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Agrégation Interne 2000
Exercices d’Optique
Exo n°1 : étude d’un doubleur de focale.
1. A l’aide d’un objectif assimilable à une lentille mince convergente L1, de centre optique O1, de distance focale image f’1 = 50 mm, on forme sur un film photographique l’image A1B1 d’un objet réel de
hauteur AB = 20 cm situé à une distance D = 1 mètre de l’objectif.
1.a. A quelle distance de l’objectif doit – on placer le film ?
1.b. Calculer la grandeur de l’image obtenue.
2. On place un objet virtuel A1B1 à une distance d = 2 cm d’une lentille mince divergente L2 de centre
optique O2, & de distance focale image f’2 = - 40 mm.
2.a. Déterminer la position de l’image A’B’ obtenue & préciser sa nature.
2.b. Calculer le grandissement transversal.
3. L’objectif L1 restant fixe par rapport à l’objet AB précédent (donc avec O1 A  1 m , on déplace le
film & on intercale entre celui-ci & l’objectif L1 la lentille divergente L2 précédente. On veut obtenir
une image réelle A’B’ deux fois plus grande que l’image A1B1 donnée par l’objectif L1 seul.
3.a. Où doit-on placer L2 ? Préciser la distance O2 A1 entre L2 & A1B1.
3.b. De quelle distance a-t-on reculé le film ? Préciser la distance O2 A' entre L2 & le film, & vérifier
qu ‘elle ne dépend pas de la distance focale f’1 de l’objectif.
Exo n°2 : Microscope.
L'appareil est schématisé par deux lentilles minces convergentes de même axe optique : l'objectif L1 de
distance focale 1 = 5 mm, & l'oculaire L2 de distance focale 2 = 25 mm. Le foyer image F '1 de L1 & le
foyer objet F2 de L2 sont distants de F'1F2 =  = 250 mm. L'œil de l'observateur sera toujours placé dans
le plan focal image de L2. L'objet AB, situé dans un plan de front (donc orthogonal à l'axe), A étant sur
l'axe, a une image réelle A1B1 par l'objectif & l'oculaire en donne une image virtuelle définitive A’B'.
1. L'œil doit effectuer son observation sans accommoder, donc voir un faisceau parallèle. En déduire la
position de l'image intermédiaire A1B1, puis calculer la position de l'objet AB (donc la quantité F1A).
Faire une construction représentant la marche d'un pinceau lumineux étroit issu de B.
2. L'image A’B' est vue par l'œil sous l'angle ' avec l'appareil, & serait vue sans l'appareil (donc à l'œil
'
nu) sous l'angle . Calculer le grossissement G 
de l'appareil. Calculer la distance focale  du mi
croscope à l’aide de la formule de Gullstrand C  C1  C2  eC1C2 , puis sa puissance en dioptries.
Construire les plans principaux (où le grandissement vaut + 1) & les foyers.
3. En accommodant, l'œil peut observer nettement un objet situé à une distance comprise entre 25 cm
(distance minimale de vision directe) & l'infini. Calculer la latitude de mise au point de l'appareil, soit
x (écartement entre les positions extrêmes de l'objet).
Exo n°3 : arc en ciel.
1. Etude en lumière monochromatique : on considère une sphère de centre O, de rayon R, d'indice n > 1,
plongée dans l'air (d'indice égal à 1). On pose alors   AS, CR . Calculer   f (i, r ) . En déduire
4
sin iM  f (n) , iM étant tel que  soit maximal & égal à M. AN : n  . Calculer iM & M. Allure de la
3
courbe i  ?

