous-systèmes puis éléments, et le graphe des liens
indique comment l’énergie est échangée entre ces éléments. Le modèle d’un sous-système
indique comment l’énergie est stockée, modifiée ou dégradée à l’intérieur du bloc.
Dans cette représentation, des notions communes à toutes disciplines sont à définir :
1.1.1. Notion de lien, d’effort et de flux
L’outil bond graph illustre les transferts énergétiques dans un système en utilisant la notion
de liens de puissance. Un lien de puissance est symbolisé par une demi-flèche, dont
65
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
l’orientation indique le sens conventionnel de l’écoulement de l’énergie. Considérons deux
composants A et B d’un système physique, une énergie qui transite de A vers B, est
représentée par une demi- flèche dont le sens est de A vers B, voir Fig. 2.10.
Chaque lien véhicule deux variables simultanément : l’effort e et le flux f, dont le produit
représente la puissance instantanée transférée. Cette puissance est positive si l’écoulement
d’énergie réelle suit le sens de la demi-flèche. Le lien est connecté entre deux ports, un port de
sortie du composant A et un port d’entrée du composant B. Il impose que les variables (f, e)
imposées par les ports soient identiques. Dans ce cas on dit qu’il y a identification des
variables correspondantes de port de même type. De plus un composant ne peut pas imposer
le flux et l’effort en même temps, c’est la notion de causalité.
Une représentation bond graph permet de mettre en évidence quatre informations, (Fig.2.10) :
- La liaison physique entre les deux systèmes par le lien.
- Le type d’énergie utilisé par la nature des variables (f, e)
- Le sens d’écoulement de l’énergie par le sens du lien
- La causalité par le trait causal, vu au paragraphe suivant.
Fig. 2.10. Représentation graphique unifiée d’un graphe de lien.
66
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Cette représentation est unique et suivant le domaine d’étude on attribue les variables de flux
et d’effort respectives. Le tableau suivant, Tab.2.1, présente les variables dans quelques
domaines physiques courants:
Domaine physique
Electrique
Thermique
Hydraulique
Mécanique de translation
Mécanique de rotation
Magnétique
Chimique
Variable de flux
Courant i
Flux entropique
Débit volumique
Vitesse longitudinale
Vitesse angulaire
Dérivée de flux
Flux molaire
Variable d’effort
Tension u
Température absolue
Pression absolue
Force
Couple
Force magnétomotrice
Potentiel chimique
Tab. 2.1. les variables de flux et d’effort des principaux domaines physiques [All1].
1.1.2. Les éléments
Des composants élémentaires sont définis de manière unique pour les différents domaines
physique. Ils sont généralement classés en fonction de leurs comportements par rapport aux
deux principes de la thermodynamique et au principe de continuité spatiale de l’énergie.
Suivant ces principes, on peut distinguer entre trois types de composants, représenté cidessous avec des exemples dans le domaine électrique :
- Composants de stockage d’énergie (énergétique) : comme le condensateur et la self.
- Composants irréversible (entropique) s’il produit de la chaleur : comme la résistance.
- Composants source (créateur) s’il produit ou supprime de l’énergie : comme les sources de
tension ou de courant.
Un composant élémentaire ne peut être à la fois que énergétique, entropique ou créateur.
Les autres éléments sont soit des contraintes ou des jonctions. Les contraintes sont des
éléments à deux ports de transformation de l’énergie, comme les transformateurs. Ils sont
particulièrement utiles dans la description des systèmes multi-domaines. Les jonctions
permettent de réaliser des assemblages, dans le domaine électrique la jonction 1 correspond à
la loi des mailles et la jonction 0 correspond à la loi des nœuds, voir Tab.2.2.
67
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
2. Mise en équation systématique : Analyse de causalité
2.1. L’analyse de causalité
L’analyse de causalité est une méthode graphique qui permet de vérifier si le système
d’équation d’un graphe de lien peut se mettre sous la forme d’une EDO (Equations
Différentielles Ordinaires). Dans ce cas le système est dit « causal». Un système causal
respecte par définition la relation de cause-à-effet, qui dans l’étude de la CEM peut être
interprétée par la notion de source – chemin - victime. L’effet est la source des perturbations
et la cause est la victime. Entre autre, l’analyse de causalité permet de [Rob1] :
- Introduire explicitement la distinction entre cause et effet physique, distinction absente dans
le plupart des représentations courantes;
- Donner des règles de bonne association entre les éléments : un conflit de causalité signale
une association non physiquement acceptable.
- Mettre en évidence les interactions au sein des systèmes physiques.
- Offrir des possibilités en terme d’analyse systémique
- Structurer la formulation mathématique issue des modèles bond graph : mise en équation
d’état systématique.
Dans une démarche de mise en équation du système, il est nécessaire d’écrire les variables et
les équations associées. Par contre, si l’on cherche juste de vérifier si le système est causal, il
est possible de se contenter d’une méthode purement graphique.
Un composant élémentaire peut être représenté par un modèle à variable d’état (equ.2.12 et
equ 2.13) : il suffit que chaque variable de port du composant, variables flux et effort, soit
l’une des variables d’entrée U ou de sortie Y.
Un modèle à variable d’état s’écrit sous la forme suivante :
68
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
dX
= h (X, U)
dt
Y = g (X, U)
(equ 2.12)
(equ 2.13)
Des règles de causalité existent pour séparer la connaissance des variables de port d’un
composant, flux et effort. Ces règles consistent en l’affectation de traits causaux du coté du
port qui impose le flux, après assemblage complet des éléments du système. Ceci permet la
formulation de l’équation d’état par l’identification des variables d’entrée et de sortie.
Le modèle à variable d’état décrit la causalité d’un composant : Il est connu qu’une variable
d’entrée (U) ne peut pas être en avance sur une variable de sortie (Y).
Le tableau suivant montre les équations d’états de certains composants élémentaires en
électronique de puissance, formulées à l’aide de l’analyse de causalité :
Type
d’élément
Sources
Stockage
Nom, Symbole
Source d’effort, Se
Modèle à
variables d’états
e = e(t)
Source de flux, Sf
e
f
f = f(t)
Capacité, C
f
e
Inductance, L
e
f
f
e
dx
= f , e = e( x )
dt
dx
= e, f = f ( x )
dt
e = R.f
e
f
Jonction 0, 0
f1, f2,
f3, e4
e1, e2,
e3, f4
e
R
e1 = e2 = e3 = e4
f4 = -f1-f2+f3
Jonction 1, 1
e1, e2,
e3, f4
f1, f2
f3, e4
f1 = f2 = f3 = f4
e4 = -e1-e2+e3
Entropique
Résistance, R
Jonctions
Représentation Variable Variable
graphique
d’entrée de sortie
f
e
f =
Tab. 2.2 Equations d’états de composants élémentaires linéaires
69
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
2.2. Algorithme de mise en équation
L’affectation des traits causaux ainsi que l’écriture des équations d’états pour les différents
composants (analyse de causalité) suivent un algorithme bien spécifique. Dans [kar90] est
présenté un algorithme qui ne prend en compte que les composants élémentaires.
Une extension, fort utile en électronique de puissance, est présentée dans [All1]. L’algorithme
proposé est appelé Analyse de Causalité Algébrique (ACA), voir Fig. 2.11. Il prend en
compte tous les composants en les identifiants dans tous les cas par des équations d’états. Il
permet la mise en équation systématique en EDO (équation d’états) minimale.
1.Appliquer la causalité des sources (éléments Se et Sf)
2.Appliquer la causalité des éléments à stockage d’énergie (C, L, et les
composants qui ont des équations d’état)
3.Propager la causalité à travers les jonctions et les transformateurs, puis les
résistances
4.Itérer le point 3
L’algorithme s’arrête si :
- Tous les traits causaux sont placés : le graphe de lien est causal ;
- Faute de causalité : une équation de sortie permet de déduire une variable
déjà connue;
- Indétermination : aucune nouvelle équation de sortie n’est applicable car il
manque des traits causaux et certaines variables de port ne sont donc pas
connues.
Fig. 2.11. Synthèse de l’algorithme de l’Analyse de Causalité Algébrique [All1]
D’un point de vue mathématique, la représentation par graphe des liens et celle de la méthode
nodale (kirchoff) utilisent les mêmes équations caractérisant le système. En revanche la
technique de mise en équation est différente. La méthode nodale ne se soucie pas de la
70
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
causalité des composants, et aboutit ainsi à un système d’équations algébriques et
différentielles. La résolution d’un tel système est très délicate et la solution n’est pas toujours
garantie. Par contre l’analyse de causalité permet d’aboutir à un système d’Equation
Différentielle Ordinaire (EDO), dans le cas d’un système causal. Il n’existe aucune équation
algébrique à résoudre simultanément. Ce système d’équation (EDO) possède généralement
une solution explicite.
3. Graphe des liens commuté
Le découpage en électronique de puissance fait que certains composants se trouvent dans
différents états lors du fonctionnement du système. Ce changement d’état implique un
changement de causalité dans les composants et notamment des interrupteurs.
La notion de graphe des liens commuté permet de prendre en compte le changement d’état
dans au moins un composant [All1] dans un système de puissance. C’est le cas des systèmes
de puissance basés sur le modèle d’interrupteur idéal. Nous utiliserons les graphes des liens
commutés lors de notre étude, vu que cette dernière se base sur des interrupteurs idéaux.
L’analyse de causalité d’un graphe des liens commuté consiste en l’analyse de causalité de
chaque combinaison d’état. Chaque composant est ainsi représenté par plusieurs équations
d’états, chacune correspond à une combinaison. Dans la plupart des cas il est possible de
regrouper ces équations en une seule (EDO) à l’aide de fonction de discrimination des états,
voir exemple de (equ. 2.17). La figure Fig. 2.12, montre le graphe des liens commuté d’un
hacheur série en conduction continue [All1].
71
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.12. Graphe des liens commuté d’un hacheur
série en conduction continue [All1]
IV. La méthode proposée : description et validation
1. Principe et Atouts de la méthode proposée
Nous proposons d’appliquer l’analyse de causalité des graphes de liens pour la mise en
équation du convertisseur de puissance. Cette technique permettra une mise en équation
systématique et plus souple que celle utilisée dans les autres méthodes tel que dans [Pop99].
Elle permet aussi de généraliser et de formaliser l’étude de la CEM, car par définition un
système causal est un système physique réel qui respecte la relation de cause-à-effet. Dans
l’étude de la CEM la causalité peut être interprétée par la notion de source – chemin - victime.
L’effet est la source des perturbations et la cause est la victime, souvent le RSIL.
72
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
La mise en équation peut être aussi faite automatiquement à l’aide de logiciels de simulation
se basant sur des graphes des liens, comme PACTE. Cette technique a été présentée dans le
paragraphe précédent.
La structure d’étude considérée par notre méthode est le circuit réel, nous n’aurons pas à
déterminer des schémas équivalents en CEM. Ceci permet de généraliser la méthode, ainsi
que d’éviter toute hypothèse non forcement justifiée concernant les sources équivalentes,
notion de sources de mode commun et mode différentiel.
Des relations réccurentes reliant les différents coefficients de fourrier des signaux seront
déduites à partir des équations d’états du système à l’aide de quelques propriétés de base de la
série de Fourrier. Ainsi le spectre sera calculé à l’aide de relations simples, sans avoir recours
à des transformées de Laplace, ni de calcul de valeurs initiales.
2. Description de la méthode et exemple pédagogique
2.1.Exemple pédagogique et spectre de référence
Nous avons choisi comme exemple pédagogique, une structure très idéalisée de hacheur série,
Fig.2.13. Ce choix permet d’avoir des formes d’ondes idéales dont on peut calculer le spectre
analytiquement de manière exacte. Ceci est le cas pour le courant à travers l’inductance.
En considérant des interrupteurs idéalisés et une forte valeur d’inductance, le courant inductif
a une forme de dent de scie [Fer99]. En limite de conduction continue, ce courant a la forme
d’un triangle, Fig. 2.13. Une simulation temporelle plus fine, sous SABER, nous a permis de
vérifier cette forme d’onde, voir Fig. 2.14.
73
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.13. Exemple pédagogique
Fig. 2.14. Courant inductif
Par définition, les coefficients de la série de Fourier C(n), d’un signal f(t) de période T sont
[Ana03] :
T
2.(pi)
2
C(n) = ∫ f(t) . exp(-i. n. ω), avec ω =
T
T0
(equ.2.14)
Les coefficients de la série de Fourier exacts A(n) du signal triangulaire sont retrouvés en
appliquant la définition :
A(n ) =
4. I. (1 - cos(n. pi))
T2
*[
2
p2. n 2
-
T
];
2. p. n
(equ. 2.15)
Le spectre exact normalisé, S(n), (en dBµV) est retrouvé à l’aide des amplitudes des
coefficients de la série de Fourier :
S(n ) = 20. log10 ( A(n ) ) + 120, en dBµV
(equ.2.16)
Ce spectre servira comme référence, pour une première validation de notre méthode.
2.2.Application de la méthode et spectre estimé
Afin de pouvoir mettre en équations le circuit à l’aide de l’analyse de causalité, il faut
commencer par déterminer le graphe des liens de structure étudiée.
74
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Le graphe des liens correspondant au circuit de l’exemple pédagogique (Fig. 2.13) est le
suivant :
Fig. 2.15. Graphe des liens simplifié de l’exemple pédagogique
L’analyse de causalité appliquée au graphe de lien permet la mise en équations du système
sous forme d’un modèle d’état. Vu que le circuit ne comporte qu’un seul élément de stockage
d’énergie, le système sera décrit par une seule équation d’état [Kar90].
Sachant que nous utilisons la notion d’interrupteur idéal, ce dernier change de causalité selon
son état. Quand il est ouvert, il impose un courant nul. Quand il est fermé, il impose une
tension nulle à ses bornes. Les changements d’état de l’interrupteur sont instantanés. Pour
rendre compte de ces changements de causalité, on utilise les graphes de liens commutés.
Dans notre cas, hacheur série idéal en conduction continue, on se trouve avec deux états, donc
deux graphes de liens commutés, voir Fig. 2.16.
