Le Plus Grand Commun Diviseur [PGCD]
Introduction
LE PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux nombres.
Le PGCD sert à simplifier des fractions et à résoudre certains problèmes.
1-Diviseur
1-1DEFINITION
Le diviseur d'un nombre entier est un nombre entier tel que le résultat de la division de ces deux
nombres soit encore un nombre entier
Exemples
5 est un diviseur de 15 car 15÷5 est un nombre entier.
4 n'est pas un diviseur de 11 car 11÷4 n'est pas un nombre entier.
Remarque
Le nombre 2 est-il un diviseur du nombre 28?
Le nombre 3 est-il un diviseur du nombre 28?
Le nombre s est-il un diviseur du nombre30?
2-PGCD
2-1DEFINITION
Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. Pour le trouver on peut écrire la
liste des diviseurs du premier nombre, la liste des diviseurs du deuxième, et chercher le plus grand nombre commun
aux deux listes
2-2Exemple
Pour trouver le PGCD de 18 et de 30 on écrit la liste des diviseurs de 18 (1, 2, 3, 6, 9, 18) et la liste des diviseurs
de 30 (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30). Le plus grand nombre commun à ces deux listes est 6 donc le PGCD de 18 et 30
est 6.
2-3Entraînement
Quel est le PGCD de 42 et 32?
3-Calcul du PGCD
Lorsque les nombres sont très grands il devient long et difficile d'établir la liste de tous les diviseurs des deux
nombres et de comparer ces listes. On utilise alors une méthode appelée "méthode d'Euclide" du nom du
mathématicien de la Grèce antique qui a inventé cette méthode aux alentours de 300 avant Jésus-Christ.
3-1 Méthode d'Euclide
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1. On exprime le plus grand des deux nombres avec un multiple du plus petit et un reste.
2. On exprime le plus petit en fonction du reste trouvé et d'un nouveau reste.
3. On continue ce procédé jusqu'à arriver à un reste nul.
4. Le dernier reste non nul est le PGCD des deux nombres de départ.
3-2Exemple
PGCD de 556 et 148:
Suivre la méthode sous forme transversale on va la faire aussi verticale
556
VOICI LA METHODE DE
DIVISION
148
444
3
112
148
-
112
112
1
36
112
108
4
36
3
36
36
4
9
0
ON REMARQUE QUE LE RESTE EST NUL ON ARRETE DONC LE DERNIER RESTE NON NUL EST LE PGCD DE CES 2
NOMBRES
4
Le PGCD de 556 et 148 est 4.
Pour s'entraîner
Quel est le PGCD de 414 et 252?
4-Simplification de fraction
Le PGCD permet de simplifier des fractions.
Pour rendre une fraction irréductible on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.
Exemple
Pour la fraction
. On calcule d'abord le PGCD du numérateur et du dénominateur
On divise le numérateur et le dénominateur par 13, ce qui donne
.
est une fraction irréductible.
5-Problème avec PGCD
Le PGCD permet de résoudre des problèmes divers.
EEMPLE
un vendeur reçoit 90 lampes et 135 ampoules. Il souhaite constituer des lots contenant un même nombre de
lampes et d'ampoules sans avoir de restes. Combien de lampes et d'ampoules devra contenir chaque lot?
solution
Le nombre de lots doit être un diviseur du nombre de lampes et du nombre d'ampoules et il doit être le plus
grand possible afin qu'il y ait le minimum de lampes et d'ampoules dans chaque lot. Comme le PGCD de 90 et
de 135 est 45, il doit élaborer 45 lots composés chacun de 2 lampes et 3 ampoules.