Contrôle continu de Probabilités

Contrôle continu de Probabilités
Troisième année de la Licence de Mathématiques et Economie
Année 2014 - 2015
Correction
1) Soit E un ensemble quelconque et E ⊂ P(E) un ensemble de parties de E.
Donner les propriétés que doit vérifier l’ensemble E pour être une tribu de
parties de E.
On doit avoir ∅ ∈ E, la stabilité par passage au complémentaire (si A ∈ E
alors AC ∈ E) et enfin la stabilité par union dénombrable (si (An )n∈N est
une suite d’éléments de E alors
[
An ∈ E.
n∈N
2) Soit E un ensemble quelconque et E ⊂ P(E) une tribu de parties de E.
Quelles propriétés doit satisfaire la fonction d’ensemble µ : E 7→ [0, ∞]
pour être une mesure ?
Il faut que µ(∅) = 0 et que µ soit σ-additive c’est-à-dire, si (An )n∈N
est une suite d’éléments de E disjoints deux à deux alors
!
[
X
µ
An =
µ(An ).
n∈N
n∈N
3) Soit E = [0, 1] et E = {[0, 1], ∅, [0, 1/3], [1/3, 1]} un ensemble de parties
de E. L’ensemble E est-il une tribu (justifier votre réponse) ?
Non car [0, 1/3]C =]1/3, 1] ∈
/ E.
4) Soit f : [0, 1] 7→ [0, 1] la fonction définie par :
1/2 si x ∈ [0, 1/3]
f (x) =
1/4 si x ∈]1/3, 1].
a) On munit les ensembles [0, 1] de la tribu σ([0, 1/3]). Décrire cette
tribu.
On a σ([0, 1/3]) = {, [0, 1], [0, 1/3], ]1/3, 1]}.
1
b) La fonction f est-elle mesurable ?
Il suffit de vérifier que f −1 ([0, 1/3]) ∈ σ([0, 1/3]). Or, f −1 ([0, 1/3]) =
]1/3, 1] ∈ σ([0, 1/3]).
c) Reprendre les questions a) et b) avec la tribu σ([0, 1/3[).
Dans ce cas, f n’est pas mesurable car f −1 ([0, 1/3[) =]1/3, 1] ∈
/
σ([0, 1/3[).
5) Un sac contient les 5 lettres A, C, E, N et R. Vous tirez du sac les lettres une à une et les placez devant vous en conservant l’ordre du tirage.
Proposer un espace probabilisé permettant de décrire cette expérience et
calculer la probabilité d’obtenir le mot CRANE ou le mot NACRE.
L’espace probabilisé (Ω, F, P) est défini de la façon suivante : Ω est un
ensemble de cardinal 5! = 120 dont un élément est l’une des permutations
des lettres A, C, E, N et R (par exemple ω = (A, E, N, C, R)). Evidemment, F = P(Ω) et P est la probabilité uniforme. La probabilité d’obtenir
le mot CRANE ou le mot NACRE est de 2/120 = 1/60.
6) Soient E1 et E2 deux ensembles quelconques et f : E1 7→ E2 une application. Montrer que si E1 est muni d’une tribu E1 quelconque et E2 de la
tribu triviale {∅, E2 } alors l’application f est mesurable.
Comme f −1 (E2 ) = E1 ∈ E1 alors f est mesurable.
7) Soit f : [0, 1[7→ [0, 1] l’application définie pour tout x ∈ [0, 1[ par
4
f (x) =
1X
iI{x∈[(i−1)/4,i/4[}
4 i=1
On munit l’ensemble d’arrivée [0, 1] de la tribu E2 engendrée par {{i/4}, i =
1, . . . , 4}. Quelle est la plus petite tribu de parties de [0, 1[ rendant f
mesurable ?
Comme f −1 ({i/4}) = [(i−1)/4, i/4[, la plus petite tribu rendant f mesurable
est la tribu σ([(i − 1)/4, i/4[, i = 1, . . . , 4).
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