Suites et séries

Bcpst 2 - 2016/2017
Lycée François 1er
Devoir Maison 1
À rendre pour le :
Suites et séries
mardi 13 septembre 2016
Problème :
On pourra dans ce problème utiliser sans le démontrer que
|ln(1 − u)| 6
u
1−u
∀u ∈ [0; 1[
Tous les programmes et résultats Pythons pourront éventuellement être imprimés et collés sur la copie rendue
pour plus de lisibilité et pour ne pas avoir à les recopier. Voir fin de la feuille pour les indications de fonctions
Python utiles.
Soient (Sn )n>1 la suite définie par
Sn =
n
X
k=1
et
(Sn0 )
=
P
1
n+k
∀n ∈ N∗
un la série définie par
n>1
un =
1.
Démontrer que (Sn ) converge et trouver sa limite `.
Partie I :
2.
(−1)n+1
.
n
Valeur approchée de ` par méthode numérique.
a)
Écrire grâce à Python une fonction prenant comme argument n et rendant un graphique mettant en
valeur les 5 parties suivantes du plan :
- La partie colorée (selon la couleur de votre choix) In = {(x, y) ∈ R2 | n − 1 6 x 6 n et 0 6 y 6 1/x}.
(partie entre l’axe des abscisses et la courbe de la fonction inverse pour x allant de n − 1 à n.)
- La partie colorée (selon une autre couleur de votre choix) In+1 = {(x, y) ∈ R2 | n 6 x 6 n + 1 et 0 6
y 6 1/x}.
- La droite constante y = 1/n sur l’intervalle [n − 1, n + 1] (faite en sorte qu’elle soit bien visible).
- La partie transparente hachurée sous la courbe y = 1/n pour x compris entre n − 1 et n, appelée Hn .
- La partie transparente hachurée (dans l’autre sens par-rapport aux hachures précédents) sous la
courbe y = 1/n pour x compris entre n et n + 1, appelée Hn+1 .
3.
b)
c)
Tester la fonction pour plusieurs n > 2 et coller 2 résultats sur votre copie.
Interpréter les observations à l’aide des des intégrales suivantes et les démontrer.
Z n+1
Z n
Z n+1
Z n
1
1
1
1
dx ;
dx ;
dx ;
dx
x
x
n
n
n
n−1
n
n−1
d)
En déduire que pour tout n ∈ N∗ , n > 2 on a
Z n+1
Z n
1
1
1
dx 6 6
dx
x
n
x
n
n−1
a)
Montrer à l’aide des inégalités précédentes que
|Sn − `| 6
1
2n + 1
1
∀n > 2
b)
c)
Utiliser l’inégalité précédente pour construire une fonction Python dépendant d’un paramètre α, permettant, sans utiliser de bibliothèque particulière (et donc sans utiliser la fonction ln), de rendre une
valeur approchée à 10−α près de `.
Quel est le résultat obtenu par le programme pour α = 3 ?
En déduire la (ou les) valeur(s) potentielle(s) de l’arrondi de ` à 10−3 près puis décider (en expliquant
votre choix) si on peut trancher sur un nombre à 3 chiffres après la virgule représentant :
- la valeur exacte de l’arrondi de ` à 3 chiffres après la virgule ?
- une valeur "approchée et arrondie" à 10−3 près de ` ?
(On ne demande pas d’obtenir un nombre vérifiant les deux conditions en même temps, mais de trancher sur chacun des points séparément.)
Partie II :
4.
La série harmonique
a)
b)
c)
0
Montrer que Sn = S2n
pour tout n ∈ N∗ .
0
En déduire la limite de (S2n
).
Justifier finalement que (Sn0 ) converge et donner sa limite.
Informations relatives à l’utilisation de fonctions Python pour ce devoir :
•
Pour tracer une courbe :
on rappelle que l’on peut utiliser la fonction plot de la bibliothèque pylab ou matplotlib.pylab.
Plusieurs options permettent de gérer par exemple la couleur et l’épaisseur de la courbe. (Options que l’on peut
trouver en faisant un help de la fonction.
•
Pour colorer ou hachurer une partie du plan :
La fonction fill_between(X,Y) de la bibliothèque pylab ou matplotlib.pylab permet de colorer ou hachurer
la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses et la courbe donnée par les X et Y (comme pour plot). L’option
color s’applique comme pour plot et il existe encore une option pour les hachures que je vous laisse chercher
(par exemple à l’aide du "help".)
(Attention toutefois, cette fonction n’est pas compatible avec la fonction "legend". Ne perdez donc pas de temps
à essayer de rajouter une légende au graphique.)
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