1 Ensembles et entiers naturels

ENTIERS ET
ARITHMETIQUE
1
Ensembles et entiers naturels
1.1
Définitions :
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Toute partie non vide et majorée admet un plus grand élément.
N n’admet pas de plus grand élément.
1.2
Les opérations sur N :
Nous connaissons deux lois de compositions interne dans N : l’addition et la multiplication.
L’addition et la multiplication sont commutatives et associatives.
L’addition admet un élément neutre 0.
La multiplication admet un élément neutre 1.
La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
2
Récurrence :
Propriété :
Soit A une partie de N contenant 0 telle que  n Є N n Є A => n+1 Є A
Alors A = N
Cette propriété nous amène à présenter le raisonnement par récurrence
Principe de récurrence :
Soit P(n) un prédicat défini sur N
Si P(n0 est une proposition vraie, avec n0 Є N
Si  n0 ¨(n)=>P(n+1) est vraie
Alors P(n) est une proposition vraie  nn0
Rappel : formule du binôme de Newton
(a+b)n = nk=0 Cpn an-p * bp
Le triangle de Pascal permet de retrouver rapidement les Cnp
Définition :
Une propriété P(n) telle que P(n)=>P(n+1)  nn0 s’appelle une propriété héréditaire a partir de n0
3
Arithmétique des entiers
3.1
Division euclidienne dans n
Théorème :
Pour tout (a, b) Є NxN il existe un coule unique (q, r) d’entiers naturels tel que a=bq+r 0r<b
Définition :
Effectuer la division euclidienne de a par b c’est déterminer les entiers q et r.
Remarque :
A est le dividende, b est le diviseur.
Q est le quotient, r est le reste.
Lorsque r=0, b divise a et on le note b|a.
(a, b) Є N² b|a   k Є N / a=k*b
3.2
PGCD de deux entiers naturels
Tout d’abord remarquons que 1 divise tout entier. Soient a et b deux entiers naturels.
Définition 1
D est diviseur commun de a et de b si et seulement si D est la fois un diviseur de a et de b.
Définition 2
D’après les propriétés de N, E est non vide et majoré, donc admet un plus grand élément appelé le PGCD(a, b).
Rappel : PGCD(a, b)|a et PGCD(a, b)|b et PGCD(a, b) est le plus grand entier qui vérifie cette propriété.
2
3.3
Théorème de Bézout
Définition :
Les deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a, b)=1 : nous pouvons alors
énoncer le théorème de Bézout :
Les deux propositions sont équivalentes :
A et b sont premiers entre eux
 (u, v) Є Z² / au+bv=1
{
3.4
Recherche pratique du PGCD
Deux remarques préliminaires :
a = bq (c’est à dire b|a) => PGCD (a, b) = b
a = bq + r => PGCD (a, b) = PGCD (b, r)
D’ou, recherché algorithmique du PGCD appelé algorithme d’Euclide :
Le but est la recherche du PGCD (a, b), a et b entiers naturels différents de 0.
Ecrivons les divisions euclidiennes successives :
a = bq+r1 r1 <b
b = r1q2 + r2 r2<b
r1 = r2q2 + r3 r3<r2
…
rn-1 = rnqn+1 + rn+1 rn+1<rn
Les restes successifs forment une suite d’entiers positifs strictement décroissante donc on parvient
nécessairement à un reste nul, soit rn+1.
Il suffit alors de remonter : PGCD (a, b) = PGCD (b, r1) = … = PGCD (rn-1, r) = rn
Remarque : dans cette présentation, le nombre d’étapes est de n+1. Il est nécessairement majoré par b, donc fini !
Ecriture de l’algorithme :
Fonction PGCD (a, b : entiers) : entier
Var : q, r : entiers
r <= b
Tant que r0
q=E(a/b)
r=a-bq
a<=b
b<=r
fin tant que
retourner (a)
fin
Remarque :
Les entiers a et b sont des entiers non nuls d’après la définition du PGCD.
