Mme Morel-TS-Cours combinatoire Quelques notions de combinatoire 1 Dans tout le chapitre, n et p désignent des entiers naturels tels que p 6 n. Il y a np façons de tirer successivement et avec remise p boules parmi Théorème 1.3. n ou encore : le nombre de listes de p éléments d’un ensemble à n éléments est np . 1 2 1.1 Tirages successifs Ranger n éléments On considère un ensemble de n éléments. On cherche le nombre de façons de ranger (on ordonne) ces n éléments. Il y a n choix pour l’élément placé en premier, n − 1 pour le second, n − 2 pour le troisième · · · . Par conséquent : Théorème 1.1. Il y a n! façons d’ordonner n éléments. Exemple : Nombre de mots de 3 lettres différentes avec le mot CAR (faire un arbre). Remarque : Cela revient à considérer un tirage successif sans remise de n boules parmi n. Combinaisons 2.1 Définition Définition 2.1.1. Soit E un ensemble fini de n éléments et soit p un entier tel que 0 6 p 6 n. On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments. Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté (np ) (lire p parmi n). Exemple : On considère l’ensemble {abc}. On cherche le nombre de parties à 2 éléments de cet ensemble : ab, ac, bc. Il y en a donc 3. Par conséquent, (32 ) = 3. 2.2 Tirages simultanés On considère une urne contenant n boules. On tire simultanément p boules. Si le tirage était ordonné, il y aurait n choix pour la première, n − 1 pour la seconde n! On considère une urne contenant n boules. On en tire successivement p sans remise. · · · et n − p + 1 pour la p-ième, soit . Mais ici, le tirage n’est pas ordonné. (n − p)! Pour la première boule, il y a n choix; pour la seconde n − 1; pour la troisième n − 2, On compte donc chaque sous-ensemble p! fois (nombre de façons d’ordonner p · · · ; et pour la p-ième n − p + 1. Par conséquent : éléments). Par conséquent : n! Il y a n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) = façons n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) (n − p)! Il y a façons de tirer simultanément de tirer successivement et sans remise p boules parmi n ou p! Théorème 2.1. p boules parmi n ou encore : le nombre de combinaisons de p objets Théorème 1.2. encore : le nombre de listes de p éléments distincts deux à n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) n! deux d’un ensemble à n éléments est : parmi n est (np ) = = . n! p! p!(n − p)! n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) = . (n − p)! 1.2 Tirages successifs sans remise Exemple : Nombre de mots de 2 lettres différentes dans le mot ABRI (faire un arbre). 1.3 Tirages successifs avec remise On considère une urne contenant n boules. On en tire successivement p avec remise. Pour la première boule, il y a n choix; pour la seconde n; pour la troisième n, · · · ; et pour la p-ième n. Par conséquent : 2.3 Résumé des situations de réference • p tirages successifs sans remise : n! (touche arrangement nAr de la (n − p)! calculatrice); • p tirages successifs avec remise : np ; • p tirages simultanés : (np ) (touche combinaison nCr de la calculatice). Mme Morel-TS-Cours combinatoire Exemples : (corrigé à la fin du cours) 1. 2 3. Si 1 6 p 6 n − 1, alors : • Six chevaux participent à une course pour laquelle il n’y a pas d’ex-aequo. Combien y-a-t-il de classements possibles? (Aide : un classement sans ex-aequo est une liste ordonnée de six chevaux). n−1 (p−1 ) + (pn−1 ) = Donc : • Dans le jeu du tiercé, on doit choisir dans l’ordre trois chevaux. On suppose qu’il n’y a pas d’ex-aequo. Si la course compte quinze partants, combien de tiercé dans l’ordre peut-on former? n−1 (p−1 ) + (pn−1 ) = n−1 (p−1 ) + (pn−1 ) = (c) Combien y-a-t-il de mains contenant au-moins un roi? 3 3.1 Propriétés des combinaisons Premières formules Théorème 3.1. Soient n et p deux entiers naturels tels que p 6 n. 1. (n0 ) = 1, (nn ) = 1, (n1 ) = n. 2. (np ) = (nn−p ). n−1 3. Si 1 6 p 6 n − 1, alors (np ) = (p−1 ) + (pn−1 ) Démonstration : Démonstration par les ensembles voir livre p 380 Démonstration par le calcul : 1. immédiat. 