2 Plus grand commun diviseur

¾2¾
Plus grand commun
diviseur
PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS
u
Définition
• Soit deux nombres entiers naturels a et b non nuls. Un nombre entier naturel δ qui divise chacun de ces nombres est appelé diviseur commun de ces
nombres. L'ensemble des diviseurs communs aux nombres a et b est un ensemble fini, noté D(a, b).
• Le plus grand élément de l'ensemble D(a, b) est appelé plus grand commun diviseur de a et de b. On écrit en abrégé PGCD (a, b).
u
•
Algorithme d'Euclide
Si b divise a alors tout diviseur de b est aussi un diviseur de a et
PGCD (a, b) = b.
• Si r est le reste de la division de a par b, alors D(a, b) = D(b, r) donc
PGCD (a, b) = PGCD (b, r).
• Le PGCD de deux nombres est le dernier reste, non nul, de la succession
de divisions que l'on effectue dans l'algorithme d'EUCLIDE.
•
u
Les div iseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD.
Propriétés du PGCD de deux nombres
• Le PGCD δ de deux nombres entiers naturels a et b est une combinaison
linéaire entière de a et de b, c'est à dire qu'il existe deux entiers relatifs u et v
tels que : δ = a u + b v.
•
Si a, b et k sont trois entiers naturels non nuls, alors
PGCD (k a, k b) = k PGCD (a, b).
• Si d est un diviseur commun à a et b alors d est un diviseur de toute combinaison linéaire de a et b et, en particulier, un diviseur de leur PGCD.
16
u Chapitre
2
• Si a, b sont deux entiers naturels non nuls, et si λ est un entier relatif tel
que a + λ b soit un entier naturel non nul alors :
PGCD (a, b) = PGCD (a + λ b, b).
NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
u
Définition
• Deux entiers naturels, non nuls, sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD est égal à 1.
u
•
Propriétés
Tout entier naturel est premier avec 1.
• Si δ est le PGCD de a et b alors il existe deux entiers a’ et b’, premiers
entre eux, tels que a = δ a’ et b = δ b’.
u
Théorème de BACHET - BEZOUT.
• Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il
existe un couple d'entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1.
u
Théorème de GAUSS.
Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a
est premier avec b alors a divise c.
• Si un nombre entier naturel n est divisible par deux entiers naturels premiers entre eux il est divisible par leur produit.
• On ne change pas le PGCD de deux nombres en multipliant l'un d'entre
eux par un nombre premier avec l'autre.
•
a, b et c étant des entiers naturels non nuls, si PGCD (a, c) = 1 alors
PGCD (a, b) = PGCD (a, bc)
• Un nombre entier est premier avec un produit de deux facteurs entiers si,
et seulement si, il est premier avec chacun de ces facteurs.
• Si deux entiers naturels et b sont premiers entre eux alors (a + b) et ab le
sont aussi.
Plus grand commun diviseur t
17
x Enoncés des exercices y
n
Exercice 1 .............................................................................(10 min)
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, A et B les nombres définis
par : A = 3 a + 4 b et B = 4 a + 5 b.
1. Montrer que D (a, b) ⊂ D(A, B).
2. Exprimer a et b en fonction de A et B. En déduire que : D(A, B) ⊂ D(a, b).
3. Montrer que a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, A et B le
sont.
n
Exercice 2 .............................................................................(10 min)
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, A et B les nombres définis par :
A = 11 a + 2 b et B = 18 a + 5 b
1. Montrer que D (a, b) ⊂ D(A, B).
2. Exprimer a et b en fonction de A et de B. En déduire que tout diviseur
commun à A et B est un diviseur commun à 19 a et 19 b.
3. On suppose que a et b sont premiers entre eux.
Montrer que le PGCD de A et B divise 19.
nn
Exercice 3...........................................................................(10 min)
1. On sait que si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux alors ab
et a + b sont premiers entre eux.
En déduire que si les entiers naturels a et b sont premiers entre eux alors
2
2
a + b et a + b – ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que les
diviseurs de 3.
2. Plus généralement, soit n un entier naturel tel que a 2 + b 2 – n ab soit non
nul ; démontrer que si a et b sont premiers entre eux alors
2
2
a + b et a + b – n ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que
les diviseurs de n + 2.
nn
Exercice 4...........................................................................(15 min)
2
2
Déterminer les couples (a, b) d'entiers naturels tels que a > b, a – b = 405 et
PGCD(a, b) = 3.
18
nn
u Chapitre
2
Exercice 5.........................................................................(15 min))
Les entiers naturels non nuls a, b, c et d sont des termes consécutifs d'une suite
géométrique dont la raison q est un nombre entier premier avec a.
2
De plus a, b, d vérifient la relation 10 a = d – b.
1. Démontrer que : q (q +1) (q –1) = 10 a.
2. Déterminer les valeurs possibles de q. En déduire les valeurs correspondantes de a, b, c et d.
nn
Exercice 6.........................................................................(15 min))
Soit n un entier naturel non nul et a, b les entiers naturels définis par :
2
2
a = 5 n + 7 et b = n + 2.
