Element de Theorie des Graphes

Element de Theorie des Graphes
Définition 1
– X : ensemble des sommets « points »
– U : ensemble des arcs « flèches »
Exp 1.
x2
x3
x5
x4
x1
X = {x1, x2, x3, x4, x5}
U = {x1 x2,x2 x3, x3 x4,x4 x2, x4 x4, x3 x5}
- Si l’arc xi xk ! U alors
xi est son extrémité initiale et xk l’extrémité terminale
xi est le prédécesseur de xk et xk le successeur de xi
- L’arc xi xi : boucle
Chemin : Une suite d’arcs u1, u2, …, um de U tel que pour tout
k (1 ! k ! m-1) on a :
(extrémité terminale de uk ) = (extrémité initiale de uk+1 )
x1
x2
x3
x5
Le chemin sera dit circuit si
(extrémité initiale de u1 ) = (extrémité terminale de um )
x2
x3
x4
1
Chemin élémentaire : passe une fois par chacun de ses sommets.
Chemin simple : passe une fois par chacun de ses arcs.
Elémentaire
Simple
Définition 2 (d’un Graphe):
G = (X, Γ+)
X est l’ensemble des sommets.
Γ+ : X
P(X) où Γ+(x) est l’ensemble des successeurs de x
Exp. Γ(x3) = {x4, x5} et Γ(x5) = Φ
NB. D’une manière analogue, on peut définir Γ-(x) comme étant l’ensemble
des prédécesseurs de x.
Card(Γ+(x)) : degré extérieur de x
Card(Γ-(x)) : degré intérieur de x
Graphe non orienté
Définition
G = (X,V)
X : Ensemble des sommets
V : ensemble des arêtes
x4
x2
x1
x5
x3
Une arête est représentée par une connexion non
orienté :
xi
xj
extrémités de l’arête
2
Définitions
xi
xk
xi
xk
Matrice binaire associée à un
graphe
Graphe G = (X,U) un graphe orienté ayant n sommets.
On défini la matrice binaire n ! n associée :
M = mij
i,j = 1,…, n
Avec mij =
1 si l’arc xi
0 sinon
Matrice de l’exemple 1 :
xj ! U
0
0
M= 0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
3
Produit des matrices :
En utilisant les opérations sur les nombres entiers
on calcule les puissances successives de M :
M2 = M ! M où ! désigne le produit des matrices
en nombres entiers.
2
Si on note par mij l’élément de la matrice M2
2
On a mij = mi1 m1 j + mi 2 m2 j + .... + min mnj
• Où + désigne la somme des nombres entiers
p
Mp = Mp-1 ! M = [ mij ] et
mijp = mip1 !1m1 j + mip2!1m2 j + .... + minp !1mnj
Produit Booléen des matrices :
En utilisant les opérations booliennes sur {0,1} on
calcule les puissances successives de M :
M[2] = M ! M où ! désigne le produit booléen
des matrices booléennes.
[ 2]
Si on note par mij
l’élément de la matrice M[2]
On a : m[ij2] = mi1 m1 j ! mi 2 m2 j ! .... ! min mnj
Où ! désigne la somme booléenne
On note M[p] =M[p-1] ! M = [m[ijp ]]
[ p !1]
mij[ p ] = mi[1p !1]m1 j " mi[2p !1]m2 j " .... " min
mnj
4
Interprétation
M = [m ij ]i =1...nétant la matrice booléenne d’un graphe G
j=1...n
Résultat1
[ p]
mij = 1
Il existe au moins un chemin de xi vers xj formé de arcs p.
Résultat2
p
mij = l
Il existe exactement l chemins de de xi vers xj formés de p arcs.
Démonstration du Résultat 1
Le résultat1 est vrai pour p=1 (par définition)
Hypothèse H
Le résultat1 est vrai pour (p-1)
Si
m pij = m pi1"1m1j ! m pi2"1m 2 j ! .... ! m pin"1m nj = 1
Il existe au moins un k (1 ! k ! n ) avec mikp !1 = 1 et mkj = 1
Compte tenu de l’hypothèse H, il existe au moins un chemin de
longueur (p-1) entre xi et xk et en plus un arc en xk et xj.
Ainsi :
Hypothèse H vrai pour (p-1)
Hypothèse H vrai pour (p)
5
Fermeture transitive d’un graphe
Soit G = (X,U)
)
)
On défini sa fermeture transitive par : G = ( X ,U )
)
xi xj ! U ! (i=j) ou (Il existe au moins un
chemin dans G de xi vers xj )
Si
)
M
alors
désigne la matrice binaire de
)
G
on a
)
M = I " M " M [ 2] " .... " M [ n !1]
! Désigne la somme boolienne des matrices
Connexité
Graphe non orienté
Relation d’équivalence :
" x et y ! X on défini
x C y ! (Il existe une chaîne entre x et y)
C est une relation d’équivalence : réflexive, symétrique et
transitive
Chaque classe d’équivalence de C sera dite composante
connexe de G
Exp.
Un graphe ayant une seule composante connexe sera dit
graphe connexe
6
Forte Connexité
Graphe orienté
Relation d’équivalence :
" x et y ! X on défini
x FC y ! (Il existe un circuit de G contenant x et y)
FC est une relation d’équivalence : réflexive, symétrique et
transitive
Chaque classe d’équivalence de FC sera
dite composante fortement connexe de G
Exp.
Un graphe ayant une seule composante fortement connexe
sera dit graphe fortement connexe
Graphe Réduit
G : graphe orienté admettant p composantes fortement
connexes : C1, C2, …, Cp
On définit le graphe réduit de G (noté GR) par
GR=(XR,UR) avec :
- XR={C1,C2,…,Cp}
- Ci
Cj
! UR
Il existe au moins un arc dans G
ayant son extrémité initiale dans
la composante fortement
connexe Ci et son extrémité
terminale dans la composante
fortement connexe Cj
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Exemple
Graphe G
Graphe GR
C4
C2
x3
x2
x7
x8
C1
x5
C4
C1
x4
x1
C2
x9
x10
C3
x6
C3
Résultat 2
Le graphe réduit est un graphe sans circuit
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