Rayonnement dipolaire électrique
I Dipôle électrique oscillant
A) Moment dipolaire
z
P +q
-q
y
x
On suppose la charge –q fixe en O, et +q en P ayant une côte
z  z0 cos(.t )  z0 exp( i.t )



On a donc un moment dipolaire P  qz0 exp( i.t ).uz  p0 exp( i.t ).uz
Remarques :
- Il existe un autre modèle de production de rayonnement électromagnétique :
Le dipôle magnétique :
On prend un boucle de courant parcourue par un courant i  i0 cos(.t ) , qui aura


ainsi un moment magnétique M  iS . (Tous les résultats sont alors inversé, et en


particulier E et B )


- La charge –q crée un champ E électrostatique et pas de champ B


La charge +q crée un champ E et un champ B .
Donc tout le champ magnétique est créé par la charge en mouvement, ainsi que le

champ E rayonné.
Ainsi, seule la charge en mouvement est utile (on ajoute l’autre pour annuler le
champ électrostatique).
B) Hypothèses de travail
Champ électromagnétique en M :
On se place à une distance r  OM  z0
On suppose le mouvement de +q non relativiste ; ainsi, z0  c
II Champ électromagnétique du dipôle
A) Potentiel vecteur


0
j ( M , t  MN / c)
On a A( M , t ) 
d

N
4

MN


  
Mais j   .v  q (rN  rP ).v


j ( M , t  MN / c)
v ( P, t  PM / c)
d  q
Donc 
N
MN
PM
On a PM  OM  r




Et v ( P, t  cr )  i.z0 exp( i (t  cr )).u z  i.z0 exp( i(k.r  .t )).u z où k  .
c


  0 i
p0 exp( i (k .r  .t ))u z
Ainsi, A( M , t ) 
4 r
Remarque :
On est en régime harmonique, donc dériver par rapport à t revient à multiplier par


i , mais on n’a pas une onde plane, donc  
 ik .

B) Le champ B .
  
On a B    A .
 



Mais B    ( f (r )u z )  f (r )  u z
  0
 
  1 ik 
Donc B 
ip0  2   exp( i (k .r  .t ))ur  u z
4
r
r



Et u z  cos  .ur  sin  .u
  0

p sin 
Donc B 
i 0 2 1  ikr  exp( i (k .r  .t ))u
4
r
 
Si   0 , on retrouve B  0 .

C) Le champ E .
III

On a pour le champ E :
  c2  
E
B
i


1 p0

(2 cos  (1  ikr)ur  sin  (1  ikr  k 2 r 2 )u ) exp( i(k .r  .t ))
3
40 r


Si   0 , alors k   0 et on retrouve le champ E électrostatique.
c
Le champ électromagnétique « à grande distance »
A) Champ « de rayonnement »
C’est le champ créé par le dipôle « à grande distance ».
C'est-à-dire lorsque kr  1 ou r  
B) Expression du champ
1) Champ E .
   0 2 p0 sin 

E

exp( i (k .r  .t ))u
4
r
(On néglige tous les termes en kr ou 1 devant k 2 r 2 )

2) Champ B .
  0  2 p0 sin 

B
exp( i(k.r  .t ))u
4 c
r
C) Structure du champ
1) Propagation

 

En posant k  ku r , le terme exp( i(k .r  .t )) devient exp( i (k  r  .t ))
On a donc une propagation radiale.
2) Transversalité




E est dirigé selon u et B selon u .
On a donc une onde transverse électromagnétique.

B

k

E
O
3) Structure locale d’onde plane

 
 

  
On a E  cB  ur et cB  u r  E . Donc ( E , cB, ur ) forme un trièdre direct.
Et, en norme, E  cB .
z
Plusieurs 
mais  r
O
 
p0 sin  
u varie peu, mais exp( i (k  r  .t )) varie
r
 
  0  2 p0 sin 

beaucoup plus. Ainsi, comme E 
exp( i(k  r  .t ))u , l’onde a
4 c
r

localement une structure d’onde plane de direction de propagation ur .
4) Anisotropie
Sur le domaine, le terme
 On a un terme en sin  dans l’expression, donc on n’a pas de symétrie
sphérique.
Il n’y a pas de champ rayonné à la verticale du dipôle, mais il est maximal
dans le plan médiateur.
 Diagramme polaire de rayonnement (indicatrice de rayonnement) :
- Principe général :
On veut représenter une fonction f (r , ,  ) selon la direction ( ,  ) pour
visualiser l’anisotropie.
On trace dans l’espace une surface   f (r0 , ,  ) où r0 est fixé :
r0

