Division de polynômes Introduction théorique : L'algorithme de la division peut s'appliquer à la division euclidienne de polynômes. Diviser un polynôme p(x) par un polynôme s(x) revient à chercher des polynômes q(x) et r(x) tels que : p(x) = s(x) q(x) + r(x) On appelle p(x) le dividende, s(x) le diviseur, q(x) le quotient et r(x) le reste. 3 2 Exemple : p(x) = 2x – 6x – 7 et s(x) = 2x 2 Alors q(x) = x – 3x et r(x) = -7 et on a : 3 2 2 2x – 6x – 7 = 2x (x – 3x) – 7 Méthode pour opérer des divisions de polynômes : Méthode Soit deux polynômes donnés p(x) et s(x), on cherche à diviser p(x) par s(x). On pose la division et on ne s'intéresse qu'aux monômes de degré le plus haut pour p(x) et s(x). Illustration 5 3 3 2 2 p(x) = 3x – 2x + 5x – 4 2 s(x) = x + 2 5 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 2 5 2 Ici on s'intéresse à 3x et à x . On cherche le monôme qui, multiplié au monôme de plus haut degré de s(x) permet d'obtenir le monôme de plus haut degré de p(x). Ce nouveau monôme est le premier terme du quotient cherché. 5 2 3 3x = x 3x 5 3 2 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 2 3 3x On multiplie chaque terme de s(x) par ce monôme et on place les termes obtenus sous le polynôme p(x) en respectant les degrés de chaque monôme. On va soustraire le polynôme ainsi obtenu à p(x). 5 3 5 3 5 3 2 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 3 3 3x + 9x 3x 2 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 3 5 3 -(3x + 9x ) 3 3x On change ainsi tous les signes du nouveau polynôme et on fait disparaître le monôme de plus haut degré de p(x) tout en abaissant les monômes de degrés inférieurs du polynôme p(x). 5 3 2 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 3 5 3 3 -3x - 9x 3x 3 2 -11x - 5x On recommence l'opération avec la différence obtenue et le diviseur. 5 3 2 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 3 5 3 3 -3x - 9x 3x - 11x 3 2 -11x + 5x 3 2 Ici on s'intéresse à -11x et à x 3 2 Et on a -11x = -11x x On opère la nouvelle soustraction et on continue ainsi jusqu'à ce que le degré du polynôme obtenu par différence soit inférieur strictement au diviseur, dans ce cas ce nouveau polynôme est appelé le reste r(x). 5 3 2 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 3 5 3 3 -3x - 9x 3x - 11x 3 2 -11x + 5x 3 – (-11x - 33x) 2 5x + 33x 5 3 2 2 3x – 2x + 5x – 4 x + 3 5 3 3 -3x - 9x 3x - 11x + 5 3 2 -11x + 5x 3 11x + 33x 2 5x + 33x - 4 2 – (5x + 15) 33x – 19 3 On obtient et q(x) = 3x - 11x + 5 r(x) = 33x – 19 Exemple : Division de x4 - x3 + x2 - x + 8 par x2 + 3x + 1 Étape 1 : division de x4 - x 3 + x2 par x2 + 3x + 1 (quotient x2, reste - 4x3 ) x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1 x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x3 Étape 2 : division de -4x3 - x par x2 + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x2 + 3x) x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1 x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x - 4x3 -x 3 2 -4x - 12x -4x + 12x2 + 3x Étape 3 : division de 12x2 - 3x + 8 par x2 + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4) x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1 x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x + 12 - 4x3 -x 3 2 -4x - 12x -4x 2 + 12x + 3x + 8 12x2 + 36x +12 - 33x - 4 Conclusion : x4 - x 3 + x2 - x + 8 = (x2 + 3x + 1)(x2 - 4x + 12) - 33x - 4 Division de polynômes Effectuez les divisions polynomiales suivantes en donnant le quotient et le reste de la division de p(x) par s(x) : 3 2 4 3 (1) p(x) = x – 3x + 5x – 1 (2) p(x) = x – 3x + 2x – x + 2 (3) p(x) = x – 1 (4) p(x) = 6x + 4x – 7x (5) p(x) = 14x – 27x + 21x – 3x – 2 (6) p(x) = 14x – 29x + 20x – 5 (7) p(x) = 3x – x + x + 1 2 6 4 3 3 2 4 3 3 2 2 2 2 et s(x) = x – 1 et s(x) = x – 3 et s(x) = x – 1 et s(x) = 2x – 3 et s(x) = 2x – 3x + 2 et s(x) = 7x – 4 et s(x) = 2x – 1 3 2 2 2