1/7 Session de 1987 - PREMIERE EPREUVE - 3 heures MACHINE A COURANT CONTINU ALIMENTEE PAR UN HACHEUR REVERSIBLE EN COURANT Cette épreuve comporte 3 parties, liées entre elles, mais pouvant être traitées de façon indépendante. On se propose d'étudier une machine à courant continu alimentée par un hacheur à partir d'un réseau continu fixe, la charge entraînée présentant un couple constant quelle que soit la vitesse. 1. Etude de la machine à courant continu L'excitation, réalisée par aimants permanents, sera supposée constante ; par ailleurs la machine est parfaitement compensée. La f.é.m. est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation : E = KE E en volts ; en radians par seconde. Pour cette machine, le constructeur donne les caractéristiques suivantes : - tension nominale : 200 V - courant nominal : 15 A - constante de f.é.m., KE = 0,61 V.s.rad-1 - couple de pertes à 3000 tr/min : Tp = 0,7 Nm (supposé proportionnel à la vitesse) - résistance de l'induit : Ra = 0,45 ; inductance de l'induit : La = 1,6 mH - courant impulsionnel maximal : 100 A 1.1. Déterminer, au point nominal, en fonctionnement moteur - la vitesse de rotation : nn (tr/min) et n (rad/s) - le couple électromagnétique Tem - le couple utile Tu 1.2. Le moteur fonctionne à vide. Calculer le courant dans l'induit pour les deux vitesses de rotation suivantes : 3000 tr/min et 1000 tr/min. 1.3. La machine fonctionne en génératrice à vitesse nominale. Le moment du couple résistant total est Tr = 8 N.m. Calculer le courant d'induit et la puissance électrique échangée avec le réseau continu, lors d'un fonctionnement en récupération. 1.4. A partir du point de fonctionnement nominal en moteur, on réalise un freinage en récupération à courant d'induit constant Ia = 30 A et à couple Tr constant, Tr = 8 N.m. L'ensemble (rotor de la machine - charge) présente un moment d'inertie ramené sur l'arbre de la machine J = 0,33 kg.m2. On négligera le couple de pertes de la machine. 1.4.1. Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la vitesse angulaire en fonction du temps. 1.4.2. Résoudre cette équation et donner l'allure de la courbe = f (t). 1.4.3. En déduire la durée t1 nécessaire pour atteindre la vitesse nulle avec récupération. 1.4.4. Calculer l'énergie récupérée pendant la phase de freinage. 2. Etude du hacheur alimentant l'induit de la machine à courant continu Soit le montage de la figure 1. UR est une tension continue constante : UR = 200 V. 2/7 L'inductance L représente l'inductance globale de l'induit de la machine et de la bobine de lissage sans pertes : L = 11,8 mH. La f.é.m. E représente la f.é.m. développée par l'induit. Dans les conditions de fonctionnement, on a toujours : 0 < E < UR iR T1 T1 et T2 sont deux transistors de puissance jouant le rôle d'interrupteurs unidirectionnels commandés à la fermeture et à l'ouverture par leur tension base-émetteur, vbe. pour vbe > 0 le transistor considéré est saturé, pour vbe ≤ 0 le transistor est bloqué. Les temps de commutation et l'influence des circuits d'aide à la commutation sont négligés. D1 figure 1 v be1 UR T2 v be2 La chute de tension aux bornes d'un interrupteur passant est nulle. i L D2 v E A B 2.1. On commande périodiquement T1 (figure 2). T2 est maintenu bloqué (vbe2 <0). La conduction est continue, le courant est ininterrompu dans le moteur (i > 0). 2.1.1. Montrer que seuls T1 et D2 participent au fonctionnement en régime établi et faire les schémas utiles pour cette étude, respectivement pour 0 ≤ t ≤ T et pour T ≤ t ≤ T. 2.1.2. Ecrire les équations différentielles vérifiées par le courant i (t) durant chaque séquence. v be1 0 T T t T + T figure 2 2.1.3. En déduire l’expression i(t) pendant chaque séquence, en appelant Im et IM les valeurs extrêmes de i (t). On pourra poser t' = t - T. 2.1.4. Montrer que I IM Im UR E et E = UR ; f : fréquence du signal Vbe1. Lf 2.1.5. Application numérique : En régime établi, le hacheur fonctionne à ondulation de courant ΔI constante et à fréquence et rapport cyclique variables (commande par fourchette de courant), ΔI = 1 A. Calculer, pour n = 1200 tr/min, les valeurs de et f. Représenter i (t) si sa valeur moyenne Imoy vaut 15 A puis déterminer la fréquence maximale de fonctionnement fM (on précisera la valeur correspondante de ). 