1. Les différents outils à utiliser au cycle 3

1. LES DIFFERENTS OUTILS A UTILISER AU CYCLE 3
a- La règle non graduée et le compas :
-
-
La règle non graduée permet de tracer des droites passant par deux
points, de vérifier l’alignement de trois points ou plus, de tracer un
segment de droite d’extrémités connues.
La règle peut aussi être une bande de papier dont on se sert pour
reporter une longueur d’un segment sur un autre (il suffit d’y faire
une marque ou de le couper au bon endroit).
On peut se servir d’un compas à pointe sèche pour reporter ou
comparer des longueurs. Mais le compas sert d’abord à tracer des
cercles et des arcs de cercle de centre et de rayon donnés. Comme
pour le tracé d’un segment avec la règle, la coordination des gestes de
maniement du compas n’est pas une simple formalité pour beaucoup
d’enfants, même au cycle 3.
b- La règle graduée, l’équerre et le gabarit
-
-
-
La règle graduée permet en outre de tracer un segment de longueur
connue, ou de mesurer la longueur d’un segment déjà dessiné.
L’équerre sert à tracer des angles droits et des droites
perpendiculaires. En la faisant glisser sur une règle, on s’en sert aussi
pour dessiner des droites parallèles. Avec l’équerre, on peut donc
contrôler qu’un angle est droit, que deux droites sont
perpendiculaires ou parallèles.
On peut fabriquer une équerre en pliant deux fois une feuille de
papier (le deuxième pli doit se retrouver sur le premier : on a ainsi
fabriqué un gabarit d’équerre).
On peut enfin utiliser des gabarits pour compléter des tracés ou pour
contrôler des angles.
c- Pourquoi utiliser la règle et le compas ? 1
Les mathématiciens grecs se sont intéressés à la règle et le compas mais très tôt ils se
sont heurtés à de grandes difficultés.
Dès le cinquième siècle avant J.C. sont apparus des problèmes que l’on n’arrivait pas à
résoudre à la règle et au compas. Ces problèmes ne tardèrent pas à devenir célèbres après les
échecs de mathématiciens réputés.
Trop confiants dans la règle et le compas, qui dans d’autres constructions leur avaient
fourni des solutions élégantes, les mathématiciens grecs n’ont jamais envisagé l’impossibilité
des constructions demandées, il en sera d’ailleurs de même pour leurs successeurs.
les raisons qui ont conduit les mathématiciens grecs à privilégier dans leurs études la
règle et le compas.
 La première raison que l’on peut évoquer est une raison élémentaire.
Les courbes les plus simples qui interviennent en géométrie sont la
droite et le cercle et les instruments les plus simples pour les construire
sont la règle et le compas. Cette raison de bon sens permet de
comprendre pourquoi les grecs ont considéré les constructions à la règle
1
Théorie des corps, la règle et le compas - J.C. CARREGA – Ellipses.
1
et au compas mais elle ne permet pas d’expliquer pourquoi ils y étaient
attachés si profondément.
 Il faut aussi évoquer, au quatrième siècle avant J.C., l’influence de
Platon (423-348) et de son école, l’Académie. Pour Platon, le cercle que
l’on trace ne représente qu’imparfaitement le cercle idéal (c’est celui
qui répond à la définition du cercle, c’est lui que le mathématicien
prend pour objet de sa spéculation). Les figures ne sont donc qu’un pâle
reflet de la réalité, qui, elle, appartient au monde des idées. Ces
conceptions amènent Platon à avoir peu d’estime pour les instruments
de mesure ou de construction nécessairement imparfaits. Il fait toutefois
une exception pour la règle et le compas qui sont les seuls, à ses yeux, à
pouvoir respecter la symétrie des configurations.
 Pour convaincre, une démonstration devait être accompagnée d’une
figure claire effectuée à l’aide d’instruments simples connus et admis
par tous. Cette troisième raison évoque donc la faiblesse des
démonstrations de l’époque.