1. Démontrer que tout diviseur commun à a et b est un diviseur de 3.
2. Démontrer que PGCD (a, b) = 3 si, et seulement si, n 2 ≡ 1 [3].
3. En déduire, suivant les valeurs de n, le PGCD de a et b.
nn
Exercice 7.......................................................................... (15 min)
Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, les entiers naturels a et b
sont premiers entre eux dans chacun des cas suivants :
1. a = 3 n + 2 et b = 2 n +1
2. a = n 2 et b = n +1
3. a = 2 n +1 et b = 2 n (n +1).
nn
Exercice 8.......................................................................... (15 min)
1. Soit k un entier naturel non nul. On pose : a = 2 k –1 et b = 2 k +1.
Démontrer que, pour tout k, les entiers a et b sont premiers entre eux.
2. Soit n un entier naturel non nul et A, B les entiers naturels définis par :
2
2
A = n + n et B = n – n.
Déterminer, suivant la parité de n, le PGCD de A et B.
nn
Exercice 9.......................................................................... (15 min)
4
2
Soit n un entier naturel. On pose A = n + n +1.
1. En remarquant que : A = n 4 + 2n 2 +1 – n 2 , montrer que A peut s'écrire
comme produit de deux facteurs du second degré.
2. On pose a = n 2 + n +1 et b = n 2 – n +1.
a) Démontrer que a et b sont impairs.
b) Soit d un diviseur commun à a et à b . Démontrer que d divise 2n et
2
2(n +1).
2
c) Montrer que n et n +1 sont premiers entre eux.
d) En déduire que a et b sont premiers entre eux.
Plus grand commun diviseur t
nn
19
Exercice 10........................................................................ (15 min)
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
1. On pose A = n –1 et B = n 2 – 3 n + 6.
a) Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que pour tout n on ait :
2
n – 3 n + 6 = (an + b)(n –1) + 4.
b) En déduire que PGCD (A, B) = PGCD (A, 4).
2. Donner suivant les valeurs de n, le PGCD de A et 4.
3. Pour quelles valeurs de n le nombre Fn défini par :
Fn =
nn
(n 2 − 3n + 6)(2n − 1)
est-il entier ?
n −1
Exercice 11........................................................................ (15 min)
Soit n un entier naturel, non nul.
1. On pose A = n 2 + 3 et B = n + 2.
a) Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que pour tout n on ait :
2
n + 3 = (n + 2)(an + b) + 7.
2
b) En déduire que : PGCD (n +3, n – 2) = PGCD (n +2, 7).
2. Pour quelles valeurs de n la fraction
3. Déterminer n de façon que
nn
n2 + 3
est-elle irréductible ?
n+2
n2 + 3
soit un entier naturel.
n+2
Exercice 12........................................................................ (15 min)
1. Soit n un entier naturel non nul.
n
a) Calculer pour n ∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}, le reste de la division de 3 par 7.
n+6
n
b) Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n, 3 ≡ 3 [7].
c) De manière générale, comment peut-on calculer, pour tout entier natun
rel n, le reste de la division de 3 par 7 ?
2003
d) En déduire le reste de la division de 3
par 7.
2
n–1
2. Soit U n = 1 + 3 + 3 + … + 3 où n est un entier supérieur à 2.
n
a) Montrer que si U n est divisible par 7 , alors 3 ≡ 1 [7].
n
b) Réciproquement, montrer que si 3 ≡ 1 [7] alors U n ≡ 0 [7].
c) En déduire les valeurs de n telles que U n soit divisible par 7.
nn
Exercice 13........................................................................ (15 min)
Soit (E) l'équation : 26 x –17 y = 1 où x et y sont deux entiers naturels.
1. En utilisant l'algorithme d'Euclide déterminer une solution particulière de
l'équation (E).
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).
20
nn
u Chapitre
2
Exercice 14........................................................................ (15 min)
Soit n un entier naturel non nul et a, b les entiers naturels définis par :
a = 2 n + 3 et b = 5 n – 2.
1. Ecrire une relation indépendante de n entre a et b. En déduire que, si a et b
ne sont pas premiers entre eux, leur PGCD est 19.
2. Etudier l'ensemble des entiers naturels n tels que le PGCD (a, b) = 19.
nnn
Exercice 15 ...................................................................... (20 min)
1. Soit n un entier naturel non nul et A, B les entiers naturels définis par :
A = 11 n + 3 et B = 13 n –1 .
Démontrer que tout diviseur de A et B est un diviseur de 50.
2. Soit (E1 ) l'équation 50 x –11 y = 1 où x et y sont deux entiers naturels non
nuls. En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution partic ulière de (E1 ).
3. Soit (E) l'équation 50 x –11 y = 3 où x et y sont deux entiers naturels non
nuls.
a) En utilisant les résultats précédents résoudre (E).
b) En déduire les valeurs de n pour lesquelles le PGCD de A et B est 50.
4. Pour quelles valeurs de n le PGCD de A et B est-il égal à 25 ?
nnn
Exercice 16...................................................................... (20 min)
1. Soit x et y deux entiers relatifs et (E) l'équation : 324 x – 245 y = 7.
a) En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution partic ulière (α, β ) de (E).
b) En déduire l'ensemble des solutions de (E).
2. Montrer que pour tout couple (x, y) solution de (E) nous avons : x ≡ 0 [7].
3. Soit d le PGCD des éléments d'un couple (x, y) solution de (E).
a) Démontrer que les seules valeurs possibles de d sont 1 et 7.
b) En remarquant que d prend la valeur 7, si, et seulement si, y est div isible par 7, déterminer les solutions de (E) telles que x et y soient premiers entre eux.
nnn
Exercice 17...................................................................... (20 min)
Déterminer les entiers naturels n dont le reste dans la division par 9 est 7 et
dont le reste dans la division par 7 est 1.
