SCHEMA 01 La « loi de l`utilité marginale décroissante » ou

SCHEMA 01
La « loi de l’utilité marginale décroissante »
ou « première loi de Gossen » (1811 - 1858)
L’Utilité Totale augmente à taux décroissant, passe par un
maximum avant de décroître.
Nombre de verres
Utilité totale
Utilité marginale
L’Utilité Marginale (variation de l’Utilité Totale quand N varie) est
donc :
Positive décroissant puis
Nulle pour N = 9
Négative au-delà
0
0
-
1
30
30 - 0 = 30
2
55
55 - 30 = 25
3
75
20
Dans cette approche « Néo-Classique », l’Utilité Marginale est
supposée représenter la « Valeur d’Echange » que CET individu
reconnaît à telle unité de ce bien.
Supposons qu’il s’agisse ici de verres de « Coca-Cola ».
Il est clair que le fait même de considérer cet « objet » comme un
« Bien », c’est-à-dire comme quelque chose susceptible de
satisfaire un besoin (ici la Soif) dépend de l’individu considéré. Si
vous êtes allergique au « Coca-Cola » vous ne lui reconnaîtrait
aucune « Valeur d’Usage » dit autrement vous ne le
considérerait donc pas comme un « Bien ».
4
90
15
5
100
10
6
105
5
7
108
2
8
109
1
9
109
0
10
104
-5
Tel n’est pas le cas de notre individu : il considère le « Coca-Cola »
comme un « Bien ». Reste qu’on suppose qu’au fur et à mesure
qu’il absorbe des verres… il a de moins en moins soif !
confronté à un prix P il ne consommera que les verres auxquels il reconnaît une
Um > P.
L’affirmation peut vous sembler triviale : elle est néanmoins
FONDAMENTALE puisque, comme nous le verrons par la suite
ce n’est que si nous acceptons ce postulat que nous serons en
mesure d’exprimer des fonctions de Demande « normales » (i.e :
décroissantes du prix) but ultime de ce début de cours !
Il n’absorbera donc le verre n°9 (auquel il ne reconnaît aucune « valeur ») que si
untel accepte de lui offrir (P = 0 pour lui).
Il n’absorbera donc le verre n°10 (d’utilité négative pour lui) que si untel lui offre
ET l’indemnise de la désutilité qu’il éprouverait ! Ce dernier cas ouvrirait donc la
porte à la possibilité de prix négatifs !
L’Utilité Marginale (Valeur d’Echange) n’est au fond que le « prix
dans sa tête » que cet individu est disposé à payer. Dit autrement,
On comprend donc que, pour la suite de nos propos, nous ne retiendrons que les
cas dans lesquels l’Utilité Marginale est ≥ 0.
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SCHEMA 02
La « loi de l’utilité marginale décroissante »
En continu dérivable via la Fonction d’Utilité
UT
UT
y
α
α
0
z
x
z
x
UMx
0
ion
sd
is
ev
Sen
x
L’individu est confronté à deux biens. Sa « Fonction d’Utilité » (sur laquelle
nous reviendrons plus loin) indique l’évolution de l’Utilité Totale ressentie
par lui en fonctions des quantités de X et de Y.
Fixons la quantité de Y : nous examinons l’évolution de UT en fonction de la
seule variation de QX.
0
Nous retrouvons notre schéma 1 si X est du « Coca-Cola ».
L’Utilité Totale augmente à taux décroissant (pour Y donné lorsque QX
augmente). L’Utilité Marginale de X (dU / dx = tangente α) est donc positive
décroissante (tant que QX < Z).
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SCHEMA 03
La « loi de l’utilité marginale décroissante »
En continu dérivable via la Fonction d’Utilité non-homogène
UT
UT
y
0
0
ion
sd
is
ev
Sen
x
UMx
A
Z
0
A
Z
x
Dans un tel cas, l’Utilité Marginale serait croissante pour QX comprise entre O
et A « puis » décroissante (conforme à notre postulat) pour QX comprise entre
A et Z. Nous aurons à insister plus avant sur le fait que cette autre
présentation (donc ce type de fonction d’utilité) ne présente en fait que peu
d’intérêt (la Fonction de Demande serait croissante de son prix entre O et A !).
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x
SCHEMA 04
Interprétation « néo-classique » du paradoxe dit « de l’eau et du diamant »
UT
Dans ses « Recherches sur la nature et les causes de la Richesse des
Nations » (1776), Adam SMITH (1723-1790) notait le paradoxe devenu
célèbre suivant :
La « Valeur d’Usage » de l’Eau est très importante (car il s’agit d’un bien
vital) alors que, hors conditions extraordinaires (désert…) sa « Valeur
d’Échange » est faible. À l’inverse,
La « Valeur d’Usage » du Diamant est faible (il n’est pas indispensable)
ce qui ne l’empêche pas d’avoir une forte « Valeur d’Échange » !
Rappel : Pour A. Smith, la « Valeur d’Échange » ou « Prix Réel » d’une
denrée quelconque pour celui qui désire l’échanger est « la quantité de
Travail que cette denrée le met en état d’acheter ou de commander ». Théorie
dite « objective de la Valeur.
EAU
Q
UM
En assimilant l’Utilité Totale à la « Valeur d’Usage » et l’Utilité Marginale à la
« Valeur d’Échange » certains auteurs néo-classiques prétendent (sur base
d’une théorie « subjective » de la Valeur) proposer une explication à ce
paradoxe.
DIAMANT
Q
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SCHEMA 05
La loi d’égalisation des Um pondérées par les prix
ou « seconde loi de Gossen » (1811 - 1858)
On suppose que le consommateur est « rationnel » et « preneur de prix ».
On suppose qu’il dispose d’un revenu R = 28
On se donne Px = 2 et Py = 3
L’individu « commence » par acheter une unité de Y (car 100 > 40). Dépense totale = 3.
Il achète « ensuite » une seconde unité de Y (car 70 > 40). Dépense totale = 6.
Il achète « ensuite » une troisième unité de Y (car 60 > 40). Dépense totale = 9.
Il achète « ensuite » une première unité de X & une 5° unité de Y (car 30 = 30). Dépense totale = 21.
Il achète « ensuite » une première unité de X (car 25 > 20). Dépense totale = 23.
Il achète « enfin » une 5° unité de X & une 6° unité de Y (20 = 20). Dépense totale = 28 = R.
C’est là son « panier optimal » (x* = 5 et y* = 6) : sous les contraintes qui sont les
siennes (R = 28) et des prix qui s’imposent à lui il ne peut mieux faire que UT = 300 + 960
= 1260.
Ce « panier optimal » est caractérisé par l’égalisation des utilités marginales pondérées
par les prix (20 = 20) ou « Seconde Loi de Gossen ». Dit encore autrement le rapport des
Um est égal au rapport des prix.
Qx
U totale X
UmX
Umx/Px
Umy/Py
U totale Y
Qy
1
80
80
40
100
300
1
2
150
70
35
70
510
2
3
210
60
30
60
690
3
4
260
50
25
40
810
4
5
300
40
20
30
900
5
6
330
30
15
20
960
6
7
350
20
10
10
990
7
8
360
10
5
10/3
1000
8
Il pourrait dépenser R = 28 autrement mais il
n’obtiendrait alors qu’un niveau U inférieur.
Exemple : pour x = 2 et y = 8 il dépense (4 + 24) = 28 mais
alors U = 150 + 100 = 1150 < 1260
Dans ce cas : UmX / UmY = 70/10 = 7 est > PX / PY = 2/3. Ne
pouvant « jouer » sur le rapport des prix il se doit de
diminuer le rapport des Um en substituant du X à du Y.
Il pourrait atteindre autrement ce niveau U = 1260
mais la chose supposerait alors que R > 28.
Exemple : pour x = 8 et y = 5 nous avons bien U = 360 + 900
= 1260 mais R = 16 + 15 = 31 > 28.
Dans ce cas : UmX / UmY = 10/90 = 0,111 est > PX / PY = 2/3.
Ne pouvant « jouer » sur le rapport des prix il se doit
d’augmenter le rapport des Um en substituant du Y à du X.
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SCHEMA 06
Les Courbes d’Indifférence (ou d’Iso-Utilité)
Les paniers A et B se situent à la même « hauteur » par rapport au plan de
base. Cet individu juge donc qu’ils lui procurent le même niveau d’utilité totale
alors même que le panier A comporte relativement « beaucoup de bien X » et
« relativement peu de bien Y » quand le panier B est composé strictement en
symétrique.
UT
D
Le même commentaire est applicable aux paniers C et D : il juge que ces
paniers lui procurent un niveau d’utilité totale identique à ceci près que ce
niveau U2 est « supérieur » à U1. L’optique étant ici « ordinale » nous ne
pouvons aller au-delà : surtout ne pas comparer quantitativement U2 et U1 !
Projetées sur le plan de base, ces diverses « courbes de niveau » dessinent
un nombre infini de « Courbes d’Indifférence » (ou « d’Iso-Utilité ») : la « Carte
d’Indifférence » de ce consommateur.
U2
B
C
U1
y
A
0
U2
U1
x
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SCHEMA 07
Carte d’indifference et notion de « gaspillage »
y
Les paniers A et B sont jugés équivalents : ils procurent U1 à l’individu concerné.
Les paniers C et D sont jugés équivalents : ils procurent U2 à l’individu concerné.
Les paniers E et F sont jugés équivalents : ils procurent U3 à l’individu concerné.
Le panier C est préféré au panier A (optique ORDINALE) et le panier E est
préféré au panier C.
Le panier E est donc préféré au panier A : TRANSITIVITÉ des choix
deux
courbes U de niveaux différents ne peuvent donc se couper !
G
E
U3
C
A
B
0
Les paniers F et H sont jugés équivalents alors que H impliquerait, par rapport
à F de disposer à la fois de plus de X et de plus de Y. En H il y aurait
« gaspillage » de bien X (notez bien que cette notion n’a rien à voir avec
l’aspect financier des choses !). Dit autrement, en H, l’Um de X serait négative
(et nulle en F)…ce qui est exclu par définition même d’une « Fonction d’Utilité ».
H
D
U1
Les paniers E et G sont jugés équivalents alors que G impliquerait, par
rapport à E de disposer à la fois de plus de X et de plus de Y. En G il y aurait
« gaspillage » de bien Y (notez bien que cette notion n’a rien à voir avec
l’aspect financier des choses !). Dit autrement, en G, l’Um de Y serait négative
(et nulle en E)…ce qui est exclu par définition même d’une « Fonction d’Utilité ».
U2 F
x
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SCHEMA 08
Les « lignes de faîte « (ou « de crête »)
y
Généralisons le schéma 07.
La « Ligne de faîte » OA est lieu géométrique des paniers
caractérisés par Umy = 0
La « Ligne de faîte » OB est lieu géométrique des paniers
caractérisés par Umx = 0
A
(I)
B
( III )
Umx et Umy >0
U2
U1
0
Dit autrement :
La « Ligne de faîte » OA est lieu géométrique des paniers
caractérisés par TMSXY = ∞
La « Ligne de faîte » OB est lieu géométrique des paniers
caractérisés par TMSXY = 0
Les paniers composant la Zone I sont caractérisés par un «
gaspillage de Y » : Umy < 0
Les paniers composant la Zone II sont caractérisés par un «
gaspillage de X » : Umx < 0
Ces deux ensembles sont donc de ce fait exclus par définition
même de la notion de Fonction d’Utilité !
N’est retenue que la Zone III caractérisée par :
( II )
UmX et UmY > 0
x
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SCHEMA 09
Deux courbes d’indifference ne peuvent se couper
Hypothèse de transitivité des choix
y
Les courbes U1 et U2 ne peuvent se couper. En effet si tel était le
cas, l’individu serait :
indifférent entre les paniers A et B relevant de U1
indifférent entre les paniers B et C relevant de U2
…donc indifférent entre les paniers A et C relevant de deux
niveaux différents d’utilité !
E
A
Transitivité des choix : Si le panier D est préféré au panier A et
si le panier E est préféré au panier D
le panier E sera préféré
au panier A.
D
U4
B
U3
C
U2
U1
0
x
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SCHEMA 10
Notion de « Taux Marginal de Substitution de X à Y » (TMSXY)
y
Définition : On nomme TMS de X à Y le nombre d’unités de
bien Y que tel individu est disposé à céder contre plus
d’unités de bien X tout en maintenant inchangé son niveau
d’utilité totale (donc, sur telle courbe d’indifférence) :
ΔY / ΔX
A
Il est clair que ce rapport est négatif. J’ai pour ma part l’habitude
de raisonner en valeur absolue (relire le commentaire
accompagnant le schéma 8).
Pour des variations non infinitésimales, le TMSXY correspond
donc à la tangente de l’angle α formé par la corde AB avec l’axe
OX.
Si ΔX
0 alors le TMSXY=dy/dx c’est-à-dire la pente de la
tangent en tout point à la courbe U.
∆y
B
Economiquement parlant, puisque ΔU=0 entre A et B, il vient :
dy.UmY=dx.UmX
α
0
x
dy/dx=UmX/UmY
Le TMS de XY (mais ceci n’en est pas la définition !) correspond,
en tout point de U au rapport des Um évalués en ce point.
∆x
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SCHEMA 11
Hypothèse fondamentale : décroissance du TMSXY < > convexité (stricte)
des courbes U < > X et Y jugés imparfaitement substituables
y
Le TMSXY = dy / dx = tangente α est décroissant dans le sens de
la flèche (c’est-à-dire lorsque du X est substitué à du Y).
Rappel : je raisonne en valeur absolue !
Le TMSXY est infini en Z et nul en G : Z et G relèvent des « Lignes
de faîte » (voir schéma 8).
Z
Les courbes d’indifférence sont donc convexes.
Économiquement parlant, cet individu juge donc les bien X
et Y comme étant dans un rapport d’imparfaite
substituabilité.
A
N.B1 : Nous comprendrons plus loin pourquoi cette hypothèse de
convexité est fondamentale.
N.B2 : La substituabilité n’est en rien inhérente aux biens : il ne
s’agit que d’un jugement de tel individu.
B
G
α
0
α
x
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SCHEMA 12
Constance du TMSXY : biens jugés parfaitement substituables
y
Si le TMSXY (tangente α) est constant, les biens X et Y sont jugés
parfaitement substituables par ce consommateur.
Nous comprendrons plus loin pourquoi, en fait, cette hypothèse
est à exclure.
