«LATTICES» DES GROUPES ABÉLIENS FINIS THESE PRÉSENTÉE A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE, ZURICH, POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES MATHÉMATIQUES PAR HUGO RIBEIRO DE LISBONNE RAPPORTEUR: M. LE PROF. DR. P. BERNAYS CORAPPORTEUR: M. LE PROF. DR. H. HOPF 19 4 9 ORELL FÛSSLI ARTS GRAPHIQUES ZURICH S. A. Extrait des Commentarii Mathematici Helvetici Vol. XXIII, Faso. 1 problèmes que pose actuellement la théorie des lattices2) problèmes de représentation. En particulier, les représenta¬ Un type de est celui des tions des lattices par des lattices de sous-groupes constituent une source de questions3) intéressant non seulement la théorie générale des lattices et la théorie des groupes, mais aussi la théorie des relations d'équivalence, sait que, non seulement chaque lattice de sous-groupes est iso¬ morphe à une lattice de répartitions mais aussi que chaque lattice de car on répartitions L'object est du isomorphe présent à une travail est lattice de d'apporter sous-groupes4). une contribution à de telles recherches par l'étude systématique des lattices de sous-groupes des groupes abéliens finis. Nous nous demandons donc tout d'abord, quelles qui peuvent être réalisées par tous les sous-groupes d'un fini, les opérations de lattice étant la formation de l'inter¬ section (meet) et la formation du groupe-réunion (join). Nous dirons toujours „lattice du groupe 0" pour désigner la lattice de tous les soussont les lattices groupe abélien groupes de G. problème à l'étude des lattices primaires (§1), et, ensuite, à analyser, parmi elles, les lattices dans lesquelles chaque élément a un complément, appellerons, suivant l'usage, „lattices complémentées". Notre méthode consistera à réduire le des composantes tout d'abord et que nous propriété très étudiée des lattices des groupes abéliens a été dé¬ couverte déjà par Dedekind5). Il s'agit de la loi modulaire, qui a le Une caractère d'une loi distributive affaiblie. Nous travaillerons presque tou- J) Boursier à Zurich de l'Instituto para 2) Nous 3) Ces employons partout le problèmes American Math. lecteur 4) v. quant G. sont mot déjà suggérés a Alta Cultura, Lisboa. anglais „lattices" dans l'ouvrage Soc. Coll. Publ. Vol. 25, New York aux Birkhoff, au lieu de de G. Birkhoff, 1940, auquel ..structures". Lattice nous Theory, renvoyons le résultats et notions utilisés dans notre travail. On the structure ofabstract algebra, Proe. Cambridge Phil. Soc. 31, 1935, p. 433—454. 5) Gesammelte mathematische Werke, 2. Bd., Braunschweig 1931, p. 115. 1 lattices modulaires et leurs propriétés caractéristiques. Notre précisément principal objectif que l'on doit exiger d'une lattice modulaire finie pour qu'elle soit isomorphe à la lattice d'un groupe abélien fini. Nous serons ainsi amenés à considérer parmi les lattices finies une classe de lattices que nous appelons uniformes dont les lattices jours avec ces de savoir est distributives forment une ce sous-classe. Les seules lattices uniformes de Boole et les algèbres plémentées sieurs conséquences intéressant aussi coulent, plus ou moins directement, sont les coni- géométries projectives. Plu¬ générale des lattices dé¬ la théorie analyse. systématique de notre du problème le le cas, plus simple posé pour que et fondamental, des groupes abéliens finis. Cependant on connaît beau¬ coup de propriétés des lattices de groupes et lorsque nous avons eu la possibilité d'en donner des applications nous l'avons fait remarquer. En particulier nous croyons avoir reconnu, après la rédaction de notre travail, qu'il serait possible d'obtenir, de cette façon, quelques-uns de nos résul¬ tats sur les lattices de produits directs. Dans cette direction on doit citer Nous n'avons connaissance d'aucune étude de représentation nous nous sommes Ore, ,,On the foundation of abstract al- travaux de 0. ici, surtout, les Annals of Math., vol. 36 (1935), 37 (1936) et Structures and Duke Math. J., vol. 3 (1937), 4 (1938). gebra", group theory", § 1. Lattices de directs. Lattices de groupes produits cycliques. 1. Ici nous ne supposons pas encore que les lattices considérées soient modulaires ni que les groupes soient abéliens. Soit tout d'abord L une lattice produit-join (plus simplement: ,,produit") de ses m>l sous- Ll,L2,..,, Lm, donc chaque élément de L est le join de m élé¬ appartenant respectivement à L1,L2,..., Lm et cela d'une seule façon. On peut, très facilement, démontrer que : lattices ments 1) Lt, toutes les 2) L{, i Lt i 1, 2,..., = = 1, 2,..., sous-lattice de L pour soient les éléments 3) Si a un m, infirnum E, celui-ci est m, un laquelle Ht idéal de L, c'est-à-dire que X est un élément de Lt, n sont des suprema de G1^G2^.. .^Gm E, r= 1,2,...,m. »Gr_1vGr+1v...»GJ~Qr on a G L{ est quels une que et 1 de I. Ht de Lt 0, 01, G2,..., Gm respectivement, = = 2 est le même pour et c'est aussi l'infimum de L. et L, L1,L2,..., Lm aussi (Gx *-> G2 ^... Indiquons brièvement les démonstrations : Ht un élément de L{. Il y a alors m éléments AX,A2,.. .,Am avec 1, 2,..., m) et tels que fij 4X ^^42 w.. .vJ^4i w.. .^^m. At «Lt (j Mais ^4j Ax A2 >~\.. Ht <-\. .^ ^4m. Main¬ i/j- car on a aussi H{ tenant si pour ? ^é i on pouvait trouver .B, e Ls avec i?, <^4^ on aurait Ht =A1^A2^... ^Hjy... y^Bj^... ^Am donc une autre décomposition de Ht comme un join ce qui est impossible. A}, pour j ^= i, est par conséquent l'infimum de Ls. En prenant Hk avec k =fi i on voit de même que L( a un infimum. Soient Ex^> E2^->.. .