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Chapitre 12
PARALLÉLOGRAMMES
PARTICULIERS
1°/
Le rectangle
Définition : Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés consécutifs sont
perpendiculaires.
Remarque :
Un rectangle est un parallélogramme
Démonstration : Soit ABCD un rectangle.
A
 On sait que : (AB)  (BC) et (CD)  (BC)
 Si deux droites sont perpendiculaires à une
même troisième alors elles sont parallèles
entre elles.
D
 Donc (AB) // (CD)
 De même : (AB)  (BC) et (AD)  (AB) donc (AD) // (BC).
 ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont
parallèles. C’est donc un parallélogramme. ■
Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle,
alors :
- ses côtés opposés sont parallèles
- ses côtés opposés ont la même longueur
- ses diagonales ont le même milieu
- ses diagonales ont la même longueur
- ses angles sont droits
B
C
A
B
O
D
C
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle on utilise les propriétés suivantes :
A
Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales de
même longueur et qu’elles se coupent
en leur milieu, alors c’est un rectangle.
B
O
D
Propriété : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur,
alors c’est un rectangle.
C
Propriété : Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Démonstration :
Soit ABCD un parallélogramme de centre O tel que
;ABC = 90°.
 Deux angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure
donc :
;ABC =
;CDA = 90°.
 Montrons que :
;BCD = 90°

;ABD et
;CDB sont symétriques par rapport à O donc ils ont la même
mesure donc :
;ABD =
;CDB.

;DBC et
;BDA sont symétriques par rapport à O donc ils ont la même
mesure donc :
;DBC +
;BDA.
 Donc
;DBC +
;CDB =
;BDA +
;CDB
or
;BDA
+
;CDB =
;CDA = 90° donc :
;DBC +
;CDB = 90°.
 Dans le triangle BDC, la somme des mesures des angles est égale à 180°
donc :
;DBC +
;CDB +
;BCD = 180°
;BCD = 180° - (
;DBC +
;CDB )
;BCD = 180° - 90°
;BCD = 90°.
 Deux angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure donc :
;DAB =
;BCD = 90°.
 les 4 angles sont droits donc ABCD est un rectangle. ■
2°/
Le losange
Définition : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
Remarque :
Comme ses côtés opposés sont de même longueur le losange est un
parallélogramme.
A
Propriété : Si un quadrilatère est un losange,
alors :- ses côtés opposés sont parallèles
- ses diagonales ont le même milieu
- ses diagonales sont perpendiculaires
- ses côtés sont tous de même longueur
D
O
C
B
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un losange on utilise les propriétés suivantes :
A
Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui
se coupent perpendiculairement en
leur milieu
alors c’est un losange.
D
O
B
C
Démonstration :
 Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales se coupent
perpendiculairement en leur milieu
 (AC) coupe [BD] perpendiculairement en son milieu. (AC) est donc la
médiatrice de [BD].
Donc
AB = AD et
CB = CD
 De même (BD) est la médiatrice de [AC]
Donc
BA = BC et
DA = DC
 D’où AB = BC = CD = DA ABCD est donc un losange. ■
Propriété :
Si un parallélogramme a ses diagonales
perpendiculaires, alors c’est un losange
Propriété :
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur,
alors c’est un losange.
3°/
Le carré
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un carré il faut montrer que c’est à la fois un rectangle
et un losange.
A
B
O
D
C
III/ RÉCAPITULATIF
qui a deux côtés consécutifs
perpendiculaires est un
qui a deux côtés consécutifs
de même longueur est un
RECTANGLE
qui a des diagonales de
même longueur est un
qui a de diagonales
perpendiculaires est un
PARALLÉLOGRAMME
CARRÉ
qui a des diagonales
perpendiculaires est un
qui a des diagonales de
même longueur est un
LOSANGE
qui a deux côtés consécutifs
de même longueur est un
qui a deux côtés consécutifs
perpendiculaires est un