Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et
applications linéaires
I)
Introduction à la notion d’espace
vectoriel :
Notons V l’ensemble des vecteurs du plan ou de
l’espace. Cet ensemble peut être muni d’une loi de
 
composition interne notée additivement , définie par u , v
étant deux vecteurs quelconques :
 
u v

v

u
Les propriétés de cette loi sont les suivantes :
 Elle est associative dans V , commutative dans V .

 Elle admet un élément neutre , le vecteur nul 0

 Tout vecteur u de V possède un opposé : le vecteur

-u
L’addition confère à V une structure de groupe
abélien .
Cet ensemble peut également être muni d’une loi de
composition externe notée « . » définie par :

u étant un vecteur quelconque de V ,  un réel
quelconque :

u

u
Les propriétés de cette loi sont les suivantes :
 
 


(i)
( u , v ) V2 ,    R , .( u  v ) =  u  v




(ii)  u  V , (,)  R2, ( + ). u = . u + . u



(iii)  u  V , (,)  R2, .( u ) = (). u



(iv)  u  V , 1. u = u
A la vue de ces propriétés , nous décidons de donner la
qualité d’espace vectoriel réel à l’ensemble des
vecteurs muni de ces deux lois de composition .
Nous allons maintenant étendre cette notion d’espace
vectoriel à des ensembles plus abstraits , tels que :
- L’ensemble des fonctions de R dans R , de
C dans C .
- L’ensemble des suites à valeurs réelles ou
complexes .
- L’ensemble des polynômes .
- L’ensemble des n-uplets de Rn , Cn , n de
N*.
ATTENTION : deux vecteurs ne se multiplient pas
entre eux .
Dans la suite , K désigne un sous-corps de C .
II) Espaces vectoriels :
Déf : On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel
sur K , tout triplet (E , + , . ) où :
 E est un ensemble non-vide
 + est une loi de composition interne sur E telle que
(E,+) soit un groupe abélien .
 . , KE  E est une loi de composition externe sur
E telle que :
(i)
(ii)
   K , (u,v)  E2 , .(u + v) =
.u + .v
(,)  K2 ,  u E , ( + ).u =
.u + .u
(iii)
(,)  K2 ,  u  E , .(.u) =
().u
(iv)
 u  E , 1.u = u
La loi + est appelée addition sur E .
La loi . est appelée produit externe sur E .
Remarque :
En toute rigueur , le K-espace vectoriel est la donnée du
triplet (E ,+, .) . Mais en pratique E désigne aussi bien
l’ensemble E que le K-espace vectoriel (E ,+, .) .
Déf : Soit E un K-ev :
Les éléments de E sont appelés vecteurs de E .
Les éléments de K sont appelés scalaires .
L’élément neutre pour
l’addition est appelé vecteur nul .