^ Em Ex, E2,..., Em ces infima. E E est certainement l'infimum de L et cette égalité nous montre que E{ 1 ) Soit == = w ^ = = = = i pour 1,2,..., = m. 2) Cela résulte de ce que Htrs X avait des composantes H{ aurait deux décompositions sa propre composante d'indice ~...^Gm De ce Ht a distinctes i, • X) /-> join un on tire donc ZJ7, Ht ; ^ si i, k ^ avec X est donc élément de Lt. Quant à la deuxième égalité, on •w ®m) ®r est, en vertu de 2), alors, ^ E G1^02^.. .^Or_1^ donc G1~G2~...~Gr_1~HT~Gr+^...~Gm, qui précède ^ E, d'indices Je comme et il est ainsi @r+iv-'a (Ht = différentes de est évidente. 3) La première égalité voit que (ff^ff^...^ Gr_x w un élément Hr de Lr, et l'on = l'on immédiatement, en utilisant ^->0r+1^> #r une = £. définition produit direct de sous-groupes, que : Si la lattice L d'un groupe G est un produit de m sous-lattices L1,L2)...,Lm dont les éléments suprema GX,G2,..., Gm, sont invariants dans G, alors G est le 1,2,..., m). produit direct de GltG2,.. .,Gm, et Lt est la lattice deGt (« Lorsqu'on cherche une réciproque de cette proposition on trouve le bien connue du groupe = théorème : Gx, G2,..., Gm et si L, Lx, L2,..., Lm sont les lattices respectives, alors tous les joins, dans L, de m éléments appartenant respectivement à Lx, L2,..., Lm constituent une sous-lattice L', de L (qui est le produit de Lx, L2,..., Lm). Si G est le produit Démonstration. ^...^Km direct de Soient H{e L{ avec m H et sous-groupes Hx^< H2 K{e Li, i = Il est tout d'abord évident que H (i?2 <-> Hm 1, 2,..., K est aussi Il un et m tel K = Kx<~> K2*-> deux tels join, car H <-> joins. K = suffira de démontrer Km). (i^^ Kx) (H2r^ K2) ^.. .^ (Hm^ Km)> Or, la relation (Hx~ Kx) (H2r> K2) ^...w (Hm~ KJ <H^K est B. évidente. Pour montrer que K < {Hx^ KJ (H2rs K2) >->.. .^ (Hmr^ Km) nous allons vérifier que si g est un élément du groupe H^ K, ^ Kx) *-> «->... = v-> [H2 ^ K2) que l'on a, de même, ^.. .w (Hm Hrs K ^ nous ^ = « ^ w 3 la représentation (univoque) de g comme un produit d'éléments gteOi, 1, 2,..., m, est telle que g{ e H{ Kt. Nous montrons que si alors eH ferait et on de même giHi\ g pour K et K{. Il suffit de deux l'un éléments de Hi, l'autre de Hâ (i, j= 1, 2,..., m), remarquer que i <^ — î ^é j, étant toujours permutables, g e H^^ H2^>.. .^ Hm a une repré¬ comme produit de m éléments, de Hx, H2,..., Hm respectivement, et cette représentation ne peut être autre que la représentation cidessus ; donc gt e H{. On voit par là que Ht est déjà déterminé par H : c'est le groupe des éléments de (?, figurant dans la représentation d'un Hr> G( (sous-groupe in¬ élément, au moins, de H6). On a donc Ht variant dans H), et ces produits directs H X Hm consti¬ Hx X H2 X tuent, en effet, la lattice L' produit des lattices Lx, L2,..., Lm. Le sentation = = • • • théorème est ainsi démontré. 2. Si l'on veut cette étude des poursuivre produits de lattices de quels sont les cas groupes il est naturel de se demander, tout d'abord, où L'est égale k L. A défaut de toute autre indication on supposera dans la suite que les groupes pris en considération sont toujours finis. Le théorème précédent peut alors être complété de la façon suivante : Si G est le produit direct de m sous-groupes G1 ,G2,... ,Gm, la lattice L de produit des lattices Lx,L2,...,Lm, respectivement de G1,G2,. -,Gm, seulement si, les ordres de deux quelconques des groupes G1,G2,.. .,Gm G est le si, et sont • premiers entre Il Démonstration. (Hr^ Gj) <-> eux. {H<~> G2) suffit, maintenant, de nous {H v-/.. .^ <-> sont premiers entre eux. dition est suffisante : i IIocj = 1, 2,..., j ^i, entre on eux vrai pour Si m. aura >' g donc g{ est chaque Soient = quelconques Montrons, g( un ' tout g eH est le et produit ; IltXj des groupes d'abord, que H = g = gx• g2 gm ... des ordres <%3- des et l'ordre <xt de on en G1,G2,.. .,Gm cette dernière m avec — con¬ g^eG^ IG{, avec G( élément de H et aussi de H élément g de H, a pour chaque élément H de L si, et Gm) seulement si, les ordres de deux vérifier que l'on conclut que sont premiers Gt. Cela étant H (H GJ r. = <-> ^ e) Pour cette remarque ainsi que pour les questions qui nous occupent dans cette section et la suivante voir O. Birkhoff, Lattice theory, 1940, p. 52. ') V. Remak, Ûber die Darstellung der endlichen Gruppen als Untergruppen direkter Produkte, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 163, p. 7, 1930. Dans ce travail on déduit, sous les mêmes hypothèses, tout en utilisant un théorème de 4 Klein-Friche, que H est le produit direct de sous-groupes de01,02,.. .,Om. ' Pour voir que la condition est nécessaire, remarquons que, si le nombre premier p ^ 1 divise les ordres de Gt et Gs, i 9^ j, il y a au moins deux groupes At et Ait chacun d'ordre p (engendrés respectivement par des éléments a{ et a5 de G), qui sont des sous-groupes respectivement de Gx ^G2 et de G( tiendra un H n'étant pas un ni de groupe, ^.. .^G^ ^Gi+1 ^.. Le .^>Gm. produit AfXAj troisième groupe H du même ordre p (engendré par E, H<^Gi H ^ (H>-\ Gj) = join Gx ^G2 ni de (?,. ^.. pas être pouvant .^(?j_i ^Gi+1 «.. .