U0
U1
U2
α
0
α
α
x
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SCHEMA 13
La complémentarité stricte : autre hypothèse à exclure
« efficacité » et « efficience »
y
2
1
Cet individu envisage les biens X et Y comme étant dans un rapport de
complémentarité stricte.
Café
Par exemple : Y correspond à « une tasse de café » et X correspond à un
morceau de sucre. S’il dispose d’une tasse assortie de 2 morceaux de sucre,
il atteint (panier A) le niveau U1 . S’il veut atteindre le niveau U2, il doit disposer
de 2 tasses de café alors nécessairement assorties de 4 morceaux de sucre
(panier B)…etc…
B
D
A
C
0
2
4
U2
En C il dispose de 4 morceaux de sucre dont 2 ne seront pas utilisés. Les
paniers A et C procurent le même niveau d’utilité U 1. En C nous aurions
« gaspillage » de X (sucre).
U1
Les paniers A et C sont « efficaces » (ils permettent d’atteindre le niveau U1)
mais seul le panier A est « efficient » (pas de gaspillage). Il en va de même en B.
Sucres
En D il dispose de 2 tasses dont l’une ne sera pas consommée…faute de
sucre. Les paniers A et D procurent le même niveau d’utilité U1. En D nous
aurions « gaspillage » de Y (café).
x
Les paniers A et D sont « efficaces » (ils permettent d’atteindre le niveau U1)
mais seul A est « efficient » (pas de gaspillage). Il en va de même en B que
nous dirons « efficient » quand C n’est qu’efficace.
L’efficacité se juge à la capacité d’atteindre tel but quand l’efficience se juge
aux moyens engagés. Un panier efficace n’est pas nécessairement efficient
alors qu’in panier efficient est nécessairement efficace.
Nous verrons, lors de l’introduction de la contrainte financière pourquoi cette
hypothèse de biens jugés strictement complémentaires est à exclure dans
l’approche qui est la nôtre.
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SCHEMA 14
La concavité des courbes U : autre cas à exclure
y
Dans un tel cas, le TMSXY serait croissant (je raisonne en valeur
absolue) dans le sens de la flèche.
Cette hypothèse est totalement à exclure dans notre optique
puisque, comme nous le verrons en introduisant la contrainte
budgétaire et l’hypothèse de rationalité, elle conduirait à des
solutions dites « en coin » l’individu consacrant l’ensemble de
ses moyens à n’acheter que du bien X ou que du bien Y… ce qui
ne le prédisposerait guère à échanger !
A
B
α
0
α
x
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SCHEMA 15
La contrainte budgétaire ou « droite de budget »
y
On suppose que l’individu dispose d’un revenu (noté R) qu’il
dépense totalement à acheter les biens X et Y à des prix
unitaires Px et Py qui s’imposent à lui (on le dit alors « preneur
de prix)
Nous verrons plus loin (schémas 34 à 37) comment il obtient R
en travaillant et comprendrons plus loin (en étudiant le marché
théorique dit de « Concurrence Pure et Parfaite ») pourquoi les
prix s’imposent à lui.
R
Py
B
Il vient donc :
R = x.Px + y.Py
y = R /Py – x.Px / Py
Expression de la « Droite de Budget » (ou lieu géométrique des
paniers financièrement accessibles à cet agent) dont la pente
(toujours en valeur absolue) est donnée par le rapport des prix
(tangente β).
A
Un panier tel que B est financièrement impossible à atteindre. Un
panier tel que A est exclu du fait de l’hypothèse selon laquelle
l’individu dépense l’ensemble de son revenu R. (hypothèse qu'il
convient de ne pas confondre avec celle de rationalité).
β
0
R
Px
x
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SCHEMA 16
Déplacement de la « droite de budget »
y
y
A
R2
Py1
y
B
R
Py
R
Py1
C
R1
Py1
R
Py1
α
0
α
R1
Px
R2
Px
x
Si R augmente (pour Px et Py donnés) la
contrainte budgétaire se déplace vers le
« Nord-Est » dans le quadrant représentatif.
L’individu est alors enrichi. Son revenu
« nominal » et (les prix ne changeant pas) son
revenu « réel » (ou pouvoir d’achat)
augmentent.
Le même graphique A peut représenter le cas
dans lequel, pour R inchangé, les prix Px et Py
diminuent sans modification de leur rapport
(donc de α). L’individu est alors enrichi « en
termes réels ».
0
R
Px1
x
R
Px2
Le graphique B illustre le cas dans lequel
l’individu voit son « revenu réel » augmenter
du fait d’une diminution de Px ceteris paribus.
0
R
Px
x
Le graphique C illustre le cas dans lequel
l’individu voit son « revenu réel » diminuer du
fait d’une augmentation de Py ceteris paribus.
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SCHEMA 17
Equilibre du consommateur rationnel
(à rapprocher du schéma 5)
y
R
Py
A
L’hypothèse de rationalité (substantive) signifie que le consommateur est à la
recherche d’un optimum sous contrainte. Deux optiques duales sont alors
envisageables :
B
En fonction de son R (qu’il dépense en totalité) et des prix (Px et Py) qui
s’imposent à lui le consommateur « rationnel » va choisir le panier
optimal (x*, y*) qui maximise son niveau d’utilité totale sous cette
contrainte financière. Par exemple les paniers A et E impliquent le même
niveau de R alors que E procure un niveau U1 supérieur (optique
ordinale) à U0 associé au panier A. Dit autrement le TMSXY en A (pente de
la tangente α à U en A) est > Px / Py (pente de la « Droite de Budget »)
qui s’impose à lui. À partir de A, il doit substituer du X à du Y jusqu’à ce
qu’en E le TMSXY soit égal au rapport (Px / Py) des prix (tangente β).
E
α
0
α=β
U0
R
Px
U1
x
De façon symétrique, pour un niveau donné d’utilité qu’il se fixe comme
objectif, le consommateur « rationnel » retiendra le panier optimal (x*, y*)
qui lui permet de minimiser le revenu nécessaire (pour Px et Py
s’imposant à lui). Par exemple, les paniers B et E lui procurent U1 mais
le revenu associé à B est > à celui associé à E. Dit autrement, le TMSXY
en B est > Px / Py : il doit substituer du X à du Y.
À l’équilibre (E) :
TMSXY = tangente α = dy / dx = Umx / Umy = Px / Py = tangente β
Dit autrement, en E :
Umx / Px = Umy / Py
…dite « Seconde loi de Gossen »
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SCHEMA 18
La maximisation de U sous contrainte
y
Généralisons l’optique 1 exposée dans le schéma 17.
Le rapport des prix (pente de la « Droite de Budget » = tangente β) s’impose
à l’agent. Pour R1 la droite AB représente le lieu géométriques des paniers qui
lui sont financièrement accessibles.
C
H1/Eutope
U2
A
y2*
y1*
L’individu étant par ailleurs supposé « rationnel » (TMSXY = Px / Py) il va se
situer sur la courbe représentative (dite « Eutope » de « eu » préfixe signifiant
« bon » ou « correct » et « topique » = l’endroit).
En clair H1 (pour hypothèse 1) représente le lieu des paniers « rationnels ».
U1
E1
β
0
Pour le revenu R1, le panier optimal (rationnel et financièrement possible) ne
peut donc être que le panier E1.
Pour le revenu R2 > R1, le panier optimal (rationnel et financièrement possible
= Droite CD) ne peut donc être que le panier E2, etc. (en fonction de R).
E2
x1* x2* B
La généralisation de cette approche (Max de U sous contrainte) mène :
Aux fonctions marschalliennes de « Demande » (schéma 20) si seul l’un
des deux prix est supposé varier.
À l’examen de la « nature » des biens (« Lois de Engel ») si seul R est
censé variable (schémas 31 & 32).
β
D
x
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SCHEMA 19
La minimisation de R sous contrainte
y
Généralisons l’optique 2 exposée dans le schéma 17.
L’hypothèse de « rationalité » conduit le consommateur à se situer sur H1
(Eutope le long duquel TMSXY = Px / Py).
H1
S’il se fixe pour objectif d’atteindre U1, cet objectif sera atteint rationnellement
(au moindre R) en E1 (le panier A pour lequel le TMSXY serait > Px / Py et le
panier B pour lequel le TMSXY serait < Px / Py supposeraient des niveaux de
R plus élevés).
A
y2*
y1
*
De la même façon, si son objectif est U2, la rationalité le conduira à choisir le
panier E2 (qui lui permet d’atteindre ce niveau de U au moindre coût).
E2
E1
La généralisation de cette approche (Min de R sous contrainte de U) mène
aux fonctions hicksiennes de « Demande ».
U2
B
U1
0
x1*
x2*
x
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SCHEMA 20
Ligne de « consommation - prix » et fonction de demande « Marschallienne »
y
R
Py
Il s’agit de généraliser l’approche Max de U ! sous contrainte financière
traduite dans le schéma 18. Nous procédons donc à une « expérience » au
sens strict de ce terme : isoler une relation supposée causale. Dans le cas qui
nous occupe, puisqu’il s’agit d’examiner la seule influence possible de Px sur
Q*x nous raisonnons ceteris paribus (ici pour R et Py donnés. Le point A est
donc fixe).
Ligne de
consommation - prix
A
3
2
1
Pour une valeur initiale Px1 du prix unitaire de X, l’individu « rationnel »
maximise son utilité totale sous contrainte financière en 1 point où :
U3
TMSXY = Px1 / Py
U2
U1
R
Px1
Px
R
Px2
R
Px3
x
TMSXY = Px2 / Py
Px1
Px2
Px3
0
Demande de X
x*1
x*2
x*3
Dans la partie basse du graphique, nous mettons donc en regard ces valeurs
de la variable explicative (Px) et de la variable expliquée (Q*x).
Pour Px2 < Px1, l’individu maximise U en 2 caractérisé par :
x
Dans la partie basse du graphique, nous mettons donc en regard ces
nouvelles valeurs de la variable explicative (Px) et de la variable expliquée
(Q*x).
Il est clair que U2 > U1. On dit que l’individu est « enrichi en termes réels ».
Il est possible d’envisager ainsi, en statique comparative, une infinité de
valeurs de Px.
Le long de la fonction de demande « marschallienne » l’utilité totale est donc
croissante (pour mémoire, par opposition aux demandes « hicksiennes » le
long desquelles U reste, par construction, constante : généralisation du
schéma 19).
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SCHEMA 21
Décomposition d’un « effet prix »
Méthode de J. Hicks, dite de la « variation compensée » : hypothèse d’une augmentation de Px ceteris paribus
y
Pour telles valeurs de R, Py et Px, l’individu rationnel maximise U en 1 :
R
Py
e2
TMSXY = Px1/Py = tangente α
Nous augmentons Px ceteris paribus. Changent alors et la pente de la Droite
de Budget et celle de l’Eutope. L’individu rationnel (plus pauvre en termes
réels) va alors se situer en 2 :
Eu
to
p
ER
TMSXY = Px2/Py= tangente β
ES
En fait, nous venons d’appliquer par deux fois la logique inhérente au schéma 18.
z
e1
p
to
Eu
2
1
β
β
0
R
Px2
Un retour en 1, pour le même niveau U1, supposerait un R > R*Z
(car alors nous aurions TMSXY = Tg α < Px2/Py…et la « Seconde loi de
Gossen » ne serait pas respectée !).
U1
U2
α
R*z
Px2
Question : Quel est le panier qui lui permet désormais d’atteindre U1 avec un
revenu minimum ?
C’est la logique inhérente au schéma 19 qui nous donne la réponse. L’individu
va se situer en Z, panier pour lequel TMSXY = Px2/Py = tangente β.
R x
Px1
Dans le cas ici illustré, l’Effet de Substitution (1
Z) et l’Effet de Revenu
(Z
2) se cumulent (« moins de X quand Px augmente ») permettant ainsi
de prédire que la fonction de Demande de X (une fois établie son expression
mathématique) sera « normale » (c’est-à-dire décroissante de son prix).
EF
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SCHEMA 22
Décomposition d’un « effet prix »
Méthode de J. Hicks, dite de la « variation compensée » : hypothèse d’une diminution de Py ceteris paribus
y
Pour telles valeurs de R, Py et Px, l’individu rationnel maximise U en 1 :
TMSXY = Px/Py1 = tangente α
2
Nous diminuons Py ceteris paribus. Changent alors et la pente de la Droite de
Budget et celle de l’Eutope. L’individu rationnel (plus riche en termes réels) va
alors se situer en 2 :
pe
R
Py2
Eu
to
U2
TMSXY = Px/Py2= tangente β
En fait, nous venons d’appliquer par deux fois la logique inhérente au schéma 18.
U1
R
Py1
z
2
ER
pe
o
Eut
ES
1
0
Question : Quel est le panier qui lui permet désormais de revenir sur U1 avec
un revenu minimum ?
C’est la logique inhérente au schéma 19 qui nous donne la réponse. L’individu
va se situer en Z, panier pour lequel TMSXY = Px/Py2 = tangente β.
α
1
Un retour en 1, pour le même niveau U1, supposerait un R > R*Z
(car alors nous aurions TMSXY = Tg α < Px/Py2…et la « Seconde loi de
Gossen » ne serait pas respectée !).
β
R
Px
x
Dans le cas ici illustré, l’Effet de Substitution (1
Z) et l’Effet de Revenu
(Z
2) se cumulent (« plus de Y quand Py diminue ») permettant ainsi de
prédire que la fonction de Demande de Y (une fois établie son expression
mathématique) sera « normale » (c’est-à-dire décroissante de son prix).
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SCHEMA 23
Décomposition d’un « effet prix » : un cas particulier
y
Nous raisonnons ici comme dans le schéma 22 : modification de Py ceteris
paribus.
R
Py1
Nous remarquons que, dans ce cas, ladite variation laisse inchangée la
coordonnée en X de l’équilibre !
Dit autrement, dans ce cas, l’Effet de Substitution et l’Effet de Revenu
(mesurés sur l’axe des x !) se compensent.
Ce sera le cas lorsque la fonction d’utilité est de la forme
U1
ES
R
Py2
U2
1
U = xα . yβ
Les fonctions de Demande en X et en Y sont alors représentées par des
branches d’hyperboles équilatères.
z
2
0
x*
R
Px
x
ER
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SCHEMA 24
Décomposition d’un « effet prix » : un cas particulier
y
Nous raisonnons ici comme dans le schéma 21 : modification de Px ceteris
paribus.
