STATISTIQUE TABLEAUX STATISTIQUES - GRAPHIQUES 1- Généralités La statistique est une méthode d’analyse numérique des ensembles comportant un grand nombre d’éléments. Les conditions nécessaires pour l’analyse statistique : les éléments doivent appartenir à un ensemble homogène délimité avec précision sans ambiguïté. l’ensemble est divisé en sous-ensembles par un ou plusieurs caractères que présentent (ou non) les éléments Critique : l’analyse statistique est simplifiée et est abstraite : les résultats doivent être à la lumière de ce constat. 2- Définitions L’ensemble E sur lequel se porte l’étude s’appelle une population. Les sous-ensembles de E sont des échantillons de la population. Les éléments de E sont des entités statistiques ou individus ou membres de la population. Si E possède n éléments, n est l’effectif total de la population. On appelle modalités du caractère les différentes situations possibles du caractères : Un caractère est qualitatif si ses diverses modalités ne sont pas mesurables ou repérables par un nombre. Un caractère est quantitatif si ses diverses modalités sont repérables ou mesurables à l’aide d’un nombre appelé variable statistique. o o Une variable statistique est discrète si ses valeurs possibles sont isolées. Un variable statistique est continue si elle peut prendre les valeurs d’un intervalle I . 3- Cas d’un caractère qualitatif E est une population de n individus, C un caractère qualitatif présentant les modalités C 1; C2;....;Ck. . On appelle effectif de la modalité Ci le nombre ni d’individus de E qui présentent la modalité Ci . On appelle fréquence de la modalité Ci le rapport . On a et . Les résultats sont présentés dans un tableau de la forme : Modalités du caractère Effectifs Fréquence Ci xi fi On représente graphiquement chaque modalité du caractère par une portion de surface (tuyau d’orgue ou secteur circulaire). Le principe de la représentation est celui de la proportionnalité des aires aux effectifs des modalités du caractère. Exemple : E = population de Perpignan en 1992, le nombre de la population ayant les yeux bleus est de 34006 soit 0.30 , les autres representent 70% soit 79350 4- Cas d’un caractère quantitatif 4.1 Variable statistique discrète : E est une population de n individus, C un caractère auquel on associe une variable statistique qui peut prendre les valeurs . La variable a la valeur et fréquence de la valeur et Les résultats sont résumés dans le tableau : Valeurs de la variable Effectifs Fréquence xi xi fi le nombre . On a . Exemple : Variable : nombre d'enfant par famille n = 200 (à complèter) Nombre d'enfants Effectifs Fréquences 0 40 0.2 1 60 0.3 2 40 0.2 3 20 0.1 4 18 0.09 5 12 0.06 6 7 0.035 7 2 0.01 8 1 0.005 On peut représenter graphiquement les résultats au moyen d’un diagramme en bâtons. (A complèter) Pour chaque valeur réelle on désigne par F(x) la proportion d’individus de la population pour lesquelles la variable statistique a une valeur strictement inférieure à . F s’appelle fonction cumulative ou fonction de répartition. F est croissante et on a : pour . La courbe représentative de F est appelée courbe cumulative ou courbe des fréquences cumulatives : c’est une courbe en escalier. 0 < x < 1 ... F(x) = 0.2 1 < x < 2 ... F(x) = 0.5 4.2 Variable statistique continue 4.2.1 Définition : Soit E une population de n individus et soit C un caractère auquel est associée une variable statistique continue qui peut prendre les valeurs d’un intervalle I partage l’intervalle deux à deux disjoints I1;I2;...Ik avec (Il manque un graphique que je n'ai pas saisi) Ces intervalles sont appelés classes ou tranches ; classe n°i ; de 1 à k : ei-1et ei sont les extrémités de la est le centre de la classe n° i , est l’amplitude de la classe n°i . On appelle effectif de la classe n°i le nombre ni d’individus de E pour lesquels la variable statistique a une valeur telle que ; on appelle fréquence de la classe n°i le rapport . On a et Les résultats sont présentés dans un tableau de la forme : Extrémité de classes . Effectifs Fréquence Attention : l’amplitude des classes n’est pas nécessairement la même ! On peut représenter graphiquement les résultats au moyen d’un histogramme. Remarque : la division par assure la possibilité de comparer les fréquences par unité de mesure ; la représentation graphique est donc fidèle. C’est l’aire qui est proportionnelle à la fréquence ou à l’effectif de la classe : 4.2.2] Premier exemple : les amplitudes ai = ei - ei-1 sont egales Taille d'une plante adulte en Cm [10,20[ [20,30[ [30,40[ [40,50[ [50,60[ [60,70[ nombre de pieds 9 13 22 10 7 4 Les amplitudes sont toutes égales à 10 cm, les classes bien définies Faire les tableau xi ni fi % et l'histogramme correspondant. 4.2.3 Deuxième exemple : Les amplitudes ont inégalés. Taille d'une plante adulte en Cm [10,30[ [30,40[ [40,50[ [50,80[ Nombres de pieds 42 34 21 6 Mème consigne 4.2.4]Fonction de répartition : Pour chaque valeur réelle on désigne par la proportion d’individus de population par lesquels la variable statique a une valeur strictement inférieure à . F s’appelle fonction cumulative ou fonction de répartition. F est croissante et on a : La courbe représentation de F est appelée courbe cumulative ou courbe des fréquences cumulatives. Remarque : la valeur de F n’est connue que sur les ei ( i de 1 à k ). On pratique généralement un «ajustement visuel» en traçant une ligne continue qui joint ces points en les reliant par une courbe monotone non décroissante. Exemple : Exercice : Tracer les courbes des exemples 4.2.2 et 4.2.3