L`ANALYSE DIMENSIONNELLE

L'ANALYSE DIMENSIONNELLE
Source :http://www.ac-orleans-tours.fr/physique
1.Les lois d'échelle ou pourquoi "les voyages de Gulliver" ne résistent-ils pas à
l'analyse scientifique ?
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Dans ce conte philosophique, l'auteur décrit des géants ayant même structure que
nous, mais dont la taille (et en fait l'ensemble des dimensions) est dix fois supérieure à
la nôtre. Cela est impossible ; pourquoi ?
La force d'un homme est liée à ses muscles qui sont un assemblage de fibres,
relativement identiques d'un muscle à l'autre. Seul diffère le nombre de ces fibres. La
force d'un muscle est donc proportionnelle à sa section. Si L est la dimension
caractéristique du muscle (son diamètre, par exemple), la force musculaire est alors
proportionnelle à L2. Son poids, quant à lui, lié au volume, est proportionnel à L3.
Considérons que la dimension caractéristique d'un homme (normal) est
1 ; pour le géant, cette dimension est donc 10.La force de l'homme sera
12 = 1 et celle du géant, 102 = 100Le poids de l'homme sera 13 = 1 et
celui du géant, 103 = 1000.Cela reviendrait pour un homme à porter 9
compatriotes sur ses épaules, en plus de son propre poids ; il y a fort à
parier qu'il s'effondrerait !
2.Equations aux dimensions
Le principe des équations aux dimensions consiste à ramener les différents
paramètres intervenant dans une formule aux grandeurs fondamentales du système
international d'unités qui sont :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
la longueur notée L
la masse notée M
le temps noté T
l'intensité électrique notée I
la température notée K
l'intensité lumineuse
la quantité de matière
Chaque grandeur physique peut être exprimée en fonction des grandeurs
fondamentales.
Exemples :
o
o
o
o
Force F : F = m.a
donc [F] = M [a] = M L T-2 ( [a] signifie "dimension de a" )
Energie E : E = 1/2 m.v2
donc [E] = M [v2] = M [v]2 = M L2 T-2
(remarque : les coefficients sans dimension n'interviennent pas dans ces expressions)
o
Capacité thermique massique c : Q = m.c (Tf - Ti)
o
donc [c] = [Q] [m]-1 [T]-1 = M L2 T-2 M-1 K-1 = L2 T-2 K-1
3.Analyse dimensionnelle
L'analyse dimensionnelle est une méthode d'exploration des phénomènes physiques d'une
grande efficacité ; en particulier, elle permet :
1. - de vérifier l'homogénéité d'une formule
2. - de rechercher la nature des relations entre des grandeurs
physiques liées.
Elle utilise les équations aux dimensions.
3.1.Vérification de l'homogénéité d'une formule
A la suite de différents calculs, une relation a été trouvée entre la vitesse v d'un objet en
chute libre, l'accélération de la pesanteur g, et la hauteur de chute h : v2 = 2 g.h . Cette formule
est-elle homogène ?
Utilisons les équations aux dimensions :
o
o
[v2] = [v]2 = (L T-1)2 = L2 T-2
[2 g.h] = [g] [h] = L T-2 L = L2 T-2
La formule est donc homogène.
3.2.Recherche de la relation entre grandeurs physiques liées
Soit un pendule élastique constitué d'un palet glissant sans frottements sur un banc à
coussin d'air, attaché à l'une des extrémités d'un ressort, l'autre étant fixe. Le système est un
oscillateur. On souhaite découvrir à l'aide de l'analyse dimensionnelle l'expression de la
période T des oscillations (à une constante numérique près, l'analyse dimensionnelle ne
permettant pas de prendre en compte les nombres sans dimension).
Etape 1 : Liste des paramètres dont peut éventuellement dépendre T
1. - la masse du palet : m
2. - la raideur du ressort : k
3. - l'amplitude des oscillations : Xo
Etape 2 : Recherche des dimensions des différents paramètres
1.
2.
3.
4.
[m] = M
[k] = [F/x] = M L T-2 L-1 = M T-2
[Xo] = L
[T] = T
Etape 3 : Mise en équation du problème
On essaie pour l'expression de la période une expression telle que :
o
o
T = Cste . ma. kb. Xog
D'où : [T] = T = [m] [k] [Xo] = M M T-2 L = M T-2 L
Après identification :
o

o
o
soit : 
d'où l'expression de la période T : T = Cste. m1/2. k -1/2 = Cste (m/k)1/2