Plus grand commun diviseur t
nnn
21
Exercice 18...................................................................... (20 min)
On se propose de déterminer l'ensemble des entiers relatifs n solutions
 n ≡ 1[5]
 n ≡ 5[7]
du système (S) : 
 4 n + 1 ≡ 0[5]
 4 n + 1 ≡ 0[7]
1. Démontrer que si n est solution de (S) alors 
2. En déduire que pour tout entier n, solution de (S), il existe un entier k tel
que : 35 k – 4 n = 1.
3. Déterminer les solutions de (S).
nnn
Exercice 19...................................................................... (30 min)
x et y sont deux entiers naturels tels que x > y.
On désigne par a et b les entiers naturels définis par : a = x + y et b = x – y.
On note : δ = PGCD (x, y) et ? = PGCD (a, b).
1. Montrer que δ divise a et b. En déduire que δ divise ? .
2. Montrer que ∆ divise le PGCD de a + b et de a – b.
En déduire que ∆ divise 2 δ.
3. Montrer que δ = ∆ ou δ = 2 ∆.
4. On suppose de plus que x et y sont premiers entre eux.
a) Montrer que ∆ est soit égal à 1, soit égal à 2.
b) Conclure dans le cas où x et y sont impairs.
c) Conclure dans le cas où x et y ne sont pas de même parité.
22
u Chapitre
2
¾CONTRÔLE¾
Exercice 1 (6 min, 2 points)
Démontrer que, pour tout entier naturel n, les nombres 2 n +1 et 9 n + 4 sont
premiers entre eux.
Exercice 2 (6 min, 2 points)
Déterminer les entiers naturels n tels que n + 2 divise 5 n +19.
Exercice 3 (12 min, 4 points)
Résoudre l'équation (E) : 91 x +10 y = 412 où x et y deux entiers relatifs.
Exercice 4 (12 min, 4 points)
Déterminer les couples (a, b) d'entiers naturels tels que :
2
2
a > b, a – b = 2004 et PGCD(a, b) = 2.
Exercice 5 (24 min, 8 points)
Soit n un entier naturel non nul.
3
2
2
On pose : a = n + 3 n + 2 n – 4 et b = n + 2 n –1.
1. Déterminer deux entiers naturels α et β tels que pour tout n, on ait :
3
2
2
n + 3 n + 2 n – 4 = (n + 2 n –1) (α n + β ) + n – 3
2. En déduire, suivant les valeurs de n, le reste r de la division de a par b.
3. On suppose n = 3. Démontrer que PGCD (a, b) = PGCD (n – 3, 14).
4. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles PGCD (a, b) = 7.
Plus grand commun diviseur t
z
23
Corrigé des exercices {
Corrigé 1.................................................................................................
1. Tout diviseur de a et b divise toute combinaison linéaire de ces deux nom-
bres donc en particulier A et B. Alors D(a, b) ⊂ D(A, B).
2. Nous pouvons écrire a = 4 B – 5 A et b = 4 A – 3 B donc tout diviseur de A
et B divise a et b. Alors D(A, B) ⊂ D(a, b).
3. En conclusion D(A, B) = D(a, b) donc PGCD (A, B) = PGCD (a, b).
Alors a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, A et B le sont.
Corrigé 2.................................................................................................
1. Tout diviseur de a et b divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres donc en particulier A et B alors D(a, b) ⊂ D(A, B).
2. Nous pouvons écrire : 19 a = 5 A – 2 B et 19 b = –18 A +11 B donc tout
diviseur de A et B divise 19 a et 19 b. Alors D(A, B) ⊂ D(19 a, 19 b).
3. Des questions précédentes nous déduisons que :
D(a, b) ⊂ D(A, B) ⊂ D(19 a, 19 b).
Alors PGCD (A, B) divise PGCD (19 a, 19 b) soit 19 PGCD (a, b).
Si a et b sont premiers entre eux alors PGCD (a, b) = 1 et PGCD (A, B)
divise 19.
Corrigé 3.................................................................................................
1. Quels que soient les entiers naturels a et b nous avons la relation :
2
2
2
a + b – ab = (a + b) – 3 ab.
2
2
Tout entier naturel d, diviseur commun de a + b – ab et a + b, divise
donc 3 ab.
Si les entiers naturels a et b sont premiers entre eux il en est de même de
ab et a + b alors d, diviseur commun de a + b et 3 ab, divise 3.
2. Plus généralement, quels que soient les entiers naturels a et b nous avons
2
2
2
la relation : a + b – n ab = (a + b) – (n + 2) ab.
2
2
Tout entier naturel δ, diviseur commun de a + b – n ab et a + b, divise
donc (n + 2) ab. Le même raisonnement que dans la première question
permet d'affirmer que si a et b sont premiers entre eux alors
2
2
a + b et a + b – n ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que
les diviseurs de n + 2.
24
u Chapitre
2
Corrigé 4.................................................................................................
Si PGCD (a, b) = 3 alors il existe deux entiers naturels a' et b' premiers entre
eux tels que a = 3a' et b = 3b'. Alors a' et b' vérifient l'équation :
2
2
9(a' – b ' ) = 405 soit encore : (a' + b')(a' – b') = 45.
