+Second degré 1ES4 Pour tous a,b,c,x : 4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² -(b²-4ac) Exercice : prouvez cette formule (4ième) Cette formule résume à elle seule sans sauter d’étape tout le chapitre qui vient. Commençons doucement : Essayez de trouver le plus de solutions possibles à l’équation [ x² = 81 ; inconnue x] Signé Sophia, Fiona : 9 ainsi que (-9) sont solutions Sont-ce les seules ? OUI ! Correction : soit x un nombre. Supposons que x² = 9. Nous souhaitons prouver irréfutablement que x appartient à {9 ; -9} x² = 81 donc x² -81 = 0 donc x² - 9×9 =0 donc x²-9² donc (x-9)(x+9) =CLG3e 0 donc CLG3e x-9=0 ou x+9=0 OR : si x-9 = 0 alors EPCE1 x=9 Et si x+9 = 0 alorsCLG5e x = (-9) CQFD Résoudre l’équation [x² + 4 = 29 ; inconnue x] Signé S : supposons x²+4 = 29 alors x²+2² = 29 donc (x-2)(x+2) =29 S prend conscience que ça ne va pas marcher et sa voix s’éteint doucement. Sophia a écrit x²+2² = (x-2)(x+2) Cassandra aurait préféré : x²+2² = (x+2)(x+2) Cassandra déclare « c’est pas de ma faute si on m’a appris ça » C EST FAUX !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Cette équation a les mêmes solutions que l’équation [x² = 25]. FIN (même exo que précédent) Dialogue : Moi : choisissez un nombre entre 5 et 10 Germaine : 4 Résoudre l’équation E :=[ (6x)² = 225 ; inconnue x ] Soit x un nombre si (6x)² = 225 alors (6x)² - 15² = 0 donc (6x-15)(6x+15) = 0 donc ( 6x = 15 ou 6x = -15) donc (x= – 15/6 ou x = 15/6) Cet argument établit que l’ensemble des solutions est inclus dans {15/6 ; -15/6} La sixième permet de vérifier que ces 2 nombres sont solutions, en conséquence de quoi, EnsDesSol de E = {-15/6 ; 15/6} Résoudre [ (3x + 7) ² - 36=0 ; inconnue x] Signé Sophia : Soit x un nombre. Si (3x+7)² - 36=0 alors (3x+7)² - 6²=0 donc (3x+7-6)(3x+7+6) = 0 donc 3x+1= 0 ou 3x +13=0 x = - 1/3 OU x=-13/3 Les solutions sont toutes dans {-1/3 ;-13/3}. La 6ième permet d’établir que ces deux nombres sont solutions, donc S = {-1/3 ;13/3} Théorème : Pour tous a,b,c,x : 4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² - (b²-4ac) Exercice : prouvez cette formule (4ième) Grace à ce calcul tout se déduit en n’utilisant que vos bases des petites classes. Soient a,b,c,r des nombres. On suppose que a n’est pas nul et que r² = b²-4ac Alors 4a(ax²+bx+c) = (2ax+b) ² - (b²-4ac) = (2ax+b) ² - r² = (2ax+b+r)(2ax+b-r) Donc 4a(ax²+bx+c) = (2ax+b+r)(2ax+b-r) Il s’ensuit ax²+bx+c = 0 si et seulement si x est dans {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)} Le programme de ES exige que les élèves appliquent comme des robots l’algorithme suivant : Théorème : soient a,b,c des nombres avec a non nul. On suppose que b²-4ac ≥ 0. Alors l’ensemble des solutions de l’équation [ax²+bx+c=10 ; inconnue x] est [ let ∆ := b² - 4ac in if ∆ ≥ 0 then let r := racine carrée de ∆ in begin return {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)} end else ∅ ] Exemple: L’ensemble des solutions de [ 3x² + 7x + (-10) = 0; inconnue x] est { (-7 -13 ) / 6 ; ( -7 + 13 ) / 6 } Mémoires internes de la machine : Delta : = 7² - 4 × (-10) × 3 = 169 Racine carré de delta = 13 Exercices : Résoudre (inconnue x) : 19x² - 50x + 31=0 5(x+5)² - 7(3-2x)² = 238 Pour tout nombre x, 19x²-50x + 31 = 19x² +(-50)x + 31 (5ième) Exécutons l’algorithme : Delta : = (-50) ² - 4×19×31 = 12² Donc S = {(50-12) / (2 × 19) ; (50+12) / (2 × 19)} = {1; 31/19} Apparté: {(-(-50)-12)/(2×19) ; (-(-50)+12)/(2×19)} Equation : [5(x+5)² - 7(3-2x)² = 238 ; inconnue x] Pour tout nombre x, 5(x+5)² - 7(3-2x)² - 238 =CLG (-23) x² + 134x + (-176) On applique DELTAROBOT pour trouver les solutions de [(-23) x² + 134x + (-176) = 0 ; inconnue x] Delta := 134² - 4 × (-23) ×(-176) = 1764 = 42² Donc S= {(-134 – 42) / (-46) ; (-134 + 42 ) / (-46)} = { 2 ; 88/23 } DST4 30/09/2016 1/ Résoudre [ 61 u² + (Z+9)u + 9Z = 60u×u ; inconnue u] 2/ En augmentant un nombre MYSTERE de 30%, obtient la même chose que si on retire 50 à son carré. Trouver a,b tels que la phrase suivante est déductible de l’hypothèse : << MYSTERE est dans {a ;b}>> Exercice 3 1/ Un téléviseur haut de gamme coûte 960 euros. Pendant une période promotionnelle un commerçant propose une remise exceptionnelle de 14% pendant 15 jours. Quel est le prix du téléviseur après remise ? 