2.2. On commande périodiquement T2 (voir document réponse n°1). T1 est bloqué, vbe1 < 0. La conduction est continue (i < 0). 2.2.1. En régime établi seuls T2 et D1 interviennent. En déduire les schémas utiles pour : 0 ≤ t ≤ T et T ≤ t ≤ T 2.2.2. Représenter l'allure de la tension v (t) sur le document réponse n°1. Ecrire la relation liant v(t), i(t) et E. E En déduire que l’on a : UR . 1 2.2.3. En écrivant les équations différentielles vérifiées par le courant i, donner l'allure de i(t). 3/7 En déduire que l'ondulation de courant s'écrit : I UR On notera I0 et I1 les valeurs de i à t = 0 et t = T. (1 ) . Lf 2.2.4. Pour n = 1200 tr/min, Imoy = 30 A et f = 4 kHz, calculer , ΔI, I0 et I1. Calculer la puissance mise en jeu au niveau du réseau (UR , iR) en précisant le sens du transfert. Quel est le type de réversibilité de ce montage ? 2.3. Les transistors T1 et T2 sont commandés de manière complémentaire. La charge peut être active. Pour trois valeurs de couple, on a relevé les oscillogrammes de courant (document réponse n°2). 2.3.1. Déterminer, pour chaque cas, la séquence de conduction des quatre interrupteurs. Que peut-on dire de la vitesse de rotation du groupe si a la même valeur dans les 3 cas ? 2.3.2. En considérant le cas b, quel est l'avantage d'une commande complémentaire de T1, T2 par rapport aux fonctionnements envisagés aux paragraphes 2.1. et 2.2. ? 3. Commande en courant du hacheur : On réalise le contrôle du courant dans la machine à courant continu avec le montage de la figure 3. UR = 200 V R3 figure 3 R1 + R2 820 Commande des bases de T1 et T 2 A2 + v1 D1 L - A1 Vref T1 T2 D2 v On donne : R1 = 10 k s = 0,01 E s v2 R4 i R5 R2 = 1 k R3 = 50 k L = 11,8 mH Vcc = 15 V masse de l'alimentation des A.O. masse circuit de puissance R4 = 1,2 k R5 = 68 k Les amplificateurs opérationnels sont alimentés sous les tensions suivantes : + Vcc, 0, - Vcc (figure 4). + Vcc i+ Ils sont considérés comme parfaits : en fonctionnement linéaire, la tension différentielle d'entrée : = e+ - e- est nulle. e+ les courants d'entrée i+ et i- sont nuls. + i- - vs e- Vcc figure 4 en commutation : la tension de sortie vaut : + Vcc si e+ > e- et - Vcc si e- > e+. Le changement d'état de la sortie lors d'un basculement est instantané. 4/7 La commande de base fournit deux tensions de base complémentaires (figure 5). 3.1. Déterminer la relation liant V1, Vref et i en fonction de R1, R2, R3 et du shunt s. V2 t v be1 t v be2 t figure 5 3.2. Mettre cette relation sous la forme : V1 = A (i - lref) avec Iref = k Vref. Exprimer et calculer A et k. Pour la suite, on pose j = i - lref V1 = A j 3.3. Déterminer la caractéristique de transfert : V2 = f (V1) du montage comparateur à hystérésis réalisé avec l'amplificateur opérationnel A2. Calculer les valeurs numériques de la tension V1 provoquant les basculements. En déduire que les valeurs des seuils en courant j+ et j- sont j+ = + 0,52 A, j- = - 0,52 A. 3.4. En régime établi : E = 150V, Iref = 10 A, = 0,75. Justifier la valeur de . A l’instant t = 0, i(0) = 9,5 A et V2 = Vcc Pour quelles valeurs de i observera-t-on un basculement de la tension V2 ? Tracer sur le document réponse n°3 l’évolution des courants i et j et de la tension V2. 5/7 document réponse n°1 v be2 t 0 T T T + T v t 0 i t 0 6/7 document réponse n°2 v be1 t 0 v be2 t 0 i cas a t 0 T1 D1 T2 D2 i cas b 0 t T1 D1 T2 D2 i cas c 0 T1 D1 T2 D2 t 7/7 document réponse n°3 i Echelles : 1 cm pour 2 A 1 cm pour 10 V t 0 j t 0 v2 t 0