R
Py
Nous remarquons que, dans ce cas, ladite variation laisse inchangée la
coordonnée en Y de l’équilibre !
Dit autrement, dans ce cas, l’Effet de Substitution et l’Effet de Revenu
(mesurés sur l’axe des y !) se compensent.
Ce sera le cas lorsque la fonction d’utilité est de la forme
U1
z
y*
2
U = xα . yβ
1
ES
Les fonctions de Demande en X et en Y sont alors représentées par des
branches d’hyperboles équilatères.
ER
U2
0
R
Px2
R
Px1
x
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SCHEMA 25
Elasticite-directe de la demande / prix
Il s’agit d’étudier la sensibilité de la Q*x demandée suite à une variation
de Px ceteris paribus (c’est-à-dire alors que Py et R restent inchangés).
Attention (confusion fréquente)
Ici nous nous déplaçons donc sur la courbe de demande de X alors
qu’une modification de R ou de Py provoqueraient un déplacement de la
courbe de demande de X dans son quadrant ! (voir schéma 33 - les
concepts d’élasticité-croisée et d’élasticité-revenu).
Par définition
e = (∆Qx / Qx) / (∆Px / Px)
(δQx / δPx) . Px / Qx
(si ∆Px
0)
Typologie
Lorsque « e » est compris entre -1 et - ∞ la demande est dite
« élastique » (d’autant plus fortement que e
- ∞).
Lorsque « e » est compris entre –1 et 0 la demande est dite
« inélastique » (d’autant plus que e
0).
Lorsque e = 0 la demande est dite « rigide » (ou « parfaitement
inélastique »).
Remarques importantes
1
Il s’agit donc d’un nombre sans dimension (puisque rapport de
deux variations relatives : % / %).
Dans notre univers walrasien, puisque la demande de x
est « normalement » décroissante de Px, ce coefficient d’élasticité
est normalement négatif à la limite, il peut être nul (voir schéma suivant)
mais il est par contre incohérent de l’envisager positif. La « demande »
serait alors croissante de son prix… en totale contradiction avec notre
postulat initial (« première loi de gossen », schéma 2).
2
Ce coefficient est génèralement variable de long de la courbe de
demande. Il n’existe que 3 exceptions c’est-à-dire 3 cas dans
lesquels le coefficient « e » est constant le long de la demande
(dite alors « iso-élastique »). Voir schéma 26 ci-après.
3
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SCHEMA 26
Les 3 cas de fonctions de demande iso-elastiques
P
P
P
e = 0 = ct
e = ∞ = ct
A
0
e = -1 = ct
B
C
Q* 0
Dans l’hypothèse A les variations du prix du
bien restent sans influence sur la quantité
demandée de ce bien Q* (comparez aux
schémas 20 et 21 Supra dans lesquels ce
n’est pas le cas !).
Le coefficient d’élasticité-directe-prix est alors
constant le long de la courbe de demande
avec :
e=0
Q* 0
Dans
l’hypothèse
B
le
coefficient
d’élasticité-directe-prix est alors constant le
long de la courbe de demande avec :
e = infini
(nous reviendrons plus loin sur ce cas en
étudiant le modèle de la « Concurrence Pure
et Parfaite »)
Q*
Dans l’hypothèse C toute variation de x% du
prix entraîne (quel que soit le point de départ)
une variation de Q* de x% mais de sens
contraire.
Le coefficient d’élasticité-directe-prix est alors
constant le long de la courbe de demande
avec :
e=-1
Ce dernier cas correspond à nos schémas 23
et 24. La fonction d’utilité est de la forme :
U = xα . yβ et les fonctions de Demande sont
représentées par des branches d’hyperboles
équilatères.
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SCHEMA 27
« Parabole des recettes » ou « loi de G. King »
On suppose que la « Fonction de Demande » (c’est-à-dire Q = f(P)) est de
type linéaire. Donc, la « Fonction de Demande Inverse » (c’est-à-dire P= f(Q))
est de la forme :
RT
2
P = a.Q + b
4
(avec, bien entendu, a < 0)
Recette Totale :
1
Recette marginale :
3
b/2a
P
b/a
2
P2
Rm
A
3
Q1
Q2
Q3
Q4
(Rm) = RT’ = 2 a.Q + b
Si P = P1
Q = Q1 et RT1. Pour augmenter cette RT (par exemple en RT2)
il convient donc de diminuer P. La chose va entraîner une augmentation de
Q (passant de Q1 à Q2) plus que proportionnelle (en valeur absolue). Dit
autrement, sur la zone OA de la Demande (correspondant à la branche
croissante de la parabole représentative de la RT) le coefficient
d’élasticité-directe-prix est supérieur à 1 (je raisonne en valeur absolue !)
Si P = P3
Q = Q3 et RT3. Pour augmenter cette RT (par exemple en RT4)
il convient donc d’augmenter P. La chose va entraîner une diminution de Q
(passant de Q3 à Q4) moins que proportionnelle (en valeur absolue). Dit
autrement, sur la zone AB de la Demande (correspondant à la branche
décroissante de la parabole représentative de la RT) le coefficient
d’élasticité-directe-prix est inférieur à 1 (je raisonne en valeur absolue !)
4
P4
0
Q
1
P1
P3
RT = P.Q = a.Q2 + b.Q
B
Q
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SCHEMA 28A
Evolution de « e » le long d’une demande linéaire : une relation fondamentale
P
P = a.Q + b
RT = P.Q = a.Q2 + b.Q
e <1
e >1
Rm = RT’ = 2 a.Q + b
A
La RT sera maximale si RT’ = Rm = 0 c’est-à-dire si (dérivée d’un produit) :
Rm = d(P.Q)/dQ = (P. dQ/dQ) + (Q . dP/dQ)
= P + (Q . dP/dQ) = P [1 + Q/P . dP/dQ] = 0
Or, puisque (voir schéma 25) e = (dQ/dP) . (P/Q), il vient :
La RT sera maxi si :
Rm = P (1 + 1/e) = 0
P*
Z
e = -1
Comme la RT ne peut être maxi avec P = 0 c’est donc la parenthèse qui doit
être nulle, c’est-à-dire lorsque
e=-1
(point Z correspondant à P* sur le graphique).
Entre A et Z (c’est-à-dire pour P > P*) pour augmenter la RT il convient de
diminuer P car la Demande y est alors élastique (|e| > 1). Par exemple, une
baisse de P de 10% entraînera une augmentation de Q de 20% (donc la
croissance de RT = P.Q).
B
0
Rm
Q
Entre Z et B (c’est-à-dire pour P < P*) pour augmenter la RT il convient
d’augmenter P car la Demande y est est alors inélastique (|e| < 1). Par
exemple, une augmentation de P de 10% n’entraînera qu’une diminution de
Q de 5% (donc la croissance de RT = P.Q).
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SCHEMA 28B
Evolution de « e » le long d’une demande linéaire : une autre démonstration ( à vous de choisir ! )
P
Soit une fonction de Demande de la forme :
e >1
Q = a –b.P
Si P = 0
Q=a
Si Q = 0
P=a/b
e <1
a/b
Par définition, e = (dQ/dP). (P/Q)
Donc, en ce cas : e = - b . P/Q = (- b.P) / (a – b.P)
Donc :
a/2b
Si P = 0
e = -1
Si Q = 0
Si P = a/2b
0
a/2
a
e=0
e = infini
e = - b . [(a/2b) / (a/2)] = - 1
Q
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SCHEMA 29
« Surplus » du consommateur
(J.A. Dupuit, 1844)
UT
Nous avons postulé que l’Utilité totale augmentait à taux décroissant (voir
schémas 1 et 2) lorsque la consommation de tel bien augmente.
L’utilité marginale est alors admise positive et décroissante (« Première loi de
Gossen »).
Ce postulat admis, nos fonctions de Demande sont donc, comme ici,
« normalement » décroissantes.
En effet, cette courbe de Demande nous indique :
Pour tout montant du prix du bien en cause la Q* qui maximise U (revoir
votre schéma 20)
Ou, dans l’autre sens, pour toute valeur de Q le prix maximum que
l’individu en cause accepterait d’acquitter pour en disposer (dit autrement
la « valeur d’échange » ou « utilité marginale » qu’il accorde à cette
quantité de ce bien).
Uq*
Um
P
Q
A
Z
Si le prix constaté est P, l’individu ne demandera que toutes les unités du bien
auxquelles il accorde une Utilité marginale (ou « Valeur en Echange »)
Q*B
supérieure à ce prix de marché. Dans notre cas, pour PB
L’Utilité Totale ressentie (somme des Um) est mesurée par l’aire [AZQ*0]
La somme déboursée pour disposer de cette Q* est représentée par l’aire :
[BZQ*0].
Prix de marché
B
0
Le point A correspond au « prix de réserve » (ou « de réservation ») tel que :
Q=0
Le « Surplus » du consommateur (parfois très maladroitement nommé «
Rente » !) correspond à un gain psychologique découlant de la différence
entre ce qu’il était disposé à acquitter et ce qu’il a effectivement déboursé.
Dans notre cas, cette différence, ce « Surplus », est visualisée par l’aire
[ABZ].
Q*
Q
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SCHEMA 30
Variation de « surplus », un jeu à somme non nulle !
P
Au prix P1 le Surplus = [AP1B].
Au prix P2, le Surplus = [AP2C].
A
La variation de Surplus ou aire [CBP1P2] est :
pour partie, détournée par le vendeur : aire [CDP1P2] : sa Recette Totale
augmente d’autant
pour partie, perdue pour les deux acteurs : aire [CDB]
P2
P1
0
Il s’agit donc d’un « jeu à somme non-nulle » (et nous y reviendrons en
étudiant plus loin le Monopole).
C
B
D
Q
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SCHEMA 31
Courbe de consommation - revenu et courbe de Engel
(1821 - 1893)
Y
Pour telles valeurs de R, Px et Py l’individu supposé rationnel maximise U en
A (panier pour lequel TMSXY = Px / Py = tangente α )
Eu
to
pe
Procédons à une expérience : Qu’advient-il de A si R augmente ceteris
paribus (donc pour α inchangé) ?
Les paniers optimaux (TMSXY = Px / Py) sont alors A, B, C, D…
D
La courbe correspondante est dite « Ligne de Consommation/Revenu » ou (je
préfère !) « EUTOPE » (c’est-à-dire : lieu où « c’est bon » c’est-à-dire où
l’hypothèse de rationalité est vérifiée).
C
B
Si nous mettons maintenant en regard la variable expliquée (Q*X) et la
variable explicative (R), nous obtenons la « Courbe d’ENGEL» de X.
(n.b : il est bien entendu possible d’opérer à l’identique sur le bien Y).
A
α
α
α
α
X
R
RD
Courbe d’Engel
RA
0
Q*A
Q*D
Q*x
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SCHEMA 32A
« Les lois » d’Engel
R
ELASTICITE - REVENU :
eR = ( ∆ QX / QX ) / ( ∆ R / R )
Premier cas ci-contre : Si lorsque, par exemple, R double (pour Px et Py
donnés) la Q*x fait plus que doubler, e > 1 et le bien X est alors dit
« Supérieur ».
2R
X = « Superieur
Second cas ci-contre : Si lorsque, par exemple, R double la Q*x fait moins
que doubler, e < 1 et le bien X est alors dit « Inférieur ». Si e = 1, le bien sera
dit « Ordinaire » (et surtout pas « Normal »… qui qualifie la relation inverse
entre Q* x et Px !).
R
Q2 > 2Q1
Q1
R
Q*x
ATTENTION : Ne pas confondre (chose trop fréquente !) augmentation moins
que proportionnelle (e < 1) et diminution (e < 0) ! Ce dernier cas est tout
simplement impossible (revoir schéma 31) : Q*x ne peut pas diminuer lorsque
R augmente (pour des prix unitaires donnés).
2R
X = « Inférieur »
R
0
Q1
Q2 < 2Q1
Q*x
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SCHEMA 32B
« Les lois » d’Engel
ATTENTION : Bien souvent dans les manuels, la variable explicative R est
placée en abscisses ce qui entraîne de fréquentes erreurs !
Qx
eR = (∆ QX / QX) / (∆ R / R)
(dQ / dR). (R/Q) = (dQ / dR) / (Q/R) = tg α / tg β
X = « Inférieur »
α
c’est-à-dire rapport entre la pente de la « Courbe de Engel » et la pente du
rayon joignant l’origine à tout point sur ladite courbe.
β
R
Qx
Si le bien est « Inférieur » alors α < β (sauf si R tend vers l’infini) et e < 1
Si le bien est « Supérieur » alors α > β (sauf si R tend vers l’infini) et e > 1
Si le bien est « Ordinaire » alors α = β et e = 1
β
α
X = « Superieur »
R
Qx
X = « Ordinaire »
α=β
R
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SCHEMA 33
Augmentation de la demande
Px
ATTENTION : Ne pas confondre (chose fréquente !) déplacement SUR la
Demande et déplacement DE la Demande dans son quadrant.
Dans l’illustration ci-contre :
Px2
A
Q*x passe de Q*1 à Q*2 si Px diminue de Px1 à Px2…pour R et Py
donnés (passage de A à B). La notion correspondante est donc celle
d’élasticité-directe-prix.
C
Q*x peut passer de Q*1 à Q*2 si pour Px1 donné, le prix Py augmente
(passage de A à C). La notion correspondante est celle
d’élasticité-croisée.
Dans notre cas, cette élasticité-croisée est > 0 (X et Y sont alors jugés
dans un rapport de substituabilité par cet agent…hypothèse
fondamentale dans l’univers walrasien. Cf Supra).
B
Px1
Q*x peut passer de Q*1 à Q*2 si pour Px1 donné, le revenu R augmente
(passage de A à C). La notion correspondante est celle
d’élasticité-revenu.
Cette élasticité-revenu est > 0… et la question de savoir si elle est
supérieure à 1 (X alors dit bien « Supérieur ») ou inférieure à 1 (X
alors dit bien « Inférieur ») n’intervient que dans un second temps
d’analyse (autre confusion trop fréquente déjà relevée ci avant !).
0
Q*1
Q*2
Q*x
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SCHEMA 34
Allocation optimale du temps
C
24w
/P
Postulats : « L’Homme n’aime pas travailler ». Donc le taux de
salaire doit nécessairement être positif (w > 0) et s’il le pouvait
(un ange vivant d’amour et d’eau fraiche !) l’individu ne
consommerait (en B) que du « Loisir ».
