Les complexes

Programmes ALGOBOX
Droites, triangles et complexes
1- Droites
Le programme DROITES peut intéresser les élèves à partir de la troisième.
Il donne les équations réduites des droites et les représente dans un repère.
Les graduations des axes sont établies dès le départ à partir des coordonnées
d’un point fictif ou laissées au choix de l’utilisateur.
Sans être morcelé, ce programme traite plusieurs cas indépendants, plus
particulièrement :
- droite passant par deux points,
- diverses droites parallèles ou perpendiculaires,
- distance d’un point à une droite.
- médiatrice d’un segment,
- intersection de deux droites.
Comme il s’agit d’équations réduites définies par y = mx+p, il n’y pas lieu de
trouver x = a, ce problème a été résolu par les droites verticales.
Pour soigner la présentation des résultats, il a fallu transformer les décimaux en
fraction, éviter les + − disgracieux dans l’affichage des nombres négatifs, présenter
les racines carrées avec la lettre V prise comme le symbole √,… trouver des astuces
pour ne pas répéter la même suite d’instructions dans le programme.
* * *
2- Triangles
Résoudre un triangle consiste à déterminer ses différents éléments (longueur des
côtés, mesure des angles, aire...) à partir de certains autres.
Utilisant le théorème d’Al Kashi, les formules du rapport des côtés pour la
bissectrice et de leur carré pour la médiane, de la loi des sinus, des équations
trigonométriques étudiées en première,… le programme TRIANGLE commence par
déterminer la mesure des côtés et des angles manquants, puis celles des hauteurs,
des médianes, des bissectrices, des rayons des cercles inscrit et circonscrit, celle de
l’aire, du périmètre, et trace un aperçu du triangle avec 2 médianes, 2 hauteurs et 2
cercles.
Pour déterminer un triangle on doit connaître :
- la mesure d’un côté et de deux angles, fig-1 et fig-2.
- ou bien celles de deux côtés et d’un angle, fig-3, fig-4 et fig-5.
- ou celles des trois côtés.
Dans un triangle ABC, la notation {A, b, C} ou {A, AC, C} signifie qu’on connaît la
mesure des angles A et C, et la longueur du côté [AC]. Suivant le cas de figure, les
angles connus sont codés et les côtés connus en couleurs.
a- Un côté et deux angles
Il y a deux cas possibles selon que
- Le côté connu soit adjacent aux deux angles donnés, fig-1,
- Ou bien opposé à l’un des deux angles donnés, fig-2.
Fig-1. On connaît {B, BC, C} ou {B, a, C}
Fig-2. On connaît {B, BC, A} ou {B, a, A}
b- Deux côtés et un angle
-
Plusieurs cas se présentent selon que
L’angle connu soit compris entre les deux côtés donnés, fig-3,
Ou bien opposé à l’un des deux côtés donnés et alors :
- Si a ≥ b, (côté opposé ≥ côté adjacent), il y a une seule solution, fig-4,
- Si a < b, (côté opposé < côté adjacent), il y a deux solutions :
les triangles ACB et ACB’, fig-5.
Fig-3.
{A, b, c}, avec A entre b et c
Fig-4. {A, b, c}, A opposé à a et a ≥ b.
Fig-5. Si a < b, le cercle de centre C et de rayon CB coupe [AB] en B’ : il y a deux
triangles-solutions : ACB’ appelé le ‘Petit’ triangle et ACB appelé le ‘Grand’.
En effet, ces deux triangles ont le même angle A, le même côté [AC] et le côté
[CB] ayant la même mesure que [CB’], ils ne diffèrent que par la longueur de leur
troisième côté : AB > AB’
Le programme traite ces deux cas séparément, il faudra donc le relancer avec les
mêmes données avant de choisir entre "Petit" et "Grand" triangle.
c- Trois côtés : c’est le cas {a, b, c} ou {BC, CA, AB}.
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3- Complexes
Partant de la forme algébrique de deux nombres complexes z1= a+i.b et z2 =
a’+i.b’, le programme COMPLEXES représente leur image dans le plan complexe,
détermine leur module et leur argument en degrés et en radians, puis ceux de z 1/z2 et
de z1*z2, dont il donne la forme algébrique.