2. (nn−p ) = n! n! = = (np ). (n − p)!(n − n + p)! p!(n − p)! (n − 1)!p + (n − 1)!(n − p) (n − 1)!(p + n − p) = p!(n − p)! p!(n − p)! Soit : 3. On tire cinq cartes d’un jeu de trente-deux cartes et on appelle main l’ensemble ainsi obtenu. (b) Combien y-a-t-il de mains contenant exactement deux coeurs? (n − 1)! (n − 1)! + (p − 1)!(n − p)! p!(n − 1 − p)! Or p! = p(p − 1)! et (n − p)! = (n − p)(n − p − 1)!. Par conséquent : 2. Le code antivol d’un autoradio est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre pouvant prendre l’une des dix valeurs 0, 1, · · · , 9. Quel est le nombre de codes possibles? (a) Combien y-a-t-il de mains différentes? (n − 1)! (n − 1)! + (p − 1)!(n − 1 − p + 1)! p!(n − 1 − p)! n−1 (p−1 ) + (pn−1 ) = n! = (np ) p!(n − p)! Conséquence : le triangle de Pascal On obtient le tableau des combinaisons de proche en proche avec le tableau ci-dessous ((np ) se trouve à l’intersection de la ligne n et de la colonne p) : p n 0 1 2 3 4 5 3.2 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 1 4 10 1 5 1 La formule du binôme Si a et b sont des nombres complexes, on a : • (a + b)1 = 1a + 1b • (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 • (a + b)3 = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3 . On remarque que les coefficients intervenant dans le développement de (a + b)n sont les nombres (n0 ), (n1 ) · · · figurant dans le triangle de Pascal. Mme Morel-TS-Cours combinatoire 3 Théorème 3.2. Pour tous a et b complexes te n entier naturel non nul, n X (a + b)n = (nk )ak bn−k . (b) Il y a huit cartes de coeur dans un jeu et 24 cartes des autres couleurs. Pour obtenir une main contenant exactement deux coeurs, il faut donc tirer simultanément 2 cattes parmi 8 puis 3 cartes parmi 24. Il y a donc : k=0 (82 ) × (28 3 ) = 56672 mains contenant exactement 2 cartes de coeur Démonstration : A faire (récurrence : voir livre p 381). Application : 1. Montrer que pour tout entier n > 1, n X (nk ) = 2n . k=0 2. En déduire le nombre de parties d’un ensemble à n éléments. (532−4 ) = (28 5 ) = 42504 mains ne contenant pas de roi. Il y a donc 201376 − 42504 = 158872 mains contenant au-moins un roi. Solution : 1. Pour tout entier n > 1, (c) Comme très souvent, pour calculer une probabilité contenant un ll aumoins gg, il est préférable de calculer la probabilité de l’événement contraire. L’événement ll contenir au-moins un roi gg est l’événement contraire de : ll ne pas contenir de roi gg. Or, il y a : n X k=0 (nk ) = n X (nk )1k 1n−k = (1 + 1)n = 2n . k=0 2. Pour tout entier n > 1, (nk ) représente le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments. Donc si l’on ajoute ces nombres pour toutes les valeurs de k comprises en tre 0 etn, on obtient le nombre de sous-ensembles que l’on peut former dans un ensemble à n éléments. Par conséquent, le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n . Correction des exemples d’application : 1. (a) Trouver le nombre de classements possibles revient à ranger 6 éléments parmi 6. Il y a donc 6! = 720 classements possibles. (b) Trouver un tiercé revient à ordonner 3 éléments parmi 6. Cela conrerspond donc à trois tirages successifs sans remise dans un ensemble à 6 éléments. 6! = 120 tiercés possibles. Il y a donc (6 − 3)! 2. Trouver un code revient à tirer successivement 4 éléments parmi 10 avec remise (un même chiffre peut servir plusieurs fois). Il y a donc 104 codes possibles. 3. Une main correspond à un tirage simultané de cinq cartes parmi 32 (l’ordre ne compte pas). Par conséquent : (a) Il y a (32 5 ) = 201376 mains possibles. Mme Morel-TS-Cours combinatoire