 Enfin, on peut penser, mais ceci n’est qu’une hypothèse, que les
constructions à la règle et au compas ont été mises en avant pour servir
de caution géométrique aux nouveaux nombres mis en évidence par le
théorème de Pythagore. De plus, en s’interdisant d’autres types de
constructions on se préservait contre de nouvelles crises.
2. LES CONSTRUCTIONS ELEMENTAIRES AU CYCLE 3
a- Les figures
1- Le parallélogramme quelconque ou non particulier
Côtés
côtés opposés
égaux et
parallèles.
Angles
Diagonales
angles opposés
se coupent en
égaux.
leur milieu.
2- Le rectangle
Côtés
Angles
Diagonales
Symétrie
2
- d’égale
côtés
opposés
4 angles
égaux et
droits
parallèles
longueur
2 axes de
- se coupent en
symétrie
leur milieu
3- Le carré
Côtés
- 4 côtés égaux
- côtés opposés
parallèles.
Angles
Diagonales
Symétrie
- d’égale longueur
4 angles
droits.
- se coupent en
4 axes de
leur milieu et sont
symétrie.
perpendiculaires.
4- Le losange
Côtés
Angles
Diagonales
Symétrie
se coupent en
- 4 côtés égaux
angles
leur milieu et
- côtés opposés
opposés
sont
parallèles.
égaux.
perpendiculaires
2 axes de
symétrie.
.
3
5- Le triangle isocèle
Côtés
2 côtés égaux.
Angles
Symétrie
2 angles
1 axe de
égaux.
symétrie.
6- Le triangle équilatéral
Côtés
Angles
Symétrie
3 côtés
3 angles égaux
3 axes de
égaux
à 60°
symétrie
b- Les droites
1- Les parallèles
Deux droites sont parallèles si elles sont confondues ou si elles n’ont aucun point
commun et s’il y a un ”écartement constant” entre elles deux.
4
On note que : (d) // (d’).
(d)
(d)
(d’)
(d’)
Méthode de tracé d’une droite parallèle à une droite (d) passant par A en utilisant l’équerre :
A
1- On trace une perpendiculaire à (d).
2- Puis, on trace la perpendiculaire passant
par A à la perpendiculaire que l’on vient
de tracer.
2
(d)
1
2- Les perpendiculaires (médiatrice et hauteur) :
 Définition
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit.
On note que : (d) ┴ (d’).
(d)
Si deux droites sont perpendiculaires, elles
déterminent alors quatre angles droits.
(d’)
1- Méthode de tracé de la perpendiculaire à (d) passant par A en utilisant l’équerre et la règle :
Equerre
A
On place la règle le long de la droite
(d), puis, on fait glisser l’équerre sur
cette même règle jusqu’au point A.
Règle
(d)
5
2- Méthode de tracé de la perpendiculaire à (d) en A en utilisant le compas :
C
On choisit un écartement quelconque du
compas. On place celui-ci en A et on reporte cet
écartement de chaque côté du point A sur la
droite (d) de façon à obtenir deux points B et C.
Ensuite, on prend un autre écartement que l’on
reporte une fois en B et une fois en C en dehors
de la droite (d).
A
B
 La médiatrice d’un segment :
On admet que l’ensemble des points équidistants de deux points A et B est une droite qui
est perpendiculaire à (AB) et qui passe par le milieu de [AB]. Cette droite est appelée
médiatrice du segment [AB].
Attention : la médiatrice est une droite. Mais on parle de la médiatrice d’un segment.
Cette définition permet de mettre en évidence quatre propriétés :




Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est sur
la médiatrice de ce segment.
Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant
des extrémités de ce segment.
Si une droite est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB],
alors c’est la médiatrice de [AB].
Si une droite est la médiatrice d’un segment [AB], alors elle est
perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB].
1- Méthode de tracé de la médiatrice à [AB] en utilisant la règle graduée et l’équerre :
6
(d)
B
A
Cette technique est l’application directe de la définition ci-dessus.
