rappels mathematiques

ANNEXE : Rappels sur les notions de dérivée et différentielle
1. Pente d’une droite
Examinons géométriquement les droites dans le plan cartésien. La principale caractéristique
qui distingue une droite d’une autre est son inclinaison, que nous appelons coefficient
directeur ou pente de la droite. Un moyen naturel de mesurer la pente d’une droite est de
partir de n’importe quel point ( x0 , y 0 ) et de se déplacer le long de la droite de sorte que la
coordonnée de x s’accroisse d’une unité. La variation correspondante de la coordonnée y
s’appelle la pente de la droite.
Définition : Soient ( x0 , y 0 ) et ( x1 , y1 ) deux points quelconques sur la droite (d), le rapport :
y − y0
a= 1
s’appelle la pente de la droite (d). L’analyse de la figure montre que la pente de
x1 − x0
(d) est indépendante des deux points choisis sur (d).
La pente d’une droite apparaît comme le taux de variation (ou taux de croissance)
des ordonnées par unité d'abscisse. Elle est constante le long de la droite.
2. Equation d’une droite
Maintenant cherchons à déterminer l’équation que doivent satisfaire les points situés sur une
droite donnée. D’abord, supposons que la droite (d) ait une pente a et que cette droite coupe
l’axe des ordonnées au point (0, b) . Ce point s’appelle l’ordonnée à l’origine de (d).
Considérons un point quelconque ( x, y ) de la droite, on sait par définition de la pente d’une
y −b
droite que : a =
⇔ y − b = ax ⇔ y = ax + b .
x−0
La droite dont la pente est égale à a et dont l’ordonnée à l’origine est le point (0, b)
a pour équation : y = a x + b.
Remarque : On en déduit que les graphes des polynômes de degré 1 qui s’écrivent
f ( x) = ax + b sont des droites, c’est pourquoi on appelle de telles fonctions des fonctions
linéaires si b est nul, et affines si b est non nul.
Interprétation :
La pente d’une droite est un concept clé pour l’économiste. Rappelons que la pente d’une
droite mesure la variation de y quand on se déplace le long de la droite en accroissant x d’une
unité. Par conséquent, la pente d’une fonction linéaire f mesure l’accroissement ou la variation
de f(x) pour chaque unité d’augmentation de x, elle mesure l’effet marginal sur f d’une
augmentation de x.
La pente d’une fonction linéaire f n’est rien d’autre que le taux de croissance ou
taux de variation unitaire de f, elle nous indique de combien varie f quand x varie d’une
unité.
Bien sûr une pente a positive indique que f croît de a quand x augmente de 1, donc que la
relation entre ces deux variables est croissante (c’est le cas des relations décrites par (d) et (d’)
sur la figure 1) ; et une pente négative indique que f diminue de |a| quand x augmente de 1,
c’est-à-dire que la relation entre les deux variables est décroissante (c’est le cas de la relation
décrite par (d’’) sur la figure 1).
y
(d’’)
(d’)
∆x=1
(d) : y = a x + b
∆y < 0
a=
1
1
∆y > 0
a
∆y ∆y '
=
∆x ∆x'
x
∆x=1
b
∆y’
a
∆x’
Fig.1. Pentes de droites dans le plan
Cette façon de concevoir la pente d’une fonction linéaire comme la représentation de son taux
de variation joue un rôle essentiel dans l’analyse économique. Si C = C (Y ) est une fonction
linéaire qui donne la consommation globale des ménages C en fonction du revenu national Y,
alors la pente de la fonction C mesure l’accroissement de la consommation globale quand le
revenu national augmente d’une unité. On l’appelle la propension marginale à consommer.
Exemple : C = 0,8Y + 5 avec C la consommation globale et Y le revenu national. Comment
interpréter cette relation ? Elle nous indique que la consommation des ménages croît avec le
revenu national et qu’elle croît de 0,8 unité de revenu quand le revenu augmente d’une unité :
la propension marginale à consommer est égale à 0,8. Elle nous indique également que quand
le revenu est nul ( Y = 0 ) les ménages consomment quand même 5 unités de revenu (grâce à
leur épargne). Il y a donc un niveau de consommation incompressible, au-dessous duquel on
ne peut descendre (celui qui correspond à la satisfaction des besoins élémentaires), et qui est
indépendant du revenu (on l’appelle la consommation autonome). De manière plus générale,
on pourrait écrire cette famille de fonction de consommation globale de la manière suivante :
C = cY + C avec c et C deux réels positifs. c représente la propension marginale à
consommer le revenu et C la consommation incompressible.
