LES RELATIONS 1 1.1 Produit Cartésien Produit cartésien de 2 ensembles Soient E et F deux ensembles donnés, le produit cartésien de E et de F (ou produit de E par F) est l’ensemble des couples (x, y) où x est l’élément de E et y élément de F. E x F = {(x, y) tel que x Є E et y Є F} Remarque Dans un couple (x, y) x est la première composante et y la seconde composante. (x, y)=(x’,y’) x=x’ et y=y’ lorsque E=F, le produit s’appelle carrée cartésien de E, noté E x E ou E² 1.2 Généralisation Le concept de produit cartésien peut être généralisé à un nombre fini d’ensembles. Soient E1, E2 …En : E1 x E2 x…x En = {(x1, x2,..., xn) tel que x1 Є E1, x2 Є E2, ..., xn Є En } Soit E, En sera l’ensemble suivant : {(x1, x2,..., xn) tel que x1 Є E, x2 Є E, ..., xn Є E } Remarque : (x1, x2,..., xn) est appelé un n-uplet. (x1, x2,..., xn) = (x’1, x’2,..., x’n) x1=x’1 ^ x2=x’2 ^ … ^ xn=x’n ATTENTION : Le produit cartésien n’est pas commutatif : A x B B x A Le produit cartésien n’est pas associatif : (A x B) x C A x (B x C) Exemples : Soient A={x,y} et B={0, 1, 2} A x B = {(x,0) ;(x,1) ;(x,2) ;(y,0) ;(y,1) ;(y,2)} B x A = {(0,x) ;(0,y) ;(1,x) ;(1,y) ;(2,x) ;(2,y)} Donc B x A A x B Soient A={x,y} et B={0, 1, 2} c{} (A x B) x C = {((x,0),) ;((x,1),) ;((x,2),) ;((y,0),) ;((y,1),) ;((y,2),)} A x (B x C) = {(x,(0,)) ;(y,(0,)) ;(x,(1,)) ;(y,(1,)) ;(x,(2,)) ;(y,(2,))} Donc (A x B) x C A x (B x C) Exemple de produit cartésien : Soit E = {a, b, c} Déterminer un élément de N² x P(E) x E² Déterminer un élément de (N² x P(E) x E) x E ( (1,2), {a}, (a,b)) Є N² x P(E) x E² ( ((5,8), , b), a) Є (N² x P(E) x E) x E 2 2.1 Relations Relations et prédicat Considérons une relation « intuitive » au sein d’une population. « x est frère de y » 2 Essayons de la formaliser : En fait tout x est élément des Hommes, soit H. On suppose que y est élément de l’ensemble des femmes soit F. Et « x est frère de y » est un prédicat définit sur H x F, d’où : Définition 1 : Soient E et F deux ensembles et E x F leur produit cartésien. Une relation sur E x F est un prédicat définit sur E x F. x Є E, y Є F, x est en relation avec y par R xRy R(x, y) Quelques relations connues : Dans R : <, >, , , =, Dans Z : , | 2.2 Relations et graphe : D’après l’exemple précédent, l’ensemble des couples (x, y) qui vérifient la relation est un sous-ensemble du produit cartésien E x F. Définition 2 : Le graphe de la relation R est le sous-ensemble correspondant G de E x F : G = {(x, y) Є E x F tel que xRy} La relation R est définie à l’aide de son graphe G. Exemple : Soit E et F deux parties de R : E=[a, b] et F=[c, d] Voici une représentation cartésienne de E x F d GR c a b (x, y) Є R² xRy (x, y) Є GR (x, y) Є E x F (x, y) Є [a, b] x [c, d] x Є [a, b] ^ y Є [c,d] a x b et c y d On en conclut le résultat suivant : Soit R une relation définie sur E x F, avec E et F deux ensembles donnés, soit G R son graphe : (x, y) Є E x F, xRy (x, y) Є GR Remarques et définitions : E et F sont deux ensembles donnés. L’ensemble des relations définies sur E x F est l’ensemble des parties de E x F soit P(E x F). Soit E un ensemble. Une relation binaire définie sur E est une relation définie sur E x E. Exemple de relation binaire : est une relation binaire