Si a et b sont tels que a<b, la première boucle de l’algorithme nous ramène à échanger a et b et dans ce cas là on
retrouve la recherche du PGCD (a, b) avec a b.
Exemple :
Recherche du PGCD de 1764 et 3465
3465=1764*1+1701
1764=1701*1+63
1701=63*27+00
donc pgcd(3465, 1764)=63
3.5
PPCM de 2 entiers naturels
Définition 1 :
M Є N est un multiple de a   k Є N / m=ka
Définition 2 :
M Є N* est un multiple commun à a et b  m est un multiple de a et un multiple de b   k1 Є N ^  k2 Є N/
m=k1a ^ m=k2b
Définition 3 :
Considérons Mab le sous ensemble de N* des multiples communs à a et b. Cet ensemble est non vide puisque le
produit a.b est un multiple commun donc appartient à Mab Donc Mab est une partie de N*, non vide.
3
Elle admet un plus petit élément : le plus petit commun multiple de a et b.
Notation : ppcm(a, b)
3.6
Nombres entiers naturels premiers
Remarque :
- un entier naturel n non nul a au plus n diviseurs.
- Tout entier naturel est un diviseur de 0
- 1 admet un seul diviseur : lui-même, donc 1 n’est pas premier (voir plus loin)
-  n Є N, n|n car n=1*n
-  n Є N, 1|n car n=1*n
définition :
Un entier naturel est premier lorsqu’il admet exactement deux diviseurs.
Remarque et exemple :
Tout entier strictement supérieur à 1 est donc premier lorsqu’il n’admet comme diviseur que lui-même et 1.
7 est premier puisqu’il admet comme seuls diviseurs 1 et 7
12 n’est pas premier : voici l’ensemble de ses diviseurs : {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Application :
Décomposition d’un entier en facteurs premiers. Utilisation de cette décomposition pour le calcul du PPCM et
du PGCD de deux entiers naturels :
Exemple :
1500=2² x 3 x 53
3150=2 x 3² x 5² x 7
On trouve le PPCM en faisant le produit des facteurs premiers des deux décompositions affectés de leur
puissance la plus élevée. PPCM(1500, 3150)=2² x 3² x 53 x 7
On trouve le PGCD en faisant le produit des facteurs premiers communs affectés de la puissance la moins
élevée. PGCD(1500, 3150)=2 x 3 x 5²
Remarque :
a Є N, b Є N
pgcd(a, b)=1 a et b sont premiers entre eux ou étrangers., et dans ce cas là ppcm(a, b)=ab
ppcm*pgcd=a*b
3.7
Ensemble des entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs notés Z est muni de deux opérations + et x qui sont associatives et commutatives.
Z admet un élément neutre pour chacune (respectivement 0 et 1). Tout entier relatif z admet un opposé –z.
3.7.1
Division euclidienne dans Z
 (a, b) Є ZxZ* il existe un couple unique (q, r) Є Z² / a=bq+r
Si r=0, b divise a et on note b|a
0r<|b|
Remarque :
Les notions définies dans l’ensemble des entiers naturels peuvent être étendues à l’ensemble des entiers relatifs,
notamment : les nombres premiers entre eux, théorème de Bézout, PGCD, PPCM, nombres premiers (4 diviseurs
au lieu de 2),…
3.7.2
Congruences dans Z
Définition :
Soient z et z’ 2 entiers relatifs, soit n Є N. z et z’ sont congrus modulo n ou z est congru à z’ modulo n  z-z’
est divisible par n
 (z, z’) Є Z² z  z’ (n)   k Є Z tel que x-y=kn
Remarque :
Lorsqu’on z’<n, l’écriture z=z’+kn montre que z’ est le reste de la division euclidienne de z par l’entier naturel
n.
