Exercices 6.0

Pré-calcul 30S
La trigonométrie
Exercice 6.1
Les angles en position standard quadrant 1
Partie A
1.
Décide si chaque diagramme représente un angle en position standard. Explique ton raisonnement.
a) –
c) –
b) –
d) -
Partie B
2.
3.
4.
5.
Le point P(5, 8) est sur le côté terminal d’un angle 𝜃 en position standard.
a) Trace l’angle.
b) Détermine le distance de l’origine au point P.
c) Détermine les mesures des trois ratios en position standard de 𝜃.
d) Détermine la mesure de 𝜃 au plus proche degré.
a) Utilise le diagramme pour déterminer les mesures des trois ratios trigonométriques de 60°.
b) Utilise le diagramme en a pour déterminer les valeurs exactes des trois ratios trigonométriques
de 30°.
c) Comment sont les valeurs des ratios trigonométriques de 30° et de 60° sont reliés? Comment
est-ce que tu peux prédire la relation en inspectant les triangles?
Pour chaque angle ci-dessous, détermine les coordonnées exactes du point sur le côté terminal de
l’angle qui est en position standard.
a) 30°
c) 60°
b) 45°
Un câble de support est ancrée 15 m à partir de la base d'un poteau et est fixée au poteau 10 m audessus du sol.
a) Détermine la longueur du câble au dixième plus proche d’un mètre.
b) Au plus proche degré, quel angle est-ce que le câble fait avec la terre?
Pré-calcul 30S
La trigonométrie
a) Détermine la distance de chaque point de l’origine.
i. A (4, 6)
ii. B (7, 3)
b) Chaque point de la partie a, est sur le côté terminal d’un angle 𝜃 en position standard. Pour
chaque angle, détermine cos 𝜃, sin 𝜃, tan 𝜃, et la mesure de 𝜃 au plus proche degré.
i. A (4, 6)
ii. B (7, 3)
Le point P(x, y) est sur le côté terminal de chaque angle ci-dessous en position standard. La
distance r entre P et l’origine est donnée. Détermine les coordonnées de P au dixième plus proche.
a. 20°; 𝑟 = 10
b. 80°; 𝑟 = 5
Chaque angle 𝜃 est en position standard en Quadrant 1
6.
7.
8.
a.
cos 𝜃 =
b.
sin 𝜃 =
c.
tan 𝜃 =
5
13
2
√5
3
√7
; quel est sin 𝜃 et tan 𝜃?
; quel est cos 𝜃 et tan 𝜃?
; quel est sin 𝜃 et cos 𝜃?
9.
Un observateur voit le feu fumé s'élevant d'un point qui se trouve dans une direction E80 ° N. Il
estime que la distance de son emplacement est à environ 20 km. Les pompiers doivent se rendre à
l'est puis vers le nord pour se rendre à l'incendie. Au kilomètre près, quel est la distance que les
pompiers doit voyagé dans chaque direction?
10. Détermine la pente du côté terminale pour chaque angle en position standard. Donne les réponses
au dixième près.
a. 10°
b. 50°
11. Utilise les ratios trigonométrique de 30°, 45°, et 60° pour vérifier que:
(sin 𝜃)2 + (cos 𝜃)2 = 1
12. Explique pourquoi chaque énoncé est vrai pour 0° < 𝜃 < 90°.
1
a. cos(90° − 𝜃) = sin 𝜃
c. tan(90° − 𝜃) =
tan 𝜃
b. sin(90° − 𝜃) = cos 𝜃
Partie C
13. Le point P est sur le côté terminal d’un angle en position standard dans le quadrant 1. La distance r
entre P et l’origine est donnée. Détermine les coordonnées possibles de P.
a. √29
b. √74
14. a) Utilise les ratios trigonométriques de 30°, 45°, et 60° pour vérifie que
sin 𝜃
tan 𝜃 =
cos 𝜃
sin 𝜃
b) Explique pourquoi tan 𝜃 =
lorsque 0° ≤ 𝜃 ≤ 90°. Qu’est-ce qui se passe quand 𝜃 = 90°?