2- Méthode de tracé de la médiatrice à [AB] en utilisant la règle non graduée et le compas :
5
B
A
1- On trace un arc de cercle de centre A, (de rayon
supérieur à AB/2).
2- On trace un second arc de cercle de centre B, de
même rayon que le précédent. Ces arcs se coupent en
deux points.
3- La droite joignant ces deux points est la médiatrice
de [AB].
(d)
Dans un triangle :
On peut construire la médiatrice de chaque côté d’un triangle.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du triangle
circonscrit au triangle.
 La hauteur dans un triangle :
7
Une hauteur d’un triangle est la droite perpendiculaire à un côté et qui passe par le
sommet opposé.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.
ORTHOCENTRE
3- L’axe de symétrie d’un angle
L’axe de symétrie d’un angle est la droite qui passe par le sommet de l’angle et qui
partage l’angle en deux angles égaux.
C’est aussi l’ensemble des points équidistants des côtés de l’angle.
ˆZZA
ˆY
XA
x
A
y
Méthode de tracé d’un axe de symétrie d’un angle en utilisant la règle et le compas :
8
x
A
1- On trace un arc de cercle de
centre A, il coupe les demi-droites
[Ax) et [Ay) en deux points.
2- On trace deux arcs de cercle de
même rayon dont les centres sont
ces deux points d’intersection.
3- La demi-droite d’origine A et
qui
passe
par
un
point
d’intersection de ces deux arcs de
cercle est la bissectrice de xAˆ y .
y
Dans un triangle :
Tout comme pour les médiatrices et les hauteurs, on peut tracer la bissectrice de chaque angle
d’un triangle.
Les trois axes de symétrie des angles d’un triangle sont concourants en un point qui est le
centre du cercle inscrit à ce triangle (cercle qui est tangent aux trois côtés du triangle).
9
3. ET SI ON REFLECHISSAIT SUR L’AXE DE SYMETRIE D’UN
ANGLE ?
a) Exercice de ”pratique” : recenser toutes les techniques dites
élémentaires de construction.
Trace l’axe de symétrie de cet angle :
1) avec le (ou les) instrument(s) que tu veux.
2) sans le compas, sans le pliage et sans la règle graduée.
b) Problématiser ces constructions :
1- Pourquoi utiliser le compas ?
1) En gardant le même écartement du compas. (voir ci-dessus).
Lorsque l’on utilise le compas, en gardant le même écartement, on construit un losange
(ABCD). Ses diagonales [BC] et [AD] se coupent en leur milieu O. Donc [OA] est l’axe de
symétrie du triangle isocèle ABC.
De ce fait, [OA] est donc aussi l’axe de symétrie de l’angle BAˆ C .
1
0
B
E
A
O
E
2) En changeant l’écartement du compas (voir ci-dessus).
Lorsque l’on utilise le compas, en changeant l’écartement, on construit une figure ABEC qui
a deux côtés consécutifs égaux. Le quadrilatère (ABEC) est donc un ”cerf-volant”.
(ABC) et (BDC) sont tous les deux des triangles isocèles et ils ont la même base donc la
même médiatrice et donc le même axe de symétrie.
De ce fait, [AE) est axe de symétrie de l’angle BÂC.
2- Pourquoi utiliser le pliage ?
AXE de PLIAGE
L’axe de pliage correspond à l’axe de symétrie.
Sachant que la symétrie axiale conserve les angles, l’axe de symétrie est aussi la bissectrice de
l’angle.
c) D’autres constructions, plus ou moins adaptées !
L’adaptation ou l’intérêt sont de nature pédagogique, voir page 1 …
1
1
1- Pourquoi utiliser deux points de chaque côté de l’angle ?
C
B
O
I
A
E
D
(ACD) est un triangle isocèle en A donc ACˆ D = ADˆ C .
De plus, BC = DE.
Donc, les triangles (BCD) et (CDE) ont des angles égaux. Ainsi, ECˆ D = BDˆ C .
Le triangle (OCD) est donc isocèle en O. (AO) est donc la médiatrice de [CD].