^Gm, d'autres groupes et ne con¬ a( a,). un sous- vérifiera i l,2,...,m. L possède donc un élément H tel que v (H^ G2) w... ^ (Hr^ Gm), ce qu'il fallait démontrer. = Rappelons ici qu'on appelle „irréductible" un produit, et qu'aucune lattice ne peut être produit de lattices irréductibles. qui n'est pas façons différentes toute lattice de deux groupe abélien et G1,G2,.. .,Gm ses composantes primaires, c'est-à-dire les m sous-groupes de G formés par les éléments dont l'ordre est une puissance d'un même nombre premier diviseur de Soient, enfin, G un l'ordre de G. G étant maires I. on toujours le produit a ses composantes pri¬ : fini est le produit des lattices de ses com¬ toujours irréductibles, et, par conséquent, la lattice donnée comme un produit il y a La lattice d'un groupe abélien posantes primaires. Celles-ci dans toute autre au direct de le corollaire suivant du dernier théorème moins facteur un sont représentation de réductible. permet de limiter notre étude à celle des groupes abéliens finis dont l'ordre est une puissance d'un nombre premier. La Ce théorème question nous nous de réductibilité devrons trouver L'examen direct, groupes que cycliques8) ne se un nous nous posant plus pour les lattices de nouveau point de vue allons maintenant ces dans notre groupes analyse. faire, des lattices des une applica¬ permettra saisir le mieux mais aussi de précédents non seulement de faire tion immédiate des résultats caractère de notre 3. Nous ne problème. considérons dans la suite que des groupes abéliens, sauf mention expresse du contraire. Il est évident que la lattice d'un groupe cyclique d'ordre p8 est, quel que soit le nombre premier p, une chaîne, c'est-à-dire un ensemble or8) Rappelons lequel les seuls groupes finis V. Structures and group theory, dès maintenant le théorème dû à Ore selon dont la lattice est distributive sont les groupes II, Duke Math. J. 4 (1938), p. 267—268. cycliques. 5 donné, et que de tels groupes cycliques sont les seuls groupes chaîne à ô dimensions. Cette remarque théorème I, de dire : est une La lattice d'un groupe cyclique fini nous dont la lattice permet, d'après le est le produit de m chaînes; celles-ci respectivement ô1, ô2, àm dimensions si p\x-pl%p^1 est la décomposition en facteurs premiers de l'ordre n du groupe. ont • Mais aussi on a : • pI* • • rents. En ordres • • • P%P effet, G Pi > • •, • Si la lattice d'un groupe chaînes à dimensions Pi1 • ôlt ô2).. P2 > est le > • • ' donc G est le produit de m ôm respectivement, cyclique d'ordre des étant nombres Pm premiers tous diffé¬ G est ., produit de ceux-ci sont (abélien) direct des suprema des m chaînes et les des nombres premiers entre eux. Mais, chaque chaîne étant la lattice d'un groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier d'exposant égal à la dimension, G est le produit direct des groupes cycliques d'ordres pfl, pi2,..., pff1, avec 1, 2,..., m). Or, comme on sait, un tel groupe pf ijéz pi si i ^ j (i, j est cyclique d'ordre n p\l pi2 p^1. = = Nous faisons d'ordre est le n • • ... • 1) la lattice d'un groupe cyclique remarquer que celle est isomorphe à des diviseurs de n ; 2) chaque lattice qui produit encore de m : chaînes de dimensions ô1, ô2,..., ôm est isomorphe à la lattice du groupe cyclique d'ordre n^pf1 p2! p^j», p1, p2,..., pm étant des nombres premiers tous différents, d'ailleurs quelconques. • • • ... Nous voulons étudier de plus près les lattices produits de chaînes produit de m chaînes Lx, L%,..., Lm de dimensions respectives ô1} <52)..., <5m; et soient A"*, A^,... les élé¬ ments de dimensions oc{, /?,-,... de la chaîne Lt (0 < <xt, /?,,... < ô(, i L donc aura 1,2,..., m). (ô1 + 1)(<52 -f- 1).. .(ôm -f- 1) éléments et la dimension f- ôm ; et l'on a A^ ^A%* ^.. .^A%» < ô1 + ôz-] A{x A\* ^...^ A^ si, et seulement si, oc{ < fa pour chaque i. La loi finies. Supposons une lattice L = ^ distributive est vérifiée dans L et elle se traduit par l'égalité numérique max [min («,- ,fa), min (<*,-, y{)]. Pour qu'un élé¬ (fa, y{)] ment A^ L de ait ^.. un A^* .^A^1 complément Af1 ^A^^.. .^ A^1 (lequel est alors unique, car L est distributive) il faut et il suffît que, pour tout i, max («,-, fa) ô{ et min (<%,-, fa) 0, c'est-à-dire que les seuls éléments possédant un complément, sont ceux pour lesquels on a 0 «, ou 1, 2,..., m. Ainsi, il y a dans L exactement 2m éléments ôf, i complémentés : ils forment une algèbre de Boole, ayant m atomes, c'estmin [tXi, max = ^ = = = = à-dire core 6 = m éléments suivant immédiatement l'infiraum. que les éléments suivant immédiatement un Remarquons en¬ élément donné de L et d'une augmentant d'une unité l'indice supérieur d'une, nombre le Ainsi m. au donc il a en plus y seule, des composantes A**, L ne de élément un dépasse pas des éléments suivant immédiatement s'obtiennent en celui des atomes de l'algèbre de Boole des éléments complémentés de L. de faire L'intérêt des observations presque évidentes que nous venons les lattices nous permettent de caractériser réside dans le fait sont le qu'elles de chaînes finies. Ainsi, produit schéma au qui géométrique (dans chaînes considérées) on l'espace à m dimensions, m étant le nombre des caractérisation algébrique dans peut faire correspondre une très simple le cadre des lattices. Nous démontrons : il faut et il suffit qu'une lattice finie L soit un produit de chaînes suivi par immédiatement soit ne élément et qu'aucun qu'elle soit distributive de des atomes celui l'algèbre de Boole des éléments dont le nombre dépasse V suit des éléments complémentés de L. (Si l'on remarque qu'un élément Pour immédiatement U système élément U dans un X, V U .