Chapitre 2 TS 2 Nombres complexes I – Définition et représentation Définition : Un nombre complexe est un nombre de la forme x+iy avec x et y deux réels et i un nombre imaginaire tel que i² = -1. L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans . Théorème (admis) : On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O, u , v ) . A tout point M de coordonnées (x ; y), on associe de manière unique le nombre complexe x+iy. Réciproquement, à tout nombre complexe x+iy on associe de manière unique le point M du plan de coordonnées (x ; y). Vocabulaire : Le plan muni du repère (O, u , v ) est appelé plan complexe. Le nombre complexe x+iy est l’affixe du point M et du vecteur OM . On écrit x iy z M zOM . Le point M est l’image du nombre complexe x+iy. Si z = x+iy avec x et y réels alors : x est la partie réelle de z, notée Re(z) y est la partie imaginaire de z, notée Im(z) x+iy est la forme algébrique de z. Tout point sur l’axe des abscisses est l’image d’un nombre complexe de la forme x i 0 x . Donc on a ℂ. L’axe des abscisses est l’axe réel. Tout point sur l’axe des ordonnées est l’image d’un nombre complexe de la forme 0 i y iy . L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs. 1 Chapitre 2 TS 2 Exemple : A (3 2i ) ; B (3) ; C ( 2 i ) ; D (2i ) . Théorème : Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Un nombre complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Définition : On considère un nombre complexe z de forme algébrique x+iy. Le nombre complexe x-iy, noté z est le conjugué de z. M’ ( z ) est le symétrique de M (z) par rapport à l’axe des abscisses. 2 Chapitre 2 TS 2 II – Calculer dans ℂ 1) Somme et produit Définition : On considère deux complexes z et z’ de formes algébriques respectives x+iy et x’+iy’. La somme de z et de z’ est le complexe z+z’ = x+x’+i(y+y’). Si k est un réel, alors le produit de k par z est le complexe kz = kx + iky. Le produit de z et de z’ est le nombre complexe zz’ = xx’-yy’+i(xy’+yx’). Exemples : -1 + 7i + 3 - 2i = 2 + 5i (-1 + 7i)(3 - 2i) = -3 + 2i + 24i - 14i² = 14 – 3 + 23i = 11 + 23i Remarques : Dans le plan complexe, on considère M (z) et M’ (z’). On définit le point S par OS OM OM ' . Alors l’affixe de S est z + z’. Pour k réel non nul, M’’ (kz) est l’image du point M par l’homothétie de centre O et de rapport k car : OM ' ' k OM . 3 Chapitre 2 TS 2 R (iz) est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle 2 car OM .OR x( y) yx 0 et OM x² y ² ; OR ( y)² x² donc OM = OR. Propriétés : Preuve 1 Avec les notations habituelles : z AB z B z A ; z w t z w z t ; z kw kzw Si I est le milieu de [AB] alors z I Si G est le barycentre de z A zB 2 ( A; ), (B; ), (C; ) alors zG z A z B z C 2) Quotient Définition : On considère un nombre complexe z non nul d’écriture algébrique x+iy. On cherche un complexe z’ tel que zz’ = 1. On remarque que : zz ( x iy )( x iy ) x2 i2 y2 x y 2 Alors z ( x ² y ² 0 car z non nul ) 2 z x iy . 1 donc z ' x² y ² x² y ² Définition : On considère z et z’ deux complexes avec z’ non nul z 1 1 x'iy ' On pose et z . z' z' z ' x'² y '² Exemple : z 3 2i alors 1 1 z 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 3 2 i. 3 4i ² 7 7 7 3 2i 3 2i 4 Chapitre 2 TS 2 3 2 1 i 3 2 3 2 3 2 3 2 1 i i i i i . 7 7 7 7 7 7 3 2i 7 7 7 7 3) Propriété du conjugué d’un complexe Propriété : Pour tous complexes z et z’ de formes algébriques z = x+iy et z’ = x’+iy’ : z z ; z z 2 Re( z ) 2 x ; z z 2i Im( z ) 2iy ; zz x² y ² z z z z ' z z ' ; zz ' z .z ' ; si z ' est non nul z' z' z est réel ssi z z ; z est imaginaire pur ssi z z III – Module et arguments Définition : On considère un nombre complexe z non nul affixe d’un point M dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O, u , v ) . Si M a pour coordonnées polaires (r , ) , alors r est le module de z noté z et est un argument de z noté arg z. On a z = r = OM et arg z = = (u , OM ) (2 ). Remarques : Si z = 0 alors OM = 0 donc on pose 0 = 0 mais 0 n’a pas d’argument. Si z est réel, alors son module est sa valeur absolue. z M OM z z' z z' Exemples : A (2i ) ; B (3) ; C ( 2 2i ) . z A 2i 2 ; zB 3 3 ; arg z A arg( 2i ) 2 2 z C 2 2i 2² 2² 8 2 2 . ; arg z B arg 3 0 (2 ) ; arg z C arg( 2 2i ) 5 4 (2 ) . Chapitre 2 TS 2 M cos i sin alors argcos i sin cos i sin cos ² sin ² 1 1 et (2 ) . Donc M est un point du cercle trigonométrique. Théorème : Pour tout nombre complexe z non nul dont l’image M a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées polaires (r ; ), on a : r x ² y ² x r. cos équivaut à y x y r. sin cos et sin r r Forme algébrique : z x iy Forme trigonométrique : z r (cos i. sin ) Exemple : 1 3 Soit z i . Trouvons une forme trigonométrique de z. 3 3 1 3 2 Calcul du module de z : z . 