O appartient donc à la médiatrice de [CD].
Or, le triangle (ACD) étant isocèle en A, la médiatrice [CD] est aussi l’axe de symétrie de
l’angle ACˆ D .
2- Pourquoi utiliser une bande comme gabarit ?
On trace un parallélogramme mais comme c’est le même écartement, cela revient à construire
un losange. On arrive alors aux mêmes propriétés que précédemment.
1
2
4. ET SI ON REFLECHISSAIT SUR QUELQUES FIGURES …?
a- Le rectangle
1- Exercice de pratique : recenser toutes les techniques élémentaires
de construction à l’aide d’un problème posé
Cet exercice est à la base proposé à des élèves de CM2 afin de les amener à interroger
un dessin pour en retirer des propriétés utiles à la résolution d’un problème qui s’est posé dans
un autre espace que celui de la feuille de papier.
Description de la situation :
Tout commence par une discussion sur la pratique des maçons qui construisent des
maisons dont l’empreinte sur le sol est généralement rectangulaire. Nous précisons que les
maçons respectent les dimensions et les formes indiquées sur le plan par l’architecte et
qu’avant de construire les murs de la maison, ils tendent sur le sol des cordes qui leur
serviront de guide.
Nous proposons aux élèves de réaliser sur une feuille de papier quadrillé, le plan
simplifié d’une maison dont la forme au sol sera un rectangle de 8 mètres de large et 10
mètres de long (normalement les dimensions sont de 9 mètres sur 12 mètres) en convenant
que 1 cm sur leur feuille équivaut à une longueur de 1 mètre sur le terrain. Ils auront droit à
une marge d’erreur de 3 cm.
Ensuite, les élèves doivent s’organiser en groupe de 6 et se munir de tout le matériel qu’ils
estiment nécessaire pour aller sur le terrain procéder au tracé de la maison dans ses vraies
dimensions. Ceci, en installant un plot à chaque coin et en tendant une corde qui représentera
le contour de la maison. Ce procédé, pour des élèves, permet de remettre en cause
l’efficacité du mode spontané de réalisation concrète qui est souvent leur mode d’expression
et d’action privilégié.
Il est demandé dans chaque groupe qu’un élèves se charge d’écrire sur papier les stratégies
développées.
2- Description des principales procédures apparues
Le premier groupe commence par tendre la corde et reporte ensuite 10 mètres avec le
mètre ruban. Il coupe la corde et la maintient sous les deux plots placés aux deux extrémités.
Même déroulement avec la largeur du rectangle (8 mètres).
Pour faire les angles droits, ils utilisent une feuille à petits carreaux, plus ou moins
rectangulaire, posée par terre. Un problème s’est posé lorsqu’ils ont mesuré le dernier côté : à
la place de 10 mètres, ils avaient 9 mètres 50.
Après vérification, leur rectangle n’avait effectivement pas ses deux côtés opposés de même
longueur et leur technique pour avoir un angle droit n’étant pas fiable, nous avons supposé
qu’en plus il n’avait pas d’angles droits.
Le second groupe utilise la même technique que le premier à la différence près que
leurs ficelles sont coupées avec 10 cm de marge pour pouvoir les attacher ensemble et éviter
d’utiliser les plots. Pour les angles droits, c’est la même méthode que le groupe précédent.
Après vérification, leur rectangle présente les mêmes erreurs que celui du premier groupe.
On obtient : 10 mètres 10, 7 mètres 95, 9 mètres 88 et 8 mètres.
1
3
Le troisième et dernier groupe est le seul à avoir réfléchi en classe avant de partir. Ils
posent les plots dans lesquels ils font passer la ficelle en choisissant deux trous
diamétralement opposés. Ensuite, ils font coulisser les plots sur la ficelle non coupée. Ils
mesurent d’abord 8 mètres et posent les plots. Puis, ils font la même chose en mesurant 10
mètres. Ils tendent bien la corde et reportent 8 mètres. Ils empilent les plots et reportent 10
mètres. Ils attachent le bout de la ficelle au premier plot.