cos 𝜃
Réponses
1. a) non
b) oui
3. a) cos 60° =
4. –
1
c) non
, sin 60° =
2
ii) √58
ii) cos 𝜃 =
7
√58
7. a) (9,4 ; 3,4)
b) cos 𝜃 =
10 a) 0,2
1
√5
2
, tan 60° = √3
b) i) cos 𝜃 =
, sin 𝜃 =
3
√58
, tan 𝜃 = 2
11. –
4
√52
3
, tan 𝜃 =
, sin 𝜃 =
7
2
, sin 𝜃 =
, cos 30° =
8
√89
√3
2
, tan 𝜃 =
c) sin 𝜃 =
12. –
3
6
√52
, tan 𝜃 =
3
2
12
13
, tan 𝜃 =
√7
, cos 𝜃
4
4
, 56°
12
5
9. est : 3 km; nord : 20 km
13. a) (5, 2) ou (2, 5)
b) (5, 7) ou (7, 5)
8
d) 58°
5
, tan 30° =
, 23°
8. a) sin 𝜃 =
b) (0,9 ; 4,9)
b) 1,2
b) sin 30° =
5
√89
1
b) a peu près 34°
5. a) 18,0 m
6. a) i) √52
√3
c) cos 𝜃 =
2. b) √89
d) non
1
√3
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La trigonométrie
Exercice 6.2
Les angles en position standard dans tous les quadrants
Partie A
1. Trace chaque angle en position standard.
a) 75°
c) 200°
b) 140°
d) 34°
2. a) Détermine l’angle de référence pour chaque angle en position standard.
i. 34°
iii. 241°
ii. 98°
iv. 290°
b) Pour chaque angle en partie a, détermine les autres angles entre 0° et 360° qui ont la
même angle de référence.
i. 34°
iii. 241°
ii. 98°
iv. 290°
3. Détermine le quadrant dans lequel chaque côté terminal de chaque angle en position
standard est situé.
a) 280°
c) 191°
b) 88°
d) 103°
Partie B
4. Le point P(-3, 4) est un point terminal d’un angle 𝜃 en position standard.
a) Trace l’angle angle.
b) Détermine la distance de l’origine au point P.
c) Écris les ratios trigonométriques primaires de 𝜃.
d) Détermine 𝜃 au plus proche degré.
5. Chaque angle 𝜃 est en position standard. Détermine dans quels quadrants le coté terminal
pourrait être situé.
2
a) cos 𝜃 = − 3
1
c) sin 𝜃 = 2
d) tan 𝜃 = 0,25
b) tan 𝜃 = −4
6. a) Choisis un angle entre 90° et 180°. Trace un diagramme pour montrer que cet angle
peut être formé en réfléchissant son angle de référence sur un axe.
b) Répète partie a pour un angle entre 180° et 270°.
c) Répète partie a pour un angle entre 270° et 360°
7. Détermine une coordonnée possible d’un point terminal pour chaque angle en position
standard.
a) 315°
b) 210°
c) 120°
8. Chaque point terminal ci-dessous représente un angle 𝜃 en position standard, Pour chaque
angle 𝜃, détermine :
i. cos 𝜃
ii. sin 𝜃
iii. tan 𝜃
b) A(-3, -4)
d) C(0, 2)
c) B(-6, 0)
e) D(2, -1)
Pré-calcul 30S
La trigonométrie
9. Un randonneur dessine une carte de sa destination, D, de son point de départ, O. Le
randonneur peut se déplacer seulement vers l’ouest, puis vers le nord. Au kilomètre près,
quelle distance doit-elle marcher pour se rendre à sa destination?
10. Explique pourquoi (sin 𝜃)2 + (cos 𝜃)2 = 1 pour n’importe de que angle 𝜃 en position
standard en quadrant 2.
11. Utilise les informations données pour trouver les réponses.
1
a) Angle 𝛼 est en quadrant 3, cos 𝜃 = 4 ; trouve tan 𝛼.
3
7
5
;
12
b) Angle 𝛼 est en quadrant 2, tan 𝜃 = ; trouve sin 𝛼.
c) Angle 𝛼 est en quadrant 4, sin 𝜃 =
trouve cos 𝛼.
12. Quelles valeurs de 𝜃 satisfait chaque équation pour 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°?
a) tan 𝜃 = 1
d) sin 𝜃 = 0
b) tan 𝜃 = 0
e) cos 𝜃 = 1
c) sin 𝜃 = 1
f) cos 𝜃 = 0
13. Quelles valeurs de 𝜃 satisfait chaque équation pour 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°?
a) tan 𝜃 = −1
b) sin 𝜃 = −1
c) cos 𝜃 = −1
14. Détermine quelles valeurs de 𝜃 satisfait chaque équation au plus proche degré pour 0° ≤
𝜃 ≤ 360°.
