Le Magic-Arms (d`après E4A PSI 1999)
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Le Magic-Arms (d’après E4A PSI 1999) durée 5 heures Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque. 0 PRÉSENTATION GÉNÉRALE 0.1 Mise en situation de l'étude Nul ne peut imaginer les fêtes foraines régulièrement organisées dans nos villes et nos campagnes sans "barbes à papa", manèges à sièges suspendus par des chaînes ou autotamponneuses. Il est tout aussi impensable que le progrès technique soit resté absent de ces centres de loisir traditionnels. En parcourant le pays de long en large, nous découvrons ainsi des attractions plus amusantes les unes que les autres, prometteuses d'émotions fortes et d'aventures et mettant notre courage à l'épreuve. Ces machineries attirent bien souvent de nombreux badauds. Plus rares sont ceux qui osent s'y risquer. FIG. 0.1 : Le "Magic-Arms" en action Leur commande est assistée par un calculateur et elles sont animées par un entraînement hydraulique ou électrique pour réaliser des mouvements qui ne pourraient être effectués d'aucune autre manière. La société WAAGNER-BIRO complète la gamme des manèges à 17/04/17 1 769790335 haute technicité par une machinerie au nom de "Magie Arms" (voir figure 0.1). Les mouvements simultanés de ce dernier autour de trois axes désorientent les 39 passagers embarqués qui ne savent plus reconnaître le dessus du dessous pendant quelques minutes. 0.2 Présentation de l’étude Avec le Magic-Arms, la société WAAGNER-BIRO a développé un nouveau manège procurant aux passagers de nouvelles sensations dues à des séquences variées de mouvements. L’installation est composée d’une structure métallique d’environ 12 m de haut avec deux bras mobiles (voir figure 0.2). Nacelle Axe 3 1 reduluspic80 Axe 1 Axe 2 4 reduluspic120 2 reduluspic120 Bras 1 Bras 2 FIG. 0.2 : Schéma de principe du Magic-Arms Les passagers s’assoient sur 39 sièges en mousse disposés sur une plate-forme tournante, au design novateur et sont parfaitement maintenus par un harnais. Dès que tous les passagers sont assis et attachés, le bras principal (bras 1) et le bras pivot (bras 2), liés l’un à l’autre au début du cycle, commencent à tourner. En même temps, la nacelle tourne autour de son axe. Après 9 secondes, le maximum de hauteur est atteint et les deux bras se désindexent et se mettent à tourner indépendamment l’un de l’autre. Tous les mouvements sont pilotés par un ordinateur. Cette installation permet une combinaison de mouvements entièrement nouvelle. Les passagers sont « fous » de ces tours de manège dans des positions verticales ou inclinées, tête en bas ou en haut, incluant des mouvements combinés dans les trois dimensions. Ils adorent être secoués et faire des looping à une vitesse élevée. 0.3 Unités On utilise les unités du système international. 17/04/17 2 769790335 1 COMPRÉHENSION GÉNÉRALE 1.1 Compréhension générale du fonctionnement du manège Q AUTONUM 11a : A partir des documents A9, A10 et A11, expliquer la mise en mouvement du bras 1 (bras principal) à partir des actionneurs installés. Justifier l’utilisation de quatre moteurs électriques pour un même entraînement. Q AUTONUM Quels problèmes risque-t-on de rencontrer en utilisant quatre moteurs ? Q A U T O N U M 11c : Quelle est la fonction des éléments (3) du document A9 ? 