75
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Etat 1 : Entre 0 et T/2
Etat 2 : Entre T/2 et T
* Interrupteur K Fermé : Vk=0
* Interrupteur K ouvert: Ik=0
* La diode est bloquée Id=0
* La diode est passante Vd=0.
Fig. 2.16. graphe de liens commutés de l’exmple pédagogique
L’analyse de causalité des graphes de liens commutés pour les deux états, permet la mise en
équations suivante :
La tension aux bornes de l’inductance Vl est :
La tension aux bornes de l’inductance Vl est :
Vl= Vin-Vout
Vl= -Vout
L’équation d’état est :
L’équation d’état est :
Vl = L
dI
= Vin - Vout
dt
Vl = L
dI
= -Vout
dt
Sachant que nous avons toujours un seul élément de stockage d’énergie (l’inductance L) pour
les deux graphes des liens commutés, le système peut être décrit par une unique équation
d’état :
Vl = L
dI
= h(t) - Vout,
dt
avec h(t) =
{
Vin, 0 < t < T/2
0,
T/2 < t < T
(equ.2.17)
h(t) est une fonction de discrimination des états, elle permet de rendre compte des deux états
du système. Cette fonction décrit le découpage, ainsi elle peut être considérée comme la
source des perturbations. Elle est aussi considérée comme la cause de perturbation suivant
l’analyse de causalité. Nous appellerons cette fonction, fonction de découpage.
76
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
En utilisant quelques propriétés de base de la transformée de Fourier, (equ.A.1 et equ.A.2), on
peut remonter à la relation qui relie les coefficients de Fourier des différents signaux de
l’équation d’état, (equ.2.18).
Propriété 1.
En connaissant les coefficients de la série de Fourier, Cn(f), d’une fonction f(t), on peut
déduire ceux de sa dérivée Cn(df/dt) [Ana03]:
Cn(df/dt)=i*n*w*Cn(f)
(equ.A.1)
Propriété 2.
Les coefficients de la série de Fourier constituent une application linéaire [Ana03] :
Cn(a*f+b*g)=a*Cn(f)+b*Cn(g),
(equ.A.2)
En utilisant les propriétés 1 et 2, on déduit la relation suivante :
L . i . n . ω . CI(n) = Ch(n) - Cv(n)
(equ.2.18)
Avec : CI(n) les coefficients de Fourier du courant I
Ch(n) les coefficients de Fourier de la fonction h(t)
Cv (n) les coefficients de Fourier de la tension Vout
Ch(n) et Cv(n) sont calculés d’une manière exacte en utilisant la définition de la série de
Fourier, (equ.2.14). A partir des expressions de Ch(n) et de Cv(n) ainsi que de la relation les
reliant à CI(n), (equ 2.18), on peut remonter à une expression analytique de CI(n).
L’amplitude de CI(n), permet de retrouver le spectre estimé :
S1(n ) = 20 . log10 ( CI(n ) ) + 120, en dBµV
2.3.Validation de la méthode : comparaison du spectre estimé au spectre exact
En comparant les deux spectres, estimé par notre méthode et le spectre exact, on trouve qu’ils
coïncident sur toute la plage de fréquence d’étude (30 MHz). Cette plage couvre toute la
norme relative aux perturbations conduites.
77
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.17. Comparaison des spectres : estimé et exact
2.3. Algorithme de la méthode proposée
L’organigramme de la figure Fig. 2.18 résume les différentes étapes qu’il faut suivre lors de
l’utilisation de la méthode proposée.
Fig. 2.18. Algorithme de la méthode proposée
78
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
3. Validation de la méthode : Application détaillé (hacheur série)
3.1. Cas d’application
Nous avons appliqué la méthode proposée dans le cas d’un hacheur série réel (42/14 V-8A),
Fig. 2.20. Le convertisseur a été réalisé en technologie SMI (voir Fig. 2.19) suivant le cahier
des charges du tableau, Tab.1.4, énoncé dans le premier chapitre. Pour la validation de la
méthode, les contraintes CEM n’ont pas été prises en compte lors du pré-dimensionnement du
convertisseur, ainsi on s’attend bien à ce que les perturbations générées par le circuit ne
respectent pas les niveaux tolérés par la norme. Par contre, toutes les conditions de mesures
normatives ont été considérées, tel que la prise en compte du RSIL, voir Fig. 2.19. Nous avons
aussi pris en compte les différents éléments parasites susceptibles de contribuer aux spectres
des perturbations électromagnétiques, tel que les capacités parasites (Cp1 et Cp2) entre
potentiels flottants et la référence (le plan de masse), l’inductance de câblage (L) entre
l’alimentation et le RSIL et l’inductance série (esl) du condensateur d’entrée ainsi que sa
résistance série (esr), voir Fig. 2.20.
Fig. 2.19. Convertisseur Buck réalisé en technologie SMI.
A gauche les deux bras du RSIL et
à droite en haut la commande et au milieu le circuit de puissance.
79
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.20. Schéma complet du hacheur sous test.
Les valeurs des éléments du RSIL sont les suivants : L1 = 5 µH, C1 = 1µF, R1 = 10 mΩ,
C=100 nF et R= 50 Ω. Le filtre de sortie est constitué d’une inductance d’une valeur
Ls = 18 µH et d’une capacité de valeur Cs= 47 µF.
Les éléments parasites du condensateur d’entrée ont été déterminés suite à sa caractérisation
au pont d’impédance HP4194A voir Fig.1.9 Le modèle série a permis de retrouver le
comportement fréquentiel du condensateur sur toute la plage d’étude (jusqu'à 30 Mhz) à l’aide
des valeurs suivante : C = 407 µF, esl = 15 nH, esr = 50 mΩ.
La capacité surfacique Cp a été considérée comme constante. Sa valeur est évaluée à l’aide de
l’expression fournie dans le paragraphe VI.2.2 du chapitre 1, Cp =70 pF/cm². L’inductance
Lp1 peut représenter le chemin du courant dans le plan de masse correspondant à l’élément
Cp1, sa valeur a été approximé à 20 pH. L’inductance de câblage (L) a été approximée à l’aide
d’une expression analytique issue de la théorie des lignes, qui permet de calculer l’inductance
linéique des conducteurs de formes simples [Cos1]. Dans le cas de notre application
l’inductance linéique est approximée à L = 0.1µH/cm, et a été évaluée pour une longueur de 8
cm.
80
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
3.2. Application de la méthode
Normalement pour un système causal (sans aucune simplification), la dimension du modèle
d’état est égale au nombre d’éléments de stockage d’énergie (inductances et capacités) dans le
circuit traité [Kar90], [All1], dans notre cas nous avons 13 éléments, voir Fig. 2.20. Suivant
l’hypothèse des interrupteurs idéaux et avec une forte valeur d’inductance de sortie, le filtre
de sortie peut être remplacé par un générateur de courant en forme de dent de scie [Fer99].
Ceci nous permet de simplifier deux équations du système d’états. La dimension du système
d’état passe de 14 à 12, voir Fig. 2.21. Ainsi, le circuit traité est le suivant :
Fig. 2.21. Circuit traité
En utilisant les techniques de simplification des graphes des liens [Mor03] nous aboutissons au
graphe des liens du circuit traité suivant, Fig 2.22 :
81
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.22. Graphe des liens simplifié du circuit traité.
Le fonctionnement du hacheur impose deux états pour les interrupteurs K et D. L’application
de l’analyse de causalité pour chaque état donne lieu à un graphe des liens commuté et un
système d’équations spécifique pour chaque état.
L’état 1 du système (0 < t < α T) est lorsque l’interrupteur K est ouvert et D est fermé, dans ce
état l’interrupteur K impose un courant nul tant dis que la diode D impose une tension nulle a
ses bornes. Le graphe des liens commuté correspondant à cet état est représenté sur la figure
Fig. 2.23. Les équations d’états relatifs à cet état sont regroupées dans le système d’équation
(S1).
L’état 2 du système (α T < t < T) est lorsque l’interrupteur K est fermé et D est ouvert, cette
fois ci l’interrupteur K impose une tension nulle a ces bornes et la diode D impose un courant
nul. Le graphe des liens commuté correspondant à cet état est représenté sur la figure Fig.2.24.
Les équations d’états relatifs à cet état sont regroupées dans le système d’équation (S2).
82
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig.2.23. Graphe des liens commuté relatif à l’état 1, K ouvert et D fermé.
Fig.2.24 Graphe de lien commuté relatif à l’état 2, K fermé et D ouvert.
83
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
dVc 1
= I L _ I L1
dt
dVc 2
C2
= I L2 _ I L
dt
dVc 3 _ 1
1
C3
= (
) VC 3 + (
) VCp 2
dt
R3
R3
C1
dVc 4
= Sf ( t ) + I Lf _ I Lp1 _ I L 2
dt
dVc f
Cf
= I Lf
dt
dVcp 1
C p1
= I Lp1
dt
dVcp 1
1
1
) VCp 2 _ Sf ( t )
C p2
= I L1 _ I Lf + (
) VC 3 _ (
dt
R3
R3
C4
(S1)
dI L
= E + R 1 I L1 + R 2 I L 2 _ ( R 1 + R 2 ) I L _ VC1 + VC 2
dt
dI L1
L1
= VC1 _ VCp 2 + R 1 I L _ R 1 I L1
dt
dI L 2
L2
= VC 4 + R 4 Sf ( t ) + R 4 I Lf _ R 4 I Lp1 + R 4 I L 2 _ VCf _ R f I Lf
dt
dI Lf
Lf
= VCp 2 _ VC 4 _ R 4 Sf ( t ) _ R 4 I Lf + R 4 I Lp1 + R 4 I L 2 _ VCf _ R f I Lf
dt
dI Lp1
Lp 1
= VC 4 + R 4 (Sf ( t ) + I Lf _ I Lp1 _ I L 2 ) _ Vcp 1
dt
L
C1
C2
C3
C4
dVc 1
= I L _ I L1
dt
dVc 2
= IL2 _ IL
dt
dVc 3
= I L 1 _ I Lf
dt
dVc 4
1
1
) VC4
) VC2 _ (
= (
R4
R4
dt
dVc f
= I Lf
dt
dVcp 1
C p1
= I Lp 1
dt
dVcp 1
1
1
C p2
= I Lf _ I Lp 1 _ I L 2 _ (
) VC2 + (
) VC4
dt
R4
R4
Cf
(S2)
dI L
= E + R 1 I L1 + R 2 I L 2 _ ( R 1 + R 2 ) I L _ V C1 + V C 2
dt
dI L 1
L1
= V C 1 _ V C 3 + R 1 I L _ ( R 1 + R 3 ) I L 1 + R 3 I Lf
dt
dI L 2
L2
= V Cp 2 _ R 2 ( I L 2 _ I L ) _ V C 2
dt
dI Lf
Lf
= V Cp 2 + V C 3 + R 3 ( I L 1 _ I Lf ) _ V Cf _ R f I Lf
dt
dI Lp 1
Lp 1
= V Cp 2 _ Vcp 1
dt
L
84
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
L’ensemble des équations retrouvées à l’aide de l’analyse de casualité dans les deux états, (S1)
et (S2), sont toutes des Equations Différentielles Ordinaires (EDO) et possèdent ainsi des
solutions explicites.
Sachant qu’il s’agit toujours des mêmes variables d’états dans les deux topologies, les deux
systèmes d’équations d’états, (S1) et (S2), peuvent se mettre sous la forme d’un seul système
(S) qui rend compte des deux états. Ce système est formé par des Equations Différentielles
Ordinaires (EDO).
dVc1
= I L _ I L1
dt
dVc 2
C2
= I L2 _ I L
dt
dVc 3 _ 1
1
1
1
= (
)Ah VC3 + (
) V Ah + (
) V (1_ Ah) _ (
) V (1_ Ah)
C3
dt
R3
R 3 Cp 2
R 4 C2
R 4 C4
C1
C4
dVc 4
1
1
) V (1_ Ah)
) VC2 (1_ Ah) + (
= AhSf ( t ) + AhI Lf _ AhI Lp1 _ AhI L 2 _ (
R 4 C4
R4
dt
dVc f
= I Lf
dt
dVcp1
C p1
= I Lp1
dt
dVcp 2
1
1
_ AhSf ( t ) _ (1 _ Ah)I _ (1 _ Ah)I
C p2
= I Lf + AhI L1 + Ah(
) VC3 _ Ah(
)V
L2
Lp1
dt
R3
R 3 Cp 2
Cf
(S)
dI L
= E + R 1 I L1 + R 2 I L 2 _ (R 1 + R 2 ) I L _ VC1 + VC2
dt
dI L1
L1
= VC1 _ AhVCp 2 _ (1 _ Ah)VC3 _ R 1 I L _ (R 1 + (1 _ Ah)) I L1 + (1 _ Ah)R 3 I Lf
dt
dI L 2
L2
= AhVC4 + R 4 AhSf ( t ) + R 4 AhI Lf _ R 4 AhI Lp1 + (1 + Ah)R 2 I L 2 _ VC2 + (1 _ Ah)VCp 2 + R 2 I L
dt
dI Lf
Lf
= VCp2 _ AhVC4 _ R 4 Sf ( t ) _ AhR 4 I Lf + AhR 4 I Lp1 + AhR 4 I L 2 _ VCf _ R f I Lf + (1 _ Ah)R 3 I L1 _ (1 _ Ah)R 3 I Lf
dt
dI Lp1
Lp1
= AhVC4 + AhR 4 (Sf ( t ) + I Lf _ I Lp1 _ I L 2 ) _ Vcp1 + (1_ Ah)VCp 2
dt
L
{
1, 0 < t < αT
Ah ( t ) = 0, αT < t < T
Ah(t) est la fonction de découpage, elle est considérée comme la cause des perturbations car
elle décrit le découpage de l’énergie.