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
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2. La sphère est une goutte de pluie & S est le soleil qui émet de la lumière blanche (polychromatique).
L'indice n varie alors depuis 1,331 pour le rouge extrême jusqu'à 1,337 pour le violet extrême. Il en résulte que les valeurs de iM & M dépendent maintenant de la longueur d'onde . On peut montrer que,
pour chaque longueur d'onde, il y aura accumulation d'énergie lumineuse pour  M iM  . Déterminer le
d
signe de
. L'observateur est en O, le soleil a l'inclinaison . L'axe SOS' étant de révolution, chaque
d
couleur  donne un anneau. Sous quel angle est-il vu ? Quel est l'ordre de succession des couleurs, de
l'intérieur vers l'extérieur de l'arc ?
3. On s'intéresse aux rayons subissant deux réflexions totales. Attention : le sens positif pour l'orientation des angles a changé !
Calculer   DR, AS  f (i, r) . En déduire sin iM  f (n) quand
4
 est maximal & donc égal à M. AN : n  . Calculer iM & M.
3
d
Déterminer le signe de
. Les rayons émergents (suivant M)
d
vont constituer un second arc, extérieur au premier. Quel est, pour
le second arc, l'ordre de succession des couleurs, de l'intérieur
vers l'extérieur ?


Exo n°4 : coin d’air (ENSET B 1973).
On considère un coin d’air formé par deux lames L1 & L2 à faces planes & parallèles faisant entre elles
un angle . On désigne par R le facteur de réflexion de chacune des deux lames & par T leur facteur de
transmission. On rappelle que R est le rapport de l’intensité lumineuse réfléchie à l’intensité lumineuse
incidente, & T le rapport de l’intensité lumineuse transmise à l’intensité lumineuse incidente. On négligera les changements de phase dus à la réflexion & à la transmission, & on ne tiendra pas compte des
effets éventuels de l’épaisseur non nulle des deux lames L1 & L2. On utilisera donc dans tout le problème
le schéma de la page suivante.
1. Déterminer l’intensité relative des vibrations transportées par les deux rayons (1) & (2) successivement réfléchis par les deux lames à partir d’un même rayon incident SI. On prendra R = 0,04 & on négligera l’absorption.
2. On rapporte l’espace à un repère orthonormé Oxyz, l’axe Ox étant confondu avec l’arête du coin d’air.
Une source S ponctuelle & monochromatique, de longueur d’onde  = 0,5 µm, située à l’infini dans le
plan Oyz dans la direction i (cf figure) éclaire ce coin d’air. Montrer que l’amplitude complexe de l’onde
2

 y. sin i  z. cos i  en
incidente en un point M de coordonnées (x, y, z) s’écrit : a ( M )  Ao exp  j



supposant que l’indice n de l’air vaut 1. Dans ces conditions, que représente  ?
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3. Calculer les amplitudes complexes a1 & a2 des ondes réfléchies respectivement par les lames L1 &
L2 en un point P de coordonnées (x, y, z).
4. Calculer l’intensité lumineuse au point P & montrer que les surfaces d’intensité maximale sont des
plans dont on déterminera la position ainsi que la distance à l’origine O des coordonnées.
5. Déterminer quelle doit être la position d’un écran E pour pouvoir observer des franges d’interférences
d’interfrange minimal, & calculer numériquement cet interfrange pour   5 ' .
6. L’intensité maximale est appelée IM, & l’intensité minimale Im. Calculer le contraste des franges défini
I  Im
par :   M
.
I M  Im
7. On considère maintenant une infinité de sources ponctuelles incohérentes, de même intensité, réparties de façon continue à l’infini dans le plan x = 0 dans les directions i vérifiant la condition suivante :


io   i  io  , avec   io . En faisant des calculs à l’ordre 1 en , calculer le contraste des franges
2
2
sur l’écran E. Déterminer la plus petite valeur 1 de  qui annule le contraste, sachant que la distance de
l’écran E à l’origine O vaut D = 1 m.
8. Montrer que le contraste ne dépend de  qu’au second ordre près sur une surface  qu’on déterminera. Application ?
9. En un point M de cette surface , on appelle (io ) la différence de marche entre les vibrations qui


interfèrent & qui sont issues de la source dans la direction io, & de même  io   celle entre les vibra2


tions qui interfèrent & qui sont issues de la source dans la direction io  . On admet que les franges
2



restent nettement visibles si :  io    io   . Calculer dans ces conditions la valeur maximale
2
4