1
a) tan 𝜃 = 2
b) tan 𝜃 = −
2
3
c) cos 𝜃 = 0,6
d) sin 𝜃 = −0,25
15. a) Détermine sin 40°. Pour quels valeurs de 𝜃, lorsque 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°, est
cos 𝜃 = sin 40°?
b) Répète partie a pour le sinus de 4 angles différents entre 0° et 90°. Quels patrons voistu avec les angles?
16. a) Détermine tan 40°. Pour quels valeurs de 𝜃, lorsque 0° ≤ 𝜃 ≤ 360° est
1
tan 𝜃 = tan 40° ?
b) Répète partie a pour le tangente de 4 angles différents entre 0° et 90°. Quels patrons
vois-tu avec les angles?
17. Pour chaque équation ci-dessous :
i. Détermine les valeurs possibles de 𝜃, au plus proche degré pour 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°.
ii. Détermine les valeurs des deux autres ratios primaires trigonométriques pour
chaque angle 𝜃, à 3 places décimaux.
a) cos 𝜃 = 0,2
d) cos 𝜃 = −0,3
b) sin 𝜃 = 0,9
e) sin 𝜃 = −0,3
c) tan 𝜃 = 0,45
f) tan 𝜃 = −1,8
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la trigonométrie
Partie C
18. a) Pour quel valeurs de 𝜃, est tan 𝜃 non − définie lorsque 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°?
b) Y a t-il des valeurs de 𝜃 où 0° ≤ 𝜃 ≤ 360° pour lesquelles sin 𝜃 ou cos 𝜃 sont nondéfinies? Justifie tes réponses.
19. Au plus proche dégrée, détermine quels valeurs de 𝜃 satisfait chaque équation quand
0° ≤ 𝜃 ≤ 360°?
a) tan 𝜃 = − tan 60°
b) cos 𝜃 = sin 𝜃
Réponses
1. a) i) 34° ii) 82° iii) 61°
iv) 70°
b) i) 146°, 214°, 326° ii) 262°, 278° iii) 119°, 299°
2. a) 4 b) 1 c) 3 d) 2
3. b) 5
c) sin 𝜃 =
4
5
4. a) 2 ou 3
5. –
6. –
b) 2 ou 4
7. a) i) -0,6
ii) -0,8
c) i) 0
8. 14 km
9. a) √15
ii) 1
3
4
5
3
, cos 𝜃 = − , tan 𝜃 = −
c) 1 ou 2
iii)
4
3
d) 127°
d) 1 ou 3
iv) 233°
iii) non-définie
iv) 110°, 250°
iv) 90°
b) i) -1
d) i)
ii) 0
2
√5
iii) 0
ii) −
1
√5
iv) 180°
iii) −
1
2
iv) 333°
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la trigonométrie
Exercice 6.3
La loi de sinus
Partie A
1. a) Pour chaque triangle, écris l’équation de la loi de sinus que tu vas utiliser pour
déterminer la longueur de AC.
i. –
ii. –
b) Pour chaque triangle en partie a, détermine la longueur de AC au plus proche
centimètre.
2. a) Pour chaque triangle, écris l’équation de la loi de sinus que tu vas utiliser pour
détermine la mesure de ∠E.
i. –
ii. –
b) Pour chaque triangle en partie a, détermine la mesure de ∠E au plus proche degré.
Partie B
3. Pour chaque triangle, détermine la mesure de ∠J au plus proche degré.
a) –
b) –
4. Étant donnée les informations suivantes sur ∆ABC, détermine combien de triangles
peuvent être construit.
a) 𝑐 = 10 cm, 𝑎 = 12 cm, ∠ A = 20°
b) 𝑐 = 18 cm, 𝑎 = 12 cm, ∠ A = 20°
c) 𝑐 = 10 cm, 𝑎 = 12 cm, ∠ A = 50°
Pré-calcul 30S
la trigonométrie
5. a) Pour chaque triangle, détermine la longueur de MN au plus proche dixième d’un
centimètre.
i. –
ii. –
b) Supposons que tu es donné les mesures pour les triangles en partie a, mais pas les
diagrammes. Quel triangle représente un cas ambigus? Justifie ton choix.