En utilisons les propriétés de la transformée de Fourrier, (equ.A.1 et equ.A.2), et le système
d’équation (S) on peut déduire les relations entre les différents coefficients de Fourriers des
85
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
signaux. Ces relations forment un système d’équation linéaire (Sn) de x équations à x
inconnues.
p(n )C1VC1 (n ) = I L (n ) _ I L1 (n )
p(n )C 2 VC2 (n ) = I L 2 (n ) _ I L (n )
[ p ( n )C 3 + (
1
1
1
1
) V (n )(1_ Ah(n ))
) VC2 (n )(1 _ Ah(n )) _ (
) VCp 2 (n )Ah + (
)Ah ]VC3 (n ) = (
R 4 C4
R4
R3
R3
[ p ( n )C 4 _ (
1
1
) V (1_ Ah)] = AhSf (n ) + AhI Lf (n ) _ AhI Lp1 (n ) _ AhI L 2 (n ) _ (
) V (n )(1 _ Ah)
R 4 C4
R 4 C2
p(n )CfVCf (n ) = I Lf (n )
p(n )C p1 VCp1 (n ) = I Lp1 (n )
[p(n )C p 2 (n ) + Ah(
1
1
) V (n ) _ AhSf (n ) _ (1 _ Ah)I L 2 (n ) _ (1_ Ah)I Lp1 (n )
) ]VCp 2 (n ) = I Lf (n ) + AhI L1 (n ) + Ah(
R 3 C3
R3
[p(n )L + (R 1 + R 2 ) ]I L (n ) = R 1 I L1 (n ) + R 2 I L 2 (n ) _ VC1 (n ) + VC2 (n )
[p(n )L1 + (R 1 _ Ah(n )) ]I L1 (n ) = VC1 (n )
_
AhVCp 2 (n ) + AhVC3 (n ) _ R 1 I L (n ) + (1 _ Ah)R 3 I Lf (n )
[p(n )L2 _ (1 + Ah(n ))R 2 ]I L 2 (n ) = AhVC4 (n ) + R 4 AhSf (n ) + R 4 AhI Lf (n ) _ R 4 AhI Lp1 (n ) _ VC2 (n ) _ Ah(n )VCp 2 (n )
+ R 2 I L (n )
[p(n )Lf + Ah(n )R 4 + (1 _ Ah)R 3 I Lf (n )]I Lf (n ) = VCp 2 (n ) _ Ah(n )VC4 (n ) _ R 4 Sf (n ) + Ah(n )R 4 I Lp1 (n ) + Ah(n )R 4 I L 2 (n )
_
VCf (n ) _ R f I Lf (n ) + (1 _ Ah)R 3 I L1 (n )
[p(n )Lp1 _ Ah(n )R 4 ]I Lp1 (n ) = Ah(n )VC4 (n ) + Ah(n )R 4 (Sf (n ) + I Lf (n ) _ I L 2 (n)) _ Vcp1 (n ) + (1_ Ah(n ))VCp 2 (n )
Avec : n le rang de l’harmonique,
p( n ) =
2πn
T
X(n) le nième coefficient de Fourrier du signal X
3.3. Comparaison par rapport à la mesure
Les mesures des perturbations électromagnétiques ont été effectuées au Laboratoire
d’Electrotechnique de Grenoble (LEG). Nous avons utilisé l’analyseur de spectre HP8560A
disponible comme récepteur de mesure.
Suite à des mesures normatives, nous avons comparé sur la figure Fig.2.25 le spectre prédit
par notre méthode (modèle analytique) et celui mesuré sur le bras bas du RSIL.
86
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.25. Comparaison du modèle par rapport à la mesure.
L= 0.8 µH, Cp1= 300 pF, Cp2= 70 pF, Cf = 407 µF, esl 15= H, esr = 50 mΩ, Lp1=20 pH
Le modèle analytique permet de prédire le spectre des perturbations avec une bonne précision
jusqu'à des fréquences assez hautes du spectre, 20 Mhz. Au delà de cette valeur les
commutations non idéales des interrupteurs interviennent dans le spectre [Rev03], [Pop99].
L’écart entre le spectre mesuré et le spectre prédit est dû au modèle d’interrupteur idéal que
nous avons considéré dans notre méthode qui ne prend pas en compte des commutations
réelles. Cela est naturellement visible qu’aux hautes fréquences.
3.4. Analyse de sensibilité
Grâce aux modèles analytiques il est très simple de faire une analyse de sensibilité qui permet
d’évaluer l’effet de certains éléments du circuit sur le spectre CEM. Nous avons choisis
d’analyser l’effet des éléments suivant : les capacités parasites (Cp) et l’inductance parasite
(esl) du condensateur d’entrée.
87
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
3.4.1. Effet de la capacité Cp sur le spectre
Afin d’analyser l’effet de la capacité Cp2 sur le spectre, nous avons comparé le spectre mesuré
par rapport a celui prédit par le modèle analytique pour deux valeur de Cp2 tout en fixant la
valeur de Cp1= 300 pF.
Fig. 2.26. Comparaison du modèle par rapport à la mesure pour deux valeurs de Cp2.
En bleu Cp2= 70 pF, en rouge Cp2= 150 pF.
Cp1=300 pF, L= 0.8 µH, Cf = 407 µF, esl =15 nH, esr = 50 mΩ, Lp1=20 pH.
La figure ci-dessus montre que la valeur de la capacité Cp2 n’intervient sur le spectre qu’en
haute fréquence, à partir de 10 Mhz.
3.4.2. Effet de l’inductance parasite (esl) sur le spectre
Afin d’analyser l’effet de l’inductance parasite (esl), nous avons comparé le spectre mesuré
aux spectres prédits à l’aide de la méthode proposée avec et sans prise en compte du esl.
88
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.27. Comparaison du modèle par rapport à la mesure avec (en bleu)
et sans (en rouge) prise en compte du esl (esl = 15nH dans ce dernier cas).
L= 0.8 µH, Cp1= 300 pF, Cp2 = 70 pF, Cf = 407 µF, esr = 50 mΩ, Lp1=20 pH.
La figure ci-dessus montre que l’inductance parasite du condensateur d’entrée intervient
pleinement sur le spectre à partir des basses fréquences. Ceci montre l’importance de sa prise
en compte lors de la modélisation des phénomènes électromagnétiques.
3.5. Comparaison par rapport à la méthode indirecte
Malgré les différents inconvénients que présente la méthode indirecte pour traiter des
problèmes de pré-dimensionnement des convertisseurs de puissance (voir paragraphe. II.1),
celle-ci reste toujours une méthode de référence par rapport à laquelle on peut valider les
modèles analytiques. Bien évidemment, ceci est au détriment d’un bon réglage des paramètres
de simulations (pas de temps de simulation), d’un bon choix de la technique de fenêtrage et
d’un temps de simulation assez long.
89
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Nous avons réalisé des simulations temporelles sous SABER, en utilisant les modèles « type
circuit » d’interrupteur correspondants aux composants utilisés dans la pratique. Sachant que
nous utilisons des MOSFET et des diodes Schottky, les modèles circuits de ces éléments sous
SABER sont suffisamment précis. Le pas de simulation est inférieur à 17 ns, afin de couvrir
toute la plage de fréquence de la norme (30 Mhz), calculé à l’aide de la formule equ.2.3. La
FFT est calculée en utilisant une fenêtre Flattop afin d’avoir une meilleure précision sur
l’amplitude du spectre (voir paragraphe II.1.3).
Nous avons représenté sur la figure Fig.2.28 les spectres obtenus, par la mesure, à l’aide du
modèle analytique et celui issus de la méthode indirecte.
La comparaison entre les différents spectres, montre que la méthode indirecte est plus précise
que le modèle analytique en hautes fréquences (à partir de 20 Mhz). Ceci s’explique par le
modèle dynamique de l’interrupteur utilisé dans les simulations temporelles qui permet de
rendre compte des commutations réelles. Dans la méthode proposée les commutations sont
négligées par l’utilisation de modèles idéaux pour les interrupteurs.
Par contre le temps de calcul ainsi que les ressources informatique nécessaire pour la méthode
indirecte sont beaucoup plus grandes que ceux de la méthode proposée. A titre indicatif, la
simulation temporelle a durée plus de huit heures alors que le modèle analytique a permis de
prédire le spectre en moins d’une minute sur un PC équipé d’un processeur AMD de
fréquence 1 GHz et de 256 Mo de RAM.
90
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Fig. 2.28. Comparaison entre les spectres retrouvés à l’aide de la méthode
Indirectes, du modèle analytique et celui mesuré.
V.
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons proposé une méthode de prédiction des perturbations
électromagnétiques conduites générées par les convertisseurs de puissance. La méthode
fournie des modèles analytiques qui permettent d’agir avant la réalisation des convertisseurs
et ainsi réduire le coût élevé engendré par non la prise en compte de contraintes de CEM dans
la phase de conception. Elle se base sur l’analyse de causalité des graphes de liens.
L’utilisation des graphes des liens donne à la méthode un aspect général permettant de traiter
toute structure de puissance et évite la nécessité de savoir faire particulier lors de l’étude de la
CEM. L’analyse de causalité permet une mise en équations systématique du système, qui
trouve tout son intérêt dans le cas de système complexe.
91
Chapitre 2. Nouvelle méthode pour la prédiction des perturbations EM conduites
Cette méthode a été validée dans le cas d’un hacheur série réel. La comparaison du spectre
prédit par rapport à celui mesuré à l’aide d’un analyseur de spectre, a montré que la méthode
permet de prédire les perturbations avec une très bonne précision jusqu'à des fréquences assez
élevées du spectre, 20 Mhz. Au delà de cette valeur le modèle d’interrupteur idéal utilisé dans
notre méthode ne permet plus de reproduire les perturbations électromagnétiques réel. Ceci
peut être amélioré par l’utilisation de modèle plus précis qui permet de rendre compte des
commutations réelles des composants de puissance dans notre méthode. Néanmoins dans le
cadre du pré-dimensionnement la précision offerte par la méthode proposée reste
suffisamment satisfaisante, d’autant plus que les spectres prédits surestiment le spectre réel en
hautes fréquences, entre 20 Mhz et 30 Mhz.
92
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Chapitre III.
Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
I. Introduction........................................................................................................................... 94
II. Utilisation des techniques uni-objectifs............................................................................... 96
1. Les algorithmes génétiques .............................................................................................. 96
2. Choix des algorithmes génétiques et outil d’optimisation : DARWIN............................ 97
3. Optimisations avec fonctions coûts discrètes et continues............................................... 98
4. Convertisseurs optimisés................................................................................................ 102
5. Validations de la conception .......................................................................................... 104
6. Conclusion...................................................................................................................... 104
III. Les techniques d’optimisation multi-objectif................................................................... 105
1. Définitions...................................................................................................................... 105
2. Les différentes approches de résolution des problèmes multi-objectifs ........................ 108
IV. Notre démarche d’optimisation multi-objectif................................................................. 126
1. Introduction .................................................................................................................... 126
2. Description de la méthode.............................................................................................. 126
3. Exemple pédagogique .................................................................................................... 129
4. Application dans le cas d’étude : hacheur série 42 /14V ............................................... 131
V. Optimisation avec prise en compte de contrainte CEM .................................................... 136
VI. Conclusion ....................................................................................................................... 137
93
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
I. Introduction
Lorsque le concepteur d’un système désire améliorer certaines performances particulières, la
complexité du problème conduit naturellement à l’utilisation de techniques d’optimisations
destinées à faciliter la détermination des meilleures solutions (solutions optimales). La
conception de convertisseurs de puissance fait intervenir en général un nombre important de
variables de conception ainsi que plusieurs contraintes physiques de nature différentes. Dans
de tels cas, le raisonnement humain seul n’est plus suffisant, car il devient difficile de
percevoir tous les couplages et de comprendre comment agir pour améliorer les critères
choisis. L’utilisation des techniques d’optimisation se révèle alors très efficace pour aider le
concepteur dans sa démarche et lui permettre de mieux appréhender le comportement
complexe des systèmes.
Dans ce chapitre nous allons présenter l’utilisation des techniques d’optimisation uni-objectif
et multi-objectif dans la conception de convertisseurs de puissance. Nous présenterons la
différence entre ces deux techniques ainsi que les principales méthodes d’optimisation multiobjectifs. L’association de deux d’entre elles nous a permis de développer une nouvelle
démarche d’optimisation multi-objectif, qui permet d’éliminer leurs faiblesses respectives.
Cette démarche multi-objectif ainsi que des techniques d’optimisation uni-objectifs, à bases
d’algorithmes génétiques, ont été appliqués à un exemple d’étude avec des spécifications
réelles. Cet exemple est un hacheur série 42/14 V en technologie SMI (Substrat Métallique
Isolé) typique pour des applications automobiles, voir Fig.1.11. Les différentes considérations
de conception ainsi que les modèles utilisés, concernant les aspects électriques et thermiques,
ont été déjà détaillés dans le chapitre 1 (paragraphe III.1). Pour des raisons de clarté, nous
avons choisis de simplifier le problème d’optimisation en ignorant les contraintes CEM. Ceci
permet de focaliser ce chapitre sur l’apport des techniques d’optimisation, uni-objectif et
94
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
multi-objectifs, dans la conception des convertisseurs de puissance. Néanmoins, des
optimisations sous contraintes CEM seront présentées au niveau du chapitre 4.
Dans ce qui suit nous nous limiterons à rappeler le cahier des charges considéré ainsi que le
problème d’optimisation traité.
Electrique
Thermique
Ve= 42 V
Tambmax = 50°C
Vs= 14 V
Is= 8A
Tjmax = 175°C
∆(Vs)max = 400 mV
MCC
Tab3.1. Cahier des charges du hacheur à optimiser.
Avec : Ve : Tension d’entrée (continue)
Vs : Tension de sortie (continue)
Is : Courant de sortie moyen
∆(Vs)max: Ondulation maximale sur la tension de sortie
MCC : Mode de Conduction Continu
Tambmax: Température ambiante maximale
Tjmax : Température de jonction maximale
Suivant le principe de transformation du problème de pré-dimensionnement en un problème
d’optimisation sous contraintes, énoncé dans le tableau Tab.1.1, nous avons défini le
problème d’optimisation suivant :
Fonctions objectifs
Variables d’optimisation
Contraintes
Surface [cm²]
Composants passifs : L (µH) et C (µF)
Electrique : ∆Vs< Vsmax
Coût en euros [€]
Composant actifs : MOSFET
Rendement [ ]
Fréquence de découpage : f (Khz)
Masse [g]
Radiateur : R (°C/W)
∆I < 2*Is
Thermique : Tj < Tjmax
Tab.3.2. Problème d’optimisation traité
95
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Les variables d’optimisation sont un mélange de variables continues (fréquence de découpage
et radiateur) et discrètes (composants passifs et actifs). Les contraintes de conception sont de
type électrique et thermique.