Les diviseurs de 45 sont 1, 3, 5, 9, 15 et 45. De plus a' + b' et a' – b' sont de
même parité avec a' + b' = a' – b' > 0. Les couples (a', b') sont donc solutions
a '+ b ' = 45
 a '+ b ' = 15
a ' = b ' = 9
de l'un des systèmes : 
ou 
ou 
avec a' et b'
 a '− b ' = 1
 a '− b ' = 3
 a '− b ' = 5
premiers entre eux.
Les couples solutions de ces systèmes sont respectivement (23, 22), (9, 6) et
(7, 2) mais (9, 6) est à exclure.
En conclusion, les couples solutions du problème posé sont (69, 66) et (21, 6).
Corrigé 5.................................................................................................
1. Les nombres a, b, c et d vérifient simultanément les relations : b = a q,
2
3
2
c = a q , d = a q et 10 a = d – b.
2
3
2
3
On en déduit que : 10 a = a q – a q, soit 10 a = a(q – q) ou encore puisque a est non nul : q (q +1) (q –1) = 10 a.
2. Le nombre q divise 10 a. Or a et q sont premiers entre eux, donc, d'après le
théorème de Gauss, q divise 10.
Les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5 et 10.
u
Si q = 1 alors q –1 = 0 d'où a = 0. Or a > 0 donc ce cas est exclu.
u
Si q = 2 alors 10 a = 6. Or a est un entier donc ceci est impossible .
u
Si q = 5 alors 10 a = 120 soit a = 12 ; cette valeur est acceptable car
5 et 12 sont premiers entre eux.
u
Si q = 10 alors 10 a = 990, soit a = 99 et cette valeur convient.
En conclusion, le problème admet deux solutions : (12, 60, 300, 1500) et
(99, 990, 9900, 99000).
Corrigé 6.................................................................................................
1. Nous pouvons écrire : 5b – a = 3. Tout diviseur commun de a et b divise
5b – a donc divise 3.
2. Alors PGCD (a, b) divise 3. Les seuls diviseurs de 3 sont 1 et 3 donc
PGCD (a, b) = 1 ou PGCD (a, b) = 3. Alors :
2
2
PGCD (a, b) = 3 ⇔ 5 n + 7 ≡ 0 [3] et n + 2 ≡ 0 [3]
2
2
PGCD (a, b) = 3 ⇔ – n +1 ≡ 0 [3] et n –1 ≡ 0 [3]
2
PGCD (a, b) = 3 ⇔ n ≡ 1 [3].
2
3. Si n ≡ 0 [3] alors n ≡ 0 [3] et PGCD (a, b) = 1
2
Si n ≡ 1 [3] alors n ≡ 1 [3] et PGCD (a, b) = 3
2
Si n ≡ 2 [3] alors n ≡ 1 [3] et PGCD (a, b) = 3.
En conclusion, si n est divisible par 3 alors PGCD (a, b) = 1.
Sinon PGCD (a, b) = 3.
Plus grand commun diviseur t
25
Corrigé 7.................................................................................................
1. Nous avons immédiatement : (3 n + 2) – (2 n +1) = 1 donc d'après le théorème de Bezout les entiers naturels a et b sont premiers entre eux.
2. Nous pouvons écrire : n 2 = (n –1)(n +1) +1 ou encore :
2
2
1 × n – (n –1)(n +1) = 1, donc les entiers naturels a = n et et b = n +1
sont premiers entre eux.
3. Nous pouvons écrire : 4(n 2 + n) = (2 n +1)2 –1 ou encore :
(2 n +1) × (2 n +1) – 2 [2n(n +1)] = 1, donc les entiers naturels
a = 2n(n +1) et b = 2 n +1 sont premiers entre eux.
Corrigé 8.................................................................................................
1. Nous pouvons écrire : (2 k +1) – (2 k –1) = 2 donc tout diviseur commun à
2 k +1 et 2 k –1 est un diviseur de 2.
Alors PGCD (2k –1, 2k +1) = PGCD (2k +1, 2). Or, quel que soit k,
2k +1 est impair et PGCD (2k +1, 2) = 1. Alors PGCD (2k –1, 2k +1) = 1
et les entiers a et b sont premiers entre eux.
2. A = n(n +1) et B = n(n –1) donc PGCD (A, B) = n ×PGCD (n –1, n +1).
Or tout diviseur de n –1 et n +1 divise la différence de ces deux nombres
donc divise 2. Alors PGCD (n –1, n +1) = 1 ou PGCD (n –1, n +1) = 2.
u
Si n est pair, posons n = 2 k avec k ∈ N.
Alors PGCD (n –1, n +1) = PGCD (2 k –1, 2 k +1) = 1 donc :
PGCD (A, B) = n.
u
Si n est impair, posons n = 2 k +1 avec k ∈ N. Alors :
PGCD (n –1, n +1) = PGCD (2 k, 2 k + 2) = 2 × PGCD (k, k +1).
Or nous savons que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux donc
PGCD (n –1, n +1) = 2 et PGCD (A, B) = 2 n.
Corrigé 9.................................................................................................
4
2
Soit n un entier naturel et A = n + n +1.
1. Remarquons que : A = (n 2 +1) 2 – n 2 donc A = (n 2 + n +1) (n 2 – n +1)
2. On pose a = n 2 + n +1 et b = n 2 – n +1.
a) Nous avons : a = n (n +1) +1 et b = n (n –1) +1. Or le produit de deux
entiers consécutifs est pair donc a et b sont impairs.
b) Soit d un diviseur commun à a et à b . Si d divise a et b il divise leur
2
somme 2 (n +1) et leur différence 2n.