1.2 Étude des sensations du passager On s’intéresser plus particulièrement au passager le plus sollicité. Un schéma (voir document A1) donne la position et la désignation des masses concentrées modélisant l’ensemble du manège. Il donne également les angles et les repères attachés aux différents ensembles. Les valeurs de ces masses et les longueurs qui les situent par rapport aux différents repères sont données dans le tableau 1.1. Les couples sont donnés pour t = 27 s + t.y Solide Point Masse Bras 1 val. kg Longueur Nacelle 3 Inertie kg.m2 Cple pes. Nm Mt Dyn Nm G1a m1a 19500 y1a 6,50 0 -76620 G1b m1b 560 y1b 6,25 0 -2034 G1c m1c 2480 y1c 3,00 G1d m1d 2900 y1d -2,30 0 -1426 G1e m1e 1930 y1e -3,70 0 -2457 G1f m1f 3500 y1f J1* = 4235 0 -400 G1g m1g 5450 y1g = y1 -3,90 J2* = 2780 0 -7709 G1h m1h 2500 y1h = y1 z1 -3,90 0 -3536 100441 O2 Bras 2 val. m 0 N1 N2 5,00 G2a m2a 9800 y2a 3,50 103978 G2b m2b 1140 y2b 1,74 N3 N4 G2c m2c 2570 y2c -2,33 -18153 -26837 G3a m3a 2930 y2a -2,69 -23893 -34947 G3b m3b 7370 y2b -3,04 J3* = 41580 -98919 -98715 Gp mp 75 y2p -2,87 -2,61 (0) (0) z3p Totaux : N5 * : Ces quantités sont prises en compte dans le calcul du moment dynamique N6 TAB 1.1 Désignations et valeurs numériques des paramètres 17/04/17 3 769790335 y1 Gp z0 O3 G1a y1 G1b y0 G1a G1b z3 3 x2 3 x3 y2 z0 G1h G1c G2a O1 G1f y2 G2a G2b G1d O1 G2b 1 x0 G1f 21 x2 G1d G1e G1e O2 G1g Vue rabattue G1c x1 1 O2 G 3a G2c O3 G3a 2 Gp z3 O3 G3b Gp G3b Document A1 1.2.1 Expression de la vitesse du passager On suppose que les passagers peuvent monter et descendre de la nacelle quand les i sont nuls. Q AUTONUM 12la : Exprimer les taux de rotation de chacun des solides i par di rapport au bâti 0 : (i/0), en fonction des vitesses articulaires •1, •2, •3, avec • i = dt Q AUTONUM 121b : Donner, pour chaque solide, l’expression du taux de rotation (i/j). La rotation relative du solide i par rapport au solide j étant notée ij, en déduire • l’expression des • i en fonction des vitesses articulaires relatives ij. Q AUTONUM 12lc : Déterminer la vitesse du point Gp du passager par rapport au bâti 0, notée V(Gp,3/0), en projection sur le repère R2 et en utilisant les i. 17/04/17 4 769790335 Document A2 : Vitesse de rotation (rad/s) Q AUTONUM 121d : À partir du document A2, exprimer analytiquement les valeurs des angles 1021 et 32, dans l’intervalle de temps [17s, 27s]. Donner la valeur numérique de ces angles pour t = 19,8 s en les ramenant dans le domaine [0, 2]. Document A3 : rotations relatives [18s,31s] (rad) Q AUTONUM 12le : Vérifier les résultats numériques précédents en observant le document A3. 17/04/17 5 769790335 Document A4 : Vitesse du passager extrême (m/s) Q AUTONUM 121f : À partir du document A4, vérifier la relation trouvée pour la vitesse au temps t = 19,8 s. Justifier l'obtention d'une vitesse maximale en ce point. 1.2.2 Expression de l'accélération de Gp dans l'intervalle de temps [17s, 27s] Document A5 : Accélération du passager "extrême" (m/s 2) Q A U T O N U M 122a : Exprimer (Gp,3/0) en projection dans le repère R2. Q AUTONUM 122b : Calculer l'accélération maximale du passager à partir de l'expression de (Gp,3/0) et de l'observation des courbes des documents A3 et A5. Exprimer 17/04/17 6 769790335 cette accélération en nombre de "g" (g étant le module de l'accélération de la pesanteur). Qu'en pensez-vous ? Q AUTONUM 122c : Donner les valeurs numériques des projections de ce maximum du vecteur accélération dans le repère du passager. Conclure quant à l'effet de cette accélération sur le passager par rapport à son siège. 2 ENTRAINEMENT EN ROTATION DU BRAS 1 2.1 Modélisation du comportement dynamique du manège Le vecteur y0 est vertical ascendant et on se place dans un intervalle de temps quelconque. 