( on le note 0, ou 0 , ou 0E )
Exples (élémentaires mais fondamentaux) :
 L’ensemble V des vecteurs du plan ou de l’espace
muni de l’addition de deux vecteurs et du produit
géométrique (par un réel) est un R-espace
vectoriel .
 {0} peut être considéré comme un K-espace
vectoriel , en posant    K, .0 = 0 .
 (C,+, .) est un C-espace vectoriel , mais aussi un
R-espace vectoriel .
 (R,+ , .) est un R-espace vectoriel .
 Espaces produits :
Soient E1 , E2 , … , En , n K-espaces vectoriels , n de N \
{0,1} . On définit l’ensemble E = E1E2…En par :
E = { x = (x1,x2,…,xn) / x1  E1 , … xn  En }
(E espace produit des Ei ) .
Sur E on définit :
- une loi additive « + » donnée par :
x = (x1,x2,…,xn) et y = (y1,y2,…,yn) deux éléments de E,
x + y = (x1 + y1 , … , xn + yn)
- une loi de produit externe « . » donnée par :
x = (x1,x2,…,xn)  E et   K
.x = (x1,x2,…,xn)
Alors : (E , + , .) est un K-espace vectoriel .
 En particulier, pour tout n de N* , Cn est un R-ev
ou C-ev , Rn est un R-ev .
 (K[X] , + , .) (ensemble des polynômes à une
indéterminée sur le corps K) est un K-ev .
 Soit X un ensemble , E un K-ev, l’ensemble des
applications de X dans E noté EX peut être muni :
- D’une loi de composition interne additive
définie par :
Pour toutes fonctions f,g :X  E,
f + g : X  E , x  (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- D’une loi de composition externe « . » définie
par :
Pour toute fonction f : X  E , pour tout  de E,
.f : X  E , x  (f)(x) = .f(x)
Alors , (EX , + , .) est un K-ev .
Remarque :
- En particulier, en prenant E = R ou C , X
une partie de R : L’ensemble des
applications , de X dans R (ou C) est un Rev(ou un C-ev) .
- En particulier, en prenant E égal à R ou C ,
X = N : L’ensemble des suites à valeurs
complexes ou réelles est un ev .
Prop : Soit E un K-ev ,  de K , x de E .
(i)
.0 = 0
(ii)
0.x = 0
(iii)
.(-x) = - (.x) = (-).x
(iv)
 n  Z , .(nx) = (n).x = n(.x)
Remarque : Avec les relations précédentes ,pour tout n
de Z , nx = n.x (prendre  = 1)
Prop : Soient E un K-ev , x de E ,  de K .
.x = 0   = 0 ou x = 0 .
Déf : (Colinéarité)
Soient E un K-ev , u,v de E . Les vecteurs u et v sont
dits colinéaires ssi :
- Soit l’un des deux vecteurs est nul
- Soit , lorsqu’ils sont tous les deux non-nuls,
il existe  de K tel que u = v (ou v = u)
Exple : u(1;2) et v(2;4) sont colinéaires dans R2 .
III) Sous-espaces vectoriels :
Déf : Soit E un K-ev . On appelle sous-espace vectoriel
de E toute partie F de E telle que (F,+,.) soit lui-même
un K-ev .
Exple :
 R est un sous-espace vectoriel du R-ev C .
 D(R,R) , ensemble des fonctions dérivables de R
dans R , est un sous-espace vectoriel du R-ev RR .
Théorème : Soit E un K-ev , F une partie de E . Les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i)
F est un sous-espace vectoriel de E .
(ii)
F  E , F   , F est stable pour l’addition ie
(x,y)  F2 , x + y  F , F est stable pour le
produit externe ie  x  F , de K , .x  F.
(iii)
F  E , F   , F est stable par combinaison
linéaire ie : (x,y)  F2, (,)  K2 ,x +
y  F .
Remarques :
 Pour montrer qu’une partie F d’un K-ev E est
non-vide, nous montrerons que 0 F . En
particulier, si 0 n’appartient pas à F, F ne peut
pas être un sous-espace vectoriel de E .
 Pour montrer qu’un ensemble est un K-ev,
nous montrerons souvent que c’est un sousespace vectoriel .
Exples :
 Soit E un K-ev . {0} et E sont des sev de E dits
triviaux . Les autres sev de E sont dits propres .
 Soient E un K-ev, v un vecteur non-nul de E. Soit
u un vecteur de E , u est colinéaire à v ssi il existe
 de K : u = v .
Alors, l’ensemble des vecteurs colinéaires à v noté :
Kv = { v ,   K } est un sev de E appelé droite
vectorielle engendré par v .
 Soit I un intervalle de R : C(I,R) , D(I,R) , Cn(I,R)
(n de N) , C(I,R) sont des sev de RI .
 L’ensemble des suites bornées , l’ensemble des
suites convergentes sont des sev de KN .
 Kn[X] , pour tout n de N est un sev de K[X] .
(Kn[X] est l’ensemble des polynômes à une
indéterminée sur le corps K de degré inférieur ou
égal à n )
Prop : Soient E un K-ev , (Fi)i  I une famille de sev de
E. Alors , F =  F i est un sev de E .
iI
ATTENTION : Cette proposition ne s’étend pas à la
réunion d’ev .
Exple : Dans C , R et iR sont des sev du R-ev C, mais
F = R  iR n’est pas un sev de C . 1 + i  F .
Déf :(Combinaison linéaire de vecteurs)
Soit E un K-ev, n de N* , a1 , … , an n vecteurs de E .
Soit x de E . On dit que x s’écrit comme combinaison
linéaire des vecteurs a1 , … , an ssi il existe (1 , … , n)
de Kn tels que :
n
x =  i ai .
i 1
Exple : Soit n de N . Soit x = (x1 , … ,xn) de Kn .
x = x1(1,0, …,0) + x2(0,1,0,… ,0) + … + xn(0,0,…,0,1)
Si on note e1 = (1,0,…,0) , e2 = (0,1,0,…,0) , … en =
(0,0,…,0,1) , alors tout vecteur de Kn s’écrit comme
combinaison linéaire des vecteurs e1,e2,…,en .
Prop : Soient E un K-ev, F une partie non-vide de E . F
est un sev de E ssi toute combinaison linéaire d’au
moins deux éléments de F appartient à F
(ie ssi  n  N \ {0,1} , (x1, … , xn)  Fn , (1,…,n)
 Kn , 1x1 + … + nxn  F )
Déf : Soit E un K-ev.
 Soit A une partie non-vide de E. L’ensemble des
combinaisons linéaires finies d’éléments de A est
un sev de E : c’est le plus petit sev de E contenant
A .Il est appelé espace vectoriel engendré par A et
se note Vect (A) ou encore : <A>
 Vect() = {0}
Remarque :
Soient E un K-ev, A une partie non-vide de E, x de E.
x  Vect(A)   n N* , (a1, … ,an)  An , (1 ,…
n
,n)  K tels que : x =  iai .
n
i 1
Exples :
1) Soient OA et OB deux vecteurs
d’origine O :
Si O, A et B sont alignés , alors Vect( OA , OB ) = (OA)
Si O, A et B ne sont pas alignés , alors Vect( OA , OB ) =
(OAB) . ( = plan OAB).
2) Dans le R-ev C :
Vect(1 , i) = C = Vect(1 , j)
Vect(1) = R .
Dans le C-ev C , Vect(1) = C .
3) Soient E un K-ev , a1 , … ,an de E , n
de N* :
Vect(a1 , … , an) = { 1a1 + … + nan , (1 ,…,n)  Kn}
En supposant a non-nul , Vect(a) = K.a
Prop : Soient E un K-ev.
 Soient A et B deux parties de E telles que : A  B ,
alors : Vect(A)  Vect(B) .
 Soit F un sev de E : Vect(F) = F .
Prop : Soit E un K-ev , n de N \ {0,1} , x1 , … ,xn n
vecteurs de E . On suppose que xn s’écrit comme
combinaison linéaire de x1 , … , xn-1 . Alors,
Vect(x1, … ,xn-1,xn) = Vect(x1, … ,xn-1)
Prop : Soit E un K-ev , A une partie de E
Vect(A) =
F
F sev de E , A F
Déf : Soient E un K-ev , n de N* , F1 , … , Fn n sev de E
. F = F1 + … + Fn = { x1 + x2 + … + xn /  i  {1,…,n}
xi  Fi } est un sev de E appelé somme des sev F1 , …
,Fn .