-> = = V >-> X une a lattice L si, et seulement si, le exactement deux solutions X dans théorème condition du peut exprimer algébriquement la dernière V des nombre le pour lesquels le système disant que, quel que soit U, deux solutions, est au plus celui U X, F=F^I a exactement L, on en U = n des atomes de l'algèbre Après Démonstration. complémentés). de Boole des éléments ce qui a été dit ci-dessus il nous suffira main¬ tenant de montrer que, si L est finie et vérifie les conditions énoncées, de chaînes. Soient (r^Oa,.. .,Gm les atomes de l'al¬ L est un produit gèbre un de Boole des éléments élément de complémentés L, G le supremum à de L. Du fait que G appartient propriété distributive, il résulte que H quelconque Boole et de la et H l'algèbre = #<->(? de = (H~ G,) (Hr* G2) »...» (H~ Gm). Donc, L,, (G^G2 w.. .sjGJ de L formés des éléments qui précèdent ou les idéaux étant L%,..., Lm égalent respectivement GltGt,.. .,Gm, nous pouvons dire que chaque élément H de L est, d'une seule façon, le join de m éléments appartenant L est le pro¬ respectivement à L1,Li,..., Lm et nous en concluons que duit de ces m sous-lattices. Mais, d'autre part, il est facile de voir que chacune des lattices L{ (i 1, 2,..., m) est une chaîne : en effet, Ht H~ - = = étant un élément quelconque suivant immédiatement H i dans Lt et appartenant nière une hypothèse atome et L( sur les L, et L étant ceux on t ; en qui modulaire, les éléments suivent immédiatement Ht avec un atome de L tenant compte de notre der¬ différents joins (tous lattice Lf où j =£ encore à H,• de dans L sont !) de voit tout d'abord que chaque Lt a un seul ensuite, que le nombre des éléments suivant immédiatement Ht 7 dans L( dépasse ne chaîne, une Ce sera pas m — (m — et notre théorème est seulement plus loin que 1). Chacune des lattices Lt est donc démontré9). nous occuperons d'autres pro¬ nous priétés des lattices de groupes cycliques lorsque nous chercherons à les rapprocher des lattices de composantes primaires. Soulignons cependant, ici encore, qu'un produit que les deux propriétés de chaînes est au moyen toujours desquelles il une lattice autoduale et peut être défini sont in¬ dépendantes. § 2. 1. Lattices complémentées. Lattices de composantes primaires. Revenons à la fin du 2, § 1, l'analyse générale que question de cons¬ truire des lattices réductibles de groupes au de sous-lattices qui moyen n'étaient plus réductibles. Maintenant il s'agira de comprendre com¬ ment, dans ces lattices irréductibles, les éléments qui ne sont plus des joins d'autres engendrent leurs joins, donc de savoir de quelle manière avions nous no. développée jusque et reprenons là. Tout d'abord il fut les sous-groupes d'un groupe abélien d'ordre premier sont formés à partir des sous-groupes puissance d'un nombre cycliques qu'ils contien¬ nent. Pour étudier lattices des composantes primaires les plus générales, d'envisager tout d'abord celles des groupes abéliens élémen¬ taires (c'est-à-dire les groupes pour lesquels tous les sous-groupes cycliques ces il est naturel à l'exception du groupe identité ont part, parce que, pour toutes de spécialiser des résultats bien lattices interviennent, de Nous ces un même ordre lattices et leurs connus façon envisagerons toujours, dans premier). Cela, d'une produits il nous suffira ; et d'autre décisive, dans part l'analyse parce que telles du cas général. la suite, des lattices finies, et nous commencerons par la remarque suivante : Dans chaque lattice modulaire finie L les éléments qui sont des joins d'atomes constituent, avec l'infimum, un idéal (principal) L*deL. Si L est le alors L* est le produit de produit des idéaux L* L* m lattices Lx, L2,..., Lm L* respectivement de Lx, Lm ; par conséquent, si L* est irréductible L l'est aussi. En effet, rappelons que si le supremum O* d'une lattice modulaire finie L* est un join d'atomes, chaque élément de L*, l'infimum excepté, est aussi un join d'atomes. Maintenant, soient O* le join de tous les atomes L/%, ') Nous avons pu de Th. Skolem où les rentes de utgitt 8 , ,..., , av connaître, grâce à l'amabilité de M. le Prof. P. Bernays, une étude produits de chaînes sont aussi caractérisés de plusieurs façons diffé¬ la nôtre. Voir „Ûber gewisse ,Verbânde' oder ,Lattices' ", Avhandlinger Det Norske Videnskaps-Akademi, Oslo, I. Mat.-Naturv. Klasse, 1936, Nr. 7. engendré de notre lattice L, et L* l'idéal G*, c'est-à-dire la par lattice de L formée de tous les éléments X pour Alors, L, de non car G* sous= X. chaque join élément de il est un atome de L l'énoncé il suffit de remarquer que chaque seule lattice et y est i L{, 1, 2,..., = m appartient à une atome. un lattices des groupes abéliens L est la lattice d'un groupe abélien fini nous appellerons précédent s'applique La remarque finis '; <-. d'atomes de L appartient à L*, mais L*, qui n'est pas l'infimum est un join d'atomes join d'atomes de L*. Quant à la deuxième partie de seulement chaque aussi lesquels X lorsque „noyau" l'idéal L* le de L. Nous aux les soulignons Les noyaux sont les lattices des groupes abéliens ont des ordres non conséquences finis suivantes : dont tous les éléments divisibles par des carrés. Car les atomes d'une lattice L de groupe abélien fini G sont les sous-groupes cycliques d'ordre premier de G. G* contient donc précisément les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par un carré, est, évidemment, la lattice de G*. et L* Le noyau de la lattice L d'un groupe G est le lattices des composantes primaires produit des noyaux des de G. Les noyaux irréductibles sont les lattices des groupes abéliens élémen¬ taires, l'irréductibilité du noyau de L étant équivalente à celle de L. Les noyaux sont les seules lattices de groupes abéliens finis qui sont comCar l'existence d'un complément pour chaque élément et le plémentées. fait que chaque élément est un join d'atomes constituent, comme l'on sait, équivalentes dans toute lattice modulaire finie. des conditions Le théorème général sur la représentation chaque lattice modulaire produit de