Les contraintes électriques permettent de fixer un taux d’ondulation maximal pour la tension
de sortie (Vsmax) ainsi qu’un fonctionnement en mode de conduction continue. Ce dernier est
fixé à l’aide d’une contrainte sur l’ondulation du courant inductif (∆I)
Les modèles utilisés pour décrire l’ondulation de la tension de sortie ainsi que celle du
courant inductif, sont des modèles analytiques définis par les équations (equ.1.2) et (equ.1.3).
Les contraintes thermiques visent à s’assurer que la température de jonction du MOSFET
reste au dessous de la limite maximale fixée par le fabricant qui garantie sa fiabilité. La
température de jonction est décrite par le modèle analytique de l’équation (equ.1.8).
Les fonctions objectifs que l’on vise à optimiser sont la surface, la masse, le rendement et le
coût en euro. Les modèles des fonctions objectifs sont développés dans la suite de ce chapitre.
II. Utilisation des techniques uni-objectifs
1. Les algorithmes génétiques
Les algorithmes génétiques sont des techniques d’optimisation stochastiques qui tentent
d’imiter les processus d’évolution naturelle des espèces et de la génétique. Ils agissent sur une
population d’individus assujettis à une sélection darwinienne : les individus (ou parents) les
mieux adaptés à leurs environnement survient et peuvent se reproduire. Ils sont alors soumis à
des mécanismes de recombinaisons analogues à ceux de la génétique. Des échanges de gènes
entre parents résultent de la création de nouveaux individus (ou enfants), qui permettent de
tester d’autres configurations de l’espace de recherche [Sar99].
L’algorithme génétique diffère fondamentalement des autres méthodes dans la recherche de
l’optimum :
96
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
•
Il utilise un codage des paramètres de la fonction à optimiser et non les paramètres eux
même.
•
Il agit sur un ensemble de configurations et non sur un point unique.
•
Il n’utilise que les valeurs de la fonction à optimiser, pas sa dérivée ni une autre
connaissance auxiliaire.
•
Il utilise des règles de transitions probabilistes (non déterministes).
Le principe de cette méthode consiste à partir d’une population de N solutions du problème
représentées par des individus. Cette population choisie aléatoirement est appelée population
parent. Le degré d’adaptation d’un individu à l’environnement est exprimé par la valeur de la
fonction coût f(x), où x est la solution que l’individu représente. On dit qu’un individu est
d’autant mieux adapté à son environnement que le coût de la solution qu’il représente est plus
faible. Au sein de cette population, intervient alors la sélection au hasard d’un ou deux
parents, qui produisent ensuite une nouvelle solution, à travers les opérateurs génétiques, tels
que le croisement et la mutation. La nouvelle population, obtenue par le choix de N individus
parmi les populations parents et enfants, est appelée génération suivante. En itérant ce
processus, on produit une population plus riche en individus mieux adaptés [Sar99].
2. Choix des algorithmes génétiques et outil d’optimisation : DARWIN
Le pré-dimensionnement en électronique de puissance fait intervenir certaines particularités
lors du choix de la méthode d’optimisation. Ces particularités sont surtout la nature mixte
(discret/continu) des paramètres d’optimisation ainsi que des coûts, présentés dans le
paragraphe I.3.3 du chapitre 1, auquel est rajouté la nécessité de prise en compte de
contraintes d’optimisation ainsi que de robustesse (convergence) pour la recherche du
minimum global. Les algorithmes génétiques par leur nature stochastique semblent être bien
adaptés pour répondre à toutes ces particularités. En plus de la prise en compte de variables
discrètes et continues, ils permettent aussi de prendre en compte un grand nombre de
97
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
contraintes et ils ont l’avantage de ne pas être piégés par un optimum local et ne requièrent la
connaissance d’aucune propriété mathématique. C’est pour ces avantages que nous avons fait
le choix d’utiliser les algorithmes génétiques pour résoudre notre problème d’optimisation de
convertisseurs de puissances. Plus précisément, nous avons utilisés un outil d’optimisation à
base d’algorithmes génétiques, DARWIN [Dar00].
DARWIN est un outil dédié aux ingénieurs pour les aider dans leurs démarches
d’optimisation de problèmes complexes. Il permet d’optimiser une ou plusieurs fonctions
objectifs et de prendre en compte un grand nombre de contraintes et de variables
d’optimisation. Cet outil a été utilisé dans certains travaux antérieurs pour l’optimisation de
convertisseurs de puissance suivant un seul objectif. Par exemple dans [Bus01] et [Her01]
DARWIN a été utilisé pour réduire le coût d’une structure Boost avec PFC en prenant en
compte des contraintes de conception thermiques, électriques et CEM, la fonction objectif
optimisée etait une fonction continue obtenue par interpolation de données discrètes.
3. Optimisations avec fonctions coûts discrètes et continues
La plupart des méthodes d’optimisation nécessitent des expressions analytiques des fonctions
coût à optimiser. Ainsi des techniques d’interpolation sont communément utilisées pour
déterminer des expressions analytiques pour les fonctions objectifs à partir des coûts réels
discrets, [Bus01], [Her01], [Lar02], [Jou02]. Ceci n’est pas le cas des algorithmes génétiques
qui permettent très bien d’optimiser des fonctions coûts discrètes et continues. Plus
précisément DARWIN permet de gérer des bases de données ainsi que des modèles
analytiques.
A l’aide de DARWIN nous avons pu réaliser deux types d’optimisations pour un même
objectif d’optimisation. Dans le premier type, la fonction objectif à optimiser est une fonction
discrète obtenue par sommation de données discrètes stockées dans une base de donnée. Dans
le second type, la fonction objectif est une fonction continue obtenue par interpolation de
98
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
données discrètes. Cette procédure a été répétée pour différents objectifs d’optimisation (la
surface, la masse et le coût en euros), à chaque fois un seul objectif est traité.
Une confrontation des résultats d’optimisation suivant les deux types de fonctions objectifs,
discrètes et continues, est présentée sur la figure Fig.3.2.
3.1. Fonctions objectif discrètes
Les fonctions objectifs discretes (la surface S, le coût en euro C et la masse M), sont
déterminées en faisant la somme de tous les coûts individuels pris à partir d’une base de
données, comme suit :
•
S, Surface du circuit : somme des surfaces des composants plus une constante qui
correspond à l’écart minimal entre les différents composants. S est exprimée en cm².
•
C, Coût en euros du circuit : somme des coûts des composants (actifs, passifs) plus
celui du radiateur. C est exprimé en €.
•
M, Masse du circuit : somme des masses des composants, du SMI et du radiateur. M
est exprimée en gramme.
L’exemple suivant montre la fonction objectif masse totale du convertisseur (M)
N
M=
∑ M i + M SMI + M rd
[gr]
i =1
Avec N : le nombre des composants, Mi : masse du composant i (1< i < N), MSMI : la masse
du substrat SMI et Mrd : la masse du radiateur.
Le radiateur est décrit par sa résistance thermique Rthr. Le coût en € (Crd) ainsi que la masse
(Mrd) sont exprimés en fonctions de Rthrd en tenant compte des données des fabricants. La
surface est la même que celle du circuit imprimé SMI.
C rd = 64,607 exp(−0,3869 Rth rd −amb )
M rd = 200 / Rth rd - amb .
99
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
3.2 Fonctions objectifs continues
Ici, les fonctions objectifs continues sont obtenues par interpolation des données discrètes, la
surface, le coût en euros et masse. L’exemple suivant montre l’interpolation effectuée pour
déterminer une expression de la surface de l'inductance [cm²] en fonction de sa valeur L [µH],
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,3
0,5
0,9
1,1
1,3
1,6
1,9
2,4
2,6
3,2
4,3
4,5
6,4
9,8
12,8
18,1
Coût : Surface [cm²]
à partir des données des fabricants.
Variable d'optim isation L [µH]
Fig. 3.1. Interpolation de fonction coût de l’inductance
Cet exemple montre l’erreur possible causée par l'interpolation des fonctions coûts. La forte
discontinuité est due à la nature discrète des dimensions du noyau magnétique, dans ce cas
seul deux tailles sont disponibles.
Le rendement ( η ) est une fonction coût continue par nature, son expression est déterminée à
partir du calcul des pertes dans le MOSFET (PMOS), l’inductance (PIND) et la diode (Pd).
η =
puissane de sortie
=
puissance de sortie + Pertes
IoutVout
IoutVout
+ P IND + P MOS + P d
(equ. 3.1)
Cette expression est évaluée en régime établi
3.3. Confrontation des coûts discrets et interpolés
Les résultats des différentes optimisations avec des fonctions coûts discrètes et continues,
dans le cas des différents objectifs d’optimisation, sont regroupés dans le tableau, Tab.3.3.
100
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
L : [µH], C : [µF], f : [kHz], Rthrd : [°C/W], ∆V : [V], ∆I : [A], Tj : [°C], MOS : IRFxxs
Coûts interpolés (continus)
Objectif
Coûts discrets
Variables d’optimisation
Coûts
Contraintes
Variables d’optimisation
Coûts
Contraintes
d’optimisation
L
C
22
MOS
f
520
500
14.2
0.16
14
130
520
500
19
0,3
5,8
Rthr ∆V
∆I
Surface [cm²]
7,4
1.3
Coût [€]
5,8
3,2
masse[g]
14,9
1,3
22
520
500
12,7
0,16
14,3
rendement
0,92
12,8
47
520
70
5,8
0,39
10,4
4,7
L
C
MOS
f
Rthr
∆V
∆I
6,7
2.6
4.7
520
500
10
0,38
7
105
133
4,34
18,1
4.7 3710
220
6,2
0,28
2.3
124
130
11,4
2,6
22
408
12
0,12
8,8
96
Tj
520
72
Tab.3.3. Résultats d’optimisations uni-objectifs
Sur le tableau, Tab.3.3, on remarque que les solutions obtenues à l’aide de fonctions objectifs
interpolées et discrètes pour le même objectif d’optimisation sont différentes. Ceci montre
que les fonctions objectifs interpolées peuvent mener à des erreurs significatives sur la
solution optimale.
Une comparaison entre les résultats des optimisations (coûts optimaux) avec des fonctions
objectifs discrètes et interpolées est présentée sur la figure, Fig. 3.2.
La figure Fig. 3.2 montre que l'utilisation des fonctions objectifs discrètes produit de
meilleures conceptions (coûts plus faibles) que celles obtenue par interpolations des
données. Ceci montre l'intérêt de prendre en considération des fonctions coûts discrètes dans
l’optimisation des convertisseurs de puissance.
L’utilisation de fonctions coûts interpolées constitue d’une part une source d’erreur dans la
recherche de l’optimum global et d’autre part ne permet pas une mise à jour simple de la liste
de composants car elle oblige le concepteur de recalculer les fonctions coûts à chaque fois
qu’il veut rajouter un nouveau composant. Ainsi, dans la suite du travail nous n’utiliserons
que des fonctions objectifs discrètes.
101
Tj
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Fig. 3.2. Confrontation entre coûts optimaux avec fonctions discrètes et continues
4. Convertisseurs optimisés
Après avoir montré l’importance de la prise en compte de fonction objectif discrète lors de
l’optimisation de convertisseurs de puissance, nous allons nous intéresser dans la suite à
analyser les solutions des optimisations suivant les différents objectifs dans le cas discret.
4.1. Résultats des optimisations
Les résultats des différentes optimisations à l’aide de fonctions objectifs discrètes sont
représentés dans le tableau Tab. 3.4.
Suite aux différentes optimisations, nous avons trouvé que pour chaque objectif
d’optimisation le convertisseur conçu est différent des autres, malgré que l’on ait gardé dans
tout les cas le même cahier des charges ainsi que les mêmes variables et contraintes
d’optimisation. Le premier convertisseur est le plus compact, le deuxième est le plus
économique, le troisième le plus léger et le dernier a le meilleur rendement. Ce qui traduit
bien la notion de minimisation.
102
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Coûts
Design
Objectif à
Surface : S [cm²], coût : C [€],
L :[µH ], C :[µF ], f :[kHz ],
optimiser
masse :M [g], rendement : r [ ]
Rthr :[°C/W ], M0S: IRFxxs
S
C
M
r
L
C MOS
Surface
6,7
6
12
0.78
2.6
4.7
Coût
10.2
4,34
63.5
0.84
18,1
Masse
9
7.4
11.4
0.82
Rendement
9.3
7.8
59
0.92
Convertisseurs :
f
Rthr
520
500
10
Convertisseur 1
4.7
3710
220
6,2
Convertisseur 2
2,6
22
520
408
12
Convertisseur 3
12,8
47
520
70
5,8
Convertisseur 4
Tab. 3.4. Résultats d’optimisation avec fonctions coûts discrètes
4.2. Discussion
Si on cherche à faire un choix parmi ces quatre convertisseurs, le meilleur choix s’effectuera
suivant l’application, par exemple le convertisseur le plus léger sera choisi pour les
applications aéronautiques, néanmoins il est clair qu’un convertisseur de taille plus réduite
peut être aussi avantageux pour ce même type d’application.
Ainsi, un meilleur convertisseur sera conçu d’une manière multi-critéres, ceci est possible à
l’aide d’optimisation multi-objectif. Certes on n’aura pas un convertisseur optimal sur tous les
objectifs simultanément, mais cela permettra d’avoir un convertisseur présentant les
meilleures alternatives, ou, à la limite, donnera le choix au concepteur parmi des solutions
efficaces.
La résistance thermique (Rthr) a été choisie pour des raisons de simplicité pour décrire le
modèle thermique et aussi comme variable d’optimisation. Ici le rendement ne dépend pas du
Rthr et l’algorithme d’optimisation a choisi une valeur arbitraire. Toutefois un modèle plus
précis des pertes notamment en fonction de la température fournirait une dépendance de Rthr
sur le rendement.
103
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
5. Validations de la conception
Afin de vérifier les différentes considérations (modèles) pris en compte dans la conception,
développé dans le chapitre 1, nous avons réalisé la conception du convertisseur optimal en
coût en € avec fonctions coûts discrètes (convertisseur 2), Fig. 3.3.