2
c) Quel que soit l'entier naturel n,: 1 × (n +1) – n × (n) = 1 donc, d'après
2
le théorème de Bezout, les entiers naturels n +1 et n sont premiers entre eux.
d) PGCD (a, b) divise PGCD(a + b, a – b). Nous avons :
2
PGCD (a + b, a – b) = 2 × PGCD (n +1, n) = 2. Donc PGCD (a, b) divise 2. Or a et b sont impairs donc PGCD (a, b) = 1 et a et b sont premiers entre eux.
26
u Chapitre
2
Corrigé 10...............................................................................................
n est un entier naturel strictement supérieur à 1.
1. A et B sont définis respectivement par : A = n –1 et B = n 2 – 3 n + 6.
2
a) Pour tout entier n nous avons : n – 3 n + 6 = (n – 2)(n –1) + 4 ce qui
s'écrit encore B – (n – 2) A = 4.
b) De la relation précédente on déduit que D(A, B) = D(A, 4).
Alors PGCD (A, B) = PGCD (n –1, 4).
2. Les valeurs possibles de PGCD (A, B) sont donc 1, 2 ou 4.
u Si n ≡ 0 [2], alors PGCD (A, B) = 1.
u Si n ≡ 1 [4], alors PGCD (A, B) = 4.
u Si n ≡ 3 [4], alors PGCD (A, B) = 2.
3. Pour tout entier n strictement supérieur à 1, nous avons la relation :
1 × (2 n –1) – 2 × (n –1) = 1, donc d'après le théorème de Bezout, les entiers naturels 2 n –1 et n –1 sont premiers entre eux.
2
Fn est entier si, et seulement si, n –1 divise n – 3 n + 6 ce qui implique :
2
PGCD (n – 3 n + 6, n –1) = n –1.
u Si n = 2 alors PGCD (A, B) = 1 et F2 = 12.
u Si n = 3 alors PGCD (A, B) = 2 et F3 = 15.
u Si n = 5 alors PGCD (A, B) = 2 et F5 = 36.
Corrigé 11...............................................................................................
1. Soit n un entier naturel, non nul, A = n 2 + 3 et B = n + 2.
2
a) Pour tout entier naturel n, n + 3 = (n + 2)(n – 2) + 7.
2
b) On en déduit que : D(n + 3, n + 2) = D (n + 2, 7) et, par suite,
2
PGCD (n + 3, n + 2) = PGCD (n + 2, 7).
n2 + 3
2
est irréductible si, et seulement si, n + 3 et n – 2 sont
n+2
premiers entre eux. Ceci est réalisé si leur PGCD est égal à 1, soit encore,
si le PGCD de n + 2 et 7 est égal à 1.
Les seuls entiers naturels diviseurs de 7 étant 1 et 7, le PGCD de n + 2 et 7
est égal à 1 si, et seulement si, 7 ne divise pas n + 2.
La fraction proposée est donc irréductible si, et seulement si, n + 2 n'est
pas multiple de 7 donc si n n'est pas congru à 5 modulo 7.
2. La fraction
n2 + 3
est un entier naturel si, et seulement si, n + 2 est un
n+2
2
diviseur de n + 3. Ceci est réalisé si, et seulement si,
2
PGCD (n + 3, n + 2) = PGCD (n + 2, 7) = n + 2.
Le seul entier naturel n, tel que n + 2 divise 7 est le nombre 5. Alors, dans
3. Le nombre
ce cas, nous avons :
n2 + 3
= 4.
n+2
Plus grand commun diviseur t
27
Corrigé 12...............................................................................................
1. Soit n un entier naturel non nul.
0
1
2
a) De proche en proche nous avons : 3 ≡ 1 [7], 3 ≡ 3 [7], 3 ≡ 2 [7],
3
4
5
3 ≡ 6 [7], 3 ≡ 4 [7], 3 ≡ 5 [7].
3
6
b) Nous pouvons écrire 3 ≡ –1 [7] donc 3 ≡ 1 [7] et, par suite, quel que
n+6
n
soit l'entier naturel n, 3 ≡ 3 [7].
c) De manière générale, tout entier naturel n s'écrit n = 6 q + r où r appartient à {0, 1, 2, 3, 4, 5} (division euclidienne de n par 6).
n
r
Alors quel que soit l'entier naturel n, 3 ≡ 3 [7].
2003
5
2003
d) 2003 = (6 × 333) + 5 donc : 3
≡ 3 soit 3
≡ 5 [7].
2. Soit Un = 1 + 3 + 32 + … + 3 n–1 où n est un entier supérieur à 2.
a) Un est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme
n
1 et de raison 3 donc : 2U n = 3 –1.
Si Un est divisible par 7 il en est de même de 2Un donc nous avons
n
3 ≡ 1 [7].
n
b) Réciproquement si 3 ≡ 1 [7] alors 2Un ≡ 0 [7]. Or 7 est premier avec
2 donc d'après le théorème de Gauss, 7 divise Un .
n
c) Un est divisible par 7 si, et seulement si, 3 ≡ 1 [7] donc d'après la première question si, et seulement si, n est multiple de 6.
Corrigé 13...............................................................................................
1. Posons a = 26 et b = 17 puis appliquons l'algorithme d'Euclide.
Les divisions successives permettent d'écrire les équivalences suivantes :
26 = 17 × 1 + 9 ⇔ a – b = 9
17 = 9 × 1 + 8
⇔ 2b–a=8
9 = 8 × 1 +1
⇔ 2 a – 3b = 1
Finalement 26(2) –17(3) = 1 donc une solution particulière de l'équation
proposée est (2, 3).