lattices irréduc¬ de à dimension finie comme un complémentée tibles10), nous permet maintenant de dire qu'un noyau L* est, et cela d'une seule façon, un produit de géométries projectives. Et il résulte de ce qui précède que ces géométries projectives sont précisément les lat¬ tices des composantes primaires du groupe G*, dont la lattice est L* ; donc elles sont des lattices de groupes abéliens élémentaires. Si l'ordre de G* m a la décomposition p"1 P22 • géométries projectives maire d'ordre tée) sion «,- sur 10) G. • • • , Pmm L* en ,..., facteurs L* . La des éléments d'ordre p{ forment, évidemment, le corps sous-groupes. La • facteurs L* pf' n'ayant que leurs éléments • un n il y a premiers composante pri¬ (l'identité excep¬ espace vectoriel de dimen¬ d'ordre p(, les sous-espaces s'identifiant premier géométrie projective L* est, alors, la aux géométrie projec- Birkhoff, Combinatorial relations in projective géométries, Annals of Math. vol. 36, 1935, p. 743. 9 tive le corps d'ordre pt et de a,- dimensions, selon le point de vue ici de la théorie des lattices. On peut, donc, énoncer le corollaire sur adopté suivant du théorème Une lattice est projectives sions des n — un général : si, elle est le produit de géométries premiers, ceux-ci étant différents lorsque les dimen¬ noyau des corps sur cité ci-dessus si, et seulement géométries projectives auxquelles ils Vi1' P22 • • • • • se rapportent es* l'ordre d'un groupe dont Pmm sont la lattice est > 1. un Si noyau, il y a m géométries projectives facteurs, de dimensions <xt (i 1, 2,..., m), les corps étant respectivement d'ordres p( toutes les fois que a,- > 1. = Deux noyaux sont isomorphes si, et seulement si, les décompositions en facteurs premiers des ordres des groupes dont ils sont les lattices ne diffè¬ rent au plus que par les facteurs ayant l'exposant 1. Par conséquent, pour qu'un produit direct de groupes abéliens élémentaires soit bien déterminé par sa lattice il faut et il suffit que les ordres des groupes facteurs ne soient pas des nombres premiers. ici que les lattices modulaires finies pour Remarquons supremum est peuvent quelles se un définir join d'atomes comme l'infimum est un sont autoduales et, par lesquelles le conséquent, étant les lattices modulaires finies pour les¬ meet d'éléments précédant immédiatement le effet, les lattices modulaires finies pour lesquelles le supre¬ join d'atomes sont complémentées, donc elles sont le produit supremum. En mum de est un géométries projectives, chaque produit remarque plus évidemment autoduales ; et, d'autre part, de lattices autoduales est autodual. Nous utiliserons cette tard. En particulier, les noyaux sont des lattices auto¬ duales. 2. tés Dans cette section simples qui nous indiquons tout d'abord quelques proprié¬ conséquences du théorème général de décompo¬ modulaires complémentées à dimensions finies. Ces pro¬ sont des sition de lattices priétés définissent les algèbres de Boole) et jectives sur des priété générale noyaux des lattices de groupes cycliques (donc des les noyaux irréductibles (donc les géométries pro¬ corps d'ordre premier). Cela des lattices de composantes nous amènera à primaires et une pro¬ des lattices distributives. Nous supposons les lattices finies, bien que cela nécessaire. Les algèbres de Boole et les soit pas toujours géométries projectives jouissent, ne sait, de la propriété que deux sous-lattices „convexes", ou „quotients" (c'est-à-dire des sous-lattices L' telles que si A, B e V et A < X < B alors X e L'), y sont isomorphes si elles ont les mêmes dimencomme 10 l'on décomposition des lattices modulaires commodulaire compléplémentées nous montre, d'autre part, qu'une lattice mentée L qui n'est pas une algèbre de Boole ni une géométrie projective ne de géojouit pas de la propriété ci-dessus11) : car elle est, alors, un produit sions. Le théorème métries qui ne général de sont pas toutes de dimension 1, donc il y a des sous-lattices dimension 2, qui ne sont pas convexes de L, et même de telles sous-lattices de lattices isomorphes. Ainsi, la propriété que nous considérons est, pour les complémentées, presque équivalente à celle de l'irréductibi¬ étant les non irréductibles possédant cette propriété lattice mo¬ De éléments. 2 de à Boole qu'une de plus, pour plus algèbres l'isosuffit il telle d'une déjà que propriété, dulaire complémentée jouisse modulaires lité, les seules lattices ait lieu pour les sous-lattices convexes à 2 dimensions ; mais cela est aussi valable pour une classe beaucoup plus étendue de lattices morphisme précisément : L étant une lattice modulaire, L' et L" sous-lattices de L, complémentées, convexes et de mêmes dimen¬ modulaires. Plus deux complémentées, convexes et à 2 dimen¬ sions de L sont isomorphes, qui sont des sous-lattices de L' JJ est une algèbre de Boole ou sont aussi isomorphes entre elles, donc L". Maintenant, si l'on écarte le une géométrie projective. De même pour ne sont pas sur cas des géométries projectives (à trois dimensions) qui des corps, l'isomorphisme supposé dans L et le fait que L'et L" ont même sions, si toutes les sous-lattices alors celles et L". l'isomorphisme de L' conduits, de cette façon, à dimension entraînent Nous sommes nombre des éléments des sous-lattices lattices qui qui est modulaires, une nous „non géométrie projective occupent étant convexes exceptionnelles", l'est fixer notre attention où toute sous-lattice sur un convexe D'ailleurs, les lattices corps. toujours modulaires le sur de dimension 2 dans les mais pas toujours distribu- tives, il était naturel