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EXERCICES
Exercice 1
Montrer que :
a) Soit x Є R+, pour tout n Є N (1+x)n  1 +nx
b) Pour tout n Є N 0+1+2+…+n = n(n+1)/2
c) a Є R, (1 – a)(1 + a + a² +…+an)=1 – an+1
a)
Pour n=0 : (1+x)0=1 et 1+0*x=1 donc on a bien 11
Pour n=1 (1+x)1=1+x et 1+1*x=1+x donc on a bien 1+x1+x
On suppose que la propriété est vraie au rang k : on a donc (1+x)k  1+kx
Au rang k+1 : on a (1+x)k+1=(1+x)k(1+k)  (1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx² =1+(k+1)x+kx² (oukx²0)
1+(k+1)x
Donc  n Є N (1+n)n1+nx
b)
Pour n=0 on a bien 0=0(0+1)/2
Pour n=1 on a bien 1=1(1+1)/2
On suppose que la propriété est vraie pour n=k, 1+2+…+k=k(k+1)/2
Au rang k+1 : 1+2+…+k+(k+1) =k(k+1)/2 + (k+1) (d’après l’hypothèse de récurrence)
= [k(k+1)+2(k+1)]/2
=[(k+1)([k+1]+1)]/2
Ce qu’il fallait démontrer.
c)
Pour n=0 on a (1 – a)*1 = 1 – a0+1
On suppose que (1 – a)(1 + a + a² +…+an)=1 – an+1 est vraie au rang n.
Au rang n+1 on a : (1 – a)(1 + a + a² +…+an+an+1) = (1 – a)(1 + a + a² +…+an) + (1 – a)(an+1)
= 1 – an+1 + (1 – a)an+1
= 1 – an+1 + an+1 – an+2
= 1 – a(n+1)+1
Ce qu’il fallait démontrer.
Exercice 2
Calculer PGCD( 18480 , 9828 ) de deux manières.
Calculer PGCD( 120 , 48 )
Calculer PGCD (165 , 14 ). Que peut-on dire de 165 et 14 ?
Calcul de PGCD( 18480 , 9828 ) :
18480 = 9828*1+8652
9828=8652*1+1176
8652=1176*6+420
1176=420*2+336
420=336*1+84
336=84*4+0
Donc PGCD( 18480 , 9828 ) = 84 (correspond au dernier reste non nul)
Autre méthode :
Par décomposition en produit de facteur premier on trouve que :
18480=24x 3 x 5 x 7 x 11
9828=2² x 33 x 7 x 13
Le PGCD( 18480 , 9828 ) correspond au produit de facteurs communs affectés de leur plus petit coefficient.
Donc PGCD( 18480 , 9828 ) = 2² x 3 x 7 = 84
Calcul du PGCD (120 , 48)
120=48*2+24
5
48=24*2+0
Donc PGCD (120 , 48) = 24
Calcul du PGCD (165,14)
165=14*11+11
14=11*1+3
11=3*3+2
3=2*1+1
2=2*1+0
Donc PGCD (165,14) = 1
Donc 165 et 14 sont premiers entre-eux.
Exercice 3
a) Montrer de deux manières différentes que n !+1 et (n+1) !+1 sont premiers entre eux.
b) Montrer que 2n+3n et 2n+1+3n+1 sont premiers entre eux
c) Montrer que (2n-1 est premier => n est premier)
d) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
a)
Première méthode :
Soit d Є N tel que d | (n !+1) et d | ((n+1) !+1)
Donc d | (n !+1)(n+1) donc d | (n+1) !+1
Donc d | (n+1) !+n+1 – ((n+1) !+1)
Donc d | n, donc d | n ! donc d | n ! +1 – n !
Donc d | 1
Donc d=1
Donc n !+1 et (n+1) !+1 sont premiers entre eux.