Des mesures expérimentales ainsi que des simulations temporelles, à l’aide du logiciel
« SABER », nous on permis de vérifier le respect des différents aspects du cahier des charges
(Tab. 1.1). L’exemple de la tension de sortie est montré sur la figure 3.4.
Fig. 3.3 Convertisseur optimal
en coût « discret » en €
Fig. 3.4. Tension de sortie
simulation et mesure
Sur la figure 3.4, on remarque bien que l’ondulation sur la tension de sortie est proche de
400 mV et que la valeur moyenne de la tension de sortie est proche de 14 V.
Une vérification thermique a été effectuée. La température du boîtier du MOSFET en
fonctionnement nominal mesurée avec un thermocouple, diffère seulement de 10 % par rapport à
la température calculée à l’aide du modèle thermique utilisé.
6. Conclusion
L’utilisation des techniques d’optimisation uni-objectif permet de concevoir des convertisseurs
qui sont très bons suivant un seul critère (le volume ou le coût en Euros ou le rendement, ou...)
par contre moyennement satisfaisant suivant les autres. Ceci est surtout dû aux conflits entre les
104
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
différents objectifs à optimiser lors de la conception des systèmes de puissance. Dans le
domaine industriel, de nombreux secteurs sont concernés par des problèmes complexes
comportant plusieurs objectifs à optimiser simultanément. La meilleure solution à ces problèmes
consiste à définir un compromis entre les différents objectifs, ceci est possible grâce à l’emploi
des techniques d’optimisations multi-objectifs que nous allons traiter dans la suite de ce
chapitre.
III. Les techniques d’optimisation multi-objectif
1. Définitions
Les problèmes d’optimisation multi-objectifs entrent dans la catégorie des problèmes
d’optimisation vectoriels, qui cherchent à optimiser plusieurs composantes d’un vecteur
fonction coût. L’optimisation multi-objectifs possède ses racines dans le 19iéme siècle dans
les travaux en économie de Edgeworth et Pareto [Par96]. Certaines définitions sont
nécessaires à la poursuite de l’exposé.
1.1. Formulation d’un problème d’optimisation multi-objectifs
Un problème d’optimisation vectoriel contraint peut être exprimé de la façon suivante :
On cherche à déterminer les solutions vérifiant :
y ∈ C tel que F(y) = Min F(x) , avec x ∈ C
C est l'espace de recherche de solutions, lorsqu'elles existent, les frontières de C définissent
les contraintes du problème de minimisation.
F est le vecteur de fonctions coût à optimiser définie dans l'espace C,
F(x) = (f1(x), f2(x), …, fn(x)), avec n ≥ 2 . L’opérateur ‘Min’ doit permettre la minimisation
simultanée des composantes du vecteur F. Cet opérateur n’a pas le sens commun de
minimisation car celui-ci n’est vrai que dans le cas uni-objectifs, nous allons présenter sa
signification propre dans le cas multi-objectif dans la suite de ce chapitre.
105
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
1.2. Notion de non-dominance et optimalité Pareto
Définition 1 :
Un point y de C domine un point z de C si et seulement si tous les fonctions objectifs de y ont
une valeur inférieure à celle de z et au moins l’une de ces valeurs est strictement inférieure à
celle de z, ceci peut être formulé comme suit :
∀ i ∈ [1,..., n ],
f i (y) ≤f i (z) et ∃ k ∈ [1,..., n ] tel que f k (y) < f k (z)
Un point z de l’ensemble C est non dominé s’il n’existe aucun élément dans C qui le domine.
f2
xX
Yx
xU
Zx
f1
Fig. 3.5. Illustration du principe de non-dominace dans l’espace des objectifs
f1 et f2 sont les fonctions objectifs
Dans l’espace à deux dimensions représenté sur la figure Fig. 3.5, on considère quatre
solutions X, Y, Z, U, on remarque que :
X est dominé par Y et Z
U est dominé par Z
Y et Z sont non-dominés
Définition 2 :
Un point x est une solution Pareto-optimale si et seulement si il n’existe pas de point y qui le
domine. L’ensemble des points non-dominées est appelé ensemble des solutions Paretooptimales.
La définition de solutions Pareto-optimales découle donc directement de la notion de
dominance. Elle signifie qu’il n’est plus possible d’améliorer l’un des objectifs sans détériorer
les autres.
106
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
1.3. Surface de compromis ou frontière de Pareto
Dans le cas de problème à plusieurs objectifs, la solution ne se résout pas en une unique
solution comme le cas uni-objectif, mais à un ensemble de solutions ou plutôt un ensemble de
candidats présentant chacun des alternatives différentes (les x et les o sur la figure 3.6).
Parmi cet ensemble il existe des solutions qui sont meilleures que les autres. Meilleures dans
le sens où elles ne peuvent plus être améliorées sur un objectif sans détériorer les autres. Ce
sont les solutions Pareto-optimale. L’ensemble des solutions Pareto-optimale constitue la
surface de compromis, appelée aussi frontière de Pareto.
Sur la figure 3.6, on représente un cas de problème bi-objectif (f1 et f2), on remarque que tout
les o sont dominés par les x, donc la surface de compromis, où la frontière de Pareto, est
constituée par les x.
f2
o o
o
x o o o o
o
x o o o o
x o o o
o
x
o oo o
x o o o o
x oo o o
x o o o
x o o o
x
f1
Fig. 3.6. Frontière de Pareto,
f1 et f2 sont les deux fonctions objectifs.
Les x sont les solutions Pareto-optimales et les o sont les points dominés
Dans la section 2.1, nous allons présenter des exemples pédagogiques montrant comment est
déterminée la frontière de Pareto pour des problèmes réels.
1.4. Algorithmes génétiques et optimisation multi-objectifs
L’utilisation des algorithmes génétiques dans le cas multi-objectifs, consiste à appliquer le
principe de non-dominance à l’opérateur de sélection [Eng98].
107
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Sachant que la fonction objectif n’est plus scalaire, on ne peut plus ordonner la population.
Par contre, en appliquant le principe de non-dominance, on génère un sous-ensemble
d’individus non-dominé, ce sous-ensemble aura le rang 1. Ces individus sont ensuite enlevés
de la population, et l’ensemble suivant d’individus non-dominé est identifié et on lui attribue
le rang 2. Ce processus est réitéré jusqu'à ce que tous les individus de la population aient un
rang, comme indiqué sur la figure 3.7.
La sélection des parents, se fera alors de préférence parmi les individus des sous ensemble de
rang le plus faible.
f2
x
o
x
*
o
*
x
o *
x
o *
x
o
*
x
o
x
Sous ensemble de rang 3
Sous ensemble de rang 2
Sous ensemble de rang 1
f1
Fig. 3.7. Classement d’une population
2. Les différentes approches de résolution des problèmes multi-objectifs
Dans le cas général, la résolution de problèmes d’optimisation multicritères qui vise à établir
un compromis entre plusieurs critères, met en œuvre des mécanismes d’optimisation ainsi que
des mécanismes de prise de décision dans lesquels intervient un décideur humain.
Le domaine de la prise de décision multicritère distingue à cet égard trois schémas possibles
de combinaison de ces deux mécanismes complémentaires [Tal99]:
- les approches "a priori" dans lesquelles le décideur intervient en amont du processus
d’optimisation, pour définir la fonction d’agrégation des différents critères.
108
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
-les approches "a posteriori" font intervenir le décideur en aval du processus d’optimisation,
en lui présentant des solutions Pareto optimales, voire des solutions non dominées sur
lesquelles il exerce son choix final.
- les approches "interactives" combinent de manière cyclique et incrémentale les deux
mécanismes mentionnés : le décideur définit des préférences qui sont prises en compte au
cours du processus de résolution du problème.
En se basant sur ces trois schémas possibles de coopération entre solveur du problème et
décideur final, les approches utilisées pour la résolution des problèmes multi-objectifs
peuvent être classées en trois catégories :
- la transformation vers un problème uni-objectif consiste à combiner les divers critères en les
pondérant. Ces méthodes sont de type "a priori". Dans cette catégorie, citons les méthodes
d’agrégation, E-contrainte et la programmation par but.
- les approches non-Pareto utilisent des opérateurs qui traitent séparément les différents
critères. Citons les algorithmes génétiques à sélection parallèle, à sélection lexicographique
ou basée sur une reproduction multisexuelle. Il s’agit principalement d’approches de type “a
posteriori ”.
- les approches Pareto utilisent directement la notion de non-dominance dans leurs processus
de recherche. Ces approches appartiennent également aux approches de type "a posteriori".
Pour les problèmes à deux objectifs de petites tailles, il existe des méthodes exactes
permettant de résoudre ce type de problème, tels que « branch and bound », l’algorithme A*
et la programmation dynamique.
Dans le cas de problème de grandes tailles et/ou des problèmes avec un nombre de critères
supérieurs à deux, des méthodes heuristiques sont nécessaires, elles ne garantissent pas de
trouver de manière exacte l’ensemble des solutions Pareto optimales, mais une approximation
de cet ensemble.
109
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Plusieurs adaptations de métaheuristiques (techniques heuristiques) ont été proposées dans la
littératures pour la résolution de problème multi-objectifs : recuit simulé [Eng98], la
recherche tabou [Gan96] et les algorithmes évolutionnaires (algorithmes génétiques [Sri95],
stratégies évolutionnistes [Kur91]).
2.1. Approches Pareto et exemples pédagogiques
2.1.1. Approches Pareto
Les approches Pareto utilisent directement la notion de dominance. Elles visent à atteindre
deux buts : d’une part converger vers la frontière Pareto optimale et d’autre part obtenir des
solutions diversifiées –i.e. réparties sur toute cette frontière.
Contrairement aux méthodes d’agrégation, ces approches fournissent un ensemble de
solutions et non une solution unique.
Cette idée a été introduite initialement dans les algorithmes génétiques par Goldberg [Gol89].
2.1.2. Exemples pédagogiques
Dans ce qui suit, nous allons présenter quelques exemples pédagogiques permettant de
simplifier l’explication de la résolution des méthodes d’optimisation multi-objectifs suivant
l’approche Pareto et surtout la frontière de Pareto et son analyse.
Sachant que la frontière de Pareto est constituée par les solutions Pareto optimales, il convient
de commencer par des exemples simples permettant de montrer comment sont déterminées les
solutions Pareto-optimales. Par la suite nous proposons des exemples expliquant comment on
peut construire la frontière de Pareto et analyser ces différents paysages. Un exemple d’un
problème en génie électrique sera traité.
2.1.2.1. Détermination des solutions Pareto optimales
Dans cette partie nous allons présenter comment déterminer les solutions Pareto optimales par
une simple analyse des fonctions objectifs.
110
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Considérons deux fonctions objectifs (f1 et f2) qui varient en fonction d’une variable x.
Il existe deux types de représentations des fonctions (f1 et f2), soit l’allure des objectifs : f1 et f2
en fonction de x (courbes à droite de chaque figure), ou dans le plan des objectifs : f2 en
fonction de f1 (courbes à gauche de chaque figure).
Suivant la tendance de ces deux fonctions ont peut déduire les solutions Pareto-optimales à
partir de la représentation dans le plan des fonctions ou dans le plan des objectifs.
Trois cas de tendances possibles peuvent se présenter :
•
1er cas : tendances non contradictoires
f1
12
8
7
f2
8
6
f2
fonctions objectifs
10
6
5
4
4
2
3
0
2
-4
-2
0
2
4
6
8
x=-4
0
2
4
variable d'optimisation : x
6
8
10
12
f1
Fig. 3.8. Cas de tendances non contradictoires
A chaque fois que l’on cherche à améliorer un point x suivant un objectif, on l’améliore
forcément sur le deuxième objectif (Fig. 3.8). Tous les points x sont dominés par le point
x = -4. Donc les solutions Pareto optimales sont réduites à l’unique solution x = -4. Cette
solution constitue le minimum atteint simultanément par les deux fonctions.
Ainsi, les solutions dont la tendance des fonctions objectifs est non contradictoire sont des
solutions non Pareto optimales, la seule solution Pareto optimale est le minimum atteint
simultanément par ces deux fonctions.
111
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
•
2 éme cas : tendances contradictoires
f2
12
f1
12
10
8
8
6
f2
fonctions objectifs
10
6
4
4
2
2
0
0
-4
-2
0
2
4
6
0
8
2
4
6
8
10
12
f1
variable d'optimisation : x
Fig. 3.9. Cas de tendances contradictoires
Pour tous les points x, à chaque fois que l’on cherche à améliorer suivant un des objectifs, on
dégrade forcément le deuxième objectif (Fig. 3.9). Toutes les solutions x sont non-dominées.
Ainsi, les solutions dont la tendance des fonctions objectifs est contradictoire sont des
solutions Pareto optimales
•
3 éme cas : Multiples tendances
14
Zone 1
f2
Zone 2
13
f1
10
Zone 1
12
Zone 2
11
8
10
6
f2
fonctions objectifs
12
9
4
2
8
0
7
-4
-2
0
2
4
6
8
0
2
variable d'optimisation : x
4
6
8
10
12
f1
Fig. 3.10. Cas de tendances multiples
112
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Dans ce cas, on se trouve avec deux tendances différentes (Fig. 3.10) :
La zone 1 est une zone de contradiction des objectifs, donc toutes les solutions appartenant à
cette zone sont des solutions Pareto optimales.
La zone 2 est une zone de non contradiction des objectifs, donc aucune des solutions
appartenant à cette zone n’est Pareto optimale.
Ainsi, l’ensemble des solutions Pareto optimale est constitué par les solutions de la zone 1.
Î D’une manière générale, l’ensemble des solutions Pareto optimale, est constitué par les
solutions pour lesquels les différents objectifs ont des tendances contradictoires.
2.1.2.2. Détermination et analyse de la frontière de Pareto :
La frontière de Pareto est la représentation de l’ensemble des solutions Pareto optimales dans
le plan des objectifs (f1 en fonction de f2).