Si à l’inverse, en tant que « robot », il pouvait travailler 24H/24 il
ne tirerait son U que de la consommation de biens (autre que le
Temps libre) et se situerait alors en A.
A
D
Repousser ces 2 hypothèses irréalistes revient à admettre la
convexité des courbes U (qui évite les « solutions en coin » :
revoir les schémas 11 et 14 supra).
L’individu tirera donc U et de la consommation de biens (qu’il ne
peut acheter qu’en disposant de R c’est-à-dire en acceptant de
travailler) et de la « consommation » de temps libre.
E
C*
C
B
0
24
Loisir
Travail
Temps
Hypothèse : L’individu est supposé « rationnel ». Il cherche
donc à maximiser U (tirée donc à la fois de la consommation de
biens et de « loisir ») sous la contrainte de 24H/ Jour.
P = Niveau Général des Prix
w = Taux de salaire horaire = « coût d’opportunité » d’une heure
de loisir.
En E, le TMS est égal au rapport des prix, c’est-à-dire à w/P (ou
taux de salaire « réel ») et la répartition des 24 heures
disponibles est optimale.
En C, il disposerait du même niveau U moyennant moins de
travail mais plus de loisirs qu'en E.
En D, sous contrainte de 24 heures il ne disposerait que d’un
niveau U < UE.
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SCHEMA 35
La réaction « normale »
suite à une augmentation de « w » l’individu augmente son temps de travail
C
24w2
/P
24w1
/P
B
A
Supposons que w augmente. La pente de la contrainte est
modifiée (passage de A à B).
U2
U1
Puisque dans notre univers walrassien les fonctions de
Demande se doivent d’être « normales » (décroissantes du
prix)* et puisque notre agent est analysé essentiellement
comme un « Demandeur de Loisir » (cf. schéma 34), cette
augmentation du coût d’opportunité du Loisir doit « normalement
» se traduire par une diminution des heures de Loisir et donc
augmentation des heures consacrées au Travail.
2
L’équilibre passe de 1 à 2. L’utilité totale progresse (malgré la
baisse du temps de Loisir) et du fait de l’augmentation de « w »
et du fait de la progression des heures consacrées à obtenir R.
C*2
C*1
0
1
Augmentation
du temps de travail
Puisque U2 > U1 : nous supposons que l’augmentation de U
provenant de l’augmentation de C* est > à la perte de U
qu’entraîne la diminution de temps consacré au Loisir.
24 Temps
L’Offre de Travail n’étant obtenue que comme la différence (24 –
Demande de Loisir), dans ce cas, « Demande de Loisir » et
« Offre de Travail » sont « normales » : décroissante pour la
première et croissante pour la seconde.
(*) Nous excluons donc ici totalement la possibilité que 2 se situe
« à droite » de 1 : la Demande de Loisir serait « anormale »
(croissante de son « prix ») et, donc, l’Offre de Travail le serait
aussi (« plus on me paye moins je travaille »).
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SCHEMA 36
Le cas limite
suite à une augmentation de « w » l’individu ne modifie pas son allocation
C
24w2
/P
24w1
/P
Supposons que w augmente. Nous illustrons ci-dessous le cas
dans lequel cette augmentation du coût d’opportunité de l’heure
de Loisir n’entraîne aucune modification de l’allocation optimale
du temps entre Travail et Loisir. Le niveau d’utilité de l’agent
progresse néanmoins (U1 > U2) ici du simple fait de
l’augmentation de « w ».
U2
U1
Dans ce cas, la Demande de Loisir sera rigide (inélastique de
son « prix ») et donc, l’Offre de Travail qui en découle le sera
aussi.
2
C*2
1
C*1
0
24
Loisir
Temps
Travail
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SCHEMA 37
Demande de loisir et offre de travail
W
Ces fonctions sont supposées « normales » : décroissante pour la première
et (donc) croissante pour la seconde. Pour chaque valeur de « w » : temps de
Travail = 24 - demande de Loisir.
W2
Nous admettons ici l’existence d’un « Salaire de réservation » > 0
(c’est-à-dire que pour toute valeur de « w » < SR l’individu se refuse à offrir sa
Force de Travail).
Offre de
Travail
W1
SR
W
6h
Travail
10h
W2
Demande
de Loisir
W1
SR
14h
18h
Loisir
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SCHEMA 38
Boîte d’Edgeworth (F.Y. Edgeworth 1845-1926)
« Etats réalisables » et « Dotations initiales »
50 Kg
y2
02
F
x2
Soit 2 consommateurs (notés 1 et 2) sur une île déserte dans
laquelle ne sont disponibles (on ne se penche pas ici sur la
question de la production des biens !) que 2 biens (notés X et Y)
de consommation finale
Important : il n’y a pas de monnaie disponible sur cette île !
Supposons que les quantités disponibles soient :
D
A
B
x = 50 kgs et y = 20 kgs
L’infinité des points (des répartitions) inclus dans la boîte
(frontières incluses) sont dits : « États Réalisables »
20 Kg
01
C
y2
x1
Hypothèse : 1 et 2 considèrent X et Y comme des substituts
les courbes U sont donc convexes (*)
Si nous nous donnons le point A en départ d’analyse, il est
qualifié de « Dotations Initiales »
« 1 » dispose alors de relativement peu de bien X (par
rapport aux 50 kgs disponibles) et, par contre, de
relativement beaucoup de Y (par rapport aux 20 kgs
disponibles).
« 2 » dispose alors, à l’inverse, de relativement beaucoup
de bien X (par rapport aux 50 kgs disponibles) et, par contre,
de relativement peu de Y (par rapport aux 20 kgs
disponibles).
(*) Cette hypothèse de convexité est fondamentale. En effet,
si les courbes U pouvaient être concaves nous aurions face à
face un individu ne désirant « que du X » et un individu ne
désirant « que du Y » (revoir schéma 14). Aucun échange
n’aurait alors lieu….rendant alors caduque notre seule
question : « quel est le taux d’échange » ? (ou «sur quel prix
relatif Px/Py les échanges vont déboucher » ?).
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SCHEMA 39
Les T.M.S. de X et Y des agents 1 et 2 au point « A »
y2
02
x2
En A le TMSXY de 1 est relativement élevé. Autrement dit 1, à
partir de A est disposé à abandonner relativement beaucoup de
Y pour obtenir en échange plus de bien X (tout en restant sur son
niveau initial UA1 d’utilité). Son TMSXY est alors mesuré, par
définition, par tangente α.
A
β
En A le TMSXY de 2 est relativement faible. Autrement dit 2 est
disposé à abandonner relativement peu de Y pour obtenir en
échange plus de bien X (tout en restant sur son niveau initial UA2
d’utilité). Son TMSXY est alors mesuré par tangente β.
Dans une application numérique nous saurons (suite à ce calcul
des TMS en A) donc, d’ores et déjà :
Qui offrira quoi ? (dans notre exemple l’individu 1 sera
offreur de Y).
Que le prix relatif Px/Py (une fois les échanges effectués)
sera compris entre TMSXY de 1 en A et TMSXY de 2 en A.
UA1
α
01
(dotations initiales)
UA2
y2
x1
Ce prix relatif n’a donc rien (sic) de monétaire. Il ne découle
que des Fonctions d’Utilité de nos deux agents et des «
dotations initiales » que nous leur accordons !
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SCHEMA 40
Echanges non probables car non mutuellement avantageux :
notion de « doux commerce »
y2
02
x2
A
Passer de A à B n’augmenterait que U2 (et serait sans
influence sur le niveau initial, en A, d’utilité de l’agent 1).
Passer de A à C n’augmenterait que U1 (et serait sans
influence sur le niveau initial, en A, d’utilité de l’agent 2).
F
Ces échanges, ainsi que des échanges qui conduiraient de A à
D (au détriment de l’agent 1) ou de A à E (au détriment de l’agent
2)… sont non-envisageables : tel agent n’est en effet disposé à
échanger que si son niveau U progresse par ce biais !
C
B
D
01
Les échanges mutuellement avantageux (U1 et U2 progressant
par rapport à leurs niveaux mesurés en « A ») excluent donc
aussi les paniers composant les courbes de niveaux UA1 et UA2
se croisant en A.
Le « Cœur » est donc composé de l’infinité des « paniers »
qui, par rapport à A, augmentent simultanément U1 et U2 .
UA1
UA2
y2
x1
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SCHEMA 41
« Doux commerce » : échanges mutuellement favorables
y2
02
x2
Chaque point de la zone hachurée délimitée par les courbes UA1
et UA2 (hors ces « frontières ») représente une allocation qui
améliore simultanément U1 et U2 par rapport aux niveaux de U
pour les agents 1 et 2 mesurés pour « A ».
A
On qualifie alors cette infinité de points (frontières exclues) de
« Cœur de l’Economie ».
RAPPEL : Notre approche est « ordinale ». Dans telle
application numérique, il est donc hors de question de
comparer, par exemple, les ∆U des agents 1 et 2 !
UA1
UA2
01
y2
x1
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SCHEMA 42
« Equilibre » et « Optimum de Pareto »
y2
02
x2
A
C
H
En passant de A (« Dotations Initiales ») au point E l’agent 1 et
l’agent 2 considèrent (jugements subjectifs) que leurs niveaux
d’utilité progressent par rapport à UA1 et UA2.
A partir de E on ne peut espérer mutuellement mieux.
Dit autrement, si à partir de E on désire modifier l’allocation des
biens pour faire augmenter U1 ce sera nécessairement au
détriment de U2 (et vice-versa).
P
G
I
B
R
E
L’allocation E est dite alors un « Optimum de Pareto ».
En ce point E, le TMSXY de 1 = le TMSXY de 2… compris entre les
TMSXY calculés lors des « dotations initiales » (voir schéma 39).
UA1
UA2
D
F
01
M
N
La pente de la droite AE rend donc compte du prix relatif (Px
/ Py) sans que nous ayons à connaître ni Px ni Py.
Px/
Py
y2
x1
Est ici illustrée l’hypothèse de « Neutralité » de la Monnaie (cf.
Théorie Quantitative de la Monnaie) : Le rapport d’échange ne
dépend en rien du volume de la Masse Monétaire en circulation !
Si la Masse Monétaire disponible augmente de x%, chaque prix
fera de même : les prix relatifs, qui seuls importent, ne
dépendent en rien de la monnaie (Px / Py est une variable
« réelle »)
Le prix relatif d’équilibre Px/Py sera, bien entendu. (Voir schéma
39) compris entre les TMSXY de 1 et de 2 évalués aux dotations
initiales (A).
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SCHEMA 43
« Courbe des possibilités »
U1
Dans cette présentation alternative :
N correspond au niveau U de l’individu 1 si ce dernier disposait de
l’ensemble des quantités disponibles des deux biens X et Y.
N
M correspond à U de l’individu 2 si ce dernier disposait de l’ensemble des
quantités disponibles des deux biens X et Y.
A représente les « Dotations Initiales ».
C
Comme dans le schéma 40, l’échange qui conduirait en B est non probable
car seul le niveau de U2 progresserait.
Symétriquement, l’échange qui conduirait en C est non probable car seul le
niveau de U1 progresserait.
E
UA1
Comme dans le schéma 41, la zone hachurée (hors ses limites AB et AC)
représente l’infinité des paniers mutuellement avantageux par rapport à A.
Comme dans le schéma 42, le point E figure ici l’optimum : la pente de la
tangente en E à la courbe MN indique le taux d’échange (Px / Py) qui va
s’établir (hors toute considération monétaire).
B
A
α
0
UA2
M
U2
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SCHEMA 44
Les Courbes isoquantes
(Hypothèse d’une Fonction de Production non homogène)
Le panier A qui combine relativement beaucoup de L à peu de K débouche
sur le même niveau q1 de production que le panier B qui combine
relativement peu de L à beaucoup de K.
Q
Par ailleurs, dans le présent cas, la « Fonction de Production » est dite
« non-homogène ».
q2
C’est-à-dire que :
B
dans une « première » phase une augmentation homothétique des
doses combinées de K et de L (par exemple leur doublement) suffira à
faire progresser Q plus que proportionnellement (pour garder notre
exemple, Q fera plus que doubler) ;
q1
A
K
alors que dans une « seconde » phase, la multiplication par m de la
dose de K et de la dose de L n’entraînera que multiplication de Q par n
(avec : n < m)
q0
B
0
q0
A
q2
q1
L
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SCHEMA 45A
Les Courbes isoquantes
(Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré < à 1)
Si par exemple la fonction est homogène de degré 0,5, la multiplication par 2
(par exemple) des doses combinées de K et de L n’entraînera qu’une
multiplication de q1 par 20,5 1,4.
Q
q2
1,4 q1
A et B procurent q1
C et D procurent q2
avec :
q2 = q1 x 20,5
Les rendements physiques (hors toute considération de prix !) sont alors
dits « Décroissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est moins
que proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).
D
q2
B
C
q1
K
A
0
q2
q1
L
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SCHEMA 45B
Les Courbes isoquantes
(Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré < à 1)
K
q2
Si par exemple la fonction est homogène de degré 0,5 la multiplication par 2
(par exemple) des doses combinées de K et de L n’entraînera qu’une
multiplication de q1 par 20,5 1,4.
1,4 q1
Autrement dit le passage du panier A au panier B (doublement des doses
combinées de K et de L) ne multipliera le niveau de l’output que de 20,5 1,4.
B
k2
k1
Les rendements physiques (hors toute considération de prix) sont dits
« Décroissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est moins que
proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).
A
q2
q1
0
l1
l2
L
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SCHEMA 46A
Les Courbes isoquantes
(Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré > à 1)
Si par exemple la fonction est homogène de degré 2, la multiplication par 2
(par exemple) des doses combinées de K et de L entraînera une multiplication
(plus que proportionnelle) de q1 par 22 = 4.
Q
D
A et B procurent q1
C et D procurent q2
q2
q2 = 4 q1
B
q2 = 4. q1
Les rendements physiques (hors toute considération de prix !) sont alors
dits « Croissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est plus que
proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).
C
Dans ce cas
avec :
K
q1
0
A
q1
q2
L
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SCHEMA 46B
Les Courbes isoquantes
K
(Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré > à 1)
Si par exemple la fonction est homogène de degré 2 la multiplication par 2
(par exemple) des doses combinées de K et de L entraînera une
augmentation plus que proportionnelle de q1 par 22 = 4.