Pour faire les angles droits, ils utilisent une grande feuille blanche qu’ils plient pour constituer
une équerre ce qui n’est pas beaucoup plus fiable que le papier des deux autres groupes.
Après vérification, on obtient : 10,14 mètres et 8,3 mètres de chaque côté.
De retour en classe, les élèves présentent la méthode qu’ils ont utilisée pour tracer leur
rectangle. La mise en commun fait apparaître la nécessité d’utiliser les propriétés des
diagonales d’un rectangle : elles se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
Pour conclure, cette activité permet de donner de la justesse et du sens aux propriétés
des diagonales d’un rectangle. De cette manière, les enfants se souviendront plus facilement
qu’un rectangle n’est pas juste un quadrilatère ayant deux côtés opposés de même longueur et
quatre angles droits, il possède aussi deux diagonales de même longueur qui se coupent en
leur milieu.
3- Allons plus loin : Etude de la réciproque 2
Dans cette partie les dimensions du rectangle sont celles données initialement c’est-à-dire 9
mètres sur 12 mètres.
 En classe :
Le maître propose à ses élèves de CM2 de s’assurer que les figures qui ont la propriété
énoncée en conclusion de la séance précédente[ diagonales d’un rectangle : elles se coupent
en leur milieu et sont de même longueur], sont, à coup sûr, des rectangles.
Comment faire ?
Après débat, les élèves propose de se servir de la propriété énoncée pour en construire
un sur leur feuille, puis, de contrôler que c’est un rectangle en se servant de l’équerre pour
voir si ses angles sont bien droits. Le maître propose de réaliser ce travail par groupe de deux
élèves.
Les élèves parviennent facilement à tracer deux segments de 15 cm chacun se coupant
en leur milieu, ils vérifient qu’en reliant les extrémités des deux diagonales ils obtiennent bien
un rectangle, mais les dimensions de celui-ci ne sont pas forcément celles qu’ils souhaitaient
obtenir, ce qui soulève une vague de déception dans la classe. Toutefois, comme les
dimensions obtenues par les différents groupes ne sont pas toutes identiques, l’idée germe
qu’il est sans doute possible d’obtenir les bonnes dimensions en contrôlant l’écartement des
deux diagonales pour que leurs extrémités soient distantes de 9 cm (ou de 12 cm).
Devant la difficulté de tenir compte de plusieurs contraintes à la fois, le maître provoque une
mise en commun orale et pose le problème du choix de l’instrument qui semble utile pour
réussir cette construction sans tâtonner. Le compas est suggéré par certains élèves et le maître
demande à tous les groupes de l’utiliser. Il faut encore un temps de recherche pour découvrir,
en actes, le programme de cette construction :
-
tracer un segment de 15 cm de longueur et repérer son milieu ;
Articulation école-collège : des activités géométriques – Commission inter IREM premier cycle et
COPIRELEM.
2
1
4
-
-
tracer un cercle ayant pour centre le milieu de ce segment et pour
rayon 7,5 cm ;
tracer un autre cercle ayant pour centre une des extrémités du premier
segment et pour rayon 9 cm (ou 12cm) ;
choisir un des deux points d’intersection de ces deux cercles comme
extrémité de la deuxième diagonale et la tracer en remarquant qu’elle
forme un diamètre du premier cercle ;
joindre les quatre sommets du rectangle.
Un élève vient réaliser la construction au tableau avec l’aide du maître, ce qui permet à tous
les groupes qui n’y étaient pas parvenus, de la réaliser sur leur feuille.
Quand les figures sont terminées, les élèves vérifient à l’équerre que les quatre angles sont
bien droits, et que, de plus, la deuxième dimension du rectangle est bien celle qu’ils
souhaitaient obtenir. Le maître confirme oralement que, si on construit un quadrilatère dont
les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu, on obtient toujours un
rectangle ; il faut ensuite s’organiser pour que les côtés aient la longueur voulue.