Deuxième méthode
Rappel : pgcd (a, b) = pgcd (b, a – bq ) q Є Z
Il s’agit donc de montrer que pgcd (n !+1, (n+1) !+1) = 1
Pgcd (n !+1,(n+1) !+1 – (n!+1)(n+1)) = pgcd (n!+1, n) = pgcd (n, n !+1 – n(n-1) !) = pgcd (n,1)
Donc pgcd (n !+1, (n+1) !+1) = 1
Donc n !+1 et (n+1) !+1 sont premiers entre eux.
b)
Soit d Є N tel que d | 2n+3n et d | 2n+1+3n+1, avec d premier ou d = 1 (voir pourquoi plus tard dans la
démonstration)
Donc d | 2n+1+2 x 3n donc d | 2n+1+3n+1 - 2n+1+ 2 x 3n donc d | 3 x 3n – 2 x 3n donc d | 3n donc d | 3 (en utilisant
l’hypothèse de départ : d premier ou d=1)
De même, on trouve d | 2.
Or 2 et 3 sont premiers entre eux donc pgcd (2,3) = pgcd(2 n+3n, 2n+1+3n+1)=1
Donc 2n+3n et 2n+1+3n+1 sont premiers entre eux.
c)
Soit n Є N tel que n = pq ou p>1 et q >1 (c’est à dire n n’est pas premier)
Donc 2n – 1 = 2pq – 1 = 2pq – 1p = (2q)p – 1p = (2q – 1)( (2q)p-1 + (2q)p-2 +…+2q+1)
Or les deux termes sont strictement supérieurs à 1. Donc 2n – 1 n’est pas premier.
On a donc démontré que (n non premier => 2n – 1 non premier)
Par contra posée on a donc : (2n-1 est premier => n est premier)
d)
On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers : p1, p2, …, pM
Soit A = p1 x p2 x …x pM + 1
Si p est premier et si p | A alors p = pj avec j Є [1, …, M]
On a donc pj | A
Donc pj | p1 x p2 x …x pM et pj | p1 x p2 x …x pM + 1 . En faisant la différence on obtient p j | 1 : contradiction
avec le fait que pj est un nombre premier.
Donc il existe un nombre fini de nombre premier.
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Exercice 4
a) Soient a, b, c, trois entiers.
Montrer que si a | bc et pgcd(a, b) = 1 alors a | c
b) Soient p premier et a, b Є Z
Montrer que si p | ab alors p | a ou p | b
a)
Comme pgcd(a, b) = 1, il existe u et v appartenant à Z tels que au + bv = 1 (relation de Bézout)
Donc cau + bcv = c
Or a | cau et a | bcv (car a | bc) donc a | cau + bcv, donc a | c.
b)
On suppose que p ne divise pas a :
On a donc p | ab et pgcd (a, p) = 1 (car p est premier et p de divise pas a) donc p | b
De même on suppose que p ne divise pas b, on a alors p | b
Donc si p | ab alors p | a ou p | b
Exercice 5
Soit (a, b) Є N² tel que pgcd(a, b)=1
Déterminer pgcd (ab, a+b), pgcd (a, a+b), ppcm(ab, a+b), ppcm (a, a+b)
Soit d le pgcd(a, a+b) alors d|a et d|a+b donc par difference d|a+b-a, donc d|b.
On a donc d|a et d|b et on sait que pgcd(a, b)=1 donc pgcd(a, a+b)=1
On a pgcd (a, a+b)=1 donc  (u, v) Є Z² tels que au+(a+b)v=1.