Démarche à suivre pour déterminer la frontière de Pareto :
Après avoir identifié la zone de contradiction des objectifs sur la représentation dans le plan
des fonctions, on peut déduire l’ensemble des solutions Pareto optimales, comme présenté
dans les exemples précédents. Par la suite, il suffit de représenter cet ensemble dans le plan
des objectifs pour avoir la frontière de Pareto. Dans certains cas, il est possible de déterminer
la frontière de Pareto à partir de l’analyse de la représentation dans le plan des objectifs, et
cela en identifiant la zone de contradiction directement sur ce plan.
Dans ce qui suit nous allons appliquer notre démarche sur des exemples pédagogiques de
problèmes d’optimisation multi-objectif simples (deux objectifs et une variable), pour monter
comment est déterminée la frontière de Pareto ainsi que l’analyse de ces différents paysages.
Pour chaque problème traité nous allons vérifier notre démarche à l’aide d’un outil
d’optimisation multi-objectif à base d’algorithmes génétiques, DARWIN [Dar00].
Cet outil permet de résoudre des problèmes d’optimisation multi-objectifs contraints et
permet de fournir une approximation de la frontière de Pareto.
113
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
On propose de résoudre les problèmes bi-objectifs suivants :
Problème 1
Problème 2
f1(x) = x ²
f1(x) = x 4
et f2 (x) = (x-1) 2
et f2 (x) = (x-1) 4
Avec x variant dans l’intervalle [-1, 2] pour les deux problèmes
Sur les représentations dans le plan des fonctions (figure 12 et 13), on peut identifier la zone
de contradiction des différents objectifs, si elle existe.
Zone de
contradiction
4
Zone de
contradiction
18
f1
16
f1
3
2
f2
1
0
fonctions objectifs f
fonctions objectifs f
14
12
10
8
6
4
2
f2
0
-2
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-1,0
-0,5
0,5
1,0
1,5
2,0
varaible d'optimisation x
variable d'optimisation x
Fig. 3.11. Représentation de l’allure
des objectifs du problème 1
0,0
Fig. 3.12. Représentation de l’allure
des objectifs du problème 2
On remarque pour les deux problèmes que la zone de contradictions des deux objectifs, donc
l’ensemble des solutions Pareto optimale, est situé dans l’intervalle des x appartenant à [0 1].
La représentation de cet ensemble dans le plan des objectifs donne la frontière de Pareto,
portion des courbes tracées en rouge sur les figures 3.13 et 3.14.
114
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
18
4
16
14
3
12
10
Frontière de Pareto
Frontière de Pareto
8
f1
f1
2
6
1
4
2
0
0
-2
0
1
2
3
4
-2
0
2
4
f2
Fig. 3.13. Représentation dans le plan
des objectifs du problème 1
6
8
10
12
14
16
f2
Fig. 3.14. Représentation dans le plan
des objectifs du problème 2
Pour le problème 3 et 4, la frontière de Pareto peut être déduite directement à partir de la
représentation dans le plan des objectif, car seule les portions tracée en rouge sur les figures
13 et 14 constituent des zones de contradiction des objectifs : ce sont les frontières de pareto.
Le problème 1 a été introduit par Schaeffer pour évaluer et comparer les performances des
algorithmes [Sch85].
A l’aide de l’outil d’optimisation, on retrouve les mêmes frontières de Pareto que celle
déterminée à l’aide de notre démarche, pour les problèmes 1 et 2 (figure 15 et 16).
Fig. 3.15. Frontière de Pareto du problème 1,
résultat obtenu avec DARWIN [Dar00].
115
18
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Fig. 3.16. Frontière de Pareto du problème 2,
résultat obtenu avec DARWIN [Dar00].
Comme le montre les figures 3.15 et 3.16, pour les deux problèmes on trouve des frontières
de Pareto convexes. Par contre pour la même plage de variation de la frontière de Pareto [0 1],
on remarque que celle du deuxième problème est plus convexe que celle du premier. Cette
différence est due essentiellement à l’allure des fonctions objectifs correspondant (figures
3.11 et 3.12).
116
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Problème 3
Problème 4
f1(x) = x1/2
f1(x) = x1/4
f2(x) = (1-x2)1/2
f2(x) = (1-x2)1/4
Avec x variant dans l’intervalle [0, 1] pour les deux problèmes
1,0
1,0
f1
0,8
fonctions objectifs f
fonctions objectifs f
f1
0,6
0,4
f2
0,2
0,0
0,8
0,6
0,4
f2
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
0,2
variable d'optimisation x
0,4
0,6
0,8
1,0
variable d'optimisation x
Fig. 3.17. Représentation de l’allure
des objectifs du problème 3
Fig. 3.18. Représentation de l’allure
des objectifs du problème 4
Les cassures sur les courbes des figures 3.17 et 3.18 sont dues à la discrétisation.
L’examen des deux représentations dans le plan de fonctions, montre que toutes les solutions
x sont Pareto optimales, ainsi la frontière de Pareto est constituée par les représentations dans
le plan des objectifs pour chaque problème comme représenté sur la figure 3.19.
Problème 4
1,0
0,8
Problème 3
0,6
f1
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
f2
Fig. 3.19. Représentation dans le plan des objectifs des problèmes 3 et 4
117
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
En examinant directement les représentations dans les plans des objectifs des deux problèmes
(Fig. 3.19), on remarque que les deux objectifs sont toujours en contradiction, ainsi la
frontière de Pareto pour chacun des deux problèmes est tout simplement sa représentation
respective dans le plan des objectifs.
A l’aide de l’outil d’optimisation, on retrouve les mêmes frontières de Pareto que celle
déterminé à l’aide de notre démarche, pour les problèmes 3 et 4 (figures 3.20 et 3.21).
Fig. 3.20. Frontière de Pareto du problème 3, obtenue à l’aide de DARWIN.
Fig. 3.21. Frontière de Pareto du problème 4, obtenue à l’aide de DARWIN.
Dans ces deux cas on trouve des frontières de Pareto concaves.
118
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Sur la figure 3.21 on remarque aussi que, pour la même plage de variation [0 1], la frontière
de Pareto du problème 4 est plus concave que celle du problème 3.
Î D’une manière générale le paysage concave/convexe et le degré de concavité/convexité
dépendent essentiellement, de l’allure des fonctions objectifs du problème à optimiser. De
plus, pour les approximations le degré de concavité/ convexité dépend aussi des algorithmes
utilisé [Bar03], [Tal99].
Les performances des métaheuristiques diffère suivant que celle-ci soit concave ou convexe.
Par exemple, l’utilisation des méthodes d’agrégation est plus efficace lorsque la structure est
convexe que dans le cas où la frontière est concave. Le principal avantage des approches
Pareto est qu’elles sont capables de générer des solutions Pareto optimales dans les portions
concaves de la frontière de Pareto.
2.1.2.3 Un exemple en Electronique de Puissance : élévateur de tension continue
Dans cette partie nous allons traiter un problème élémentaire en électronique de puissance,
hacheur élévateur de tension continue, dont le montage est proposé sur la figure 3.22.
Fig. 3.22. Montage d'un hacheur élévateur de tension
Le fonctionnement de ce circuit est le suivant :
Pendant la fermeture de l’interrupteur, l’énergie est stockée dans l’inductance L.
Pendant l’ouverture de l’interrupteur, il y a décharge de l’inductance L dans la charge R.
Cette décharge n’est possible que pour Vs > Ve, d’où on a un élévateur de tension.
119
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Dans la suite du manuscrit et afin d’éviter toute source de confusion, nous allons utiliser f
pour désigner la fréquence de découpage, F pour les fonctions objectif à optimiser et F pour
designer un vecteur de fonction objectif.
• Dans [Fer99], l’ondulation sur la tension de sortie (∆Vs) est déterminée à partir des
formes d’ondes. Il est démontrer que dans le cas de conduction continue son expression est
α Ve
K
=
f
(1 α) R C f
∆Vs =
Avec : α : le rapport cyclique, Vs =
(equ. 3.2)
Ve
(1 − α)
et K =
α Ve
(1 − α) R C
• Les pertes (Q) du montage, sont approximées à la quantité d’énergie perdue à chaque
commutation de l’interrupteur E0 multipliée par la fréquence de découpage f :
Q = E0 f
Sachant que E0 et K sont toujours positifs, on déduit que les pertes et l’ondulation sont deux
objectifs antagonistes : si on cherche à réduire les pertes, il faut prendre une faible valeur de f,
ce qui donnera une l’ondulation sur la tension de sortie assez élevée.
Ainsi on est en présence d’un problème d’optimisation bi-objectif (F1, F2) suivant :
F1 = Q = E 0 f
F1 = ∆Vs =
K
f
E0 et K > 0
Avec f la variable d’optimisation.
Calcul de K :
Supposant que le rapport cyclique est α = 0.5.
Avec un condensateur C d’une capacité de 100 µF et une résistance de charge R=1 kΩ, on
trouve une valeur de k suivante :
K = 50 [V S-1]
Supposons que la quantité d’énergie perdue à chaque commutation est : E0 = 5µJ
120
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Frontière de Pareto
Si on considère une plage de fréquence f qui varie de 10 à 100 kHz, on peut tracer d’allure des
objectifs du problème, Fig. 3.23
fonctions objectifs
5
4
3
DVs
2
1
Q
0
0
20
40
60
80
100
variable d'optimisation : f en Khz
Fig. 3.23. Allure des objectifs en fonction de la fréquence
A l’aide de cette représentation on remarque que toutes les solutions f sont Pareto-optimales.
Ainsi par passage à la représentation dans le plan des objectifs on obtient directement la
frontière de Pareto, comme représentée sur la figure 3.24.
0,5
DVs (V)
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
5
Q (W)
Fig. 3.24. Frontière de Pareto
121
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
A l’aide de l’outil d’optimisation, on retrouve la même frontière de Pareto que celle
déterminée à l’aide de notre démarche pour ce problème (Fig. 3.25).
Fig. 3.25. Frontière de Pareto à l’aide de l’outil d’optimisation
2.1.3 Conclusion
Une analyse de l’allure des fonctions objectifs ainsi que de la représentation dans le plan
objectifs permet de déterminer les solutions Pareto-optimales ainsi que la frontière de Pareto.
Le plus grand avantage des approches Pareto est qu’elles sont capables de générer des
solutions Pareto optimales dans les portions concaves de la frontière de Pareto, par contre la
détermination de cette frontière (ou l’ensemble des solutions Pareto-optimales) n’est qu’une
première phase dans la résolution pratique du problème, qui nécessite dans un deuxième
temps le choix d’une solution à partir de cette frontière suivant les préférences choisies par le
décideur, celle-ci peut être différente d’un décideur à un autre et ce choix est d’autant plus
difficile que le nombre d’objectifs est plus élevé. A partir d’un nombre d’objectif supérieur à
2, il devient assez difficile d’interpréter ou même de représenter la frontière de Pareto.
122
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
2.2. Approche par transformation du problème vers l’uni-objectif
Dans la résolution des problèmes multi-objectifs, plusieurs méthodes traditionnelles
transforment ces problèmes en problèmes uni-objectifs. Parmi ces méthodes on trouve les
méthodes d’agrégation ainsi que les méthodes de programmation par but (goal programming).
2.2.1. Méthode d’agrégation
Cette méthode consiste à combiner les différents fonctions coût fi du problème en une seule
fonction objectif F généralement de façon linéaire. Le problème peut être formulé de la
manière suivante :
n
min (F(x) = ∑ λ i F i )
(equ.3.3)
i =1
x∈ C
Où les poids λ i ∈ [0,...,1] et
∑
n
i =1
λi = 1 .
Différents poids fournissent différentes solutions et les résultats obtenus dépendent fortement
des paramètres choisis en fonctions des préférences associées aux objectifs, préférences
choisies par un décideur humain.
Dans le cas d’objectifs qui n’ont pas la même dimension physique, il est nécessaire de
normaliser les différents objectifs en transformant l’équation précédente comme suit :
n
F(x) =
∑ c i λ i Fi ,
i =1
Où les ci sont des constantes de mise à l’échelle, généralement égales à
1
, où x* est la
Fi (x * )
solution optimale associées à l’objectif Fi. Dans ce cas le vecteur est normalisé par rapport au
vecteur idéal.
L’avantage de ces approches est la production d’une seule solution et ne nécessitent donc pas
l’interaction avec le décideur. Cependant, la solution trouvée, peut ne pas être acceptable.
123
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
L’espace de recherche est réduit de façon prématurée avant que des informations suffisantes
soient disponibles.
L’autre problème avec cette approche est la détermination des poids à priori, sans avoir des
connaissances sur le problème traité.
2.2.2. Programmation par but
Dans cette méthode, le décideur doit définir des buts ou références qu’il désire atteindre pour
chaque objectif. Ces valeurs sont introduites dans la formulation du problème, le transformant
en un problème uni-objectif. Par exemple, la fonction coût peut intégrer une norme pondérée
qui minimise la distance par rapport aux buts. Le problème peut être formulé de la manière
suivante [Sri95], [Tal99], [Cha03] :
n
p 1
p
min ( F(x) = ( ∑ F j (x) z j ) )
j=1
(equ. 3.4)
x∈ C
Où 1 ≤ p ≤ ∞ , et z est le vecteur de référence (but) ou le vecteur idéal. La norme utilisée est la
métrique de Tchebycheff (Lp-métrique). Généralement p =2, dans ce cas on a une métrique
euclidienne.
Cette méthode est reconnue comme très efficaces et facile à implémenter, par contre une
sélection arbitraire du vecteur de référence peut ne pas être désirable, puisqu’un mauvais
vecteur de référence peut aboutir à une solution qui n’est pas Pareto optimale.
Ce type d’approche trouve une solution non-dominée si le but est choisi dans le domaine
réalisable. Cependant, le décideur est chargé de choisir le vecteur but associé à chaque
objectif, ce qui est une tâche difficile sans connaître la structure de l’espace de recherche. Si
le domaine réalisable n’est pas facile à approcher, la méthode peut être inefficace.
L’inconvénient majeur de cette méthode est l’absence éventuelle de pression de sélection des
solutions générées. Par exemple, si on a deux solutions qui ont la même valeur pour un
124
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
objectif et des valeurs différentes pour l’autre objectif (forcément non Pareto-optimales), elles
peuvent avoir le même coût. L’algorithme de recherche ne peut donc pas les différencier dans
la résolution du problème.