2.1.1 Calcul du couple sur l'arbre 1 Q AUTONUM 21la : Montrer que l'expression du couple engendré sur l'arbre 1 par la pesanteur sur la masse concentrée m2b au point G2b peut se mettre sous la forme : C(O1,G2b /0) z0 = m2b g (y1 sin1 + y2b sin2) Q A U T O N U M Donner l'expression du couple C(O1,1c/0) z0 . Q AUTONUM 211b : Donner l'expression de la projection sur z0 du moment cinétique en O1 de la masse m2b concentrée au point G2b : (O1,2b/0) z0 . Q A U T O N U M Donner l'expression de (O1,1c/0) z0 . Q AUTONUM 211c: Donner l'expression de la projection sur z0 du moment dynamique en O1 de la masse m2b concentrée au point G2b : (O1,2b/0) z0 . Q A U T O N U M Donner l'expression de (O1,1c/0) z0 . Q AUTONUM 211d: Déterminer l'expression analytique du couple à fournir par les motorisations ramené à l'arbre du bras 1 pour mettre en mouvement l'ensemble des deux masses concentrées G2b et G1c. 17/04/17 7 769790335 2.1.2 Calcul du couple et de la puissance maximale pour l'arbre 1 Document A6 : Couple d'entraînement du bras 1 (Nm) Document A7 : Puissance consommée pour l'entraînement du bras 1 (kW) Q AUTONUM 212a : En appliquant les relations trouvées aux questions précédentes à l'ensemble des masses concentrées représentant le manège, calculer les quantités N1, N2, N3, N4, N5 et N6 du tableau 1.1 pour t = 27 + ( petit et positif) qui correspond à la puissance maximale sur l'arbre 1. Q AUTONUM 212b : Vérifier sur la courbe résultat du couple (voir document A6) la validité du résultat trouvé à la question précédente. 17/04/17 8 769790335 Q AUTONUM 212c : Calculer la puissance nécessaire à fournir à l'arbre 1 au temps t=27 s + t, à partir du couple moteur et de la vitesse de rotation à cet instant. Comparer cette valeur numérique avec les résultats donnés sur le document A7. 2.2 Linéarisation du modèle de fonctionnement du manège L'étude de la commande en rotation du bras 1 du manège (voir figure 0.2) nécessite un modèle de comportement du processus mécanique. La figure 2.1 présente le modèle simplifié retenu pour le sujet. Le bras 2 se ramène à deux masses m2 et m3, centrées en G2 et G3, tournant autour de l'axe(O2,z0). Le bras 1, sur lequel est disposé le bras 2, comporte un contrepoids de masse m1 (en G1) et tourne autour de l'axe (O1,z0). On note = 1+2+3. G3 x2 2 b y0 a x1 2 b 1 G2 O1 y2 x0 a 0 1 y1 G1 F2 FIG. 2.1 Modèle simplifié du manège Q AUTONUM 22a : À partir des résultats du paragraphe 2.1, montrer que l'expression du moment des forces extérieures appliquées au modèle simplifié suivant l'axe(O1,z0) est de la forme : M ( O1, /0) = Cm + C(m1,m2,m3,1,2,Êa,Êb) Q AUTONUM 22b : Montrer que l'équation du moment dynamique suivant l'axe (O1,z0) est de la forme : •• •• ( O1, /0) z0 = f1(m1,m2,m3)a21 + f2(m2,m3)b22; + •• • •• • f3(m2,m3,1,1,1, 2,2,2)ab Q AUTONUM Montrer que, moyennant certaines hypothèses que l'on commentera, l'équation différentielle de mouvement peut être linéarisée dans l'intervalle de temps [0, 9s[sous la forme: J •• =C 1 17/04/17 m 9 769790335 On note J le moment d'inertie équivalent à l'ensemble des masses en mouvement, ramené à l'axe de rotation du bras 1. 