On obtient ainsi une transformée de la sphère de rayon r0 telle que la forme
de la surface indique la direction où f est plus importante/plus faible selon que le
point dans cette direction est plus éloigné/plus proche du centre.
C’est ce qu’on appelle le diagramme polaire de f.
- Application :
Dans ce cas, on a une relation de la forme    . sin  .
Dans un plan contenant Oz, on obtient :
z
 
 / sin 
Puis par symétrie de révolution, on obtient un tore de rayon intérieur nul.
5) Polarisation rectiligne
L’onde est polarisée rectilignement
6) Amplitude
 L’amplitude décroît en 1r
On a ainsi une décroissance moins rapide que pour un dipôle électrostatique.
 On verra que c’est en fait la conservation de l’énergie qui impose cette
décroissance en 1r .
IV Propagation de l’énergie
A) Puissance rayonnée par le dipôle
1) Vecteur de Poynting
 1  
1 2 
On a  
EB
E ur
0
0c

1 
1 2
Et uem   0 E 2 
B  0E2
2
20
2) Intensité
 Définition :
 
On pose I     ur  , flux surfacique moyen d’énergie.
 Expression :

1
1  
1  02  4 p02 sin 2 
I
 E 2 
E.E* 
0c
20c
2  0 c 16 2
r2
 0  4 p02 sin 2 
32 2 c
r2
 Anisotropie :

 On a une décroissance en 1 / r 2
 Et une variation en  4 .
3) Puissance rayonnée à travers une sphère de rayon r.
 Expression :
 
 
P      dS       ur  dS   IdS
0  4 p02 2

4
r  sin 3 dd  0  4 p02 
2
2
32 c r
16 .c
3
0
 4 p02
Soit P 
12 .c

 Analyse :
- On obtient bien une puissance indépendante de r (conservation de
l’énergie entre deux sphères de rayons voisins).
Ceci impose alors que I décroisse en 1 / r 2 (puisqu’on intègre sur une
surface), puis que E et B décroissent en 1 / r .
- Les hautes fréquences sont mieux rayonnées que les basses fréquences.
(1) C’est pratique pour les antennes, où on utilise des hautes fréquences.
(2) Pour le transport du courant, il faut une puissance rayonnée la plus faible
possible et donc des basses fréquences.
- Energétiquement :
(1) L’opérateur qui fait bouger la charge doit sentir une force résistante.
(Ainsi, la charge interagit avec son propre rayonnement, donc elle ne
peut pas être ponctuelle)

(2) Le mouvement cyclotron dans un champ B uniforme est nécessairement
amorti.
B) Rayonnement d’accélération
1) Formule de Larmor
0
 4 p02
12 .c
On a z  z0 cos .t , donc z   2 z0 cos .t
P
On note a 2   z2  
Ainsi, P 
0 2 2
q a
6 .c
1 2 4
z0  . a : accélération quadratique moyenne.
2
2) Généralisation (sans démonstration)
 Toute particule chargée en mouvement non uniformément accéléré
rayonne de l’énergie :
- Elle doit être accélérée.

a

- Mais non uniformément accélérée ( a  cte )
 Pour un mouvement périodique :
La formule de Larmor s’applique aussi (pour un mouvement non relativiste)
 Mécaniquement, la particule perd de l’énergie.
3) Manifestation du rayonnement d’accélération
 Emission dipolaire : antennes
 Le rayonnement thermique est un rayonnement d’accélération (dû au
mouvement des noyaux et des électrons)
 Rayonnement synchrotron :
q

v

B
Pas d’énergie
énergie rayonnée
rayonnée
-
Au voisinage des accélérateurs de particule
Dans les pulsars ( B ~ 1010 T !)
 Rayonnement de freinage :
- Lorsqu’on envoie une particule  sur une plaque de plomb, elle sera
freinée et émettra un rayonnement (« Bremsstrahlung »)
- Rayonnement cosmique :
Ce sont des ions H  , He 2  , Fe 2  … avec une énergie d’ordre
macroscopique
Ces particules vont subir des chocs sur l’atmosphère (rayons gamma)
 Diffusion de la lumière (cf. complément)
V Complément
A) Diffusion de Thomson et de Rayleigh
Diffusion :
C’est l’interaction d’une onde électromagnétique avec la matière qui va absorber
l’onde et la réémettre.
1) Interaction du rayonnement avec la matière
 Onde incidente :