2.2.3. Méthode E-contraintes
Une autre façon de transformer un problème d'optimisation multi-objectif en un problème
simple objectif est de convertir n-1 des n objectifs du problème en contraintes et d’optimiser
séparément l'objectif restant [Tal99]. Le problème peut être reformulé de la manière suivante
⎧ min Fk (x)
⎪
⎨x ∈ C
⎪s.c F (x) ≤ ε , j=1,...n, j ≠ k
j
j
⎩
Où ε = (ε 1,…,ε k-1, ε k+1,…,ε n)
La connaissance a priori des intervalles appropriés pour les valeurs εi est requise pour tous les
objectifs. Pour définir des valeurs adéquates pour εi, le vecteur idéal (x*) doit être calculé
pour déterminer les bornes inférieures. On aura donc
ε i ≥ Fi (x*), i = 1,…,k-1, k+1, n
La génération de plusieurs solutions pareto-optimales nécessite de multiples exécutions de
l’algorithme avec différentes contraintes εi, ce qui est un exercice coûteux en termes de calcul.
Par contre, cette approche a l'avantage de ne pas être trompée par les problèmes non
convexes.
2.3. Conclusion
La transformation du problème multi-objectif en un problème uni-objectif nécessite la
connaissance a priori du problème traitée. L’optimisation d’un problème multi-objectif peut
garantir l’optimalité Pareto de la solution mais ne fournit qu’une seule solution. Ces méthodes
sont sensibles au paysages de la frontière de Pareto (convexité, discontinuité, ..) ainsi qu’au
125
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
poids et aux vecteurs de références. Les solutions obtenues dépendent fortement de ces
paramètres.
IV. Notre démarche d’optimisation multi-objectif
1. Introduction
A notre connaissance, il n’existe aucune méthode d’optimisation multi-objectifs efficace et
adaptée pour tout les types de problèmes.
L’approche Pareto est bien adaptée aux problèmes dont on n’a pas de connaissance a priori,
elle fournie un ensemble de solutions (solutions Pareto-optimales) toutes aussi efficaces les
unes que les autres, et ne nécessite qu’une seule résolution du problème. Par contre elle
nécessite toujours l’intervention du décideur, pour le choix final de la solution. Ce choix est
d’autant plus difficile que le nombre d’objectifs est plus élevé. Toutefois une grosse partie du
travail de conception est fait et le concepteur n’a plus qu’à choisir une solution parmi les
solutions Pareto-optimales.
L’approche par transformation vers l’uni-objectif, notamment la programmation par but,
permet de générer une solution unique, par contre l’efficacité de cette solution dépend
fortement de la connaissance a priori de certains paramètres du problème, tel que le vecteur
but ainsi que le domaine de recherche. Dans certains cas, deux solutions (non Paretooptimales) peuvent être confondues par l’algorithme de résolution.
Afin d’éliminer les inconvénients de ces deux types de méthodes, nous allons les associer en
une unique, qui permettra d’une part de fournir une seule solution au problème et d’autre part
de garantir sa Pareto optimalité
2. Description de la méthode
Notre approche consiste à appliquer un post-processing à l’ensemble des solutions Paretooptimales obtenues au préalable à l’aide de l’application de l’approche Pareto au problème
126
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
d’optimisation multi-objectif. Ce post-processing consiste en la méthode de programmation
par but qui permet de sélectionner la solution Pareto-optimale la plus proche de l’objectif
idéal. L’objectif idéal est l’ensemble des objectifs optimisés indépendamment des autres
(uni-objectifs). Cet objectif idéal n’est généralement pas réalisable, sauf dans le cas où les
différents objectifs ne sont pas contradictoires et atteignent leurs minimums pour la même
solution.
Dans le cas de frontières de Pareto convexes, la solution Pareto-optimale la plus proche de
l’objectif idéale correspond à une projection orthogonale, d’où son unicité. Dans le cas
contraire, il est possible d’avoir plusieurs solutions Pareto-optimales qui sont situées à la
même distance par rapport à l’objectif idéal. Dans tout les cas que nous avons traités, nous
n’avons rencontrés que des fonctions convexes. Si jamais nous tomberions dans le cas
concave avec plusieurs solutions Pareto-optimales à distance égale de l’objectif idéal, nous
aurons à choisir une solution parmi cet ensemble.
Plusieurs méthodes hybrides ont été développées, dans [Cha03] la méthode de programmation
par but a été utilisée pour évaluer la Pareto optimalité des solutions non dominées, par contre
notre approche consiste à utiliser la programmation par but pour évaluer les solutions Pareto
optimales déjà générées par une approche Pareto.
Organigramme
Notre méthode se base sur trois principales étapes. La première consiste à faire des
optimisations uni-objectifs, à l’aide d’algorithmes génétiques, suivants les différents objectifs
pris séparément. Les solutions suivant les différentes optimisations uni-objectifs forment ainsi
l’objectif idéal. La deuxième étape consiste à appliquer l’approche Pareto au problème en
considérant les différents objectifs simultanément. La dernière étape consiste à appliquer la
méthode de « programmation par but » comme suit : le but à atteindre est l’objectif idéal et
l’espace de recherche est constitué par l’ensemble des solutions Pareto-optimales fourni au
127
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
préalable par une approche Pareto. Afin de tenir compte de la dimension physique des
différents objectifs, nous les avons normalisés par rapport à l’objectif idéal.
La métrique utilisée dans la méthode de « programmation par but » est euclidienne (p=2),
(equ.3.4). Sur le plan de Pareto, cette métrique correspond à la distance entre les solutions
Pareto optimales et le vecteur idéal.
Un test est effectué juste après la première étape, pour vérifier si la solution aux problèmes
uni-objectifs pris séparément n’est pas la même. Auquel cas il n’est plus nécessaire
d’appliquer des techniques multi-objectifs, car les fonctions ne sont pas contradictoires et
atteignent leurs minimum en même temps. La solution ainsi retenue est celle commune à
toutes les optimisations uni-objectifs.
Cette démarche peut être décrite par l’organigramme de la figure, Fig. 3.26, suivante :
Optimisations uni-objectifs
à base d’AG :
Vecteur idéal
Solution unique
pour tous les
objectifs ?
Normalisation du
plan Pareto
Approche Pareto :
Solutions Pareto optimal
Calcul de la distance
entre les solutions Pareto
optimal et le vecteur idéal
Post-Processing :
Programmation par but
Solution retenue
Détermination
de la distance
minimale
Fig. 3.26. Organigramme de la démarche d’optimisation retenue
128
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Commentaire :
Une solution optimale suivant tous les objectifs individuellement (objectif idéal), est rarement
possible, ceci à cause des contradictions qui existent généralement entre les différents
objectifs. Par contre, cette démarche constitue la meilleure manière de se rapprocher de cet
objectif, et de le prendre en compte. Cette démarche peut s’adapter facilement à des situations
différentes, elle est très utile surtout dans le cas d’un nombre d’objectifs supérieur à deux, où
l’interprétation de la frontière de Pareto devient très difficile. Le seul inconvénient de cette
démarche c’est qu’elle est un peu lourde en terme de nombre de résolution du problème, par
contre elle garantie l’unicité de la solution.
3. Exemple pédagogique
Nous avons appliqué notre démarche au problème de l’élévateur de tension continue, présenté
dans la section III.2.1.2.3.
La valeur optimale de l’ondulation sur la tension de sortie (∆Vs min = 0,5 V) est obtenue pour
f=f
max
= 100 Khz, par contre les pertes minimales (Q
min
= 50 mW) sont déterminées pour
f = f min = 10 khz, ainsi la solution est différente pour les deux objectifs optimisés séparément.
Ainsi, l’objectif idéal est formé par le couple (∆Vs min, Q min).
Après avoir déterminé les solutions Pareto optimales à l’aide d’une approche Pareto, nous
avons normalisé le plan Pareto par rapport à l’objectif idéal (∆Vs min, Q min), suivant les axes
respectifs.
Vu que l’on est dans un repère orthonormé, la distance entre les solutions Pareto-optimales et
le l’objectif idéal est déterminé comme suit :
d=
(
∆vs - ∆vs min
∆vs min
)
2
+
(
Q - Q min
Q min
)
2
;
129
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
En calculant la distance (d) pour chaque solution Pareto-optimale, nous avons trouvé que la
plus petite valeur de (d) est dmin = 400.0026. Cette distance correspondant au couple d’objectif
suivant : (∆Vs = 1.5817 V, Q = 0.15805 mW,).
La distance minimale peut être vérifiée directement sur la figure 3.27.
5
DVs (V)
4
3
d1
2
Solution retenue
1,5817
1
d
min
d2
Objectif idéal
0,0
0,1
0,15805
0
0,2
0,3
0,4
0,5
Pertes : Q(W)
Fig. 3.27. Distance des solutions Pareto optimales
par rapport à l’objectif idéal.
La distance minimale, d min, correspond à la solution de coordonnée : fréquence f =31.61 kHz.
Parmi toutes les fréquences qui vont de 10 kHz à 100 kHz, c’est la fréquence de 31, 6 kHz qui
sera retenue comme la solution pour ce problème.
Ainsi, malgré que le problème soit assez simple, sa solution n’est pas prévisible par un simple
calcul.
Ceci montre bien l’intérêt des méthodes d’optimisation multi-objectif ainsi que l’efficacité de
la démarche que nous avons proposée pour résoudre ce type de problème.
Dans cet exemple (n=2), il est possible de déterminer la meilleure solution géométriquement
sur la frontière de Pareto sans utiliser la méthode de distance, mais ceci est d’autant plus
difficile que le nombre d’objectifs est élevé.
130
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
D’une manière générale, pour un nombre d’objectifs n ≥ 2 (F1, F2,…, Fn) et un nombre de
variables m ≥ 1 (x1, x2,…, xm), la distance entre chaque solution Pareto-optimale et l’objectif
idéal (Fimin) (avec i ∈ [1, n]) dans le plan Pareto normalisé (par rapport à cet objectif) est la
somme quadratique des différents objectifs normalisés :
d=
(
F1 - F1min
F1min
)
2
+
(
F2 - F2 min
F2 min
)
2
+ ... +
(
F3 - F3 min
F3 min
)
2
(equ. 3.5)
Cette formule est obtenue par des projections orthogonales successives des solutions sur un
plan bi-dimensionnel d’objectifs.
4. Application dans le cas d’étude : hacheur série 42 /14V
Afin de monter l’intérêt ainsi que l’avantage de notre démarche d’optimisation multi-objectif
par rapport aux méthodes uni-objectif, dans le cas de conception de convertisseur de
puissance, nous allons l’appliquer dans notre cas d’étude (hacheur série 42 /14 V) présenté
dans l’introduction de ce chapitre. Les objectifs à optimiser simultanément sont, la surface, le
coût en euros et le rendement. Nous avons gardé les mêmes paramètres d’optimisation, la
même technologie ainsi que le même cahier des charges que ceux utilisés dans le cas uniobjectif.
L’objectif idéal est déterminé à l’aide des résultats d’optimisation uni-objectifs, présentés
dans la section II.4. A partir du tableau (Tab. 3.4), nous avons vu que les solutions aux
problèmes uni-objectifs sont différentes et qu’une solution qui réunie les performances
optimaux suivant tout les objectifs en même temps (convertisseur idéal) ne peut pas exister
réellement. Cet objectif idéal est ainsi définit comme objectif à atteindre et composé par le
triplet de coûts optimaux issus des optimisations uni-objectifs. Les composantes de ce vecteur
sont les suivantes : S = 6,7 cm², C = 4,34 € et r = 0,92.
131
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
L’application de l’approche Pareto à l’aide de l’outil DARWIN, donne lieu à neuf solutions
Pareto optimales (A1, A2, …, A9) représentées sur la figure Fig. 3.28.
Après normalisation du plan Pareto par rapport au vecteur idéal, nous avons calculé la
distance entre les solutions Pareto-optimales et le vecteur idéal en utilisant l’équation
(equ. 3.5), Tab 3.5. La distance la plus faible est celle correspondant à la solution A1, voir
Tab 3.5. Ainsi cette solution est retenue comme meilleure solution, elle correspond au triplet
(S = 6,7 cm², C = 5,25 € et r = 0,8).
Nous avons représenté la frontière de Pareto de la figure 3.28 sur deux plans, suivant le plan
(surface, coût) sur la figure 3.29.a et le plan (coût, rendement) sur la figure 3.29.b.
En examinant la frontière de Pareto en 3D, Fig. 3.28, ainsi que ces deux projections suivant
deux plans, Fig. 3.29.a et Fig. 3.29.b, on remarque que la solution retenue (A1) présente bien
les meilleures alternatives.
Point
A1
Distance d 0,244
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
0,648
0,282
1,094
1,092
1,319
1,184
1,328
A9
1,338
Tab. 3.5. Distances entre les solutions Pareto-optimales et l’objectif idéal.
132
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
A1
A3
A2
A6
A7
A5
A8
A9
A4
Fig. 3.28. Frontière de Pareto en 3D et solutions Pareto-optimales issue de Darwin [Dar00]
8,0
A4
7,5
A2
A5
A6
C [euros]
7,0
6,5
A7
A8
6,0
5,5
A1
A9
5,0
4,5
A3
4,0
6
8
10
12
14
16
S [cm²]
Fig. 3.29.a. Projection de la frontière de Pareto suivant le plan (surface, coût en €),
en rond l’objectif idéal et en triangle les solutions pareto-optimales.
133
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
0,95
A6
A9
A8
0,90
A4
A2
r[]
0,85
0,80
A7
A5
A1
0,75
A3
0,70
6
8
10
12
14
16
S [cm²]
Fig. 3.29.a. Projection de la frontière de Pareto suivant le plan (surface, rendement),
en rond l’objectif idéal et en triangle les solutions pareto-optimales.
A partir du tableau des résultats des optimisations uni-objectif (Tab. 3.3) et les coordonnées
du triplet d’objectif optimal retrouvé par notre méthode, on peut déduire que :
Par rapport au convertisseur le plus petit, pour une même surface nous avons nous avons
gagné 14 % en coût en euros et 2.5 % en rendement.