sur R Toute partie de R² nous permet de définir une relation binaire sur R. 3 2.3 Relation particulière Soit E un ensemble donné. On appelle identité de E, et on note IE la relation binaire définie sur E par : (x, y) Є E² x IE y x=y 2.4 Représentation des relations 2.4.1 Représentation d’une relation définie sur E x F à l’aide de son graphe Représenter une relation revient à représenter son graphe. Voyons deux sortes de représentations sur un exemple : Soit E = { a, b, c, d, e} et F = {1, 2, 3, 4} Et R définie à l’aide de G par G = {(a,2) ;(a,3) ;(b,1) ;(c,1) ;(c,3)} Représentation sagittale : a 1 b c 2 3 d 4 e Matrice Booléenne 1 MR = 2 3 4 a b c d e 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (x, y) Є GR xRy il y a 1 à la colonne x et la ligne y (x, y) GR xRy il y a 0 à la colonne x et à la ligne y 2.4.2 Représentation d’une relation binaire Graphe dirigé de R, ou diagonale de R Sur un exemple : Soit A={1, 2, 3, 4, 5} GR = {(1,1) ;(1,2) ;(1,5) ;(2,3) ;(3,3) ;(3,5) ;(3,1) ;(3,2)} 2 1 3 5 4 Les flèches sont appelées arêtes, les cercles étiquetés par les éléments de A sont les sommets. Dans R², représentation cartésienne Soit la relation R, définit sur R par la donnée de son graphe : GR = {(x, y) Є R / x²+y²=4} On peut représenter graphiquement le graphe de cette relation : c’est le cercle de centre O et de rayon 2. 4 3 3.1 Propriétés des relations R est une relation binaire définie sur E R est réflexive : x Є E xRx x Є E (x, x) Є GR R est anti-réflexive x Є E xRx x Є E (x, x) GR Remarque : Attention , ne pas confondre anti-réflexive et non réflexive R est non réflexive : x Є E / xRx x Є E (x, x) GR R est symétrique (x, y) Є E² xRy yRx ( c’est à dire : (x, y) Є E² (x, y) Є GR => (y ,x) Є GR) R est anti-symétrique (x, y) Є E² [xRy ^ yRx ] => x=y (c’est à dire : (x, y) Є E² [(x, y) Є GR ^ (y, x) Є GR ] => (x, y) Є GR) R est transitive (x, y , z) Є E3 [xRy ^ yRz] => xRz (c’est à dire : (x, y, z) Є E3 [(x, y) Є GR et (y, z) Є GR] => (x, z) Є GR R est circulaire (x, y, z) Є E3 [xRy ^ yRz] => zRx (c’est à dire : (x, y, z) Є E3 [(x, y) Є GR et (y, z) Є GR] => (z, x) Є GR) 3.2 Quelques notions supplémentaires sur les relations nécessaires à la compréhension des graphes Tout d’abord, le graphe de la relation IE sera noté E Soit R une relation binaire définie sur E, on peut alors définir la relation /R par (x, y) Є E² x /R y /(xRy) On peut aussi définir la relation R-1 par (x, y) Є E² xR-1y yRx Traduisons ces propriétés à l’aide des graphes : R est réflexive E GR R est anti-symétrique E G/R R est symétrique GR = GR-1 R est anti-symétrique GR GR-1 E 5 Exercices Exercice 1 1) Soit n un entier positif, on définit sur Z la relation x n y n|x-y 2) Sur R xRy |x| = |y| 3) Sur R xRy cos²x + sin²y = 1 Montrer que chacune de ces relations est (anti-) symétrique, réflexive, transitive. 1) - (x, y) Є E² on suppose que n|x-y (c’est à dire, on suppose que xRy) donc n|-x + y donc n|y-x donc on a bien yRx. Donc la relation 1 est symétrique. x Є E², on a n|x-x donc elle est réflexive. Soient x, y, z Є E. On suppose que n|x-y et n|y-z donc n|x-y+y-z, donc n|x-z. Donc la relation 1 est transitive. 