6. Voici partie d’une preuve pour la loi de sinus de ∆UVW. Explique chaque étape.
Dans ∆VUT,
ℎ
sin U =
𝑤
ℎ = 𝑤 sin U
Dans ∆VWT,
ℎ
sin VWT =
𝑢
∠VWT = 180° − ∠UWV
sin VWT = sin(180° − ∠UWV)
= sin UWV , or sin W
Alors, sin W =
ℎ
𝑢
ℎ = 𝑢 sin W
𝑢 sin W = 𝑤 sin U
𝑢
𝑤
= sin W
sin U
7. Résous chaque triangle. Donne les mesures des angles au plus proche degré et les
mesures des cotés au dixième d’un centimètre proche.
a) –
b) Dans ∆KMN, ∠M = 70°, KN = 14,1cm; et MK = 14,5 cm
Pré-calcul 30S
la trigonométrie
8. Pour chaque triangle ci-dessous, peux-tu utilisé la loi de sinus pour déterminé la mesure
indiqué? Si oui, détermine la mesure au plus proche dixième d’une unité. Si non,
explique pourquoi.
a) –
c) –
b) –
d) –
9. Un arpenteur a construit ce diagramme d’un lot triangulaire.
a) Détermine les cotés non-connus.
b) Détermine la longueur total de clôture qu’il a besoin pour entouré le lot. Donne la
réponse au plus proche mètre.
10. a) Résous ∆PQR en dessinant une droite perpendiculaire de P à QR, ensuite utilise les
ratios trigonométriques primaires dans chaque triangle qui est formé. Donne les angles au
plus proche degré et les cotés au dixième d’un centimètre proche.
b) Utilise la loi de sinus pour résoudre ∆PQR.
c) Quel stratégie était plus efficace. Justifie ta réponse.
11. Un marin fait ce dessin sur sa carte de navigation.
Le navire S est combien de km plus proche au phare A
comparé au phare B?
12. Deux navires sont séparés par une distance de 1600 m. Chaque navire détecte un objet au
fond de l’océan. L’objet se situe en dessous d’une droite verticale qui passe par les deux
navires. L’angle de dépression de chaque navire jusqu’à l’objet sont = 40° et 28°.
a) Détermine la distance de l’objet à chaque navire au mètre plus proche.
b) Trouve la profondeur de l’objet au mètre plus proche.
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la trigonométrie
Partie C
13. Deux personnes utilisent des jumelles pour visionner l’haut d’un poteau. Les distances
jusqu’à l’hauteur du poteau sont 19,8 m à un angle d’élévation de 38,0°; et 14,4 m avec
un angle d’élévation de 57,8°. Détermine la distance entre les deux personnes au plus
proche dixième d’un mètre.
14. Deux angles d’un triangle mesure 60° et 45°. Le coté le plus longue est 10 cm plus
longue que le coté le plus courte. Détermine le périmètre du triangle au dixième d’un
centimètre proche.
15. Un randonneur prévoit un voyage en deux sections. Sa destination est à 15 km dans une
direction au nord 70 ° vers l’est à partir de sa position de départ. La première étape de ce
voyage est vers le nord 10 ° vers l’est. La deuxième étape du voyage est de 14 km. Quelle
est la du distance du première étape? Donnez la réponse au dixième près d'un kilomètre.
Réponses
1. a) i)
2. a) i)
𝑏
sin 30°
sin 𝐸
8
=
=
5
sin 80°
sin 70°
10
𝑏
ii)
ii)
