triangles isometriques - ecole d`echecs de bagneux

Pour ceux qui ont des difficultés je mets la solution ci-dessous,
mais cherchez un peu avant d’aller voir !!!!!
TRIANGLES ISOMETRIQUES
Deux triangles isométriques (« égaux ») sont deux triangles superposables : leurs côtés sont
de même longueur, et leurs angles sont de même mesure. Les hauteurs,… sont de même
longueur, les aires sont égales.
Les théorèmes que vous pouvez utiliser sont les suivants :
Propriété 1 : si 2 triangles ont leurs 3 côtés respectivement égaux, alors ces 2 triangles sont
isométriques.
Propriété 2 : si 2 triangles ont un angle égal, compris entre 2 cotés respectivement égaux alors
ils sont isométriques.
Propriété 3 : si 2 triangles ont un coté égal respectivement et 2 angles respectivement égaux,
alors ces 2 triangles sont isométriques.
A’
A
B’
B
C



C’
si AB=A’B’ AC=A’C’ BC=B’C’
alors les triangles ABC et A’B’C’
sont isométriques
si AB =A’B’ AC=A’C’ angle A = angle A’
alors les triangles ABC et A’B’C’
sont isométriques
si AB =A’B’ angl A = angl A’ angl B = angl B’ alors les triangles ABC et A’B’C’
sont isométriques
Remarque : si les triangles sont rectangles, il suffit que deux côtés soient de même longueur
pour que les deux triangles soient isométriques (conséquence de Pythagore).
Attention : deux triangles qui ont leurs angles égaux deux à deux ne sont pas forcément
isométriques, ils sont semblables (généralisation de l’homothétie), et les rapports des mesures
de leurs côtés sont égaux.(Cf cours).
Exercice 1 :
Soit ABC équilatéral. Placer M, N, P sur [BC] [CA] [AB] tels que : BM=CN=AP.
Quelle est la nature du triangle MNP ?
Exercice 2 :
Soient ABCD un carré, (C) le cercle de diamètre [AB], O son centre, et (DM) tangente à (C).
(OM) coupe [CB] en R.
1) démontrer que les triangles OAD et OMD sont isométriques.
2) démontrer que les triangles DMR et DCR sont isométriques, en déduire la nature du
triangle CMR.
Exercice 3 :
Soit ABCD un parallélogramme de centre O. On construit deux droites (D) et (D')
orthogonales en O.
Ces droites coupent les côtés du parallélogramme [AB] en I, [BC] en J, [DC] en K et [AD] en
L.
1) Démontrez que les triangles OAI et OCK sont isométriques
2) Démontrez que les triangles OAL et OCJ sont isométriques
3) Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?
Exercice 4 :
ABCD est un parallélogramme de centre O. Par A et C, on trace les perpendiculaires à (BD).
Elles coupent (BD) respectivement en I et K. Par B et D,on trace les perpendiculaires à (AC).
Elles coupent (AC) respectivement en J et L.
1) démontrez que les triangles OBC et OAD sont isométriques.
2) démontrez que les triangles OAI et OKC sont isométriques.
3) démontrez que IJKL est un parallélogramme.
Exercice 1 :
ABC étant équilatéral les angles A, B et C sont égaux, et AB=BC=CD.
De cette dernière égalité et de BM=NC=AP on déduit : AN=BP=MC.
Si on considère les triangles APN et MCN on a :
angle A = angle C AN=MC AP=NC.
Or si 2 triangles ont un angle égal, compris entre 2 cotés respectivement égaux alors ils sont
isométriques. On en déduit que leurs troisièmes côtés sont de même longueur : PN=MN.
On démontre de la même façon que APN et BMP sont isométriques, et donc que PN=PM.
Puisque PN=MN=PM le triangle PMN est équilatéral.
Exercice 2 :
1) La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact. Les
triangles OAD et OMD sont donc rectangles tous les deux.
OM=OA (rayons du cercle) OD = OD
Les triangles rectangles OAD et OMD qui ont deux côtés respectivement de même longueur
sont isométriques.
2) OAD et OMD étant isométriques , leurs troisièmes côtés sont isométriques : MD = AD, et
donc MD = DC (AD=DC carré)
Les triangles rectangles DMR et DCR ont eux aussi deux côtés respectivement de même
longueur : MD=DC et DR = DR. Ils sont isométriques.
On en déduit que leurs troisièmes côtés sont isométriques : MR = CR.
Le triangle CMR est isocèle.
Exercice 3 :
1)Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : OA=OC
(AB) étant parallèle à (DC) les angles OAB et OCD alternes-internes sont égaux
les angles AOI et KOC opposés par le sommet sont égaux
Si 2 triangles ont un coté égal respectivement et 2 angles respectivement égaux, alors ces 2
triangles sont isométriques. OAI et OCK sont donc isométriques.
2)Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : OA=OC
(AD) étant parallèle à (BC) les angles OAL et OCJ alternes-internes sont égaux
les angles AOL et JOC opposés par le sommet sont égaux
Si 2 triangles ont un coté égal respectivement et 2 angles respectivement égaux, alors ces 2
triangles sont isométriques. OAL et OCJ sont donc isométriques.
3)Les troisièmes côtés de deux triangles isométriques étant de même longueur :
la question 1 donne OI = OK et la question 2 donne OL = OJ.
Les diagonales du quadrilatère IJKL [IK] et [LJ] se coupant en leur milieu et étant
perpendiculaires (d’après l’énoncé), c’est un losange.
Exercice 4 :
1)Dans un parallélogramme les côtés opposés sont isométriques, et les diagonales se coupent
en leur milieu : AD=BC OA=OC OD=OB
Les triangles OBC et OAD ayant trois côtés isométriques deux à deux sont isométriques.
2)OBC et OAD étant isométriques leurs hauteurs [AI] et [CK] sont isométriques.
Les diagonales se coupant en leur milieu on a déjà vu OA=OC.
Les triangles rectangles OAI et OKC ayant deux côtés respectivement de même longueur
(AI=CK et AO=OC), sont isométriques.
3)OAI et OKC étant isométriques leurs troisièmes côtés… OI=OK
On démontrerait de la même manière que OJ=OL (reprendre les étapes)
Le quadrilatère IJKL ayant des diagonales [LJ] et [IK] qui se coupent en leur milieu est un
parallélogramme.