1. Le rotationnel
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1. Le rotationnel 1.1. Définition Le rotationnel est un opérateur permettant de mesurer localement un tourbillonnement. On l’applique généralement à un champs de vecteur noté A . Le rotationnel peut-être de nature modulaire ou dimensionnelle, il est noté rot A et peut s’exprimé dans les trois systèmes de coordonnées. 1.2. Coordonnées cartésiennes z dz ex A Ay Ax Az Ay Ax rot A z ey ex ez z x y z y x M ez dx dy O y ey x 1.3. Coordonnées cylindriques z dz M O x r M' OM' = r 1.4. dr ez rd y e 1 A A rot A z r z er Coordonnées sphériques Ar Ar Az 1 er z r e r r (r. A ) ez z M r O x er e 1.5. y e rot A e u 1 r.sin A 1 1 Ar 1 Ar (sin . A er r sin r (r. A ) e r r (r. A ) e Interprétation du rotationnel Le rotationnel est une mesure de la tendance à pivoter qu'aurait un petit objet situé à l'endroit étudié, et sur lequel la grandeur vectorielle aurait un quelconque effet d'entraînement. Si vos pieds sont déposés chacun sur un patin à roulettes, et que ces derniers possèdent chacun une vitesse parallèle mais de module différent, vous allez pivoter. Ici, des vecteurs parallèles possèdent un rotationnel dû à une différence de module: c'est un rotationnel modulaire. Rotation due à la différence de module entre deux vecteurs adjacents : Comment des vecteurs de modules constants pourraient-ils faire pivoter? Simplement si de deux vecteurs, celui qui est devant, pointe dans une autre direction. Le rotationnel directionnel est relié à la courbure des lignes de force (courbes dont la tangente, en tout point, est parallèle à la direction des vecteurs). Si vous suivez une ligne de force circulaire par exemple, vous allez bien parcourir un cercle mais vous allez aussi pivoter, en autant que vous conserviez en tout moment la même orientation que la tangente. En effet, toute trajectoire circulaire de ce type peut être considérée comme la superposition d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation, et seul ce dernier est considéré ici. Si deux vecteurs situés l'un au devant l'autre (i.e. deux vecteurs définis en deux points voisins situés sur une même ligne de force), sont de direction différente, il y aura rotation directionnelle. Rotation due à la différence de direction entre deux vecteurs consécutifs sur une même ligne de force : Remarquez que curieusement, c'est l'inverse pour la divergence: afin de noter un effet modulaire, il faut regarder le vecteur devant et pour un effet directionnel, le vecteur de côté. Imaginons maintenant un champ dans l'espace bidimensionnelle où les deux contributions seraient égales et opposées, L'électromagnétisme constitue une bonne source d'exemple: le champ magnétique induit par un fil infiniment long et parcouru d'un courant constant, sortant de la page, est tout indiqué. En magnétostatique, rot B = uoJ , et ici le courant (J) est nul partout ailleurs que dans le fil (ou uo représente la perméabilité du vide au champ magnétique), le rotationnel de ce type de champ doit être identiquement nul. On constate en effet que les rotations modulaire et directionnelle sont opposées: sens horaire pour la contribution de module et sens anti-horaire pour la contribution de direction. Représentation de la rotation due au module et à la direction. On utilise ici le champ de vecteur magnétique produit par la circulation d'un courant dans un fil infini (sort de la page). Sur une même ligne de force (circulaire) le vecteur champ magnétique a en tous points un module identique et une direction tangente au cercle. On prend deux vecteurs côte à côte, si celui près du centre est plus grand que le second alors la rotation modulaire est dans le sens horaire. On prend deux autres vecteurs qui se suivent sur un cercle, si celui qui est devant pointe vers la gauche par rapport au premier alors la rotation directionnelle est dans le sens anti-horaire. Une étude quantitative plus poussée montrerait qu'en s'éloignant du fil, la rotation modulaire décroît comme 1/r2; mais que la rotation directionnelle (proportionnelle à la courbure) ne décroît que comme 1/r. Il faut cependant pondérer la contribution directionnelle par un facteur relié au module même du vecteur. Il est ici proportionnel à l'inverse du rayon: on a donc une décroissance totale comme 1/r2; pour chacune des contributions et le rotationnel est, en s'éloignant du fil encore égal à zéro. Représentation de la différence de rotation directionnelle due au module. On observe (pour un même angle) que la distance entre les extrémités de deux vecteurs augmente selon le module. Plus le rayon de courbure du cercle est petit plus le rotationnel du champ de vecteur en ce point est grand. L'extension à l'espace réel (tridimensionnel) se fait simplement. Le module du vecteur rotationnel sera proportionnel aux grandeurs discutées précédemment (rotation modulaire et directionnelle). L'orientation sera donnée par la normale au plan qui contient, au point étudié, l'arc de cercle défini par la ligne de force. Finalement, le sens du vecteur rotationnel sera déterminé par la règle de la main droite. Le rotationnel est donc une mesure locale du tourbillonnement.