 Retour sur le terrain :
La classe retourne sur le terrain, pour vérifier l’exactitude des tracés à l’aide de la
nouvelle propriété mise en évidence sur la feuille. Les premières vérifications montrent que
les tracés initiaux ne sont pas vraiment des rectangles. Les enfants s’organisent alors pour
construire de vrais rectangles ayant pour côtés 9 mètres et 12 mètres et pour diagonales 15
mètres.
Après quelques hésitations et discussions au sein des groupes, la procédure qui se
répand est la suivante :
- planter un piquet qui sera le centre du rectangle ;
- tendre quatre cordes mesurant chacune 7,5 mètres à partir du piquet
central ;
- planter un piquet qui sera le premier sommet du rectangle ;
- mesurer 9 mètres à partir de ce premier sommet et, en tendant une
deuxième corde de 7,5 mètres, planter un piquet qui sera le deuxième
sommet du rectangle ;
- procéder de même avec les deux autres sommets.
La vérification faite sur la longueur du quatrième côté semble satisfaire les élèves. Le
maître conseille tout de même de vérifier par visée que les sommets opposés sont bien alignés
avec le piquet central de façon à s’assurer que les diagonales n’ont pas été « cassées ». Il fait
alors remarquer qu’on aurait pu commencer par placer les deux extrémités d’une des
diagonales, puis, placer les deux extrémités de l’autre diagonale en mesurant la longueur d’un
seul côté.
Il conclut toutefois que les élèves viennent de construire un rectangle de 9 mètres de
large sur 12 mètres de long qui pourrait servir de point de départ à la construction d’une
1
5
maison. Les enfants commentent ce travail en remarquant que la tâche des maçons n’est pas si
simple et qu’elle est différente de celle de l’architecte.
Quelques jours plus tard, le maître revient sur l’activité et conclut avec les élèves :
- dans un rectangle les diagonales ont même longueur et se rencontrent
en leur milieu.
- pour construire un rectangle, on peut commencer par tracer deux
diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu.
b- Le carré 3
1- Exercice de pratique : recenser toutes les techniques élémentaires
de construction à l’aide d’un problème posé
Voici le dessin d’une enveloppe fait de deux carrés.
On a commencé deux autres dessins de la même enveloppe. Complète-les.
On a tracé le plus petit carré.
Tu dois construire le plus grand.
On a tracé le plus grand carré.
Tu dois construire le plus petit.
Beaucoup d’élèves commencent par prendre les mesures des carrés donnés et restent
un moment déconcertés car il n’arrivent pas à les utiliser.
Quelques élèves ne font pas la distinction entre les deux carrés et traitent le même
problème pour les deux figures.

Pour le premier dessin, il y a surtout deux sortes d’erreurs :
- Tracé d’un quadrilatère quelconque
L’information « carré » n’est pas traitée, soit elle n’a pas été prise en compte, soit les élèves
butent sur la mise en œuvre (la feuille porte alors beaucoup de traces de gommage).
- Tracé d’un rectangle ou d’un losange
Une seule condition est respectée, celle de l’égalité des côtés. Il n’y a pas de prise en compte
des angles droits.
Articulation école-collège : des activités géométriques – Commission inter IREM premier cycle et
COPIRELEM.
3
1
6

Pour la deuxième figure, ce sont deux sommets opposés du carré à construire qui sont
donnés.
Si l’élève reconnaît une construction « carré sur diagonale », la connaissance des propriétés
des diagonales du carré suffit. Il n’est pas nécessaire que cette connaissance soit explicite.
Par exemple, certains élèves savent que deux
diamètres perpendiculaires d’un cercle permettent
d’obtenir un carré et font la construction cicontre.
Sans connaissance sur les diagonales, il est indispensable pour réussir d’identifier un
troisième sommet du carré à construire comme étant le centre du carré donné. Ce point est
donc déterminant.
Voici quelques exemples caractéristiques des procédures conduisant à différents échecs pour
le deuxième dessin :
-
Placement « à vue » du troisième sommet
On trouve :



-
seulement l’utilisation de l’égalité des côtés du « carré » ;
le centre placé à vue ;
le contrôle insuffisant des angles droits.