9 9 3 21 3 2 cos i sin . On a arg z Alors z i 3 32 2 3 3 3 (2 ) . Théorème : Preuve 2 Un nombre complexe est nul ssi son module est nul. Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même argument modulo 2 . Propriétés : Preuve 3 Pour tous complexes z et z’ non nuls : zz ' z . z' et arg( zz ' ) arg z arg z' (2 ) Pour tout entier naturel n : z n z 1 1 z z et n et 1 arg arg z (2 ) z 6 arg( z n ) n. arg z (2 ) Chapitre 2 z z z' z' TS 2 z et arg arg z arg z ' (2 ) z' IV – Equations du second degré à coefficients réels Théorème : Preuve 4 On considère a, b et c des réels avec a 0 . On pose b² 4ac . C’est le discriminant du trinôme du second degré az² + bz + c où z est un nombre complexe. Si > 0 alors le trinôme a deux racines réelles distinctes : b b z1 et z 2 2a 2a Si = 0 alors le trinôme a une racine réelle : b z (racine double) 2a Si < 0 alors le trinôme a deux racines complexes : b b z1 et z 2 ou est un complexe dont le carré est z1 et z 2 sont 2a 2a complexes réels et conjugués. Exemple : On veut résoudre l’équation 3z ² z 5 0 dans ℂ. On calcule le discriminant 1 60 59 z1 2 59i . L’équation a deux solutions : 1 i 59 1 i 59 et z 2 . 6 6 V – Notation exponentielle d’un nombre complexe Motivations : On note la fonction définie sur par ( ) cos i sin . Pour tous et ' réels : ' cos ' i sin ' . ( ) a pour module 1 et pour argument . ( ' ) a pour module 1 et pour argument ' . Alors ( ). ( ' ) a pour module 1 et pour argument ' . Donc ( ). ( ' ) cos ' i sin ' . Donc ( ). ( ' ) ' . En supposant que l’on peut dériver sur comme si elle était à valeurs réelles, pour tout réel : ' ( ) sin i cos icos i sin i. ( ) . Donc vérifie l’équation différentielle f ' if . Ces deux points nous poussent à adopter la notation suivante : ( ) Ce i avec (0) 1 donc ( ) e i cos i sin . 7 Chapitre 2 TS 2 Définition : Pour tout nombre complexe z non nul de module r et d’argument , on pose : z r (cos i. sin ) rei : notation exponentielle de z. Exemples : cos i sin i . 2 2 i e cos i sin 1 ou encore e i 1 0 : formule d’Euler. e i 2 Remarques : La notation exponentielle permet de retrouver les formules d’addition et de duplication vues en trigonométrie. En effet pour tous et ’ réels : ei ( ') ei ei ' addition duplicatio n e 2i e i cos ' Re cos i. sin cos 'i. sin ' cos . cos ' sin . sin ' On a les égalités : ei ( ') ei ei ' 1 e i i e e i i ( ') i ' e e 2 e in e i n Exemples : 2 2 2 2 i i 5 2 2 i i i 2 2i 2 2e 4 4 6 2e 2e 12 . i 3i 3 i 2e 6 2 2 2 e 2i cos(2 ) i sin( 2 ) e 2i e i cos i sin cos ² 2i cos sin i ² sin ² cos ² sin ² 2i cos sin cos(2 ) cos ² sin ² sin( 2 ) 2 cos sin . Donc et cos( 2 x) 2 cos ² x 1 1 2 sin ² x 2 2 8 Chapitre 2 TS 2 VI – Application à la résolution de problèmes géométriques 1) Arguments et angles orientés Propriété : Preuve 5 A, B et C sont des points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives z A , z B et z C . argz B z A u, AB z zA BC , AC arg C z z B C 2 . 2 . Remarques : z zA 0 A, B et C (distincts) sont alignés ssi arg C zC z B . z zA . A, B et C (distincts), (BC) et (AC) sont perpendiculaires ssi arg C z z 2 B C M (z) appartient au cercle de centre et de rayon r ssi z re i avec 0;2 . En effet : M z r , u, M arg( z ) Autrement dit z re i Exemple : A (i ) ; B ( 2 i ) ; C 1 i 3 1 . Alors AB, AC arg (2 ) . i.e. z re i . zC z A 1 i 3 1 i 1 i 3 arg arg zB z A 2i i 2 3 2 2) Transformations planes Théorème (translation) : Preuve 6 On considère M (z), M’ (z’) et B (b). L’égalité z' z b équivaut à dire que M’ est l’image de M par la translation de vecteur OB . z' z b est l’écriture complexe de cette translation. 9 Chapitre 2 TS 2 Théorème (homothétie) : Preuve 7 On considère M (z), M’ (z’), et k un réel non nul. L’égalité z' k z équivaut à dire que M’ est l’image de M par l’homothétie de centre et de rapport k. z' k z est l’écriture complexe de cette homothétie. Exemple : (1 3i ) . L’homothétie de rapport 2 et de centre transforme M (z) en M’ (z’) tels que : z '(1 3i ) 2( z (1 3i )) i.e. z ' 1 3i 2 z 2 6i i.e. z ' 2 z 1 3i L’image de K (7 i ) est le point d’affixe z ' 2(7 i ) 1 3i 14 2i 1 3i 13 5i . Théorème (rotation) : Preuve 8 On considère M (z), M’ (z’), et un réel. L’égalité z ' e i z équivaut à dire que M’ est l’image de M dans la rotation de centre et d’angle . z ' e i z est l’écriture complexe de cette rotation. Conséquences : ABC est un triangle équilatéral ssi B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle zC z A e i 3 z B z A . OU B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle zC z A e i , ssi 3 3 z B z A . 10 , ssi 3 Chapitre 2 TS 2 ABC est rectangle et isocèle en A ssi B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle zC z A e i 2 z B z A . OU B a pour image C dans la rotation de centre A et d’angle zC z A e i , ssi 2 2 z B z A . 11 , ssi 2