=
10
sin 40°
sin 110°
sin 𝐸
sin 115°
7
=
10
b) i) 2,5 cm
b) i) 49°
ii) 6,8 cm
ii) 39°
3. a) 100° b) 107°
4. a) 1 b) 2 c) 0
5. a) i) 7,9 cm ii) 23,3 cm
6. –
7. a) ∠𝑇 = 46°, ∠𝑅 = 99°, 𝑆𝑇 = 32,8 cm
b) ∠𝑁 = 75°, ∠𝐾 = 35°, 𝑀𝑁 = 8,6 cm; ∠𝑁 = 105°, ∠𝐾 = 5°, 𝑀𝑁 = 1,3 cm
8. a) non b) non c) oui, 18,8 cm d) oui, 77,2°
9. a) 161 m, 359 m b) 790 m
10. a), b) ∠𝑃 = 58°, ∠𝑄 = 48°, 𝑅𝑄 = 5,8 cm
11. 5 km
12. a) 1109 m, 810 m ou 3613 m, 4947 m b) 521 m ou 2322 m
13. 23,3 m ou 7,9 m
14. 98,1 cm
15. 12,7 km ou 2,3 km
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la trigonométrie
Exercice 6.4
La loi de cosinus
Partie A
1. Quel stratégie utiliseras tu pour déterminé la mesure indiqué dans chaque triangle?
 Un des trois ratios primaires trigonométriques
 La loi de cosinus
 La loi de sinus

c) –
a) –
b) –
d) -
Partie B
2. Détermine chaque mesure en question 1. Donne les angles au degré plus proche et la
longueur de chaque coté au dixième d’une unité proche.
3. Détermine la mesure indiquée dans chaque triangle. Donne les angles au degré proche et
les cotés au dixième d’une unité.
a) –
c) –
b) –
d) –
Pré-calcul 30S
la trigonométrie
4. Une caméra de sécurité, C, a une rotation de 80°.
La caméra est située à 10 m et 8 m de deux portes
A et B, qui sont situés sur la même mur d’un édifice.
Quel est la distance entre A et B au mètre proche?
5. Résous chaque triangle. Donne les longueurs au dixième d’une unité proche et les
mesures des angles au degré près.
a) –
b) –
6. a) Utilise la loi de cosinus pour déterminer la longueur
DF au dixième d’un centimètre près.
b) Comment est le théorème de Pythagore un cas spéciale
du loi de cosinus?
7. Une personne vois un feu dan un direction 60°. À un point qui est 20 km vers l’est de la
personne, une garde de sécurité voit le feu à 320°.
a) Quelle est la distance du feu de chaque personne?
b) Des pompiers sont 5 km au nord de la première personne. Quelle est la distance entre le feu et
les pompiers? Répond au kilomètre près.
8. Dans ∆ABC, BC = 2AB, ∠B = 120°, et AC = 14 cm; détermine la longueur exacte de AB et de
BC.
9. Trois cercles on des rayons de 3 cm, 4 cm, et 5 cm. Chaque cercle touche les 2 deux autres
cercles sur l’extérieur. Détermine l’aire du triangle qui est formé en joignant le centre de chaque
cercle. Donne la réponse au dixième d’un centimètre carré près.
10. Voici la route d’un groupe qui fait l’orientation pendant une journée.
a) Quelle est la distance étroite entre le point de départ et le fin au dixième d’un kilomètre près?
b) Quel est l’angle entre le fin et le point de départ au degré près?
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la trigonométrie
Partie C
11. Les personnes sur deux bateaux différents voit un avion qui vol à 10 000 m. La personne A
observe que l’avion vol dans un direction de 48° à un angle d’élévation de 70°. La personne B
voit l’avion à 285° avec un angle d’élévation de 15°. L’angle entre la personne B et la personne
A est 96°. Quel est la distance entre les deux bateaux au dixième d’un kilomètre?
12. Les longueurs des cotés d’un parallélogramme sont 9 cm et 10 cm. La diagonale le plus courte
mesure 12 cm de long. Détermine la longueur du plus grand diagonale au dixième d’un
centimètre près.
Réponses
1. a) la loi de cosinus b) les ratios primaire trigonométriques
c) la loi de sinus d) la loi de sinus
2. a) 6,3 cm b) 7,9 cm c) 34° d) 14,8 cm
3. a) 24,0 m b) 42,3 m c) 108° d) 68°
4. 12 m
5. a) ∠𝐷 = 86°, ∠𝐵 = 30°𝑚 ∠𝐶 = 64° b) 𝑀𝑁 = 36,3 m; ∠𝑀 = 54°, ∠𝑁 = 23°
6. a) 13,0 cm
7. a) 10 km, 16 km b) 14 km
8. 2√7 cm et 4√7 cm
9. 26,8 cm2
10. a) 6,8 km b) 𝐸38°𝑁 ou 52°
11. 39,4 km
12. 14,8 cm