Bon placement du troisième sommet, échec dans la construction du
quatrième
Certains élèves placent le sommet assez proche du centre du carré donné et obtiennent un
dessin presque satisfaisant en contrôlant uniquement l’égalité des côtés ; la plupart procèdent
par tâtonnements, avec la règle.
2- Problématiser ces constructions
La tâche est présentée aux élèves comme la réalisation d’un dessin, et même du dessin d’un
objet familier. Elle comporte cependant des caractéristiques du passage à la « géométrie
théorique » qui s’amorce en sixième.
Les deux « enveloppes » à dessiner ont des dimensions et des orientations dans la
feuille différentes de celle du modèle. Ceci prive les élèves du recours à la
superposition et au mesurage. Ils ne peuvent pas reproduire le dessin en s’appuyant sur
ses dimensions. Ils doivent utiliser, au moins de façon implicite, des propriétés
géométriques.
Pour la deuxième figure au moins, il est nécessaire d’ajouter des éléments au dessin
donné (par exemple les diagonales) et d’utiliser des traits de construction.Les deux
1
7
constructions, mais surtout la deuxième, posent un vrai problème aux élèves de
sixième. Ils doivent en effet :
- prélever l’information essentielle « figure formée de deux carrés » ;
- analyser la figure donnée (relations entre les deux carrés, axe de
symétrie) ;
- identifier des éléments de cette figure qui sont donnés sur la figure à
compléter ;
- tracer un carré en position non standard, donc sans l’appui des bords
de la feuille.
Une difficulté, que l’on retrouve dans toute résolution de problèmes, est la prise en compte
simultanée de deux conditions.
Les problèmes de construction géométrique posent en outre deux difficultés concernant
l’ajout de traits et le tâtonnement.
Il nous semble que la répugnance des élèves à ajouter des traits à une figure et à laisser
apparents les traits de construction a au moins deux origines :
- ces traits nuisent à la lisibilité de la figure.
- ces traits modifient le dessin. Ils génèrent un nouveau dessin qui n’est
pas celui attendu. L’élève estime ne pas avoir répondu à la consigne
s’il ne les gomme pas soigneusement.
Il est donc nécessaire de donner, et répéter, l’autorisation d’ajouter des traits aux figures, et
même parfois d’obliger à le faire.
Pour conclure, si l’objectif principal est la connaissance des propriétés du carré, la
première figure convient mieux, à condition d’ajouter des contraintes sur les instruments :
construire la figure d’abord avec la règle graduée et l’équerre, puis règle graduée seule, puis
équerre seule, cette dernière contrainte posant en outre un problème de construction
intéressant, puisqu’il faut alors obtenir deux sommets comme intersections de droites.
3- Résolution du problème posé
Pour le premier dessin, il y a deux possibilités faisant appel à des connaissances différentes.
Construction 1 :
carré sur côté.
Construction 2 :
carré à partir de ses deux demi-diagonales.
Le fait que les deux sommets donnés du carré à construire soient consécutifs induit plutôt la
première construction, qui demande la connaissance des propriétés des angles et des côtés.
C’est le plus souvent celle qui est adoptée.
La construction du deuxième dessin permet aux élèves qui ont déjà une expérience
géométrique de déployer une grande créativité.
1
8
Ces quatre exemples utilisent uniquement la règle graduée. De façon générale, c’est
l’instrument privilégié. Les propriétés de perpendicularité sont très peu utilisées, les élèves
qui réussissent s’appuient souvent implicitement sur la symétrie, et, explicitement, sur les
milieux, les égalités de longueurs.
Dans les exemples ci-dessus, les élèves ajoutent des tracés à la figure, prolongent des traits,
mais il s’agit de traits de longueur déterminée, donc de segments de droites.
La construction ci-contre n’a jamais été
observée.