2.3 Étude de la commande du bras 1 du manège 2.3.1 Réponse temporelle L'entraînement en rotation des différents bras du manège est réalisé par des moteurs asynchrones avec leur réducteur : quatre pour le bras 1, deux pour le bras 2 et un pour la nacelle. Cette technologie présente l'avantage d'être robuste et fiable dans le temps. Ces moteurs sont capables de développer un couple constant sur une large plage de vitesse de rotation grâce à un contrôle des courants et du flux dans la machine, appelé couramment commande vectorielle de flux. Ce réglage est possible par l'emploi d'un onduleur. C'est un convertisseur de puissance travaillant en modulation de largeur d'impulsion (MLI) à partir d'une fréquence pilote de 10 kHz. L'ensemble moteur - onduleur se présente selon le schéma de principe de la figure 2.2. Le capteur de position angulaire est un resolver intégré au moteur électrique. Il délivre deux signaux, respectivement proportionnels au sinus et au cosinus de l'angle du rotor du moteur m. Un "démodulateur convertisseur" élabore un signal numérique sur 16 bits représentant la position de l'angle moteur par rapport à une référence absolue. us im C mref q d m i s2 Ordre de commutation des interrupteurs 50 s k12 k11 k22 k21 k32 k31 i s1 Onduleur sinus démodulateur convertisseur cosinus MAS Cm FIG. 2.2 Schéma de principe d'un ensemble commande vectorielle - onduleur - moteur asynchrone Pour chaque ensemble, un régulateur de vitesse élabore un signal de référence C mref qui est la consigne de couple. À partir de la position du rotor et des courants statoriques, le moteur, par l'intermédiaire de sa commande vectorielle de flux, fournit un couple Cm. 17/04/17 10 769790335 Le modèle de représentation de cet ensemble, considéré dans le sujet comme linéaire, a comme fonction de transfert : Cm(p) 1 Cmref(p) = 1 + p Q AUTONUM 23a : Donner l'expression de la réponse temporelle du couple moteur Cm(t) lors d'une sollicitation en échelon d'amplitude C mref0 . Esquisser graphiquement la réponse et préciser toutes ses caractéristiques. 2.3.2 Inertie totale Dans la suite du sujet, l'étude est réalisée dans l'intervalle de temps [0, 9s[. Les calculs sont faits à partir des hypothèses simplificatrices : l'ensemble du processus est un système linéaire ; les éléments mécaniques sont supposés indéformables, sans jeu et sans frottement ; les éléments électroniques de régulation et de puissance ont des caractéristiques linéaires qui présentent une large bande passante par rapport à celle du système mécanique ; les quatre moto-réducteurs permettant l'entraînement en rotation du bras 1 sont parfaitement identiques et synchronisés ; la constante de temps est négligeable. On note Jm l'inertie de l'arbre moteur, Jr l'inertie du réducteur et Jmanège l'inertie totale du manège ramenée à l'axe de rotation du bras 1 et : n= m bras1 La figure 2.3 présente le schéma bloc fonctionnel d'un des quatre moto-réducteurs du bras 1 avec "sa part" du manège modélisé à la figure 2. 1. Error! FIG. 2.3 Schéma bloc fonctionnel du processus Q AUTONUM 23b : Donner JT l'expression de l'inertie équivalente ramenée à un arbre moteur. 2.3.3 Fonctions de transfert La figure 2.4 présente l'asservissement en position par correcteur à action proportionnelle et dérivée idéalisé : Error! Fig. 2.4 Schéma bloc fonctionnel de l'asservissement en position par correcteur PD idéal La notation (p) représente l’écart. Q AUTONUM 23c : Établir la fonction de transfert Hpos(s) = son expression est de la forme : Hpos(s) = m(p) . Montrer que mref(p) 1 + 1p . Expliciter les paramètres 1, et en 2 p p2 1+ + 0 02 fonction kd, kp et JT. 17/04/17 11 769790335 Q AUTONUM Sachant que la consigne de position mref(t) est élaborée par intégration de la consigne de vitesse mref(t), en