Dans ce cas k1=1/2 k2 et l1 = 1/2 l2
mais
q2 = 4 q1
(Un doublement de k et de l quadruple de Q!)
Autrement dit le passage du panier A au panier B (doublement des doses
combinées de K et de L) multipliera le niveau de l’output par 4.
Les rendements physiques (hors toute considération de prix) sont dits
« Croissants à l’échelle » (l’augmentation de la production est plus que
proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).
k2
k1
B
A
q2
q1
0
l1
l2
L
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SCHEMA 47A
Les Courbes isoquantes
(Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré = 1
c’est-à-dire à strictement parler, une Fonction de Cobb-Douglas)
La multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L
entraîne alors multiplication par 21 = 2 de la quantité produite.
Q
A et B procurent q1.
C et D procurent q2
Dans ce cas
q2 = 2 q1
avec :
q2 = 2. q1
Les rendements physiques (hors toute considération de prix !) sont dits
« Constants à l’échelle » (l’augmentation de la production strictement
proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).
D
q2
C
B
K
q1
A
0
q2
q1
L
Initiation à la micro-économie - Fernando Martos - IAMM - 2011
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SCHEMA 47B
Les Courbes isoquantes
(Hypothèse d’une Fonction de Production homogène de degré = 1
c’est-à-dire à strictement parler, une Fonction de Cobb-Douglas)
K
La multiplication par 2 (par exemple) des doses combinées de K et de L
entraîne alors multiplication par 21 =2 de la quantité produite.
Dans ce cas
q2 = 2 q1
k2
Autrement dit le passage du panier A au panier B (doublement des doses
combinées de K et de L) multipliera le niveau de l’output par 2.
Les rendements physiques (hors toute considération de prix) sont dits
« Constants à l’échelle » (augmentation de la production strictement
proportionnelle à l’augmentation des doses combinées de K et de L).
B
q2
k1
A
q1
0
l1
l2
L
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SCHEMA 48
Pourquoi exclure la complémentarité stricte entre facteurs ?
(notion d’efficience technique de la production dite encore de « non-gaspillage »)
K
Les combinaisons A et D sont « efficaces »
(si le but est d’atteindre le niveau de production q1).
Les combinaisons A et E sont « efficaces »
(si le but est d’atteindre le niveau de production q1).
F
G
C
D
B
A
0
q3
q2
q1
E
L
L’Efficacité se juge selon le but : est-il ou non atteint ?
Cependant, seule la combinaison A est techniquement « efficiente ».
En effet :
En D du facteur K est « gaspillé » (il n’augmente pas Q par rapport à la
combinaison A : ce qui n’est en rien un concept financier !)
En E, du facteur L est « gaspillé » (il n’augmente pas Q par rapport à la
combinaison A : ce qui n’est en rien un concept financier !)
L’efficience technique de la production (principe de « non gaspillage ») est
donc uniquement vérifiée en A, en B, en C.
La combinaison F entraînerait gaspillage de facteur K et la combinaison G
gaspillage de L.
Cette hypothèse de « complémentarité stricte » est en fait à exclure du fait
que les modifications du rapport des prix factoriels (PL / PK) resteraient sans
influence sur le rapport (K/L)* optimal en fonction de la Q à produire.
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SCHEMA 49
Pourquoi exclure la concavité des courbes « U » ?
En A est bien vérifié l’équivalent de la « Seconde Loi de Gossen ».
À savoir l’égalité entre :
K
Le TMS de L à K = pente de la tangente en tout point à la courbe q1
CT
=
PK
La pente de la « Droite de Budget » (donnée par PL / PK).
B
q1
q2
Reste que cet optimum serAIT alors un minimum (et non un maximum) de Q
sous contrainte !
q3
En effet, avec le même budget, l’entrepreneur peut se situer :
En B pour q2 > q1 (l’ensemble du budget serait consacré à acheter du
facteur K)
En C pour q3 > q1 (l’ensemble du budget serait consacré à acheter du
facteur L)
(On parle alors de solutions « en coin »)
A
Dans notre exemple, l’entrepreneur se situerAIT en C (pour produire q3).
On jugera peu réaliste d’envisager la production de tel bien à l’aide d’un seul
facteur de production (ici, sans K) !
0
CT
=
PL
C
L
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SCHEMA 50
La loi des « rendements non-proportionnels »
Q
K
C
B
Entre O et A, la production croît à taux croissant (la Pm de L est donc
croissante).
En A, pour L1, la Pm de L passe par un maximum puisque sa primitive connaît
une inflexion.
En C (maximum de Q) la Pm de L est nulle. En B, la Pm de L (pente de la
tangente à la courbe Q) est égale à la PM de L (pente du rayon joignant O à
tout point de la courbe Q) et la PM de L est alors maximale.
Gaspillage L
QA
A
Nous examinons Q en fonction de L (pour K donné : « Courte Période »).
Pour que les courbes aient l’allure ci-dessous il convient que la Fonction de
Production soit non-homogène.
Il est possible de discuter en s’appuyant sur le concept d’élasticité de Q par
rapport à L :
e = (∆Q / Q) / (∆L / L)
L1
PmL
L
PML
Entre O et B : e > 1 (puisque PmL > PML).
En B : e = 1 (la pente de la tangente à la courbe et celle du rayon OB sont
alors confondues).
Entre B et C : e < 1.
En C : e = 0. Au-delà, la PmL serait < 0….il y aurait « gaspillage de L » (encore
une fois concept non financier).
PmL
PML
0
A
B
C
(dQ/Q) / (dL/L) = (dQ/dL). L/Q = (dQ/dL) / (Q/L) = PmL / PML
L
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SCHEMA 51
La loi de la productivité marginale décroissante
Q
β
α
L1
LA
PML
Gaspillage de facteur L au-delà de LA
A
K
Nous examinons Q en fonction de L (pour K donné : « Courte Période »).
Pour que les courbes aient l’allure ci-dessous figurée il convient que la
Fonction de Production soit homogène d’un degré inférieur à 1.
Dans ce cas, Q est croissant à taux décroissant et sa dérivée ou Pm de L
(pente de la tangente en tout point à la courbe Q) est donc décroissante (Tgα)
Il en va de même pour la PM de L (pente du rayon reliant O à tout point de la
courbe ou Tgβ).
En 0, α = β. Les PmL et PML sont égales et l’élasticité de Q / à L = 1 (Voir
schéma 50). Donc e = 1.
Entre 0 et A, e < 1 puisque la Pm de L est inférieure à la PM de L :
tangente α < tangente β comme nous l’illustrons pour L1.
En A, la PmL = 0 et donc e = 0.
L
Donc, ce schéma 51 n’est que reprise (non inutile comme nous le verrons) de
la zone (B-C) du schéma 50.
PmL
0
L
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SCHEMA 52
Décomposition du coût total de « courte période »
CFixe
Nous faisons ici l’hypothèse d’une Fonction de Production non-homogène.
Par définition, en « Courte Période », l’existence d’un facteur fixe
entraîne existence d’un Coût Fixe : la partie des coûts supportée y
compris lorsque Q = 0.
CF
Parmi les coûts qui ne sont supportés que lorsque Q est positive, nous
distinguons ci-dessous :
Q
C
les coûts variables « proportionnels
les coûts variables non-proportionnels…(du fait de cette Fonction de
Production supposée non-homogène).
CVP
C
0
Q
CVNP
Q
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SCHEMA 53
Coût total, coût moyen et coût marginal en « courte période »
CT
La fonction de production étant non-homogène le CT croît dans un « premier
temps » (zone OA) à taux décroissant. Le Cm est alors décroissant.
Mettez en relation avec le schéma 50 : la production y augmentait alors à taux
croissant et la PmL était alors croissante.
CT
Le Cm est minimum pour QA lorsque le CT connaît son point d’inflexion (sur
le schéma 50 la PmL passe alors par un maximum).
Dit autrement : lorsque la PmL est
le Cm est
et vice-versa.
CUT
En effet, en « Courte Période » et si l’entreprise est « preneuse de prix » (PL
s’impose à elle comme l’ensemble des autres prix) :
Cm = dCT/dQ = (d k.PK / dQ) + (d L.PL / dQ) = PL(d L / dQ) = PL / PmL
CFix
0
CM
Cm
A
Cm
Q
CMT
Le Cm est égal aux CVM et CTM lorsque ces derniers sont minimums. Le
CTM est, bien entendu, minimum pour une Q supérieure à celle pour laquelle
le CVM est lui même minimum du fait d’un Coût Fixe Moyen (CF / Q) de forme
hyperbolique (voir schéma 52). Pour la même raison, l’écart entre CMV et
CMT décroît lorsque Q
.
CMV
0
A
Q
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SCHEMA 54
Profit et maximisation du profit
« Seuil de rentabilité » ; « seuil de fermeture » et « courbe d’offre »
CT
RT
B
L’entreprise est supposée « preneuse de prix » : la RT augmente à taux
constant (tangente α représente donc à la fois ce prix et la Rm de cette firme).
Elle est supposée « rationnelle ». Elle vise donc à maximiser π = RT - CT
Ce profit est positif entre A et B : la quantité qui correspond à A est dite « Seuil
de Rentabilité » (quantité minimale qui, pour un prix donné débouche sur π = 0).
A
Ce profit passe pour un optimum si π’ = 0 c’est-à-dire ici pour Q1 et Q* : la Rm
(pente de la RT) est égale au Cm (pente de la tangente en tout point au CT).
Ce profit est maximum si π’’ < 0,
c’est-à-dire si (-Cm’ > 0)
Cm’ > 0
Cm
. Donc π* pour Q*
La perte est symétriquement maximale pour Q1 (seconde solution à l’équation
du second degré).
CFix
0
CM P
Cm
α
SR
Q*
Q
A
P
E
Cm
B
RM
Rm
CM
SF
Si P est inférieur au minimum du CMT (par exemple en PZ) il est clair que
l’entreprise n’offrira pas QZ à perte (pour ce niveau de production le CM > P !).
Dit autrement, la « Courbe d’Offre » est donnée par la partie de la branche
croissante du Cm située au-dessus du minimum du CM : dit « Seuil de
Fermeture ».
Pz
0
Q1
SR Qz
Q*
Q
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SCHEMA 55
Hypothèse fondamentale de convexité stricte des courbes isoquantes
(donc de décroissance du TMST de L à K)
K
Par définition, le TMST de L à K = dk / dL c’est-à-dire figuré par la pente de
la tangente en tout point à une courbe Q d’iso-production (tangente α).
Il est donc décroissant (rappel : je raisonne en valeur absolue !) entre A et B :
la courbe Q est donc strictement convexe et les facteurs L et K sont dans un
rapport d’imparfaite substituabilité.
Courbe Q = Q0
A
Entre deux points d’une même courbe Q par définition :
dk.PmK = dl.PmL
1
Il vient donc :
dk / dL = PmL / PmK
Ainsi, en tout point de la courbe, le TMST le L à K est donné par le rapport
inverse des Pm mesurées en ce point (ce qui n’est en rien la définition de ce
TMST).
2
B
α1
α2
0
L
α2 < α1
∆Q = 0 et donc :
(TMSLK)1 > (TMSLK)2
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SCHEMA 56
Efficience technique de la production
Les « lignes de faîte »
K
MS LK
T
Sur l’isoquante q0, entre les combinaisons A et B, l’individu substitue du L à
du K.
=∞
Au-delà de A (par exemple en C) il y aurait « gaspillage » de K (la PmK
deviendrait négative).
C
A
Au-delà de B (par exemple en D) il y aurait « gaspillage » de L (la PmL
deviendrait négative).
En A, la PmK = 0 (donc le TMST de L à K = ∞)
PmL et PmK > 0
En B, la PmL = 0 (donc le TMST de L à K = 0)
=
S LK
q0
Les « Lignes de faîte » sont les lieux géométriques de ces deux valeurs limite
du TMST de L à K. Elles délimitent la « Zone d’Efficience Technique » de la
production (au sein de laquelle la PmL et la PmK sont positives).
0
TM
D
B
0
L
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SCHEMA 57
Equilibre du producteur « rationnel »
K
En E :
CT
PK
l’agent maximise Q sous contrainte de son CT et des prix factoriels (PL et
PK) qui s’imposent à lui,
A
ou, pour l’envisager autrement, il y minimise le CT de production de QE à
des prix factoriels donnés.
En ce point E, nous vérifions donc :
C
TMST de L à K = PmL / PmK = PL / PK = Tg α
E
Dit autrement en E (et rien qu’en E !) sont égalisées la pente de la tangente à
la courbe QE (ou TMST de L à K en ce point) et la pente de la « Droite de
Budget » (donnée par le rapport des prix factoriels).
Ainsi, par exemple en A, produire la même quantité supposerait un budget
supérieur (ce qui se traduirait par le fait que le TMST de L à K en A serait > au
rapport PL / PK).
B
D
α
0
CT
PL
L
Ainsi, par exemple en B, produire la même quantité supposerait un budget
supérieur (ce qui se traduirait par le fait que le TMST de L à K en B serait < au
rapport PL / PK).
Ainsi, par exemple en C ou en D, le même budget qu’en E ne procurerait
qu’une quantité < QE.
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SCHEMA 58
Eutope et coût total de longue période
(Hypothèse d’une Fonction de Production non-homogène : revoir le schéma 44)
CT
QB
QA
Pour des prix factoriels donnés (pente de la Droite de Budget inchangée)
faisons augmenter le budget c’est-à-dire CT = k.PK + L.PL.
Eutope
Qc
B
En A, en B, en C nous vérifions que PmL / PmK = PL / PK.
La courbe OABC est dite Eutope. C’est donc en A que l’output QA est
élaboré au moindre coût, idem en B pour QB…
La mise en relation de ces CT minimum avec les niveaux correspondants de
production est, par définition, le « Coût Total de Longue Période » (absence
de coût fixe).
C
A
Si la Fonction de Production est, comme ici supposé, non-homogène :
0
CT
CT1
CT2
CT3
PL
PL
PL
L
CTLP
à la phase des Rendements Croissants à l’échelle correspondra un CTLP
croissant à taux décroissant
à la phase des Rendements Décroissants à l’échelle correspondra un
CTLP croissant à taux croissant.
Et le CTLP aura donc l’allure ci-contre (c’est-à-dire sera exprimé en Q3).