d'avoir le souci de chercher une propriété convenable des lattices modulaires impliquée par la distributivité, et de partir, pour cela, de la caractérisation des lattices modulaires lattices convexes de dimension 212). Nous posons la définition Une lattice modulaire, et seulement si, quels non se rapportant aux sous- : exceptionnelle, que soient L est A, B,C eL, appelée „uniforme-u" si, avec dim B — dim A 2 = L est aussi ll) Chaque sous-lattice convexe, L', d'une lattice modulaire complémentée l'infimum et le supremum de L', XeL' et B sont et si A respectivement complémentée: A est, comme l'on sait, un complément X' est complément de X dans L, alors (X' r\ B) AeL', donc cet élément de X relatif à A et B. Mais, L' étant convexe, on a (X' <~> B) »-> w complément de X dans L'. éléments 1J) On sait qu'une telle caractérisation peut être ainsi formulée: si deux suivent immédiatement leur meet ils précèdent immédiatement leur join, et dualement. est un 11 A ^ G ^ B et le A système Cr, X, = B C = ^ X a, ou 0, ou u solu¬ tions. Ceci veut dire que toute sous-lattice de L complémentée, convexe, de dimension 2 a u + 3 éléments. On dit simplement que L est uniforme lorsqu'on ne veut pas spécialiser le nombre u. Pour désigner une lattice uniforme-w écrira on L(u). On peut maintenant énoncer et cédents préciser quelques-uns des résultats pré¬ : Une lattice modulaire, exceptionnelle, est uniforme si, et seulement si, complémentées, convexes et d'égale dimension sont iso¬ Les de Boole et les géométries projectives sur des corps sont morphes. algebres les seules lattices uniformes complémentées (les unes déjà déterminées par le nombre des dimensions, et les autres par ce nombre et celui des „points sur une droite"). Les algebres de Boole et les noyaux irréductibles peuvent se dé¬ finir comme étant des lattices complémentées et uniformes-u, u étant un toutes ses non sous-lattices nombre indécomposable (égal nombre premier s'il s'agit à 1 pour le des cas d'une géométrie algebres de Boole et à un projective). Nous soulignerons plus tard le fait que les lattices de composantes primaires sont toujours uniformes, les u étant des nombres indécom¬ 1 lorsque la lattice est une chaîne, et seulement dans ce posables (u cas). Ici, nous nous bornons à analyser les lattices distributives en géné¬ ral, qui sont toutes, évidemment, des lattices uniformes-113). Donc, on = peut dire que la classe des lattices uniformes modulaires contenant Et nous comme pouvons énoncer Les lattices uniformes-1 est une sous-classe des lattices sous-classe propre celle des lattices distributives. encore : sont précisément Ceci résulte maintenant de la les lattices distributives. proposition suivante Une lattice modulaire L est distributive si toutes ses : sous-lattices convexes à 2 dimensions sont distributives. Démonstration. L étant une distributives de L ont, toutes, sous-lattice de L, ayant 13) <|Ç A ou et A < ^ <-> = 12 une modulaire, les sous-lattices dimension (s'il y > 1 en non a). Soit L'une distributive et telle que toute sous-lattice de L plus petite que celle de L' soit distributive. Il y a démonstration directe: Si L est distributive et A,BeL ou bien C v-» X n'a aucune solution; nï, B B et, X1 et X2 étant des solutions, on a B r\ Xt (Cv X2) r> X2 X2 A (A v-> X2) (A w Xi) Xj {X1 ^ X2) [(C ^ XJ w Xx] r, une alors, quel que soit Xj) r, [(C/~»X2) X2] donc Xj X2. = non dimension En voici B bien (C une lattice G e L, A = C = = = = Xx ^ r. = X2, donc X2 ^ < Xx, et = = de même on verrait que Xx < X2; U<^W donc, dans L', trois éléments, distincts, U, V, Wtels que U ^V étant A B et =V^W= U^W A U^V= et B, respecti¬ Y~W = = = vement l'infimum et le supremum de dim B — dim A < dim L', contrairement dessus et de la modularité il résulte = dim W — dim A L', = . à car autrement il viendrait l'hypothèse. dim U — dim A == Des égalités dim V — ci- dim A Si l'on avait dim2/ > 2, donc dim W — il y aurait un élément W, tel que A <W <W. La dimen¬ sion de la lattice L" des éléments X de L tels que A < X < W'^V est, évi¬ dim A > 1, demment, plus petite que celle de L', donc L" est distributive. En tenant compte des dimensions, on voit que V, (W'^V)r, JJ et [(W'^V)^ U]^W (W'^V)^ U<[{W'^V)^ U] (W'^V)r, B =W'^V, donc la distributivité dans L" nous permet d'écrire non seulement V^ {[(W'^V) A V^[(W'^V)r, U] mais aussi V^{[(W'^V)~ U]^W'} U]^W'} V^W'=V^[(W'^V)r, U]. La sous-lattice de 5 éléments A, V, (W'^V) U] W et V^> W ne serait pas modulaire, ce qui est U, [(W'^V) appartiennent à L", r,W. D'autre part, = ~ sont tous distincts et on a F-[(ïF-F)~ U] = = = v <-> /-> absurde. Par dim L'= 2. une conséquent, on ne peut pas avoir dim L'>2 et ainsi Donc, si L n'est pas distributive il se trouve qu'il y a déjà convexe de L ayant la dimension 2 qui n'est pas distri¬ sous-lattice butive, qu'il ce fallait démontrer. Remarquons que le résultat démontré ci-dessus fournit, lorsqu'il est appliqué aux lattices finies, une simplification effective du contrôle gra¬ phique fondé sur la lattice bien connue de 5 éléments, permettant de distinguer les lattices modulaires non distributives14). Le 3. cas général des composantes primaires n'est pas aussi simple élément de la lattice que celui des groupes abéliens élémentaires. Chaque n'est pas, nécessairement, un join d'atomes, donc la lattice n'est plus une lattice Soit L sont complémentée. Rappelons, une appelés ,,irréductibles". Si L est une chaîne, et d'abord, quelques définitions : qui ne sont pas des joins d'autres, tout lattice. Les éléments de L tous les éléments de L sont réciproquement. Un ,,cycle"15) irréductibles, de L est un élément 14) Après la rédaction de notre travail, nous avons remarqué que ce théorème est une conséquence immédiate d'un énoncé de G. Birkhoff dans son mémoire: Applications of lattice algebra, Proc. Cambridge Phil. Soc, vol. 30, 1934, p. 118, où cette simplification n'est d'ailleurs pas expressément indiquée. Les deux démonstrations sont tout à fait différentes. 