déduire la fonction de transfert m(p) Hvit(s) = mref(p) 2.4 Vérification des performances de l'asservissement du bras 1 du manège 2.4.1 Écart statique Q AUTONUM 24a : Déterminer l'écart statique (en régime permanent) lorsque la • consigne de position de l'arbre moteur est un échelon de vitesse de mref0 rad/s Q AUTONUM 24a : Déterminer l'écart statique (en régime permanent) lorsque la •• consigne de position de l'arbre moteur est un échelon d'accélération de mref0 rad/s2. Q AUTONUM Quelles sont les conséquences des résultats sur le fonctionnement du manège. 2.4.2 Amortissement optimal Le constructeur du manège souhaite un écart permanent maximum sur le bras 1 d'un degré 1 avec un amortissement de = 2 Q AUTONUM 24b : Déterminer la valeur numérique des gains kd et kp lorsque la vitesse du bras évolue linéairement. Préciser les unités. On donne : JT = 14,4 kg m2 n = 164 Q AUTONUM accélération du bras 1 = 0,093 rad/s2 24c : Tracer alors l'allure des lieux de BODE de l'asservissement en position. Déterminer la bande passante à -3 dB. On rappelle la relation : (eat – cost) – a sint –at e a2 + 2 p [(p + a)2 + 2] Q AUTONUM 24d : Déterminer et tracer sommairement l'allure de l'écart dynamique de position (en régime transitoire) lorsque la consigne de position à l'arbre moteur •• est un échelon d'accélération de module mref0 = 15,3 rad/s2 2.4.3 Écart en poursuite Afin de diminuer l'écart en poursuite (ou écart dynamique), on ajoute une action d'anticipation d'accélération : ka p2 Error! FIG. 2.5 Schéma bloc fonctionnel avec action d'anticipation 17/04/17 12 769790335 Q AUTONUM 24e : Etablir la nouvelle fonction de transfert Hpos(s) = m(p) . mref(p) Montrer que, si l'on choisit convenablement ka, l'écart de poursuite peut s'annuler. 3 PRODUCTION D'UNE SOLUTION L'entraînement en rotation du bras 1 est obtenu par 4 moto-réducteurs. La puissance est transmise via un système de transmission de puissance au bras principal. 3.1 Recherche d'une solution constructive Q AUTONUM 3la : Proposer d'autres solutions constructives que celle choisie par le concepteur du manège pour entraîner le bras 1 à l'aide de 4 moto-réducteurs. Présenter vos solutions sous forme de schémas de principe commentés, en sachant que les moto-réducteurs peuvent être alignés ou dans une autre disposition à définir. Donner les avantages et les inconvénients de vos solutions par rapport à celle qui est retenue. 17/04/17 13 769790335 3.2 Communication technique L'étude porte sur un réducteur épicycloïdal à quatre étages. Document A8 Pièces 282, 202 et 42 : 29 dents. Pièces 283, 203 et 43 : 19 dents. Pièce 802 : 27 et 803 : 23. 17/04/17 14 769790335 Q AUTONUM 32a : Le réducteur permet de réduire la vitesse de rotation entre l'entrée et la sortie et par dualité d'augmenter le couple. Préciser l'arbre d'entrée et celui de sortie. Justifier votre réponse. Q A U T O N U M 32b : Compléter le schéma cinématique minimal du réducteur. 421 F5 FIG. 3.1 Schéma cinématique minimal partiel du réducteur (à compléter) Q AUTONUM 32c : Après avoir précisé le sens de rotation relatif entre l'arbre d'entrée et celui de sortie, donner le rapport de réduction total de ce réducteur en vous aidant des informations données sur le plan. 17/04/17 15 769790335 Document A9 17/04/17 16 769790335 Document A10 17/04/17 17 769790335 Document A10+ 17/04/17 18 769790335
![III - 1 - Structure de [2-NH2-5-Cl-C5H3NH]H2PO4](http://s1.studylibfr.com/store/data/001350928_1-6336ead36171de9b56ffcacd7d3acd1d-300x300.png)