2/ Le commerçant décide à la fin de cette période d'augmenter le prix après remise de 15% ? Quel est alors le nouveau prix ? Quel pourcentage d'augmentation ou de diminution y a-t-il entre ce dernier prix et le prix initial ? [61u² + 19u + 90 = 60u² ; inconnue u] Cette équation a les mêmes solutions que [1u² + 19u + 90 = 0 ; inconnue u] Apply ALGO: [ let ∆ := b² - 4ac in if ∆ ≥ 0 then let r := racine carrée de ∆ in begin return {(-b-r)/(2a) ; (-b+r)/(2a)} end else ∅ ] Je suis un robot. S={(-19-1)/(2×1) ; (-19+1)/(2×1))} = { -10 ; -9 } L’hypothèse dit que MYSTERE×1.3 = MYSTERE² - 50 La seule chose que dit l’hypothèse est que MYSTERE est une solution de l’équation [ x×1.3 = x² - 50 ; inconnue x ] La suite est robotique …CLG…5ième : [ 1x² + (-1.3)x + (-50) = 0 ; inconnue x ] Exercice 3 1/ Un téléviseur haut de gamme coûte 960 euros. Pendant une période promotionnelle un commerçant propose une remise exceptionnelle de 14% pendant 15 jours. Quel est le prix du téléviseur après remise ? 960×(1-0.14) = calculette 2/ Le commerçant décide à la fin de cette période d'augmenter le prix après remise de 15% ? Quel est alors le nouveau prix ? 960×(1-0.14)×1.15 = calculette Quel pourcentage d'augmentation ou de diminution y a-t-il entre ce dernier prix et le prix initial ? pourrie pour raisons sociologiques. Passage du prix initial à prix final CM = 0.86×1.15, TE = (0.86×1.15)-1 RECAPITULATION MATERNALISANTE RESOLUTION EQ SEC DEG C’est le théorème déjà vu 1/ Dans une équation, l’inconnue est UNE VRAIE LETTRE 2/ Notons E(a,b,c) l’équation [ax²+bx+c=0 ; inconnue x] 2bis/ On note S(a,b,c) l’ensemble des solutions de E(a,b,c) 3/ Méthode « clé en main », le théorème du cours dit la chose suivante dans le contexte où a est non nul: 4/ on calcule b²-4ac et on le note traditionnellement 5.1/ si ∆ ≥ 0 alors S(a,b,c) = { −𝑏−√∆ 2𝑎 ; −𝑏+√∆ 2𝑎 } 5.2/ si ∆ < 0 alors S(a,b,c) = ∅ Remarque : si ∆ = 0 alors S(a,b,c) = { −𝑏 2𝑎 } Théorème no2 du cours : si {u ;v} est l’ensemble des solutions de l’équation [ax²+bx+c = 0 ; inconnue x] et a non nul alors pour tout nombre x : ax²+bx+c = a(x-u)(x-v) ∆ Exemple: nous allons factoriser l’expression 7x² +(- 22)x + 15 Le cours permet de le faire sans inspiration L’intelligence permet de le faire avec inspiration Méthode inspirée : 7x² -22x+15 = (x-1) (7x-15) (CLG4ième) Méthode exploitant le cours et donnant la réponse « automatiquement » : Le théorème 2 nous dit qu’il suffit de connaitre les deux solutions u ;v de [7x² -22x+15 =0 ; inc x] et de prétendre que 7x² -22x+15 = 7(x-u)(x-v) DELTAROBOT***…. u :=1 ; v :=15/7 7x²-22x+15 = 7(x-15/7)(x-1) *** à la demande des « manque de confiance en eux » : delta := (-22)² - 4×7×15 = 64 ; S = { (-(-22) - 8 ) / 14 ; (-(-22) + 8) / 14 } = { 1 ; 15/7} IB demande : « Monsieur, vous avez écrit (x-62)(x-4) à la place de (x-4)(x-62) » DST5 date 07102016 classe1es4 Exercice 1 : résoudre [ Zx² +Z.(Z+3).(Z-3)x+Z.(Z²-3)=0 ; inconnue x] Exercice 2 : on passe du carré Bil au carré Toto en augmentant le côté de Z%. A quel taux d’évolution se situe le passage de l’aire de Bil à l’aire de Toto ? Rappel : aire = côté fois côté Exercice3 : faire le tableau de signes de la fonction f telle que pour tout x : f(x) = (3x + Z) (x-2) – (x-2)(Zx+1) Exercice4 : Résoudre [(x+5)(Zx-10) = 6(Z-10) ; inc x]