2) - Soit yRx |y|=|x| |x|=|y| xRy. Donc la relation 2 est symétrique. Soit x Є R. Donc |x|=|x| donc on a bien xRx. Donc R est réflexive. Soient x, y, z réels. |x| = |y| et |y|=|z| donc |x|=|z|. Donc R est transitive. - Soit xRy cos²x + sin²y = 1 xRy cos²x + sin²y = 1 1 – cos²y + 1 – sin²x = 1 1 = cos²y + sin²x yRx Donc R est symétrique. Soit x Є R cos²x + sin²x = 1 donc xRx. Donc R est réflexive. Soit xRy et yRz Donc on a sin²x + cos²y = 1 et sin²y + cos²z = 1. En faisant la somme, on obtient : sin²x + cos²y + sin²y + cos²z = 2 (cos²y+sin²y=1) donc on a sin²x+cos²z=1. donc on a xRz. Donc R est transitive. 3) - Exercice 2 Soit R la relation binaire définie sur N par : nRm le nombre de chiffres dans l’écriture décimale de n est strictement inférieur à celui de m. 1) A-t-on 210 R 35 ? 2) Donner tous les entiers n tels que nR11². 3) Donner tous les entiers m tels que 2002 R m 1) 210=1024 et 35=243 donc on n’a pas R. 2) n = 0, 1, …,99 3) n = 10000, 10001, 10002, … Exercice 3 Soient A={0, 2, 3, 4, 7} et B={1, 3, 4} Soit R la relation tel que GR = { (0,3) ; (0,4) ; (0,1) ; (2,3) ; (2,4) ; (3,4)} Donner le domaine de R et l’image de R. Faites le graphe sagittal et le graphe dirigé de R. Que vaut R ? DomR = {0, 2, 3) et ImR = {1, 3, 4} = B Graphe Sagittal : 0 2 3 4 7 1 R est la relation « < » Graphe dirigé de R : 1 0 7 3 4 2 3 4 6 Exercice 4 1) Soit R la relation sur R définie par : (x, y) Є R² xRy (x0) ^ (y0) ^ ((x) = (y) ) R est-elle une relation d’équivalence ? 2) Soit R2 la relation R+ définie par : (x, y) Є R+ x R+ xR2y (x) = (y) R est-elle une relation d’équivalence ? Si oui, déterminer la classe de x et décrire R+²/R2. 1) Soit R1 la relation définie sur R. R1 n’est pas réflexive car –1R –1 est faux. En effet, -1 Є R et pourtant -10 est faux. Soient x0 Є R et y0 Є R tels que x0 R y0. On a x0 0 et y0 0 et x0 = y0. Comme « = » est symétrique, on a aussi x0 0 et y0 0 et y0 = x0. C’est à dire, on a y0 R x0. Donc R est symétrique. Soient x0, y0, z0 Є R tels que x0 0 et y0 0 et x0 = y0 et y0 0 et z0 0 et y0 = z0. Comme « = » est transitive, on a aussi x0 0 et z0 0 et x0 = z0 . On a donc R transitive et symétrique, mais pas réflexive. Donc R n’est pas une relation d’équivalence. 2) R2 est réflexive car x0 Є R+, on a x00 et x00 et x0 = x0. De même 1), on a R2 qui est symétrique et transitive. Donc R2 est une relation d’équivalence. __ On peut donc déterminer la classe de x : X = {X} Donc R+²/R2 = { {x} / x Є R+ } (l’espace quotient). Exercice 5 Soient E et F deux ensembles et f : E F telle que (x1, x2) Є E² x1Rx2 f(x1)=f(x2) Montrer que R est une relation d’équivalence. Décrire les classes de x, x Є E. En déduire E/R. Soit x0 Є E f(x0)=f(x0) donc on a x0Rx0. Donc la relation est réflexive. Soit x1 Є R et x2 Є tels que x1 R x2. On a donc f(x1) = f(x2), c’est à dire f(x2) = f(x1) donc on a x2Rx1. Donc R est symétrique. Soient x1, x2, x3, Є E tels que x1Rx2 et x2Rx3. On a donc f(x1)=f(x2) et f(x2)=f(x3). On a donc aussi f(x1)=f(x3). Donc on a bien x1Rx3. Donc R est transitive. Donc R est bien une relation d’équivalence. _ Soit x0 Є R. x0 = { x Є E / f(x0) = f(x) } E/R = f—1({y}) / y Є f(E)} Exercice 6 Soit R la relation binaire de R² définie par ( (a, b) ; (c,d) ) Є (R²)² (a,b)R(c,d) = a+d=b+c. 1) Montrer que R est une relation d’équivalence. 