15) Cette désignation (que nous empruntons à Eeinhold Baer: A unified theory of projective spaces and finite abelian groups, Trans. Am. Math. Soc, vol. 52, 1942, p. 286) est commode, et se justifie lorsque L est la lattice d'un groupe. C'est parce que nous discutons ici précisément ces lattices que nous l'utilisons à défaut d'une autre plus adéquate. 13 irréductible différent de l'infimum et tel que tout élément qui le précède est aussi irréductible. Chaque atome de L est un cycle ; chaque élément différent de l'infimum et précédant un cycle est un cycle, „sous-cycle" du premier. Si L est modulaire, une suite d'éléments de L, U1, U2,..., UM, tous différents de E, dite est (U1^U2v...<->UT)^Ur+1 ..indépendante" si, E pourtout U1} U2,..., Um est telle que Ux U2 <--...«_> Um — r= l'infimum de L. Une suite est indépendante et mum ^ 1, 2,.. une = et .,m seulement si, 1, .Ë7 étant — „base de L" si elle G, G étant le supre- de L. Soit maintenant G produit direct de m une composante primaire que groupes cycliques nous supposerons tous du même ordre pa. Dans la lattice L de G chaque élément irréductible qui n'est pas l'infimum est un cycle (un sous-groupe cyclique de G) et chaque cycle „maximal" (qui n'est pas suivi d'un autre cycle) a la dimension oc. D'autre part, L est une lattice uniforme-p, p étant premier, et les dimensions des souslattices convexes et complémentées de L ne dépassent pas la dimension de la lattice engendrée par les atomes de L. (Remarquons, en particulier, que chacune des sous-lattices morphe à la lattice d'un groupe éléments selon convexes de dimension 2, de quotient, qu'il s'agit d'une chaîne ou d'ordre p2, L, ayant donc d'une lattice 3 est iso¬ ou p+3 complémentée.) L2 possédant les Nous démontrons maintenant que deux lattices Lx et propriétés qu'on vient de souligner dans la lattice L du groupe G sont néces¬ sairement isomorphes, et, par conséquent, que ces propriétés caractérisent à moins d'un isomorphisme la lattice d'un groupe qui est le produit direct de m groupes cycliques d'ordres p". Pour arriver à établir l'isomorphisme liant Lt et L2 nous partons de l'isomorphisme, évident, des systèmes partiellement ordonnés formés des éléments de dimension < 1, de Lx et L2, et nous montrons qu'un isomor¬ des phisme systèmes partiellement ordonnés, formés respectivement des éléments de Lt et L2 de dimension < y 1, peut être étendu aux élé¬ ments de dimension <y : en effet, comme les éléments irréductibles de dimension > 0 sont toujours des cycles, chaque élément de dimension y qui n'est pas un cycle est un join de cycles et suit plus d'un élément de dimension y 1. Soit Bx un tel élément de dimension y dans Lx. Pre¬ nons tous les éléments de dimension 1 précédant Bx et leurs cor¬ y respondants (par l'isomorphisme supposé) dans L2. Soit A1 le meet de ces éléments de dimension 1 de Lx, et considérons la lattice L[ de y tous les éléments X tels < X < Bx. Selon la Ax que remarque faite à la fin du no. 1, § 2, L[ est complémentée. Les correspondants des atomes de L't engendrent donc, dans L2 une lattice ayant même nombre de di— — — — 14 mensions mension (isomorphe y) sera des éléments le non établie ; et de ces à L[) de correspondant cycles de L2 de correspondances B1. De de di¬ (nécessairement et dont le supremum même, correspondance une dimension y à ceux de Lx peut être l'une est la réciproque de l'autre. Le nombre des éléments de dimension y qui ne sont pas des cycles, dans Lx et dans L2 est alors le même, et d'autre part, comme chaque élément précédant Bx dans Lx est égal ou précède un tel élément de dimension 1, Pisomorphisme initial est ainsi étendu aux éléments de dimension y y qui ne sont pas des cycles. Maintenant il nous reste à étendre cet isomorphisme aussi aux cycles à dimension y. Pour cela nous partons de la correspondance biunivoque 1 de Lx et L2 établie par Pisomor¬ entre les cycles de dimension y — — phisme supposé entre les éléments de dimension < y — Chaque cycle 1. 1 de dimension y suit immédiatement un seul cycle de dimension y des le nombre montrer de suffit donc Il nous et aucun autre élément. que 1 est toujours cycles de dimension y suivant un cycle de dimension y — — ayant les propriétés que le même dans les lattices d'abord, il n'y un cycle a aucun à dimension y cycle nous supposons. Tout Si y < à dimension y si y><x. tx et C est 1, considérons la sous-lattice, convexe, formée G < X <D, où D est le join des éléments de — des éléments X tels que dimension y suivant immédiatement G. La dimension de cette lattice, et complémentée, ne dépasse pas m, donc, cette lattice étant géométrie projective sur le corps d'ordre p (car la lattice totale que nous considérons est uniforme-j)) le complément d'un atome est précédé pm-i_i atomes, au plus. D'autre part on voit qu'il y a précisément par convexe une — y pm-l_l -— avec éléments suivant immédiatement les atomes de la lattice totale. (En effet, étant des atomes différents entre Aj précède G, et rité, si si et seulement si et seulement si c'est-à-dire Cx < Ai ^ (y de Gx dans la et qui G on a sont des A{ ^ = joins de G C ^ Ait At Cx qui et différents de l'atome (C <->Ai^Aj) dim [(A{ 1) + 2 = — donc, par la modula¬ Aj) G] est égal à y, y, ^ ^ Le nombre de tels éléments A}. vant immédiatement G est, complément eux dim — C, alors, égal à celui des géométrie projective, à m cycles sui¬ précédant le non atomes dimensions sur le corps d'ordre p, formée des atomes de notre lattice totale. Ce nombre est 1 dimensions sur le celui des atomes d'une géométrie projective à m — corps d'ordre et p, et donc au égal, à moins suivant immédiatement pm-i_i —). En outre, s'il y C, la sous-lattice a un convexe cycle complé15 mentée des éléments X tels que nouvel atome de plus mier p à dimension Nous < m, G < X < D une aura aura, ainsi, géométrie projective m dimensions, donc au moins un le corps pre- sur pm—1 — P— 1 atomes. 