C
(C) : C= 0,8 Y + 5
c = 0,8
C =5
C =C
1
Y
0
1
Fig.2. Fonction de consommation
3. Cas particuliers
•
Droite parallèle à l’axe des abscisses : une droite parallèle à l'axe des abscisses a une
équation de la forme y = b où b est un nombre qui mesure la hauteur algébrique (positive
ou négative) de la droite par rapport à l'axe des abscisses. On dit parfois qu'une telle droite
est horizontale. Tous les points d'une telle droite ont la même ordonnée : c'est b. Sur la
figure 3, les droites (d1) et (d2) ont pour équations respectives y = 3 et y = -2.
La pente d'une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) est nulle : a = 0 une telle
droite entre dans le cadre des équations de la forme y = ax + b .
Interprétation : Quelle est la signification d’une telle relation y = b ? Elle indique
simplement que y est indépendant de x : quand x varie d’une unité, y ne varie pas ( a = 0 )
mais reste égale à b.
Exemples :
-
-
La consommation incompressible de l’exemple précédent, indépendante du revenu Y,
peut être représentée graphiquement par la droite horizontale d’équation C = C dans
le repère (Y, C) (figure 2).
Typiquement, l’investissement I dépend du taux d’intérêt réel r : plus le taux d’intérêt
réel est élevé, plus le coût de l’investissement est élevé et moins on investit. Mais on
peut également penser que, pour une part, l’investissement est indépendant du taux
d’intérêt. Comment traduire en langage mathématique et le plus simplement cette
relation entre I et r ? Si l’on écrit : I = αr + I , avec α < 0 et I un réel positif, que l’on
peut représenter graphiquement dans le repère (r , I ) par une droite décroissante de
pente α et d’ordonnée à l’origine I , on traduit bien la relation décrite précédemment.
Si r augmente de 1, I varie de α , c’est-à-dire diminue puisque α est supposé négatif.
Mais la fonction d’investissement choisie montre bien également qu’une part de
l’investissement est déterminée indépendamment du taux d’intérêt puisque quand r =
0 l’investissement est égal à I et cette part ne varie pas quand r varie, c’est ce que
l’on appelle l’investissement autonome qui est représenté graphiquement par la droite
horizontale d’équation I= I dans le repère (r , I ) (figure 3).
y
I
(d1)
I=I
I
y=3
1_
(d2)
|
1
I = αr + I ( a = α )
r
x
y = -2
(a=0)
Fonction d’investissement
Fig.3. Droites horizontales
•
Droite parallèle à l’axe des ordonnées : une droite parallèle à l'axe des ordonnées
possède une équation de la forme x = k où k est un nombre qui mesure l'écart algébrique
de la droite par rapport à l'axe des ordonnées. On dit parfois qu'une telle droite est
verticale. Tous les points d'une telle droite ont la même abscisse : c'est k. Sur le dessin, les
droites (d3) et (d4) ont pour équations respectives x = -2 et x = 3.
Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) n'a pas de pente au sens propre. Son
équation de type x = k n'est pas de la forme y = ax + b : c'est un cas spécial, on peut parler
de pente infinie !
Interprétation : Quelle est la signification d’une telle relation x = k ? Elle indique qu’une
variation unitaire de x conduit à une variation infiniment grande de y. Sur la figure 4, on
voit bien que ce cas correspond au cas limite d’une droite très pentue (d5), c’est-à-dire
d’une relation où y est très sensible aux variations de x.
Exemple : Typiquement, les agents ont le choix entre conserver leur épargne sous forme
liquide (conserver de la monnaie) ou la placer sous forme de titres. Selon Keynes, cet
arbitrage, et donc la quantité de monnaie et de titres que les agents vont demander, dépend
du taux d’intérêt nominal i en ce qu’il détermine le rendement des titres (la monnaie quant
à elle a un rendement nul). Son analyse est la suivante : si le taux d’intérêt i est élevé, un
grand nombre d’agents anticipent qu’il a de grande chance de baisser demain et qu’ils ont
donc intérêt à acheter des titres aujourd’hui, puisque les titres émis demain auront un
rendement plus faible. Si au contraire, le taux d’intérêt est faible, la plupart des agents
anticipent qu’il risque d’augmenter, et donc que les titres émis demain à ce taux seront
mieux rémunérés, ils ont donc intérêt à attendre demain pour acheter des titres et
conserver leur épargne sous forme liquide, c’est-à-dire demander de la monnaie. Donc
plus le taux d’intérêt est faible, plus les agents seront nombreux à demander de la monnaie
plutôt que des titres. Au niveau agrégé, la demande de monnaie notée L est donc une
fonction décroissante du taux d’intérêt nominal i. Maintenant considérons une situation
dans laquelle le taux d’intérêt est très faible, si faible que personne n’anticipe qu’il peut
encore baisser. Tout le monde anticipant que i ne pourra être que plus élevé demain, donc
que les titres émis demain auront un rendement plus élevé que ceux émis aujourd’hui,
personne ne voudra acheter de titres aujourd’hui et tout le monde voudra conserver son
épargne sous forme monétaire : la demande de monnaie devient infinie. L’économie est
alors dans ce que Keynes appelle « la trappe à liquidité », toute épargne supplémentaire
sera thésaurisée par les agents.