2) Déterminer la classe d’équivalence de (1,5). Quelle est son interprétation géométrique. 3) Même question avec (a, b) Є R² 4) Déterminer R²/R et l’interprétation géométrique. 1) Soit (a, b) Є R² on a bien (a, b)R(a, b) car a+b=b+a. Donc R est réflexive. Soient (a, b) et (c, d) Є R² tels que (a, b)R(c, d). On a donc a+d=b+c. Comme « = » est symétrique, on a c+b=d+a. Donc on a (c, d)R(a, b). Donc R est symétrique. Soient (a, b), (c, d), (e, f) Є R² tels que (a, b)R(c, d) et (c, d)R(e, f). On a donc a+d=b+c et c+f=d+e. En additionnant membre à membre, on obtient a+d+c+f=b+c+d+e, c’est à dire après simplifications : a+f=b+e. Donc on a bien (a, b)R(e, f). Donc R est transitive. y Donc est une relation d’équivalence. y = x+4 2) ___ Classe d’équivalence de (1,5) : (1,5) = { (x, y) Є E² / y+1= 5+x} C’est la droite d’équation y=x+4 4 x 7 y y = x+(b-a) b-a 3) ____ De même (a, b) = { (c, d) Є R² / d= c + (b-a)} Un exemple ci contre : x a-b 4) L’espace quotient est l’ensemble des classes d’équivalence des droites parallèles à celle du schéma ci dessus. R²/R= { {(c,d) Є R²/ d=c+}, Є R} Exercice 7 1) Soit R la relation de RxR définie par xRy x=y². 2) Soit R la relation RxR définie par xRy y=x². Pour chacune des relations, donner le domaine et l’image de R. R est-elle injective, surjective ? R est-elle une fonction, une application ? 1) DomR =R+ et ImR=R Si x1Ry et x1Ry alors x1=y² et x2=y² donc x1=x2 Donc la relation est injective. De plus, elle est surjective car ImR=R (cf définition du cours : une fonction est surjective si ImR est l’ensemble d’arrivée, ici R) Rappel : R est une fonction si xRy1 et xRy2 => y1=y2 Y²=x => y= -(x) ou y=(x) et (x) -(x). Donc R n’est pas une fonction. 2) DomR = R et ImR=R+ R n’est pas injective : contre-exemple : soit x1=2 et x2=-2, on a 2R4 et –2R4 et pourtant x1x2 (-22). Donc R n’est pas injective. R n’est pas surjective car ImRR. R est une fonction : x Є R si xRy1 et xRy2 alors x²=y1 et x²=y1. Donc y1=y2. Donc R est une fonction. R est une fonction et DomR=R donc R est une application. Exercice 8 Enumérer les éléments de D*70 (ensemble des diviseurs de 70) Faire le diagramme de Hasse de (D*70, | ). Quel est le maximum et le minimum de (D*70, | ). Déterminer les éléments minimaux de (D*70, | ) \ {1}. Déterminer les éléments maximaux de (D*70, | ) \ {70}. En faisant la division, on a 70 2 35 5 7 7 C’est à dire 70 = 2 x 5 x 7 Donc D*70 = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70} D’ou diagramme de Hasse ci contre. 1 |d d Є D*70 donc 1=min(D*70) d |70 d Є D*70 donc 70=max(D*70) Si (D*70, | ) \ {1} alors les éléments minimaux sont 2, 5, 7. Si (D*70, | ) \ {70} alors les éléments maximaux sont 10, 14, 35. E 10 14 2 35 5 7 1 Exercice 9 Soit A un ensemble non vide. Soit R un relation. Montrer l’équivalence suivante : (A, R) ordonné (A, R-1) ordonné. Soit (A, R). x Є A xRx donc xR-1x donc on a (A, R-1). Donc on a bien la réflexivité. x, y, z Є A xRy ^ yRz => xRz donc zR-1y ^ yR-1x => zR-1x. Donc on a bien R-1 réflexive. x, y Є A xRy ^ yRx => x=y. De même on a yR-1x ^ xR-1y => y=x. Donc R-1 est antisymétrique. Donc R-1 est une relation d’ordre si et seulement si R est une relation d’ordre. On a donc bien l’équivalence (A,R) ordonné (A, R-1) ordonné. 8