 26 x − 17 y = 1
2. Nous avons donc : 
d'où par soustraction membre à
 26(2) − 17(3) = 1
membre nous déduisons 26 (x – 2) = 17 (y – 3).
u Or 17 divise 26 (x – 2) et 17 est premier avec 26 donc, d'après le théorème de Gauss, 17 divise x – 2. Il existe donc un entier relatif k tel que
x – 2 = 17 k ou encore x = 17 k + 2.
u De même 26 divise 17 (y – 3) et 26 est premier avec 17 donc, d'après le
théorème de Gauss, 26 divise y – 3. Il existe un entier relatif k' tel que
y – 3 = 26 k' ou encore y = 26 k' + 3.
28
u Chapitre
2
u Les couples (17 k
+ 2, 26 k' + 3) sont solutions de (E) si, et seulement si,
26 (17 k + 2) –17 (26 k' + 3) = 1 donc k = k'. De plus, puisque x et y sont
deux entiers naturels nous avons k ∈ N.
u En conclusion, l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples (17 k + 2, 26 k + 3) où k ∈ N.
Corrigé 14...............................................................................................
1. Nous pouvons écrire : 5 a – 2 b = 19. Tout diviseur de a et b divise 5 a – 2
b donc divise 19. Les seuls diviseurs de 19 sont 1 et 19.
Alors PGCD (a, b) = 1 ou PGCD (a, b) = 19. Si A et B ne sont pas premiers entre eux, leur PGCD est donc19.
2. Si PGCD (a, b) = 19 alors il existe deux entiers naturels a' et b' premiers
entre eux tels que a = 19 a' et b = 19 b'. Alors a' et b' vérifient l'équation :
5 a' – 2 b' = 1, notée (E)
u Le couple (3, 7) est solution de (E) et, par suite : 5 (a' – 3) = 2 (b' – 7).
u Or 2 divise 5 (a' – 3) et 2 est premier avec 5 donc, d'après le théorème
de Gauss, 2 divise a' – 3. Il existe donc un entier relatif k tel que :
a' – 3 = 2 k ou encore a' = 2 k + 3.
u De même il existe un entier relatif k' tel que : b' – 7 = 5 k' ou encore
b' = 5 k' + 7.
u Les couples (2 k + 3, 5 k' + 7) sont solutions de (E) si, et seulement si
5 (2 k + 3) – 2 (5 k' + 7) = 1 donc k = k'. De plus, puisque a' et b' sont deux
entiers naturels nous avons k = –1.
 a = 19 a '
Alors 
équivaut à
 b = 19b '
 2 n + 3 = 19(2 k + 3)

 5n − 2 = 19(5 k + 7)
d'où n = 19 k + 27 avec k = –1.
En conclusion, les entiers naturels n tels que PGCD (a, b) = 19 sont de la
forme 19 k + 27 avec k = –1.
Corrigé 15...............................................................................................
1. Nous pouvons écrire : 13 A –11 B = 50. Tout diviseur commun de A et B
divise 13 A –11 B donc divise 50.
2. Posons a = 50 et b = 11 puis appliquons l'algorithme d'Euclide. Les divisions successives permettent d'écrire les équivalences suivantes :
50 = 11 × 4 + 6 ⇔ a – 4 b = 6
11 = 6 × 1 + 5
⇔ 5b–a=5
6 = 5× 1 +1
⇔ 2 a – 9b = 1
Finalement 50(2) –11(9) = 1. Une solution particulière de (E1 ) est (2, 9).
3. De la question précédente il résulte immédiatement que le couple (6, 27)
est solution de (E) que nous pouvons écrire : 50 (x – 6) = 11 (y – 27).
Plus grand commun diviseur t
29
a) Or 11 divise 50 (x – 6) et 11 est premier avec 50 donc, d'après le théorème de Gauss, 11 divise x – 6. Il existe donc un entier relatif k tel que
x – 6 = 11 k ou encore x = 11 k + 6.
De même il existe un entier relatif k' tel que : y – 27 = 50 k' ou encore
y = 50 k' + 27.
Les couples (11 k + 6, 50 k' + 27) sont solutions de (E) si, et seulement si : 50 (11 k + 6) –11 (50 k' + 27) = 3 donc k = k'.
En conclusion, l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples (11 k + 6, 50 k + 27) où k ∈ N
b) Si PGCD (A, B) = 50 alors 50 divise 11 n + 3 donc il existe un entier
naturel α tel que : 11n + 3 = 50α ou encore 50α –11 n = 3. Le couple
(α, n) est solution de (E) et n = 50 k + 27 où k ∈ N.
 A = 11(50k + 27) + 3
 A = 50(11k + 6)
Nous avons alors : 
ou encore 
 B = 13(50 k + 27) − 1
 B = 50(13k + 7)
ce qui montre que 50 est bien le PGCD de A et B.
En conclusion, PGCD (A, B) = 50 si, et seulement si, n ≡ 27 [50].
4. Si PGCD (A, B) = 25 alors 25 divise 11 n + 3 donc il existe un entier naturel β tel que : 11n + 3 = 25β ou encore 25β –11n = 3. Une solution particulière de cette équation est le couple (1, 2) et nous pouvons donc l'écrire
25(β –1) = 11(n – 2). En utilisant, comme dans la question précédente, le
théorème de Gauss, il existe un entier naturel k' tel que n = 25k' + 2.