CT3
CT1
0
QA
Qc
Q
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SCHEMA 59
Coût Total ; CM et Cm de « Longue Période »
(Hypothèse d’une Fonction de Production non-homogène : revoir les schémas 44 & 58)
CT
Entre O et Q1, le CTLP est croissant à taux décroissant et donc le Cm de LP
est décroissant.
Pour Q1, le CTLP connaît une inflexion : le Cm de LP passe par son minimum.
Au-delà de Q1, le CTLP augmente à taux croissant : le Cm de LP est croissant.
Le Cm de LP traverse (pour Q2) le CM de LP au minimum de ce dernier
(l’angle α formé par l’axe OQ et le rayon joignant l’origine à tout point de la
courbe de CTLP est alors minimum).
0
α
Q1
Q2
Q
CM
Cm
Cm
CM
0
Q1
Q2
Q
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SCHEMA 60
Déséconomies d’echelle
CT
Ce schéma fait suite au schéma 45 (et à l’encart).
CTLP
La Fonction de Production est ici homogène d’un degré inférieur à 1.
La multiplication par « m » des doses de K et de L entraîne multiplication par
« n » de la quantité produite avec n < m (« Rendements Physiques
Décroissants à l’échelle »).
0
CT>2CT1
Exprimé de façon duale, pour doubler (par exemple) l’output Q1 il convient
d’engager un budget « plus que doublé ».
CT1
Dit autrement, le CT de LP augmente à taux croissant et donc :
α
β
Q1
2Q1
Q
CmLP
Le Cm de LP (pente
aussi, croissant.
β de la tangente en tout point à la courbe) est, lui
Pour toute valeur de Q, nous vérifions que β > α et que donc Cm > CM.
CMLP
0
Le CM de LP (tangente de l’angle α formé par le rayon unissant l’origine
à tout point de la courbe) est croissant. La production s’effectue donc en
subissant des « Déséconomies d’Echelle ».
Q
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SCHEMA 61
Economies d’echelle
CT
Ce schéma fait suite au schéma 46 (et à l’encart).
CT2<2CT1
La Fonction de Production est ici homogène d’un degré supérieur à 1.
CTLP
La multiplication par « m » des doses de K et de L entraîne multiplication par
« n » de la quantité produite avec n > m (« Rendements Physiques Croissants
à l’échelle »).
CT1
Exprimé de façon duale, pour doubler (par exemple) l’output Q1 il suffit
d’engager un budget « moins que doublé ».
β
Dit autrement, le CT de LP augmente à taux décroissant et donc :
α
Q1
2Q1
Q
le CM de LP (tangente de l’angle α formé par le rayon unissant l’origine
à tout point de la courbe) est décroissant. La production s’effectue donc
en bénéficiant d’ « Economies d’Echelle ».
le Cm de LP (pente
aussi, décroissant.
β de la tangente en tout point à la courbe) est, lui
pour toute valeur de Q, nous vérifions que β < α et que donc Cm < CM.
CMLP
CmLP
0
Q
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SCHEMA 62
Fonction de Cobb-Douglas
(Stricto-sensu)
CT
Ce schéma fait suite au schéma 47 (et à l’encart).
CT
0
CM
Cm
La Fonction de Production est ici homogène de degré 1.
CT2= 2CT1
La multiplication par « m » des doses de K et de L entraîne multiplication par
« m » de la quantité produite (« Rendements Physiques Constants à
l’échelle »).
CT1
Symétriquement, pour doubler (par exemple) l’output Q1 il suffit d’engager un
budget double.
Dit autrement, le CT de LP augmente à taux constant et donc :
α=β
Q1
Q2=2Q1
Q
le CM de LP (tangente de l’angle α formé par le rayon unissant l’origine
à tout point de la courbe) est constant. La production s’effectue donc
sans bénéficier d’Economies à l’échelle et sans subir de Déséconomies
à l’échelle.
le Cm de LP (pente β de la tangente en tout point à la courbe) est
constant… et confondu dans ce cas avec le CM de LP.
CMLP
CmLP
0
Q
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SCHEMA 63
Choix de taille
(Fonction de Production non-homogène)
K
q*
k1
q1
A
Par exemple, pour produire Q* au moindre coût il convient de retenir k* et
donc d’investir le coût fixe (k*.PK).
tg α = Pl/Pk
q2
k*
Par définition l’Eutope indique les combinaisons (K*/L*) optimales en
fonction de Q et le CT de LP qui en est issu le CT minimum en fonction
de Q.
Eutope
Dit autrement le CT de CP correspondant est tangent au CT de LP pour ce
niveau Q* d’output. Si l’entreprise retenait k1 pour produire Q* en A elle
combinerait relativement « trop de K » à « trop peu de L » et supporterait un
surcoût.
E
B
k2
α
CT
l*
L
CTCP(k*)
En effet, k1 est la dose de K correcte pour élaborer Q1 > Q*.
Il en irait de même si k2 (qui n’est le choix correct que pour produire Q2 < Q*)
était retenu pour produire Q* en B.
CTLP
k1Pk
k*Pk
0
Q*
Q1
Q
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SCHEMA 64
Choix de taille
(avec déséconomies à l’echelle)
CT
CP
Le CT de LP est alors croissant à taux croissant et, donc, les CM et Cm
de LP sont croissants.
LP
Si le prix de marché qui s’impose à elle (ce qui est le cas en C.P.P) est P, la
firme rationnelle doit élaborer Q* (pour π’ = π maxi) et, pour ce faire, retenir
la « taille » correspondant au coût fixe = k*.PK.
Le sur-profit optimal alors réalisé est indiqué par l’aire :
(ABCD) = (P – CMC).Q*
k*Pk
Q*
0
A
D
0
CmCP
B
CMCP
CmLP
P
Q
CMLP
C
Q*
Q
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SCHEMA 65
Choix de taille
(avec économies à l’echelle)
CT
CP
Le CT de LP est croissant à taux décroissant et, donc, les Cm et CM de
LP sont décroissant.
LP
Si le prix de marché qui (en CPP) s’impose à elle est P, la firme rationnelle doit
élaborer Q* et, pour ce faire, retenir la « taille » correspondant au coût fixe =
k*.PK.
Le sur-profit optimal alors réalisé est indiqué par l’aire (ABCD) et serait
donc négatif !!!
k.Pk
CM
Cm
Q*
CmCP
Q
CMCP
C
D
CMLP
A
P
B
CmLP
0
Q*
Q
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SCHEMA 66
Stabilité « statique » de l’équilibre
P
D2
PB
Offre
B
D1
P2
P1
0
Un équilibre est dit stable si à la suite d’un choc exogène (ci-dessous le
déplacement de la courbe de Demande collective) qui rompt l’équilibre
initial (E1) un processus endogène conduit à ce que s’établisse un
équilibre (E2).
On remarquera qu’il s’agit d’un équilibre et non nécessairement du même
équilibre (!) pour qu’il nous suffise de parler de « stabilité » !
En E1, pour P1, les deux types d’agents optimisent leurs fonctions-objectif
respectives (max de U pour les Consommateurs et max de π pour les firmes).
Suite au déplacement de la Demande, P1 n’est plus un prix d’équilibre
puisque, à ce prix, les consommateurs désireraient désormais disposer de :
QA > Q1.
E2
A
E1
Q1
Q2
QA
Q
Walras (Léon) nomme « Demande Nette » cet écart entre quantités
offertes et demandées à tel prix. Ici, la « Demande Nette » est > 0 (excès de
Demande sur l’Offre). Elle entraîne, selon cette approche, augmentation de P
(d’où diminution de la quantité demandée et augmentation de la quantité
offerte) et se résout en E2. Le prix P2 (pour Q2) est un nouvel équilibre et
l’équilibre est alors qualifié de « stable ». Dans l’univers walrassien c’est donc
P qui joue le rôle de vecteur de re-équilibrage du marché suite à un choc
exogène.
On notera que face à ce même choc, Marshall (Alfred) raisonne
symétriquement. Pour Q1, le choc exogène (« augmentation de la Demande »)
détermine un « Prix de Demande » (PB) > au « Prix d’Offre » et cet écart BE1
de prix va se résoudre, dans cette approche, par une augmentation des
quantités conduisant à E2 pour Q2.
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SCHEMA 67
C.P.P. : équilibre conjoint et annulation du sur-profit en LP
Offre rigide
P*
fre
LA FIRME REPRESENTATIVE
fre
fre
E2
CMLP
E3
A
E1
SF
E4
QE
CmLP
Hors de la courbe
d’offre !
Of
P3
Of
P2
Of
D1
Of
D2
LE MARCHÉ
fre
P
SF
QELP
A l’équilibre initial de marché (P*), la firme rationnelle est conduite à
produire q* et à choisir la taille d’équipement dont le Cm coupe en A le Cm
de LP. Elle réalise alors un sur-profit donné par [(AB). q*]. Le nombre
d’entreprises est : n = (QE / q*).
Du fait de l’hypothèse de mobilité, l’existence de ce sur-profit va susciter
des entrées dans la branche. La courbe d’offre collective se déplace «
vers la droite » entraînant baisse de P.
Z
B
q*LP q*1
Q
Ce processus prend fin lorsque le sur-profit a disparu, c’est-à-dire pour
P = « Seuil de Fermeture » = minimum du CM de LP.
Au terme de ce processus, la quantité d’équilibre sur le marché sera QELP
et chacune des entreprises présentes offrira q*LP en utilisant la taille ad
hoc (celle dont le Cm coupe en Z le Cm de LP). Le nombre d’entreprises
sera devenu :
N = (QELP / q*LP) > n
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SCHEMA 68
Le monopole « naturel »
P,C
Cas particulier dans lequel la courbe de Demande rencontre celle de CM de
LP sur la partie décroissante de cette dernière (phase des « Rendements
Croissants à l’Echelle ») : autrement dit, la question n’a de sens que si la
Fonction de Production est supposée non-homogène !
CmLP
Ce type de situation se produirait lorsque, en termes relatifs, les coûts fixes de
la branche sont élevés et les coûts variables y sont faibles (chemins de fer ;
distribution d’eau…).
P2
L’Etat est alors dans l’impossibilité de lutter contre la Rente du monopole (qui
réduit le Surplus des consommateurs) en imposant une « Tarification au Cm »
(point 1) qui entraînerait : π < 0.
CMLP
3
Il est alors économiquement plus rentable qu’une seule entreprise produise
(Q2) au prix (P2).
1
2
Au mieux, la Puissance publique ne peut qu’imposer l’équilibre (3)
correspondant à π = 0.
RM
0
Q2
Rm
Q
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SCHEMA 69
Les recettes du monopole
R
A
(Nous ne faisons ici que synthétiser les schémas 26 et 27)
Demande Collective (ou « au Marché ») et Demande « à la Firme » sont ici
bien entendu confondues.
e = -∞
Cette Fonction de Demande est « normale » (décroissante) et ici linéaire :
P = a.Q + b
RT = P.Q = a.Q2 + b.Q
RT
prend donc la forme d’une parabole.
Z
PZ
Cette dernière passe par un maximum pour QZ (au prix PZ) qui annule sa
dérivée première ou :
Rm = 2.a.Q + b
e = -1
Le coefficient d’élasticité-prix-direct de la Demande est égal à –1 en Z
(puisque Rm = P (1 + 1/e) comme déjà démontré).
RM
e=0
0
QZ
B
La Demande est « élastique » (e < -1) entre A et Z et « inélastique » (e > - 1)
entre Z et B.
Q
Rm
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SCHEMA 70
L’équilibre du monopole et ses modifications
C,P
Le monopole rationnel maximise en E son sur-profit (aire P*EBC) en
proposant un prix P* qui lui permet d’écouler Q* (quantité pour laquelle Rm =
Cm).
A
À ce prix, le « Surplus du Consommateur » est mesuré par l’aire (AP*E) et
nous nous trouvons nécessairement sur la partie « élastique » de la Demande
(pour qu’il en aille autrement il faudrait que le Cm puisse coupe la Rm sur la
partie négative de cette dernière !). Revoir le schéma 69.
Cm
E
P*
G
C
B
Si la firme renonce (ou est contrainte à renoncer) à maximiser son profit elle
va écouler une quantité > Q* à un prix < P*.
CM
On montre qu’il ne s’agit nullement d’un « jeu à somme nulle » :
l’augmentation du « Surplus » (S) excède alors la diminution du sur-profit (π) !
Il en va ainsi en passant de E à G qui maximise la RT. Il en va encore ainsi en
passant de G à Z (« Tarification au Coût Marginal »). On peut montrer qu’en Z
la somme (S + π) est maximale.
Z
H
RM
0
Bien entendu en H le sur-profit sera nul (puisque P = CM) mais la somme
(S + π) sera plus faible qu’en Z.
Q
Q*
Rm
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SCHEMA 71
Le monopole discriminant
P
A
(Cas le plus généralement exposé)
P
B
P
SYNTHÈSE
M
PA
Cm
A
PU
B
PB
x
RmA
0
qA
E
RmB
qB
L’égalisation du Cm et de la Rm « synthétique » détermine la quantité (Q*)
à produire. Il devient dès lors possible d’évaluer le CT correspondant.
Le π sera donc maximisé si la RT tirée de la vente de Q* l’est.
On montre que c’est le cas si l’entreprise fixe des prix PA et PB tels que
la répartition de Q* entre les segments A et B de marché respecte la
règle :
RmA = RmB = CmQ* = 0x
Ces prix (PA et PB) encadrent alors le prix (PU) unique qui aurait prévalu en
Rmsynthèse
Q*
Q
absence de discrimination. Le π de l’entreprise progresse par rapport à sa
valeur en absence de discrimination. Les consommateurs de type B
bénéficient de la pratique (PB < PU). Seuls les consommateurs de type A
pâtissent de cette pratique commerciale : ils payent PA > PU et leur Surplus
(aire M.PA.A) est < au Surplus dont ils auraient bénéficié au prix PU.
Ici encore, il ne s’agit pas d’un « jeu à somme nulle » : l’augmentation
de π reste < à la diminution de la Σ de « Surplus » A et B provoquée par
cette discrimination.
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SCHEMA 72
Le monopole discriminant
P
A
(Cas le moins généralement exposé)
P
B
P,C
SYNTHÈSE
M
Cm
A
PA
PU
x
RMsynthèse
RMA
RmA
0
RMB
Rmsynthèse
RmB
qA
Comme unique modification par rapport au schéma 71, déplaçons le Cm
de telle façon que le prix unique qui aurait prévalu en cas de
non-discrimination devienne > au « Prix de Réservation » des
consommateurs B.