Les difficultés liées à l’angle droit et
l’emploi de l’équerre (pour construire les
perpendiculaires aux diagonales) ne sont
pas seuls en cause. Pour penser à cette
construction, il faut en effet concevoir le
sommet manquant comme intersection de
droites, et les côtés du carré comme
parties de droites.
C’est justement un point de vue à acquérir en sixième, en particulier au travers de petits
problèmes de construction.
BILAN :
Voici l’évaluation du déroulement de notre séance par les élèves.
 Points forts :
1
9
-
Ateliers vivants.
Activités ludiques, variées, originales (surtout la maison à construire).
Présentatrices dynamiques, bon rythme.
Beaucoup de pratiques.
Beaucoup de participation des élèves.
Mise au point sur le vocabulaire et sur les méthodes des élèves.
Mise en commun rapide et constructive car beaucoup d’échanges entre les
élèves.
Présentation très claire.
Rapport fréquent avec la pratique en classe.
Situation « concrète » (même s’il faisait froid dehors), motivante pour un
ancrage dans la mémoire assuré.
Beaucoup de manipulations, d’expérimentations.
Situations de recherche motivantes.
La sortie donne une autre vision de la géométrie.
Remet en cause l’utilité du compas.
Travail sur l’axe de symétrie d’un angle intéressant.
Bonne mise en évidence des outils qui peuvent être utilisés en cycle 3.
Variation des lieux.
 Points faibles :
-
Beaucoup trop d’exigences dans la construction du rectangle par rapport au
contexte.
Consignes pour la réalisation du rectangle peu claires.
Exigences trop importantes pour la justesse des mesures en rapport avec le
matériel et les conditions de réalisation.
On ne sait pas ce qui est proposé dans les manuels.
Quelques « temps morts » dans le déroulement de la séance.
Rappel des programmes trop rapide.
Seulement deux activités.
Objectifs pas toujours très clairs.
On a été induit en erreur pour la construction du rectangle.
Culpabilisation pour la manipulation fausse du rectangle ce qui pourrait vexer
des élèves.
 Remarques personnelles :
-
Bonne ambiance. Séance dynamique.
Activité exploitable en classe.
Mises au point en début d’heure (avec deux situations sur papier) très
intéressantes.
C’est bien d’avoir amené du matériel varié.
J’aimerais avoir vos références bibliographiques.
Les problèmes matériels ont un peu « parasité » la mise en commun lors de la
sortie.
L’activité en extérieur était motivante.
La séance m’a permis de voir comment aborder la géométrie autrement, pour
une meilleure compréhension des élèves.
Exposé précis.
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 Prolongement envisageable
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Faire la même activité avec le diamètre.
Faire la même activité dans l’espace pour travailler sur les solides.
Construction d’un terrain de basket.
Construction d’une piscine.
Séance 2 (réciproque) à faire vivre.
Aborder d’autres figures que les rectangles et les angles.
Travail sur le cube avec des légos géants.
Proposer l’activité avec le rectangle en interdisant l’utilisation des diagonales,
ils utiliseront la médiatrice pour faire des angles droits.
Activités avec les compas (jeux de construction mathématique).
 Ressenti de fin de session et attentes
-
Activités pertinentes. Dommage qu’on manque de temps pour faire la même
chose avec plus d’outils géométriques.
Exposé sur les outils mais peu de manipulations d’outils.
Séance intéressante.
Je ne savais pas quels outils exactement on pouvait utiliser. Très intéressant, je
ne connaissais pas l’utilisation du gabarit.
Beaucoup de remises en question sur l’utilisation des outils, leur intérêt.
En fait, nous ne sommes pas trop prêts à enseigner correctement la géométrie
aux élèves autrement qu’à travers les manuels.
ELEMENTS DE BIBLIOGRAPHIE
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Articulation école-collège : des activités géométriques – Commission inter IREM
premier cycle et COPIRELEM.
Calcul-géométrie-mesures – Infopoche écoles, Nathan.
Théorie des corps, la règle et le compas - J.C. CARREGA – Ellipses.
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