Nous obtenons alors :
 A = 11(25k '+ 2) + 3
 A = 25(11k '+ 1)
ou encore 
ce qui montre que :

 B = 13(25 k '+ 2) − 1
 B = 25(13k '+ 1)
— si k' est pair alors PGCD (A, B) = 25
— si k' est impair alors PGCD (A, B) = 50
En conclusion, PGCD (A, B) = 25 si, et seulement si, n = 50p + 2 où p ∈ N
ou, ce qui est équivalent, n ≡ 2 [50].
Corrigé 16...............................................................................................
1. Soit (E) l'équation : 324 x – 245 y = 7.
a) Posons a = 324 et b = 245 puis appliquons l'algorithme d'Euclide. Les
divisions successives permettent d'écrire les équivalences suivantes :
324 = 245 × 1 + 79 ⇔ a – b = 79
245 = 79 × 3 + 8
⇔ 4b – 3 a = 8
79 = 8 × 9 + 7
⇔ 28 a – 37b = 7
8 = 7 × 1 +1
⇔ 41b – 31a = 1
Alors 324(– 31) – 245(– 41) = 1.
Une solution particulière de l'équation (E) est (– 217, – 287).
b) (E) s'écrit alors 324(x + 217) = 245 (y + 287). Or PGCD(245, 324) = 1
 x = 245k − 217
donc les solutions de (E) sont : 
où k ∈ N.
 y = 324 k − 287
30
u Chapitre
2
2. Remarquons que : 324 = (7 × 46) + 2 donc 324 ≡ 2 [7] et 245 = 7 × 35
donc 245 ≡ 0 [7]. Pour tout couple (x, y) solution de (E) nous avons :
324 x – 245 y = 7 donc 2 x ≡ 0 [7]. Alors 7 divise 2 x et 7 est premier avec
2 donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise x. Autrement dit : x ≡ 0 [7].
3. Soit (x, y) un couple solution de l'équation (E).
a) Tout diviseur de x et y divise 324 x – 245 y donc divise 7. Les seuls
diviseurs de 7 sont 1 et 7 donc PGCD (x, y) = 1 ou PGCD (x, y) = 7.
b) Nous savons que 7 divise x donc PGCD (x, y) = 7 si, et seulement si, 7
divise y. Or 324 ≡ 2 [7] et 287 ≡ 0 [7] donc y ≡ 2 k [7].
7 divise 2k et 7 est premier avec 2 donc, d'après le théorème de Gauss,
7 divise k. Alors : PGCD (x, y) = 7 si, et seulement si, k ≡ 0 [7].
En conclusion, PGCD (x, y) = 1 si, et seulement si, k n'est pas un multiple de 7.
Corrigé 17...............................................................................................
L'entier naturel n a pour reste 7 dans la division par 9 si, et seulement si, il
existe un entier naturel α tel que n = 9 α + 7.
De même, l'entier naturel n a pour reste 1 dans la division par 7 si, et seulement si, il existe un entier naturel β tel que n = 7 β +1.
Les deux conditions sont simultanément vérifiées si, et seulement si, l'équation
7 β +1 = 9 α + 7 ou encore 7 β – 9 α = 6 notée (E) est vérifiée.
Le couple (4, 3) est solution de l'équation 7β – 9α = 1 alors le couple (24, 18)
est solution de l'équation (E) et nous avons : 7(β – 24) = 9 (α –18).
 α = 7 k + 18
Or PGCD (7, 9) = 1 donc les solutions de (E) sont : 
où k ∈ N.
 β = 9 k + 24
Alors n = 7(9 k + 24) +1 donc n = 63 k +169 où k ∈ N.
Corrigé 18...............................................................................................
1. Si n ≡ 1 [5] alors 4 n ≡ –1 [5] et 4 n +1 ≡ 0 [5]. De même, si n ≡ 5 [7] alors
4 n ≡ 20 [7] donc 4 n +1 ≡ 0 [7].
2. Si n est solution de (S) le nombre 4 n +1 est simultanément divisible par 5
et 7. Or 5 et 7 sont premiers entre eux donc 4 n +1 est divis ible par 35.
Par suite il existe un entier relatif k tel que : 35 k – 4 n = 1.
3. Notons (E) l'équation 35 k – 4 n = 1
a) Le couple (–1, – 9) est solution de (E) Alors nous avons :
35 k − 4 n = 1

d'où par soustraction membre à membre :

 35(−1) − 4( −9) = 1
35 (k +1) = 4 (n + 9). Or 35 est premier avec 4 donc n + 9 est divisible par
35 (théorème de Gauss). Par suite n ≡ – 9 [35].
Plus grand commun diviseur t
31
b) Réciproquement, si n ≡ – 9 [35] alors il existe un entier p tel que :
n = 35 p – 9. Or 35 = 7 × 5, – 9 ≡ 1 [5], – 9 ≡ 5 [7] donc n ≡ 1 [5] et
n ≡ 5 [7].
En conclusion, les solutions de (S) sont les entiers relatifs n tels que :
n ≡ – 9 [35] ou ce qui est équivalent n ≡ 26 [35].
Corrigé 19...............................................................................................
x et y sont deux entiers naturels tels que x > y. a et b sont définis par :
a = x + y et b = x – y. On note : δ = PGCD (x, y) et ? = PGCD (a, b).