Comment représenter graphiquement cette analyse de la demande de monnaie pour motif
de spéculation ? On a une relation décroissante entre la demande de monnaie et le taux
d’intérêt pour i > imin et en dessous de imin plus personne ne veut détenir de titres, quel
que soit son niveau d’épargne, la demande de monnaie devient infinie, on peut alors la
représenter par une droite verticale d’équation i = imin (cf. figure 4).
y
(d5)
(d3)
L
(d4)
L=L( i )
∆y
|
|
|
1
|
|
|
∆x
x
x=3
x=-2
i min
Demande de monnaie
Fig.4. Droites verticales
4. Pente des fonctions non linéaires et dérivée
Nous venons de voir que la pente d’une droite, en tant que mesure d’un effet marginal, était
un concept clé pour les fonctions linéaires en théorie économique. Cependant, la grande
majorité des fonctions qui apparaissent dans les applications ne sont pas linéaires. Comment
mesure-t-on alors les variations pour ces fonctions non linéaires ?
Considérons l’étude de la fonction non linéaire y = f (x) et supposons que nous soyons au
point ( x A , f ( x A )) sur le graphe de f. Nous voulons mesurer le taux de variation de f ou
l’inclinaison du graphe de f lorsque x = x A . Une solution naturelle de ce problème consiste à
tracer la tangente au graphe de f en x A , comme le montre la figure 5. Dans la mesure où la
tangente est une bonne approximation de f au voisinage de ( x A , f ( x A )) . Sa pente, devrait être
une bonne mesure de la pente de la fonction f en x A . Remarquons que pour des fonctions non
linéaires, la pente de la tangente varie d’un point à l’autre (cf. figure 5).
i
y
C
f ’ ( xC )
A
xA
xB
x
xC
y=f(x)
B
Fig.5. Pente et dérivée
Mais au fait, c'est quoi une tangente ?
La tangente à une courbe en un point A est une droite. Par définition, c’est la droite "limite"
prise par les droites (AB) lorsque le point B se rapproche indéfiniment du point A tout en
restant sur ladite courbe.
y
B
y=f(x)
f(xA )
A
x
xA
xA+h3 xA+h2
xB = xA+h1
Figure 6
Lorsque le point B se rapproche du point A, la droite (AB) se rapproche à jamais de la
tangente à la courbe en A. Donc la pente de la droite (AB) tend vers la pente de notre
tangente. Or le coefficient directeur (ou pente) de la droite (AB) est égale à :
yB − y A
f ( xB ) − f ( x A )
=
.
xB − x A
xB − x A
Donc, la pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite du
f ( xB ) − f ( x A )
lorsque x B tend vers x A .
quotient
xB − x A
Ecrit autrement : Pente de la tangente = lim
x→x A
f ( x) − f ( x A )
x − xA
Cette pente est aussi appelée nombre dérivé de la fonction f en x A . Il est noté f'( x A ).
Quand il existe, on dit que la fonction f est dérivable en x A .
Définition : Dire que la fonction f est dérivable en x0 signifie que la limite lorsque x tend
f ( x) − f ( x0 )
vers x0 du quotient
existe et qu'elle est finie.
x − x0
Lorsque c'est le cas, elle est appelée nombre dérivé de la fonction f en x0 et est notée f'(x0).
Autrement écrit :
f ' ( x0 ) = lim
x → x0
f ( x) − f ( x 0 )
x − x0
ou
f ' ( x0 ) = lim
h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h
(2)
La dérivée d’une fonction f en un point x0 n’est donc rien d’autre que la pente de la tangente
au graphe de f au point ( x0 , f ( x0 )) , c’est-à-dire la variation de f rapportée à la variation de x,
∆f
soit le rapport
, pour une variation infinitésimale de x ( ∆x → 0 ).