Par rapport au convertisseur le plus économique, nous avons perdu 18 % de coût en euros, par
contre, en même temps, nous avons gagné 40 % de taille et 6 % en rendement.
Par rapport au convertisseur qui a le rendement le plus élevé, nous avons perdu 15 % en
rendement, par contre, en même temps, nous avons gagné 38 % de taille et 48 % en coût en
euros.
Sur la figure 3.30, nous avons représenté, en rond les solutions suite aux différentes
optimisations uni-objectif, en carré la solution fournie par notre méthode et en étoile l’objectif
idéal.
134
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
Fig. 3.30. Intérêt de notre démarche dans la conception des convertisseurs
En examinant la figure 3.30, on peut déduire que la solution fournie par notre méthode est la
plus proche de l’objectif idéal parmi toutes les solutions proposées.
Le convertisseur correspondant à la solution retenue par notre démarche est conçue comme
suit :
L=2,6 µH
C= 4,7 µF
Mos : IRFU 3910s et diode : 12CWQ06FN.
f = 476,8 kHz et Rth= 8,7 °C/W
135
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
V. Optimisation avec prise en compte de contrainte CEM
Dans la plupart des cas, les perturbations électromagnétiques (EM) générées par les
convertisseurs de puissance sans filtre dépassent largement les limites imposées par les
normes en vigueurs. Dans ce cas, il est indispensable de considérer la norme CEM comme
une contrainte de conception à prendre en compte dès la phase de pré-dimensionnement du
système. Pour cela, il est nécessaire de pouvoir prédire les perturbations EM avec une bonne
précision. Comme nous l’avons présenté dans le chapitre 2, il existe plusieurs méthodes de
prédiction des perturbations EM, par contre seule les méthodes analytiques sont intéressantes
dans le cadre de l’optimisation et la conception des systèmes. Dans le même chapitre (2) nous
avons proposé une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations EM
conduites, basée sur l’analyse de causalité des graphes de liens, que nous avons validée
expérimentalement. Cette méthode a permis d’obtenir une bonne correspondance entre les
spectres prédits et la mesure jusqu'à des fréquences hautes du spectre des perturbations
conduites. Ainsi, il est tout a fait possible d’utiliser cette méthode pour optimiser le
convertisseur avec prise en compte des contraintes CEM.
Dans la pratique, ceci consiste à rajouter un filtre CEM entre le RSIL et l’entrée du
convertisseur et de considérer la norme EN 55022 comme nouvelle contrainte au problème
d’optimisation, les perturbations électromagnétiques conduites générées par le système
doivent être au dessous des limites imposées par cette norme, et les éléments du filtre font
partie des variables d’optimisation. La prise en compte des contraintes CEM dans le problème
d’optimisation se traduit par une comparaison de l’amplitude de chaque raie du spectre, des
perturbations sur les deux bras du RSIL, par rapport à la limite imposée par la norme pour la
fréquence correspondante. Grâce à l’utilisation d’une base de donnée pour les fonctions
136
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
objectifs, il est possible d’ajouter les coûts des différents éléments du filtre avec les coûts du
convertisseur de manière simple par sommation directe.
L’optimisation du filtre CEM avec l’ensemble du convertisseur ainsi que la prise en compte
des contraintes CEM dès le début de la conception font partie de la notion d’optimisation
globale.
Le problème d’optimisation devient alors le suivant :
Fonctions objectifs
Surface [cm²]
Variables d’optimisation
Contraintes
Composants passifs : Ls (µH) et Cs (µF) Electrique : ∆Vs< Vsmax
Coût en euros [€]
Composant actifs : MOSFET
Rendement [ ]
Fréquence de découpage : f (Khz)
Thermique : Tj < Tjmax
Masse [g]
Radiateur : R (°C/W)
CEM: Norme EN 55022
∆I < 2*Is
Eléments du filtre
Tab. 3.5. Problème d’optimisation globale
Toutefois nous n’avons pas eu le temps suffisant pour traiter complètement cet aspect. Cela
fera parti de notre prospective.
VI. Conclusion
Les techniques d’optimisation uni-objectifs permettent de concevoir des convertisseurs qui
sont très bons suivant un seul critère (le volume ou le coût en Euros ou le rendement, ou...)
par contre moyennement satisfaisant suivant les autres. La plupart des applications
industrielles constituent des problèmes complexes avec plusieurs objectifs à optimiser
simultanément. Pour cela il est nécessaire d’utiliser des techniques d’optimisation multiobjectifs.
Ce travail, nous à permis de simplifier la compréhension des méthodes de résolution des
problèmes d’optimisation multi-objectif, souvent présentées de manière ’ambigue’.
137
Chapitre 3. Utilisation des techniques d’optimisation pour le pré-dimensionnement
A travers des exemples pédagogiques nous avons montré comment construire la frontière de
Pareto, ainsi que son analyse.
Nous avons aussi proposé une démarche d’optimisation multi-objectif hybride. L’application
de cette démarche sur un exemple élémentaire en électronique de puissance nous a permis de
montrer que même dans le cas d’un problème simple, la solution à un problème
d’optimisation multi-objectifs n’est pas prévisible par un simple calcul.
La démarche de pré-dimensionnement que nous avons proposée permet de fournir au
concepteur des solutions optimisées suivant un seul objectif à la fois ainsi qu’une solution
optimale suivant plusieurs objectifs simultanément. Le choix de la solution adéquate devient
alors très facile pour le concepteur.
Dans ce chapitre nous avons optimisé les performances d’une structure hacheur abaisseur de
tension suivant des contraintes de fonctionnement électrique et thermique et ceci à l’aide de
modèles simples. La démarche d’optimisation que nous avons proposée peut très bien
s’appliquer à n’importe quelle structure de puissance à condition d’avoir des modèles
analytiques assez précis. L’effort ainsi demandé se concentre sur la modélisation des
différents phénomènes physiques à prendre en compte. Ceci a été le cas pour prendre en
compte les contraintes de compatibilité électromagnétique dans l’optimisation du hacheur. De
notre coté nous avons investi un effort important pour développer des modèles analytiques
permettant de prédire les perturbations électromagnétiques générées par le hacheur, voir
chapitre 2. Ces modèles pourrons être utilisés pour concevoir des convertisseurs qui
respectent les normes CEM.
138
Conclusion générale
Conclusion générale
Le compromis précision rapidité dans le choix des modèles des composants de puissance reste
très difficile à faire. Néanmoins, dans le cadre d’une démarche de pré-dimensionnement de
convertisseurs de puissance, la précision n’est pas primordiale, par contre des modèles
analytiques simples sont nécessaires. Grâce à de tels modèles, il est possible de transformer le
problème de conception de convertisseurs de puissance en un problème d’optimisation
contraint. Ainsi, les différentes spécifications du cahier des charges sont décrites comme
contraintes au problème d’optimisation. Parmi les spécifications les plus sévères, on trouve
les normes CEM. La modélisation analytique des perturbations électromagnétiques a été
traitée dans peu de travaux antérieurs, par contre, seules des démarches applicables au cas par
cas ou faisant intervenir un calcul fastidieux ont été proposées. Dans ce travail nous avons
proposé une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations EM conduites
générées par les convertisseurs de puissance. Cette méthode se base sur l’analyse de causalité
des graphes des liens. L’utilisation des graphes des liens permet une approche générale
permettant de traiter toute structure de puissance et évite la nécessité d’un savoir faire
particulier lors de l’étude de la CEM. L’analyse de causalité permet une mise en équations
systématique du système, qui trouve tout son intérêt dans le cas des systèmes complexes.
Cette méthode est très utile pour le concepteur car en plus d’être automatisable, elle permet
une étude de sensibilité très simple grâce au modèle analytique auquel qu’elle produit.
La méthode proposée a été validée dans le cas d’un hacheur série réel. La comparaison du
spectre prédit par rapport à celui mesuré a montré que la méthode a une bonne précision
jusqu'à des fréquences assez élevées du spectre, jusqu'à 20 Mhz. Au delà de cette valeur le
139
Conclusion générale
modèle d’interrupteur idéal utilisé dans notre méthode ne permet plus de reproduire les
perturbations électromagnétiques réelle. Ceci peut être amélioré par l’utilisation de modèles
plus précis qui permet de rendre compte des commutations réelles des composants de
puissance dans notre méthode
Dans ce travail nous avons traité l’optimisation d’un hacheur abaisseur de tension suivant un
seul objectif (uni-objectif) et suivant plusieurs objectifs simultanément (multi-objectif). Les
techniques d’optimisation uni-objectifs permettent de concevoir des convertisseurs qui sont
très bons suivant un seul critère (la surface ou le coût en Euros ou le rendement, ou...) par
contre moyennement satisfaisant suivant les autres critères. Les techniques d’optimisation
multi-objectifs, quant à elles, fournissent plusieurs solutions, laissant le concepteur face à un
problème de choix. Nous avons proposé une démarche d’optimisation multi-objectif qui
permet de fournir une unique solution qui est la plus proche de l’objectif idéal. L’objectif
idéal est l’ensemble des objectifs optimisés indépendamment des autres (uni-objectifs). Cet
objectif idéal n’est généralement pas réalisable, sauf dans le cas où les différents objectifs ne
sont pas contradictoires et atteignent leurs minimums pour la même solution.
La démarche de pré-dimensionnement que nous avons proposée se base sur l’utilisation de
technique uni-objectif ainsi que deux techniques multi-objectifs. Elle permet de fournir au
concepteur des solutions optimisées suivant un seul objectif à la fois ainsi qu’une solution
optimale suivant plusieurs objectifs simultanément. Le choix de la solution adéquate, par le
concepteur, se fait alors en comparant un nombre réduit de solutions optimisées.
Dans ce travail nous avons aussi montré que l’utilisation de fonctions objectifs discrètes, à
l’aide de base de données, permet de faciliter toute modification du problème d’optimisation,
tel que la prise en compte des contraintes CEM.
La méthodologie proposée peut très bien s’appliquer à n’importe quelle structure de puissance
à condition de développer les modèles analytiques. Ainsi, la difficulté de conception se réduit
140
Conclusion générale
au développement de modèles représentant les différents phénomènes physiques à prendre en
compte.
Publications relatives à ces travaux :
Conférences internationales :
•
H. Helali, D. Bergogne, J. Ben Hadj Slama, H. Morel, P. Bevilacqua, B. Allard, O.
Brevet : Power converter's optimisation and design. Discrete cost function with
genetic based algorithms. 11 th European Conference on Power Electronics and
applications (EPE’05), Dresden, Septembre 2005.
•
H. Helali, H.Morel, D. Bergogne: Power converter design methodology. Uses of
multiple objectives techniques for optimization of a (42/14 V) buck converter.
International Conference on Integrated Power Electronics Systems 2006 (CIPS’06),
Naples, Juin 2006.
Conférences et colloques nationaux :
•
H. Helali : Optimisation de convertisseur de puissance, analyse et conception.
Journées de Jeunes Chercheurs en Génie Électrique (JCGE'05), Montpellier, Juin 2005.
•
H. Helali, D. Bergogne, H.Morel. Optimisation multi-objectifs pour la conception de
convertisseurs de puissance : Application au cas d’un hacheur 42/14 V. Groupement
De Recherche (GDR): Intégration de Systèmes de Puissance ISP3D, Lyon, Septembre
2005.
•
H. Helali, H. Morel, D. Bergogne, J.L. Schanen, J.M. Guichon : Méthode de calcul de
spectres CEM à base de graphes de liens. Application au hacheur série. Electronique
de Puissance du Futur (EPF’06), Grenoble, juillet 2006.
Publication en cours de rédaction :
•
H. Helali, H. Morel, D. Bergogne, B. Allard, J.L. Schanen: Switching Mode Power
Supply EMI prediction using bond graph analysis causality. IEEE Transactions on
Transactions on power electronics.
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.
146
Résumé et mots clés
Le pré-dimensionnement permet de dégrossir le problème de conception des convertisseurs de
puissance. Il permet d’assurer la fonctionnalité du système ainsi que le respect des principales
spécifications définie dans le cahier des charges. Le pré-dimensionnement est très utile pour
l’optimisation des performances des systèmes. Dans ce cadre la précision n’est pas primordiale, par
contre des modèles analytiques simples sont nécessaires.
Parmi les spécifications les plus sévères on trouve les normes de Compatibilité ElectroMagnétiques.
Dans ce travail, nous avons proposé une nouvelle méthode analytique de prédiction des perturbations
électromagnétiques conduites générées par les convertisseurs de puissance. Cette méthode se base sur
l’analyse de causalité des graphes des liens et permet d’aboutir de manière systématique à des modèles
analytiques suffisamment précis. La méthode proposée a été validée expérimentalement. Cette
méthode est très utile pour le concepteur car en plus d’être automatisable, elle permet une étude de
sensibilité très simple grâce au modèle analytique auquel elle aboutie.
Dans ce travail nous avons traité l’optimisation d’un hacheur abaisseur de tension suivant un seul
objectif (uni-objectif) et suivant plusieurs objectifs simultanément (multi-objectif). Les techniques
d’optimisation uni-objectifs permettent de concevoir des convertisseurs qui sont très bons suivant un
seul critère (la surface ou le coût en Euros ou le rendement, ou...) par contre moyennement satisfaisant
suivant les autres. Les techniques d’optimisation multi-objectifs quand à elles fournissent plusieurs
solutions, dont le choix de la meilleure solution est souvent difficile. Nous avons proposé une
démarche d’optimisation multi-objectif qui permet de fournir l’unique solution, la plus proche de
l’objectif idéal. L’objectif idéal est l’ensemble des objectifs optimisés indépendamment des autres
(uni-objectifs). Cet objectif idéal n’est généralement pas réalisable, sauf dans le cas où les différents
objectifs ne sont pas contradictoires et atteignent leurs minimums pour la même solution. La démarche
de pré-dimensionnement que nous avons proposée permet de fournir au concepteur des solutions
optimisées suivant un seul objectif à la fois ainsi qu’une solution optimale suivant plusieurs objectifs
simultanément. Le choix de la solution adéquate devient alors très facile pour le concepteur.
Mots clés :
Convertisseurs de puissance, Conception, Optimisation, Compatibilité ElectroMagnétiques, Graphe
des liens.
147