Q*
Q
Dans ce cas, la discrimination permet aux B de consommer
(moyennant augmentation du prix acquitté par les A).
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SCHEMA 73
Le monopole à établissements multiples
P
P
1
Cm
Cm
P,C
2
SYNTHÈSE
q1 + q2 = Q*
2
Cm
P*
synthèse
1
x
RM
Rm
0
q1
q2
L’égalisation de la Rm et du Cm synthétique détermine Q* (puis P* par
report sur la demande). La RT* est donc déterminée et le π sera
maximum si Q* est répartie entre les établissements de telle façon que le
Q
Q*
CT de production soit minimum. C’est le cas pour une répartition telle que :
Cm1 = Cm2 = Cm synthétique = 0X
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SCHEMA 74
Le monopole à établissements multiples : contraction de la demande
Cm
Cm
1
2
Cm
P,C
3
SYNTHÈSE
q1 + q2 = Q*
Cm3
Cm
P
synthèse
Cm2
Cm1
x
RM
Rm
0
q1
q2
Tout déplacement de la Demande dans son quadrant impose (outre la
modification évidente de Q*) de re-calculer la répartition optimale
(c’est-à-dire celle qui minimise le CT) entre établissements.
Q*
Q
La contraction de la Demande peut devenir telle qu’il devienne rationnel de
ne pas utiliser l’ensemble des établissements : ci-dessous l’établissement
3 ne sera pas utilisé du fait de la modicité de la Demande.
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SCHEMA 75
La concurrence monopolistique
(Équilibres de CP et de LP)
P,C
CmLP
CMLP
Cm
CM
Cm
CM
Z
PZ
Rm
0
Rm
En « Courte Période », la firme produit Q* (déterminée par Rm = CmLP) et
adopte (bien entendu) pour ce faire la « taille » d’équipement pour laquelle
le Cm de CP et le Cm de LP se coupent pour Q*). Le prix pratiqué est
indiqué par le report de Q* dans la courbe de demande de CP. Le
sur-profit positif réalisé entraîne perte de part de marché.
RM
Q*
Q
Si nous supposons que la demande « à la firme » se contracte sans
changer de pente, l’équilibre après cet ajustement de LP va se réaliser en Z.
La firme aura adopté alors la « taille » adaptée à cette production
(tangence des CM de LP et de CP en Z ou encore séquence des Cm de
LP et de CP pour QZ). Le prix sera PZ et le sur-profit sera nul.
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SCHEMA 76
La firme dominante
C,P
Les n firmes « satellites » se trouvant en position de « preneuses de prix »
(alors même que nous ne sommes pas en CPP) la notion de « Courbe d’Offre »
a du sens.
A
Cm de L
D’où la Rm de la Firme « Dominante » qui, égalisée au Cm de la même
détermine la quantité (QL) qu’elle offrira et le prix (P*) qu’elle va imposer.
C
P*
À partir de la courbe de demande collective (AB) qui s’adresse à l’ensemble
du Marché (Firme « Dominante » + « Satellites ») il devient donc possible (par
simple soustraction) de déterminer l’expression de la partie de la Demande
Collective que se réserve la Firme « Dominante » (CB).
E’
À ce prix, la demande collective indique (P*H) et donc, l’ensemble des firmes
« satellites » offrira la différence c’est-à-dire (E’ H)… pour autant que P* soit
supérieur à leur propre « Seuil de Fermeture ».
H
E
RM
0
QL
Rm
B Q
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SCHEMA 77
Oligopole de Sweezy
P
Le produit est supposé homogène. Au départ de l’analyse, l’entreprise
considérée écoule Q* à P*. Elle ne modifiera ce prix que si elle pense
(information nulle même si éventualités probabilisables !) que son profit en
serait augmenté.
E
P*
Selon Sweezy, elle imagine qu’en cas d’augmentation du prix qu’elle pratique
elle ne serait pas « suivie à la hausse » et imagine qu’en cas de diminution du
prix qu’elle pratique elle serait « suivie à la baisse » (l’entrepreneur pense
donc que, à partir de E, l’élasticité-directe-prix de la demande qui s’adresse à
lui serait plus forte « à la hausse » que « à la baisse »).
Cm
Il en tire la conclusion que (si ses conjectures sur les réactions de ses
concurrents sont correctes) toute modification de P* ferait diminuer son π.
x
z
Il ne modifiera donc pas ce P*… et ne pourra donc jamais savoir si ses
conjectures sur les réactions des concurrents étaient exactes !
y
Nous sommes donc hors univers walrasien puisque l’agent n’agit
nullement ici en fonction de ce qu’il est censé savoir mais en fonction de ce
qu’il envisage comme conséquence à ses éventuelles décisions actuelles : le
futur prévu (redouté) détermine les décisions de la période T qui, à leur tour,
déterminent la situations en (T + 1) !
0
Q*
Q
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SCHEMA 78A
Duopole de Cournot : approche via la fonction de Demande Inverse
Les hypothèses
Dans son ouvrage de 1838 (Recherches sur les Principes
Mathématiques de la Théorie des Richesses) Augustin COURNOT
(1801-1877) postule que :
les entreprises sont « rationnelles » : leur but est la
maximisation de π.
le bien est homogène ce qui implique fluidité de la demande
et, donc, unicité du prix. Dès lors la stratégie des firmes ne
pourra être que « en quantité ». Par hommage, aujourd’hui
encore, on parle en ce cas d’approche cournotienne.
chacun des deux duopoleurs adopte le même
comportement : on parle alors de duopole « symétrique ».
Les deux entreprises sont « pacifiques » (ne cherchant pas à
dominer le marché). Chaque duopoleur détermine le niveau de
son offre optimale à l’instant (t) en fonction de l’offre constatée
de l’autre firme en (t - 1). Dans ce cheminement itératif vers
l’équilibre on parle alors de comportement de « dépendance »
: la firme A s’adapte à l’instant (t) aux conditions de marché qu’a
créé B en « jouant » en (t - 1) et B s’adaptera en (t + 1) aux
conditions de marché déterminées par l’offre de A lors de
(t)…/…On résume souvent cette hypothèse en disant que les «
variations conjecturales » des deux firmes sont nulles.
Supposons une fonction de Demande Inverse linéaire de la forme :
P = a - b.Q
Pour faciliter l’exposé donnons-nous : P = 300 - Q
Avec, bien entendu, Q = QA + QB
Supposons, enfin, que la firme A soit la première à « jouer ».
Datons la chose T0.
En l’absence de coûts, elle va offrir la quantité qui maximise sa RT
(annule sa Recette Marginale) :
RT = P.Q = 300 Q – Q2
Rm = 300 – 2.Q = 0
Q = 150
Il vient alors P = 150
et l’histoire s’arrêterait là si A disposait d’un monopole… ce qui n’est
pas ici le cas !
enfin, pour simplifier, Cournot suppose l’absence de coûts :
l’objectif se réduit ainsi à la maximisation de la Recette Totale.
Nous respectons (schéma 78 & 79) cette dernière hypothèse
avant de la lever (schéma 80) lors du traitement de note
exemple chiffré comparant diverses solutions.
Initiation à la micro-économie - Fernando Martos - IAMM - 2011
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SCHEMA 78B
Duopole de Cournot : approche via la fonction de Demande Inverse
P
300
CT
PK
Lors de T1, en fonction de hypothèses de Cournot, l’entreprise B va
alors considérer que le marché dont elle dispose n’est plus que de :
(300 – 150) = 150 = 300 (1/2)
E : équilibre de Cournot (n=2)
et, pour maximiser sa propre RT va annuler sa propre Rm en offrant :
A : équilibre d’un monopole (n=1)
150 x 1/2 = 75 = 300 x 1/4
C
Lors de T2, réagissant à son tour, la firme A va considérer que le
marché qui lui reste n’est plus que :
E
A
150
Q = 300 – 75 = 225
Dans le but de maximiser sa RT est va donc offrir :
Q = 225 / 2 = 112,5
(en
E
100
En T3, réagissant à son tour, la firme B va considérer que son marché
ne se monte plus qu’à :
D
Q = 300 – 112,5 = 187,5
α
200
0
150
75
par rapport à son offre de Q = 150 lors de T0)
et va donc offrir, dans le but de maximiser sa RT :
CT
PL
300
Q = 187,5 / 2 = 93,75
(en
Q
par rapport à son offre de Q = 75 lors de T1)
Etc…
Rm
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SCHEMA 78C
Duopole de Cournot : approche via la fonction de Demande Inverse
Comme le suggère (sans le démontrer formellement mais cette démonstration
relève de l’arithmétique la plus élémentaire) le tableau suivant, nous convergeons rapidement dans cet exemple vers un équilibre* caractérisé par :
QA = 100 & QB = 100
Q = 200
Généralisation
En acceptant les hypothèses de Cournot et l’idée, comme ici, d’une
fonction de Demande Inverse de type linéaire il vient :
P = 300 – Q = 100
QA = a / 3b
soit ici : QA = 300 / 3 = 100
« Temps de Jeu »
Firme A
Firme B
QB = a / 3b
soit ici : QB = 300 / 3 = 100
0
300 x 1/2 = 150
-
P=a/3
soit ici : P = 300 / 3 = 100
1
-
(300 – 150) x 1/2 = 75
2
(300 – 75) x 1/2 = 112, 5
-
3
-
(300 – 112,5) x 1/2 = 93,75
4
(300 – 93,75) x 1/2 = 103,125
-
5
-
(300 – 103,125) x 1/2 = 98,4375
6
(300 – 98,4375) x 1/2 = 100,78125
-
7
-
(300 – 100,78125) x 1/2 = 99,609
Pour poursuivre notre exemple
Q = 300 x (N / N+1)
ce qui donne :
N
Q
P
Surplus
1
150
150
11 250
2
200
100
20 000
infini
300
dans notre exemple
0
en absence de coûts !
-
Commentaires
En tant que mathématicien, Cournot examine les conséquences (selon les
hypothèses qui sont les siennes) de la croissance de N (le nombre de
firmes) sur les coordonnées de l’équilibre.
De fait, et pour utiliser un vocabulaire actuel qui n’était alors pas le sien, on
peut dire qu’il tend à montrer que le « Surplus des Consommateurs » est
d’autant plus élevé que N est grand.
* Le duopole sera en équilibre si QA et QB prennent des valeurs telles, que chaque firme maximise sa propre RT
l’offre de l’autre firme étant donnée ET si, dès lors, aucune des deux firmes ne désire plus alors modifier son offre.
Dans le vocabulaire contemporain de la « Théorie des jeux » (dont ce modèle de Cournot constitue les prémices) le
duopole de Cournot relève des « Équilibres de Nash » c’est-à-dire des cas où tel « joueur » n’a pas intérêt à modifier
sa propre stratégie en découvrant celle de l’autre si cet autre « joueur » ne modifie pas sa propre stratégie.
NASH (J.) : « Non Coopératives Games » (Annals of Mathématics, Volume 54 / 1951). Prix Nobel d’Économie 1994.
Note annexe
Critiquant la façon dont COURNOT décrivait le comportement des firmes le
mathématicien Joseph BERTRAND exposa en 1883 (« Théorie mathématique de la
Richesse Sociale », Journal des Savants) un modèle de duopole dans lequel était
abandonnée l’hypothèse d’un prix unique.
Au lieu, comme ci-dessus, de se livrer à une « concurrence en quantité », les firmes
vont engager une « guerre des prix », chacune en rajoutant (sans fin) dans la baisse de
P, dans le but d’attirer vers elle une plus grande part de la Demande collective.
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SCHEMA 79A
Duopole de Cournot : approche via les fonctions de Réaction
La « Fonction de Réaction » de A (par exemple) indique, pour chaque
niveau de production de B, le niveau Q*A qui maximise πA (ou RTA sous
hypothèse d’absence de coûts).
Développons à partir de notre exemple : supposons une fonction de
Demande Inverse linéaire de la forme : P = a - b.Q
Pour faciliter l’exposé donnons nous : P = 300 - Q
Avec, bien entendu, Q = QA + QB
Exprimons les « Fonctions de Réaction » :
RTA = P.QA
= (a – b.Q). QA = [a – b (QA + QB)].QA
= a.QA – b.QA2 – b.QA.QB
Qui sera maximum si sa dérivée première (ou RmA) est nulle :
RmA = a – 2.b.QA – b.QB = 0
Q*A = (a – b.QB) / 2.b
… « Fonction de Réaction » de A
Soit, dans le cas de notre exemple : Q*A = 150 – QB / 2
RTB = P.QB
= (a – b.Q). QB = [a – b (QA + QB)].QB
= a.QB – b.QB2 – b.QA.QB
Il vient :
Q*A = a / 2b – QB / 2 avec Q*B = a / 2b – QA / 2
Q*A = a / 2b – [(a / 4b) – QA / 4]
Q*A = a / 3b
3.QA / 4 = a / 4b
Soit, dans notre exemple : Q*A = 300 / 3 = 100
Que nous portons dans l’expression de la « Fonction de Réaction » de B.
Il vient :
Q*B = a / 2b – QA / 2 avec Q*A = a / 3b
Q*B = a / 3b
Soit, dans notre exemple : Q*B = 100
Il vient donc :
Q* = Q*A + Q*B = 2.a / 3.b
Soit dans notre exemple Q* = 200
Et enfin, en portant dans la « Demande inverse » :
P = a – b.Q avec Q = 2a / 3b
P = a – 2a / 3
P=a/3
et dans notre exemple P = 100
Qui sera maximum si sa dérivée première (ou RmB) est nulle :
RmB = a – 2.b.QB – b.QA = 0
Q*B = (a – b.QA) / 2.b
… « Fonction de Réaction » de B
Pour aller au-delà on pourra consulter :
DEFALVARD (Hervé) : « Fondements de la Microéconomie ». Volume 2 : « L’Équilibre
des marchés » (pages 127 à 160). Éditions de Boeck, Bruxelles, 2003.
Soit, dans le cas de notre exemple : Q*B = 150 – QA/ 2
L’équilibre est atteint lorsque les deux firmes se situent sur leurs « Fonction de Réaction ». Déterminons ce « Point de Cournot » en portant, par
exemple, la « Fonction de Réaction » de B dans l’expression de celle de A.
