1 Exercices sur la théorie du consommateur, partie 2 (types de biens

1
Exercices sur la théorie du consommateur, partie 2 (types de biens et
courbe d’Engel)
PROBLÈME 4
Supposons qu’il y ait seulement deux biens, le bien 1 et le bien 2. On dénote la quantité
de bien 1 par x1 et le prix du bien 1 par p1 . De manière analogue, on dénote la quantité
de bien 2 par x2 et le prix du bien 2 par p2 . Considérons un consommateur dont le
revenu est m. Le consommateur choisit le panier de biens qui maximise son utilité sous
sa contrainte budgétaire.
Supposons que les préférences sont représentées par la fonction d’utilité suivante :
u(x1 , x2 ) = min(2x1 , 3x2 )
(1)
a) Trouvez les fonctions de demande pour les deux biens.
Solution :
La condition de budget s’écrit :
p 1 x1 + p 2 x2 = m
(2)
La condition de "tangence" (adaptée aux compléments parfaits) s’écrit :
2x1
=
3x2
⇐⇒
x2 =
(3)
2x1
3
(4)
En substituant cette dernière expression dans la condition de budget, on obtient :
p 1 x1 + p 2 x 2 = p 1 x1 + p 2
2p2 x1
2x1
= p 1 x1 +
3
3
=
⇐⇒
m
(5)
x1 p 1 +
2p2
3
!
3p1 + 2p2
3
⇐⇒
x1
⇐⇒
x1 =
=m
(6)
!
3m
3p1 + 2p2
=m
(7)
(8)
En substituant cette dernière expression dans la condition de "tangence" (4), on obtient :
2x1
x2
=
(9)
3
2
3m
⇐⇒ x2 =
(10)
3 3p1 + 2p2
2m
⇐⇒ x2 =
(11)
3p1 + 2p2
2
Bref, la fonction de demande pour le bien 1 s’écrit :
x1 (p1 , p2 , m) =
3m
3p1 + 2p2
(12)
Et la fonction de demande pour le bien 2 s’écrit :
x2 (p1 , p2 , m) =
2m
3p1 + 2p2
(13)
Suggestion :
Pour vous pratiquer, vous pouvez refaire cette sous-question en fixant p1 = 1, p2 = 3,
et m = 6 (ce que je vous ai demandé au numéro 10 du quiz !), ce qui vous donnera les
demandes suivantes :
x1 = 2
(14)
et
x2 =
4
= 1.33
3
(15)
b) Le bien 1 est-il un bien ordinaire ou un bien de Giffen ?
Solution :
La fonction x1 (p1 , p2 , m) = 3p13m
est décroissante en p1 , car si p1 augmente, x1 diminue.
+2p2
Donc, le bien 1 est un bien ordinaire.
c) Le bien 1 est-il un substitut ou un complément du bien 2 ?
Solution :
est décroissante en p2 , car si p2 augmente, x1 diminue.
La fonction x1 (p1 , p2 , m) = 3p13m
+2p2
Donc, le bien 1 est un complément du bien 2. (évidemment, ce sont des compléments
parfaits à cause de cette fonction d’utilité ! ! ! ! !)
d) Supposons que p1 = 1 et que p2 = 3. Écrivez les équations des courbes d’Engel pour
chacun des deux biens.
Solution :
La demande pour le bien 1 s’écrit :
x1 (p1 , p2 , m) =
En fixant p1 = 1 et p2 = 3, on obtient :
3m
3p1 + 2p2
(16)
3
x1 (1, 3, m) =
3m
3m
m
=
=
3(1) + 2(3)
9
3
(17)
La demande pour le bien 2 s’écrit :
x2 (p1 , p2 , m) =
2m
3p1 + 2p2
(18)
En fixant p1 = 1 et p2 = 3, on obtient :
x2 (1, 3, m) =
2m
2m
=
3(1) + 2(3)
9
(19)
L’équation de la courbe d’Engel pour le bien 1 s’écrit :
x1 (m) =
m
3
(20)
L’équation de la courbe d’Engel pour le bien 2 s’écrit :
x2 (m) =
2m
9
(21)
4
d) En représentant le revenu m sur l’axe horizontal et les quantités demandées sur l’axe
vertical (vous pourriez très bien inverser les deux axes, il n’y a rien de grave en autant
que vous soyez cohérents !), représentez graphiquement chacune de ces deux courbes,
en n’oubliant pas d’indiquer la pente de la courbe.
Solution :
La courbe d’Engel pour le bien 1 est une droite de pente
point (1, 31 ).
La courbe d’Engel pour le bien 2 est une droite de pente
le point (1, 92 ).
2
9
1
3
passant par l’origine et le
passant par l’origine et par
5
e) Le bien 1 et le bien 2 sont-ils des biens normaux ou inférieurs ?
Solution :
Les pentes des courbes d’Engel des deux biens étant toutes les deux positives, les deux
biens sont des biens normaux, car pour les deux biens, la quantité demandée croît si m
augmente.
PROBLÈME 5
Supposons qu’il y ait seulement deux biens, le bien 1 et le bien 2. On dénote le panier de
consommation d’un individu par (x1 , x2 ) où x1 représente la quantité consommée de bien
1 et x2 dénote la quantité consommée de bien 2. Les préférences d’un consommateur
pour ces deux biens sont représentées par la fonction d’utilité suivante : u(x1 , x2 ) =
(x1 + x2 )7 . Supposons que p1 < p2 . Trouvez les fonctions de demande pour les deux
biens.
Solution :
Soit la fonction d’utilité w(x1 , x2 ) = x1 +x2 . Alors, la fonction d’utilité u = (x1 +x2 )7 =
w7 est une transformation monotone croissante de la fonction d’utilité w. Donc, u représente les mêmes préférences que w et leurs T mS respectifs, ainsi que leurs fonctions de
demande respectives, sont identiques. Il suffit donc de trouver les fonctions de demande
induites par la fonction d’utilité w, qui représente des préférences pour des substituts
parfaits avec T mS = −1 comme nous avons vu au cours.
Étant donné que p1 < p2 et que T mS = −1, nous avons vu que le consommateur
consomme uniquement le bien le moins cher (attention, cette conclusion n’est pas nécessairement vraie pour d’autres fonctions d’utilité liées à des substituts parfaits !), i.e.
le bien 1.
Donc, la fonction de demande pour le bien 1 s’écrit :
x1 (p1 , p2 , m) =
m
p1
(22)
Et la fonction de demande pour le bien 2 s’écrit :
x2 (p1 , p2 , m) = 0
(23)