∆x
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
, on en déduit que pour ∆x
Etant donnée que, par définition, f ' ( x0 ) = lim
∆x →0
∆x
f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 )
petit :
≈ f ' ( x0 )
(3) ,
∆x
où ≈ signifie « est une bonne approximation de» ou « est proche de ». Si on pose que ∆x =1,
alors on a : f ( x0 + 1) − f ( x0 ) ≈ f ' ( x0 ) ; ce qui signifie que la dérivée de f en x0 est une bonne
approximation de la variation marginale de f en x0 .
1
N . Supposons que la firme
2
utilise 100 unités de travail N, de sorte que sa production soit de 5 unités. La dérivée de la
1
fonction de production F est donnée par la fonction : F’(N)= N −1 / 2 , et au point N = 100 elle
4
1
1
est égale à F ' (100) = 100 −1 / 2 =
= 0,025 . C’est une bonne mesure de la production
4
40
additionnelle qui peut être obtenue en employant une unité supplémentaire de travail, c’est la
productivité marginale du travail. L’augmentation exacte de la production est :
F (101) − F (100) = 0,02494..., qui est à peu près égale à 0,025.
Exemple : considérons la fonction de production F ( N ) =
Même si ce n’est pas exactement la variation de Y = F ( N ) due à une augmentation d’une
unité de N, les économistes considèrent quand même F ' ( N ) comme la variation marginale de
F. Il est souvent en effet plus facile de travailler avec le seul terme F ' ( x) qu’avec la
différence F ( x + 1) − F ( x). Il est en effet courant d’avoir des informations sur le sens de la
relation entre deux variables, sur la pente de la fonction, sans connaître la fonction elle-même.
Qu’en est-il si la variation de x n’est pas d’une unité. Dans ce cas, d’après (3) on a :
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ' ( x0 )∆x ⇔ f ( x 0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 )∆x , où nous écrivons
∆y pour la variation exacte de f lorsque x varie de ∆x . Cette relation permet d’approximer
f(x), pour x proche de x0 quand f(x0) et f’(x0) sont connus ou faciles à calculer.
En effet, examinons la figure 7. La tangente à la courbe de f au point x0 passe par les points A
et C de coordonnées respectives ( x0 , f ( x0 )) et ( x0 , yC ), et par définition sa pente est égale au
nombre dérivé f’(x0). L’équation de la tangente (AC) est donc donnée, d’après la définition
(1) de la pente d’une droite, par :
y − f ( x0 )
y − f ( x0 )
f ' ( x) = C
⇔ f ' ( x) = C
⇔ y C = f ( x0 ) + f ' ( x)∆x .
( x 0 + ∆x) − x0
∆x
Le point B, qui lui est sur la courbe représentative de f, a pour ordonnée : y B = f ( x0 + ∆x) .
Quand ∆x → 0 , C se rapproche de B et yC → y B , on en déduit que pour une petite variation
de x, y B ≈ y C , soit f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 )∆x ⇔ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ' ( x0 )∆x , ou
encore :
∆ f ≈ f ' ( x 0 )∆ x ⇔ ∆ y ≈ f ' ( x 0 )∆ x .
On voit bien graphiquement que la qualité de cette approximation dépend de la courbure de f,
elle sera meilleure si la courbure de f au voisinage de x0 est faible. D’autre part, elle vaut pour
une petite variation de x, mais devient de moins en moins bonne quand ∆x augmente. Il n’y a
que pour les fonctions linéaires que l’approximation est parfaite puisqu’alors la tangente et la
courbe représentative de la fonction sont confondues.
Tangente
y
C
f(x0 ) + f’ (x0 ) ∆x
dy = f’(x0) ∆x
B
f (x0 + ∆x)
Graphe de f
∆y ≈ dy = f’(x0) ∆x , pour ∆x petit
f (x0 )
A
∆x
x
x0
x0 + ∆x
Figure 7. Approximation linéaire d’une fonction f
De manière générale on écrit dx et dy les variations le long de la tangente (AC), et
l’expression : dy = f ' ( x 0 )dx (ou df = f ' ( x0 )dx ) est appelée la différentielle de f au point x0.
5. Fonctions à plusieurs variables
Considérons une fonction f à plusieurs variables qui décrit l’effet de plusieurs variables
x1 ,..., x n sur la variable y.
Dérivées partielles
Nous restreignons dans un premier temps l’analyse à l’impact des variations d’une seule des
variables xi sur y, les autres étant fixées. Puisque nous n’envisageons pas la variation totale
de f mais simplement une variation partielle portant sur une seule variable, la dérivée
correspondante s’appelle la dérivée partielle première de f par rapport à xi . Elle est notée
∂f
'
avec la lettre ∂ (d rond) au lieu de d (d droit). On utilise également la notation f xi .