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SCHEMA 79B
Duopole de Cournot : approche via les fonctions de Réaction
QB
Il est ici encore possible de procéder par itération pour établir l’équilibre :
Supposons que la Firme A soit la première à « jouer » et décide d’offrir
QA = 120
La « Fonction de Réaction » de B nous permet de calculer qu’alors :
QB = 150 – 60 = 90
S’adaptant à cette offre de B la firme A offrira alors :
QA = 150 – 45 = 105 (en
)
S’adaptant à cette offre de A la firme B offrira alors :
QB = 150 – 52,5 = 97,5 (en
)
S’adaptant à cette offre de B la firme A offrira alors :
QA = 150 – 48,75 = 101,25 (en
)
S’adaptant à cette offre de A la firme B offrira alors :
QB = 150 – 50,625 = 99,375 (en
)
Pour converger rapidement vers :
QA + QB = 100 + 100 = Q = 200…&… P = 100
CT
PK
FR
A
C
E
150
E
100
D
α
FRB
CT
PL
0
100
150
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Q
SCHEMA 80A
Duopole : les variantes
Duopole Asymétrique : STACKELBERG (1934) ; Duopole Symétrique : BOWLEY (1924)
STACKELBERG
BOWLEY
Selon les hypothèses de cet auteur, l’une des deux firmes endosse un rôle de
leader quand l’autre devient « suiveuse » (ou « dominée ») chacune conservant
une stratégie « en quantités » (nous restons bien dans une approche cournotienne).
La modification par rapport au modèle originel porte donc sur le comportement de
cette firme leader : cette dernière ne fait plus une conjecture nulle consistant
comme nous l’avons vu à réagir « mécaniquement à l’offre observée (lors du « jeu »
précédant) de sa rivale. Elle considère les réactions de cette rivale en faisant la
conjecture que cette dernière (« dominée ») va continuer à s’adapter (en ∆Q)
mécaniquement à ses propres stratégies. Ce faisant, la firme leader intègre le
comportement anticipé de la firme « suiveuse » dans la détermination de sa
propre stratégie.
Retour à un duopole « symétrique » : chacune des deux firmes se comportant en
leader. D’où une situation de conflit. Cette hypothèse (A dispose de la « Fonction
de Réaction » de B et B dispose de la « Fonction de Réaction » de A) ne permet
pas de déboucher sur un « équilibre » : graphiquement, le point calculé, ne
relève pas des « Fonctions de Réaction » !
L’hypothèse de STACKELBERG va donc se traduire par le fait que dans
l’expression de la fonction de profit de la Leader nous allons remplacer la quantité
offerte par la « suiveuse » par l’expression de la « Fonction de Réaction » de cette
dernière (que Leader est censé connaître quand l’inverse n’est pas vrai : d’où la
dénomination de duopole « asymétrique »).
Il va en découler (comme nous l’illustrons dans l’exemple qui suit) que, par rapport
au « Point de Cournot » :
Une lutte va alors s’engager, chacune faisant varier son offre (∆Q) dans l’espoir
d’augmenter son π voire de provoquer la disparition de la firme adverse. Tant que
persiste cette « guerre » (via ∆Q : univers cournotien) la situation restera instable.
Toujours à la recherche d’un équilibre, l’Économiste envisagera donc deux issues :
la quantité offerte par la firme supposée leader progresse
la quantité offerte par la firme supposée « dominée » régresse.
Toutefois :
Cette hypothèse de Stackelberg, comparée au modèle originel de Cournot,
n’est ni systématiquement favorable ni systématiquement défavorable au
Consommateur !
Dans l’exemple qui suit, cette hypothèse de Stackelberg est favorable au
Consommateur (« Surplus » en
) que l’on prenne l’une ou l’autre firme
pour leader. Encore une fois la chose n’est pas généralisable : il est des cas
où, par rapport au « Point de Cournot », la contraction de la Q offerte par la
firme « dominée » l’emporte sur la progression de la Q offerte par Leader.
En effet, accepter cette hypothèse de Bowley implique que les anticipations des
firmes ne sont désormais pas cohérentes. En tant que leader, chaque firme
conjecture que l’autre s’adapte de manière passive à ses propres stratégies de
dominante. Aussi chaque firme à intérêt à modifier sa stratégie (négation même
de la notion d’équilibre) car le π qu’elle réalise n’est plus optimal étant donné que
la firme adverse se comporte aussi en leader.
l’une des deux firmes parvient à éliminer l’autre…et nous retrouvons une
situation de Monopole.
craignant une issue incertaine, les deux firmes s’entendent (Cartel) et nous
savons alors déterminer l’équilibre d’un Cartel (hormis la question ouverte de
la répartition du Profit-Joint).
Ce Cartel, comme nous le savons et comme nous l’illustrons ci-dessous dans
notre exercice d’application, se révèle alors défavorable au Consommateur (Q en
baisse et P à la hausse).
Pour aller au-delà on pourra consulter :
DEFALVARD (Hervé) : « Fondements de la Microéconomie ». Volume 2 : « L’Équilibre
des marchés » (pages 127 à 160). Éditions de Boeck, Bruxelles, 2003
Initiation à la micro-économie - Fernando Martos - IAMM - 2011
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SCHEMA 80B
Duopole : les variantes
Duopole Asymétrique : STACKELBERG (1934) ; Duopole Symétrique : BOWLEY (1924)
EXERCICE D’APPLICATION
On se donne : P = 400 – 2.Q avec Q = QA + QB et CTA = 20. QA et CTB = 2.QB2
1
COURNOT
Établissons les expressions des « Fonctions de réaction »
π
A
= P.QA – CTA = [(400 – 2.QA – 2.QB). QA] - 20. QA
πA = 380.QA – 2.QA2 – 2.QA.QB
Qui sera maximum si : π’ = 380 – 4.QA – 2.QB = 0
π
π
Q*A = (380 – 2.QB) / 4 = 95 – 0,5.QB
Fonction de Réaction de A
= P.QB – CTB = [(400 – 2.QA – 2.QB). QB] - 2. QB2
= 400.QB – 4.QB2 – 2.QA.QB
B
Qui sera maximum si : π’ = 400 – 2.QA – 8.QB = 0
B
Q*B = 50 – 0,25.QA
3
QA = 95 – 0,5 (50 – 0,25 QA) = 70 – 0,125. QA
0,875.QA = 70
Q*A = 80
D’où Q*B en portant dans la « Fonction de Réaction » de B : Q*B = 50 – 20 = 30
Donc : Q = QA + QB = 110 = Q
P = 400 – 220 = 180 = P
Il est alors possible de calculer les Profits réalisés :
= (180 x 80) – (20 x 80) = 12800
π*B = (180 x 30) – (2x 302) = 5400 – 1800 = 3600
A
Évaluons le « Surplus du Consommateur » : SC = (400 – 180) x 110/2 = 12100
2
STACKELBERG 1
Supposons que la firme A soit Leader (dispose donc de la « Fonction de Réaction » de B).
Il vient :
π*A = 380.QA – 2.QA2 – 2.QA.QB = 380 .QA – 2.QA2 – 2.QA (50 – 0,25.QA)
π*A = 280.QA – 1,5. QA2
Qui sera maximum si : 280 – 3.QA = 0
Q*A ≈ 93,333
(en
par rapport aux hypothèses de Cournot).
D’où l’offre de B en portant dans la « Fonction de Réaction » de B :
Q*B = 50 – 0,25 (Q*A) ≈ 26,6666
(en par rapport aux hypothèses de Cournot).
Il vient, Q = QA + QB = 120 (en
). Dans notre exemple (ce qui n’est pas généralisable,
l’hypothèse de Stackelberg est favorable au Consommateur).
Il vient en effet P = 400 – 240 = 160 (en
).
)
Cette hypothèse est, bien entendu, favorable à la firme A (dont Q et π progressent par
rapport à l’hypothèse Cournot) et défavorable à la firme B (dont Q et π reculent par rapport
à l’hypothèse Cournot).
Dans le cas qui nous occupe (ce qui n’est en rien généralisable comme nous l’avons déjà
souligné) cette « hypothèse Stackelberg -1 » se révèle favorable au Consommateur (dont le
« Surplus » progresse : Q en et P en ) voire « à la Société » puisque si nous comparons
ces deux premières hypothèses, le gain en « Surplus du Consommateur » (14400 – 12100
= + 2300) l’emporte sur la baisse de la somme des profits : (12800 + 3600) – (13066,666 +
2844,444) = - 489
Fonction de Réaction de B
Portons l’une dans l’autre (par exemple la FRB dans la FRA). Il vient :
π*
Évaluons le « Surplus du Consommateur » : SS-1 = (400 – 160) x 120/2 = 14 400 (en
Calculons les Profits :
π*A = (P.QA) – CTA = (160 x 93,3333) – (20 x 93,3333) ≈ 13066,66 (en )
π*B = (P.QB) – CTB = (160 x 26,6666) – (2 x 26,66662) ≈ 2844,45 (en )
STACKELBERG 2
Supposons à l’inverse que la firme B soit Leader (dispose de la « Fonction de Réaction »
de A). Il vient :
π*B = 400.QB – 4.QB2 – 2.QA.QB = 400 QB – 4.QB2 – 2.QB.(95 – 0,5. QB)
π*B = 210 QB – 3. QB2
Qui sera maximum si : 210 = 6. QB
Q*B = 35
(bien entendu en
par rapport à l’hypothèse initiale de Cournot)
D’où Q*A en portant dans la « Fonction de Réaction » de cette dernière :
Q*A = 95 – (05 x 35- = 77,5)
(bien entendu en
par rapport à la solution Cournot)
Il vient, Q = QA + QB = 112,5 (en ). Dans notre exemple (ce qui n’est pas généralisable,
l’hypothèse de Stackelberg est favorable au Consommateur). Il vient en effet P = 175 (en )
Évaluons le « Surplus du Consommateur » :
SS-1 = (400 – 175) x 112,5/2 = 12 656,25
Calculons les Profits. Il vient :
π* = 12 012,5
A
π*
= 3675
B
Cette hypothèse est, bien entendu, favorable à la firme B (dont Q et π progressent par
rapport à l’hypothèse Cournot) et défavorable à la firme A (dont Q et π reculent par rapport
à l’hypothèse Cournot).
Dans le cas qui nous occupe (ce qui n’est en rien généralisable comme nous l’avons déjà
souligné) cette « hypothèse Stackelberg -2 » se révèle favorable au Consommateur (dont le
« Surplus » progresse : Q en
et P en ) mais non à « à la Société » puisque la somme
« Profit + Surplus » diminue par rapport à l’hypothèse Counot.
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SCHEMA 80C
Duopole : les variantes
Duopole Asymétrique : STACKELBERG (1934) ; Duopole Symétrique : BOWLEY (1924)
EXERCICE D’APPLICATION (suite)
Qui sera maximum si :
π’A = 380 – 4.QA – 4.QB = 0 (*)
π’B = 400 – 8.QB – 4.QA = 0 (**)
On se donne : P = 400 – 2.Q avec Q = QA + QB et CTA = 20. QA et CTB = 2.QB2
4
BOWLEY
En fonction de ce qui précède, il apparaît que les deux firmes ont intérêt à adopter une
attitude « de maîtrise ». chacune va donc fixer son offre en toute indépendance et
aucun des deux rivaux n’acceptera de s’adapter. en conséquence, la production totale
sera plus élevée que celle :
calculée par A supposant que B va s’adapter
calculée par B supposant que A va s’adapter
Les « Fonctions de Réactions sont dès lors dénuées de sens et l’excès de Q va provoquer une diminution de P entraînant les profits à la baisse.
Dans le cas qui nous occupe :
Q = 93,333 + 35 = 128,333 = Q
P = 143,333
Il en découlerait une diminution des profits des firmes A et B ! On peut calculer :
π*A = 11 511
π*B = 2566,666
Une lutte (cournotienne) va s’engager chacune des deux firmes faisant varier son offre
dans l’espoir d’augmenter son profit voire de provoquer la disparition de l’autre. tant
que cette « guerre » persistera la situation restera instable (non-équilibre !) et l’issue
indéterminée. Deux solutions (en vue de parvenir à un équilibre) sont concevables :
Ou bien l’une des deux firmes parvient à éliminer l’autre…et nous retrouvons un
Monopole !
Ou, craignant une issue incertaine, les deux firmes s’entendent pour former un
Cartel…que nous savons résoudre .
Envisageons cette dernière solution.
Le but du Cartel est de maximiser le « Profit-Joint » soit, dans notre cas :
πJ = πA + πB = (380.QA – 2.QA2 – 2.QA.QB) + (400.QB – 2.QA.QB – 4.QB2)
πJ = 380.QA + 400. QB – 2.QA2 – 4. QB2 – 4.QA.QB
En portant l’un dans l’autre, il vient : QA = 90…QB = 5…Q = 95…P = 210
Solution sans surprise défavorable au Consommateur (dont le Surplus diminue) ainsi
que socialement parlant puisque comme nous le savons, en cas de cartel, cette perte
se surplus sur le gain de profit généré par cet accord.
Reste LA question de la répartition de ce profit-joint !
Il convient de trouver une solution avantageuse aux deux participants…ce qui n’est pas
manifestement le cas si nous retenions une répartition du « Profit-Joint » en fonction
des quotas de production !
Le score maxi du πA = 13066
Le score maxi du πB = 3675
Soit une somme de π = 16 741
Et aucune des deux firmes n’accepterait, bien entendu moins après formation du cartel !
Calculons le Profit-Joint maximisé via ce cartel :
πJ = 380.QA + 400. QB – 2.QA2 – 4. QB2 – 4.QA.QB = 18100
Dit autrement, la formation d’un cartel fait progresser le Profit de (A + B) de : 18100 –
16 741 = 1359. À partir de là nous pouvons envisager divers types de répartition de ce
∆.π entre les deux firmes :
Moitié par moitié
En fonction des quotas de production … / …
Cournot
Stack. 1
Stack. 2
Bowley
Cartel
Q
110
120
112.5
128.333
95
QA
80
93.333
77.5
93.333
90
QB
30
26.666
35
35
5
P
180
160
175
143.333
210
12 800
13 066.666
12 012.5
11 511
?
3 600
2 844.44
3 675
2 566.666
?
16 400
15 911
15 687.5
14 077.666
18 100
Surplus
12 100
14 400
12 656.25
-
9 025
π+S
28 500
30 311
28 343.75
-
27 125
πA
πB
πΣ
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