acceptable de  si (io )  100. .
Exo n°5 : Anémométrie LASER.
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La mesure de la vitesse d'un fluide peut s'effectuer directement par voie optique sans perturbation de
l'écoulement.
La recombinaison de deux faisceaux issus d'un même LASER crée une figure d'interférences dans un
petit domaine de l'espace centré sur le point de mesure. Lorsqu'une particule solide de petites dimensions, entraînée par l'écoulement, traverse cette figure, elle rencontre des zones alternativement brillantes
& sombres. Eclairée par cette figure d'interférences, elle ré-émet une onde lumineuse diffusée, modulée
temporellement à une fréquence liée à sa vitesse de passage au point de mesure. Ce signal lumineux,
capté par un photodétecteur, est transformé en signal électrique, puis traité par un fréquencemètre qui
fournit une information représentative de la vitesse locale d'écoulement.
A. Géométrie des Interférences :
La figure d'interférences est formée dans le domaine d'intersection des deux faisceaux parallèles F1 & F2,
issus du même LASER (cf figure 2). Dans cette configuration symétrique (cf aussi figure 1), on désigne
par 2D la largeur des faisceaux F1 & F2 à l'extérieur de la cellule, o la longueur d'onde dans le vide du

LASER, n l'indice de réfraction du liquide en écoulement,
l'angle d'incidence de chaque faisceau sur
2
la cellule d'écoulement. Les parois de la cellule sont supposées minces, & donc n'introduisent pas de
déviation du rayon transmis.
1. Que vaut (sans calculs) la différence de marche  au point O, centre de la figure d'interférences ?
2. Calculer la largeur AA' de la figure d'interférences en fonction de D & . AN :  = 1°30', 2D = 1 mm.
Conclusion ?
3. Calculer la différence de marche  en un point M du champ d’interférences de coordonnées (X, Y) en
fonction de Y & . Calculer le pas P de la figure d'interférences. En déduire le nombre N de franges brillantes contenues dans le champ. AN : o = 0,52 µm. Calculer P & N.
B. Intensité des Interférences :
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La lumière du LASER est représentable par une onde plane, de longueur d'onde o = 0,52 µm dans le
 2 

u où u est le vecteur unitaire de la direction de propagavide, d'intensité Io, & de vecteur d'onde k 

tion, & donc au point M, dans le milieu d'indice n, l'amplitude complexe vaut :


a( M )  I o exp  jnk .r , où r  OM .




4. Dans le repère OXY de la figure 2, calculer les composantes des vecteurs d'onde k1 & k 2 des faisceaux F1 & F2 en fonction de o & r (angle de réfraction, ne pas oublier la conclusion du 2). En déduire
les amplitudes complexes a1( M ) & a2 ( M ) des faisceaux F1 & F2, puis l'amplitude a(M ) résultant de
l'addition cohérente en M des amplitudes a1 & a2 .
5. En déduire l'intensité I(M) en fonction de Io, o, Y & , puis en fonction de Io, o, Y & P. Calculer la
I (M )
valeur moyenne sur un pas de la quantité
. Quelle est la signification physique de ce résultat ?
2Io
C. Influence de la dimension de la Particule :
Une particule diffusante de longueur l, entraînée par le fluide, traverse à la vitesse v constante le champ
d'interférences le long du segment AA'. A tout instant de son parcours, elle joue le rôle d'une source lumineuse mobile qui ré-émet en direction du photodétecteur une intensité Ip proportionnelle à la valeur
moyenne de l'intensité qu'elle reçoit sur toute sa longueur, soit : I p    I l .
6. Ecrire l'équation intégrale I p YG   f I (Y ) donnant l'intensité diffusée par la particule quand son
centre G est situé à l'ordonnée YG dans le champ d'interférences. Calculer Ip(YG). La particule passe en O
à l’instant t = 0 ; en déduire Ip(t).
7. Représenter sur un même graphique les courbes
Ip
2Io
 f (t ) pour l = 0 puis pour l  0. Analogie ?
8. Le photodétecteur n'est sensible qu'à la partie alternative du signal Ip(t) & délivre une tension U(t)
proportionnelle (gain Q) à cette composante alternative. En déduire U(t).
9. On mesure la fréquence du signal U(t) avec un fréquencemètre dont la bande passante est donnée par
la relation : 2,25 kHz < f < 15 MHz. En déduire la gamme des vitesses mesurables avec ce dispositif.
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