On suppose que l’onde incidente est une OPPS, de direction k .
 Mouvement des particules chargées :
- Modèle :
(1) Matière constituée de noyaux très massifs M et d’électrons de masse
m  M
(2) Noyaux quasiment fixes
(3) Pour les électrons :
noyau


e-

r
O
On suppose qu’il y a une force de rappel proportionnelle à la distance au



noyau (élastiquement lié) F  k  m02 

  

Force de Lorentz : Fl  q( E  v  B)  qE ( v  c )



1
2
Force de frottement Ff   f .v  m .v (  ~ , avec  
)

0
- Principe fondamental de la dynamique :




m  m02   m  qE
 

e   
Soit     02    E (r   , t ) (on suppose    )
m
En complexe,

e 
 ( 2  i  02 )   E
m
 e

 e
1
1
E

E
Soit  
(loin de la résonnance)
m  2  02  i
m  2  02
Analyse :
(1) L’électron se comporte comme un oscillateur harmonique entretenu.
(2) On a une résonance (amortie) en 0 .

(3) En régime permanent, l’électron va absorber l’énergie de E et rayonner
de l’énergie.
2) Puissance rayonnée
 Formule de Larmor :

On a P  0 e 2 a 2
6 .c
 
2
1 4 
1 4 e2
1
2

Et a          *   2 2
E
E*
2
2
m (  02 ) 2
 
1
1
On note I 0 
 EE 
E02 : puissance incidente surfacique.
0c
20c
Ainsi, P 
02 e 4
4
I0
6 m 2 ( 2  02 ) 2
 Section efficace de diffusion :
 2 e4
4
On note P   .I 0 , avec   0 2 2
6 m (  02 ) 2
Interprétation :
La puissance que l’atome va rediffuser, c’est la puissance incidente qui
traversera un petit cerceau de section  placé orthogonalement à l’onde
incidente.
3) Diffusion Thomson
 Définition :
C’est lorsque   0
On a 0 ~ 5.1016 rad.s 1
Donc 0  0,04m  40nm
Ainsi, dans les rayons X ( 10nm  20pm ), on a   0
 Formule de Thomson :
 2 e4
P  0 2 I0
6 m
 Section efficace de diffusion :
 2 e4
On a  T  0 2 , indépendant de  . Serait-ce la section de l’électron ?
6 m
e2
On a U ~
, et U  mc2
40 re
02e 4
e4
e2
2
,
soit

.
r


e
1602 m 2c 4 16 .m 2
40 mc2
Ordre de grandeur :
 T ~ 1029 m2 (Unité : 1barn  1028 m 2 )
 Caractéristiques :
Il n’y a pas de changement de fréquence entre l’absorption et l’émission (on
a en fait un modèle linéaire)
La section efficace est indépendante de la pulsation
 Observation expérimentale : Barkla (avec des rayons X)
Donc re 
4) Diffusion Rayleigh
 Définition :
C’est lorsque   0 (   0,04m , visible)
 Formule de Rayleigh :
P
02 e 4  4
I0
6 m 2 04
 Lien avec le rayon atomique :
Modèle de Thomson :
+e
-e
R

On a au niveau de l’électron E 

Donc F  

r
40 R 3
e
e4

,
soit
 (40 R 3 ) 2
r
40 R 3
m 204



e2
m02
8 1 6 4
R  I0
3 c2
 Caractéristique du rayonnement de Rayleigh :
- On a toujours un rayonnement sans changement de fréquence.
- Il y a une variation très importante en fonction de  .

- La diffusion est anisotrope : si on décompose E en deux composantes


polarisées rectilignement E// et E  , le mouvement de l’électron
correspond alors à celui de deux « dipôles » unidimensionnels :
Et la puissance rayonnée s’écrit P 

E//
 
k E

E//
Pas de rayonnement
dû à E//
maximal
Ainsi, le rayonnement émis par l’électron sera maximal pour chacun des


« dipôles » dans les deux plans normaux à E  et E// , et encore plus important à

l’intersection de ces deux plans, à savoir la direction k . La direction incidente est
donc privilégiée pour le rayonnement.
- La lumière est partiellement polarisée :

 
k E

 E//
E

Pour E  , il y aura un maximum d’intensité diffusée

Pour E// , il y en aura moins
Et la polarisation sera totale si    / 2 .
 Bleu du ciel et soleil couchant :
On a B  2  R , donc PB 16  PR
soleil
rouge
bleu
En plein jour, on voit le ciel bleu car le bleu est beaucoup mieux diffusé que
le rouge (si on ne regarde pas le soleil en face). Mais quand on regarde le soleil en
face (le soir par exemple), le bleu a été plus diffusé que le rouge, et c’est donc le
rouge qui prédominera.
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Rayonnement dipolaire électrique