1. Tout diviseur commun de x et y, et en particulier δ, divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres donc divise a et b. Or tout diviseur de a
et b divise PGCD (a, b). c'est à dire ? . Finalement δ divise ? .
2. Tout diviseur de a et b, et en particulier ? , divise a + b et a – b donc divise 2x et 2y. Or PGCD (a + b, a – b) = 2×PGCD (x, y) donc ? divise 2δ.
3. δ divise ? et ? divise 2δ alors il existe deux entiers naturels non nuls α et
β tels que ? = αδ et 2δ = β ? . Par suite 2? = αβ ? d'où αβ = 2.
Il y a donc deux possibilités :
— si α = 1 et β = 2 alors ? = δ.
— si α = 2 et β = 1 alors ? = 2δ.
4. Si x et y sont premiers entre eux alors PGCD (x, y) = 1.
a) D'après la question précédente : PGCD (a, b) = 1 ou PGCD (a, b) = 2.
b) Si x et y sont impairs alors x + y et x – y sont tous deux pairs donc
PGCD (a, b) = 2.
c) Si x et y sont de parités différentes alors x + y et x – y sont tous deux
impairs donc PGCD (a, b) = 1.
¾ CORRIGE DU CONTROLE¾
Exercice 1
Pour tout n nous avons la relation : 9(2 n +1) – 2 (9 n + 4) = 1 donc, d'après le
théorème de Bezout, les entiers 2 n +1 et 9 n + 4 sont premiers entre eux.
Exercice 2
Quel que soit n nous avons la relation : 5 n +19 = 5(n + 2) + 9 qui montre que
n + 2 divise 5 n +19 si, et seulement si, n + 2 divise 9.
Les diviseurs de 9 sont 1, 3, 9 et, puisque n + 2 = 2, les seules valeurs possibles de n + 2 sont 3 ou 9. Par suite n = 1 ou n = 7
Exercice 3
Le couple (1, – 9) est solution évidente de l'équation : 91 x +10 y = 1. Il en
résulte que le couple (412, – 3708) est solution particulière de l'équation :
91 x +10 y = 412.
Nous pouvons, par suite, écrire : 91 (x – 412) = 10 (y + 3708).
32
u Chapitre
2
u Or
10 divise 91(x – 412) et 10 est premier avec 91 donc, d'après le théorème de Gauss, 10 divise x – 412. Il existe donc un entier relatif k tel que
x – 412 = 10 k ou encore x = 10 k + 412.
u De même il existe un entier relatif k' tel que y + 3708 = 91k' ou encore
y = 91k' + 3708. Les couples (10 k + 412, 91k' + 3708) sont solutions de
(E1 ) si, et seulement si : 91 (10 k + 412) –10 (91k' + 3708) = 3 donc k = k'.
u En conclusion, l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples (10 k + 412, 91 k + 3708) où k ∈ Z
Exercice 4
Si PGCD (a, b) = 2 alors il existe deux entiers naturels a' et b' premiers entre
eux tels que a = 2a' et b = 2b'. Alors a' et b' vérifient l'équation :
2
2
4 (a ' – b' ) = 2004 soit encore : (a' + b')(a' – b') = 501.
Les diviseurs de 501 sont 1, 3, 167, et 501. De plus a' + b' et a' – b' sont de
même parité avec a' + b' = a' – b' > 0.
 a '+ b ' = 501
Les couples (a', b') sont donc solutions de l'un des systèmes : 
ou
 a '− b ' = 1
 a '+ b ' = 167
avec a' et b' premiers entre eux.

 a '− b ' = 3
Les solutions de ces systèmes sont respectivement (251, 250) et (85, 82)..
En conclusion, les solutions du problème posé sont (502, 500) et (170, 164).
Exercice 5
1. Par identification nous obtenons immédiatement :
3
2
2
n + 3 n + 2 n – 4 = (n + 2 n –1) (n +1) + n – 3.
2. Si 0 = n – 3< n 2 + 2 n –1 alors le reste de la division de a par b est n – 3.
Sinon une étude au cas par cas s'impose.
2
2
L'inégalité n – 3 < n + 2 n –1 équivaut à n + 3 n + 2 > 0 et est vérifiée
pour tout n. Il reste donc à étudier les cas où n ∈{1, 2, 3}.
u
Si n = 1 alors a = 2 et b = 2 donc r = 0.
u
Si n = 2 alors a = 20 et b = 7 donc r = 6.
u
Si n = 3 alors a = 56 et b = 14 donc r = 0.
3. Nous savons que si a et b sont deux entiers naturels non nuls et si λ est un
entier relatif tel que a + λ b soit un entier naturel non nul alors :
PGCD (a, b) = PGCD (a, b + λ a).
3
2
2
u
Alors l'égalité n + 3 n + 2n – 4 = (n + 2n –1)(n +1) + n – 3 permet
2
d'affirmer que PGCD (a, b) = PGCD (n + 2 n –1, n – 3).
2
u
En remarquant que : n + 2n –1 = (n – 3)(n + 5) +14 nous démon2
trons de même que PGCD (n + 2 n –1, n – 3) = PGCD (n – 3, 14).
u
Alors PGCD (a, b) = PGCD (n – 3, 14).
4. PGCD (a, b) = 7 si, et seulement si, n – 3 est divisible par 7 mais pas par
14. Alors il existe un entier impair α tel que n – 3 = 7 α.
En posant α = 2 k +1 avec k∈N, nous obtenons n = 14 k +10 avec k ∈ N.