1 est suivi d'exac¬ concluons que chaque cycle à dimension y fallait dimension Nous pou¬ à démontrer. ce cycles p-1 qu'il y, en tement vons et, étant — alors, énoncer : produits directs de groupes cycliques tous d'ordre p01 sont caractérisées par les propriétés suivantes : chaque élément irréductible diffé¬ rent de l'infimum est un cycle, chaque cycle maximal a la dimension «, la lattice est uniforme-p et le nombre des éléments qui suivent immédiatement un élément quelconque ne dépasse pas celui des atomes. Les lattices des Nous dirons, brièvement, qu'une lattice possédant ces quatre propriétés d'une géométrie projective sur le corps d'ordre est 1',,extension de degré <x premier p". Les schémas suivants nous donnent, d'abord, la lattice du (produit direct de deux groupes cycliques groupe du type (p2, p2) b) a) d'ordres nous p2) dans le montrent c) d) e) cas p 2, et ensuite, quatre lattices modulaires qui 2 et l'indépendance des quatre propriétés ci-dessus (« = = p=2). Remarquons que de ce qu'on a dit au no. 2 de ce paragraphe il résulte que les produits de chaînes de dimension oc peuvent se définir par les propriétés ci-dessus p y étant remplacé par 1. Nous aurons ainsi, en général, des „extensions de lattices complémentées et uniformes-w", u étant un nombre indécomposable quelconque. Finalement, II. nous Une lattice est seulement si, elle est corps d'ordre groupes 16 obtenons le théorème isomorphe un cycliques à la lattice d'une composante primaire si, et géométrie projective sur un composante primaire est le produit direct de m idéal d'une extension de premier.. Si dont : une m1, m2,..., ml, avec mx -j- m2 -f- • • • + mt = m, ont respectivement les ordres p"1, p"1,..., pat avec oc1 > «2 > • • • > <*j. alors le corps est d'ordre p, la géométrie projective a la dimension m, l'exten¬ sion a un degré > xx et l'idéal a une base de cycles dont m1,m2,.. .,mt ont respectivement Comme les dimensions conséquence fondamental suivant Une lattice est ment si elle est le «x, <%a,..., af. immédiate des théorèmes I et II, on a le résultat : isomorphe à la lattice d'un produit groupe abélien fini si et seule¬ d'idéaux d'extensions de lattices compléinentées et uniformes-u, les u étant tous indécomposables et différents entre eux. La représentation d'une telle lattice comme un tel produit est univoque, le fac¬ 1 (s'il existe) étant la lattice d'un groupe teur, £(1), pour lequel u cyclique. = Et l'on peut ajouter le corollaire : Pour que la lattice d'un groupe abélien fini détermine (à un isomorphisme près) ce groupe, il faut et il suffit que u # 1 dans chaque facteur de la re¬ présentation ci-dessus, c'est-à-dire (Reçu qu'aucun de le 10 ces facteurs ne soit distributif. juin 1947.) 17 Je suis né le 16 Mai 1910 à Lisboa. J'y ai fait mes études secondaires lycées ,,Passos Manuel" et „Pedro Nunes" et encore à l'„Instituto dos Pupilos do Exército". En 1929 je me suis inscrit à la „Faculdade de Ciências" de l'Université de Lisboa où, après quelques longues interruptions qui m'ont été imposées à cause de mon et techniques, aux activité aux organisations d'étudiants, j'ai obtenu (1939) la licence es mathématiques. Une bourse de l',,Instituto para a Alta Cultura" m'a permis, alors, de poursuivre des études et travaux mathématiques au „Centro de Estudos Matemâticos de Lisboa". Ainsi, depuis 1940 jusqu'à 1944 j'ai publié à „Portugaliae Mathematica" quelques petits travaux dans le domaine de la Théorie des Espaces Topologiques et j'ai obtenu un prix de l',,Academia das Ciências de Lisboa". Pendant cette période, j'ai collaboré au développement matériel des revues et sociétés mathématiques portugaises. En octobre 1942 l',,Instituto para a Alta Cultura" m'# envoyé à Zurich, où j'ai pu étudier et travailler des deux écoles mais à l'Ecole Polytechnique surtout auprès supérieures, sciences Fédérale. Qu'il soit permis, ici, d'exprimer profonde gratitude tout Monteiro, lequel a guidé pendant longtemps, de très près, mes premiers travaux. En lui je vois un exemple d'homme et de professeur qu'il faut à la jeunesse de mon pays. Aussi je remercie vivement tous mes professeurs de Zurich, plus spécialement Messieurs les Professeurs Dre. H. Hopf, P. Bernays et F. Gonseth, de l'accueil et l'assistance qu'ils m'ont prêtés. C'est à Zurich que j'ai fait ma formation mathématique. Je tiens à exprimer ici ma profonde reconnaissance à mon pays auquel je suis me d'abord à mon ma maître camarade et ami Dr. Antonio Aniceto redevable d'une bourse d'études par l'intermédiaire de l'„Instituto para Cultura", et, enfin, je ne peux pas oublier, non plus, les encou¬ ragements que j'ai reçus à Lisboa de mes professeurs Drs. Pedro José a Alta da Cunha et Manuel Zaluar Nunes ni la parents et ma femme m'ont accordés. Zurich, octobre 18 1946 compréhension et l'aide que mes