∂xi
Rappelons que la dérivée d’une fonction à une seule variable f en un point x0 donné s’écrit :
f ( x0 + h) − f ( x0 )
df
( x0 ) = lim
.
h →0
dx
h
La dérivée partielle d’une fonction de plusieurs variables f ( x1 ,..., x n ) par rapport à xi au point
x0 = ( x10 ,..., xn0 ) est définie de manière similaire.
Définition : Soit une fonction f : R n → R . Pour chaque variable xi et en tout point x0
= ( x10 ,..., x n0 ) appartenant au domaine de définition de f, on a :
f ( x10 , ... , xi0 + h , ... , x n0 ) − f ( x10 ,..., x n0 )
df 0
0
( x1 ,..., x n ) = lim
si cette limite existe.
h→0
dx
h
Ainsi, seule le i-ième variable change, les autres variables sont inchangées et traitées comme
des constantes.
Interprétation économique : étant donnée la fonction y = f (x) à une variable, sa fonction
dérivée première f’(x) mesure l’effet d’une variation infinitésimale de x sur y. La même
interprétation reste valable pour les fonctions à plusieurs variables.
Productivités marginales : Par exemple, soit la fonction de production Y = F ( K , N ) , reliant
le volume de la production Y aux quantités de capital et de travail utilisées. Dans la cas d’une
entreprise utilisant K* unités de capital et N* unités de travail pour produire Y* = F (K*, N*)
unités d’output , la dérivée partielle de F par rapport à K mesure le taux de variation de la
quantité produite lorsque la quantité de capital K utilisée est modifiée d’une unité, en
supposant inchangée la quantité de travail N utilisée, fixée à N*, c’est pourquoi elle est
appelée productivité marginale du capital. De la même manière on définit la productivité
marginale du travail comme la variation de la quantité produite consécutive à la modification
de la quantité de travail utilisée d’une unité, en maintenant fixée à K* la quantité de capital,
elle est donnée par la dérivée partielle de la fonction de production par rapport à N :
(∂F ∂N )( K *, N *) .
Différentielle totale
Intéressons-nous ici au comportement d’une fonction de deux variables f ( x, y ) au voisinage
de ( x0 , y 0 ) . Si nous fixons y = y0, et si nous modifions x0 en x0 + ∆x , alors :
∂f
∆f = f ( x0 + ∆x, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) ≈
( x0 , y 0 )∆x.
∂x
Si maintenant x est fixé égal à x0 et que y varie de y0 à y0+ ∆y nous obtenons :
∂f
( x 0 , y 0 )∆y.
∂y
Quelles sont à présent les conséquences d’une modification simultanées des deux variables x
et y. Dans la mesure où une variation de la fonction ne peut provenir que des effets liés aux
variations de chacune des variables, on a :
∂f
∂f
∆f = f ( x0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) ≈
( x0 , y 0 )∆x + ( x0 , y 0 )∆y
∂x
∂y
Au voisinage de ( x0 , y 0 ) , on utilise les notations suivantes : dx = ∆x , dy = ∆y , et
∂f
∂f
df =
( x0 , y 0 )dx + ( x0 , y 0 )dy . Cette expression est appelée la différentielle totale de f au
∂y
∂x
point ( x0 , y 0 ) .
∆f = f ( x0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) ≈
Exemple : Soit Y* le revenu d’équilibre de l’économie, il dépend des dépenses publiques et
de la masse monétaire selon la relation : Y * = 3G + 2 M . Quel est l’impact sur le revenu d’une
variation des dépenses publiques de ∆G = 10 et de la masse monétaire de ∆M = 5 ?
Quel est l’effet d’une variation unitaire de G sur le revenu d’équilibre Y*? Par définition,
∂Y *
cette quantité est donnée par la dérivée partielle de Y* par rapport à G , soit
= 3 . Si la
∂G
variation des dépenses est de ∆G =10, alors le revenu d’équilibre varie de
∂Y *
∆Y * =
∆G = 3∆G = 3 × 10 = 30 .
∂G
De même, l’impact d’une variation unitaire de la masse monétaire est donnée par la dérivée
∂Y *
partielle de Y* par rapport à M , soit
= 2 . Si la variation de la masse monétaire est de
∂M
∂Y *
∆M alors le revenu d’équilibre varie de ∆Y * =
∆M = 2∆M = 2 × 5 = 10 .
∂G
Si les dépenses publiques et la masse monétaire varient simultanément, la variation du
revenu d’équilibre est donnée par la différentielle totale :
∂Y *
∂Y *
dY * =
(G , M )dG +
(G , M )dM = 3dG + 2dG = 30 × 10 = 40.
∂G
∂M