On a aussi pgcd (b, a+b)=1 donc  (u’,v’) Є Z² tel que bu’+(a+b)v’=1
En multipliant membre à membre on a donc :
abuu’+(a+b)[auv’+bu’v+(a+b)vv’]=1
qui est donc de la forme abU” + (a+b)V”=1
donc pgcd (ab, a+b)=1
On sait que ppcm(a, a+b)*pgcd(a, a+b)=a*(a+b) or pgcd(a, a+b)=1 donc ppcm(a, a+b)=a*(a+b)
De même on a ppcm(ab, a+b)=ab*(a+b)
Exercice 6
Résoudre dans Z l’équation X²+4XY=10
Dans Z, les diviseurs de 10 sont : -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10
Et X*(X+4Y)=10
Donc X|10 :
X=-10 => -10+4Y=-1=>Y=9/4
YZ
X=-5 => -5+4Y=-2=>Y=3/4
YZ
X=-2 => -2+4Y=-5=>Y=-3/4
YZ
X=-1=> -1+4Y=-10=>Y=-9/4
YZ
X=1 => 1+4Y=10=>Y=11/4
YZ
X=2 => 2+4Y=5=>Y=3/4
YZ
X=-10 => 5+4Y=2=>Y=-3/4
YZ
X=-10 => 10+4Y=1=>Y=-9/4
YZ
Donc il n’y a pas de solutions dans Z
Exercice 7
Factoriser 120, 48,165, 14 puis donner pgcd(120, 14), pgcd(120, 165) ppcm(120,14), ppcm(120,165)
120=2*2*2*3*5=23*3*5
48=2*2*2*2*3=24*3
165=5*3*11
14=2*7
7
pgcd(120, 14)=2
pgcd(120, 165)=3*5=15
ppcm(120, 14)=23*3*5*7
ppcm(120, 165)=23*3*5*11
Exercice 8
Soit E un ensemble. On appelle partition de E une famille (Ai)iЄI de parties de E vérifiant :
- les Ai recouvrant entièrement E : E=UiЄI Ai ( x Є E  i Є I tel que x Є Ai)
- 2 parties distinctes sont disjointes :  (i, j) Є I² ij => Ai  Aj = 
a) donner une partition de N
b) R+ et R- forment t’ils une partition de R ?
c) L’ensemble des nombres pairs et l’ensemble des nombres impairs forment-ils une partition de Q ?
a)
A1=|[0, 5]| et A2=|[6, +¤¤ |[
b)
R+ et R- ne forment pas une partition de R car il ne couvrent pas R : il manque 0.
c)
Non, ils ne recouvrent pas Q, il manque tous les rationnels n’appartenant pas à Z.
Exercice 9
a) Montrer que (AA’ ^ BB’)  (A x B)  (A’ x B’)
b) Montrer que AB  A x B  B x A
a)
Montrons la première implication (=>)
On suppose que :
x Є A => x Є A’
x Є B => x Є B’
Si x Є A x B alors on a x=(a, b) avec a Є A et b Є B
Or a Є A donc a Є A’ et b Є B donc b Є B’.
Donc (a, b) Є A’ x B’
Donc A x B  A’ x B’
On montre de même que A’ x B’ = A x B
Donc A x B = A’ x B’
Montrons la deuxième implication (<=)
On suppose que A x B = A’ x B’
Si a Є A et b Є B alors (a, b) Є A x B.
Donc (a, b) Є A’ x B’ et a Є A donc a Є A=> a Є A’. Donc AA’
BB’ de même.
Donc, on a bien équivalence.
b)
Remarque : démontrer AB  A x B  B x A revient à démontrer en fait A=B  A x B = B x A
Montrons l’implication => :
On suppose que A=B
Soit (x, y) Є A x B, donc x Є A et y Є B Or A=B, donc x Є B et y Є A.
Donc (x, y) Є B x A
Donc A x B  B x A
B x A  A x B de même.
Donc A x B = B x A
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Montrons l’implication <= :
On suppose que (x, y) Є A x B et (x, y) Є B x A
Soit x Є A et y Є B (B), donc (x, y) Є A x B
Or (x, y) Є B x A donc x Є B
Donc A  B
B  A de même
Donc A=B
Donc on a bien équivalence.
Exercice 10
Déterminer les éléments de {0} x {a, b}
Déterminer P({0} x {a, b})
{0} x {a, b} = {(0, a) ;(0, b)}
P({0}x{a, b})={; {(0,a)}; {0,b}; {(0,a),(0,b)} }
Exercice 11
Soit E un ensemble.
A, B Є P(E)
E={(x, x) Є E x E}
Montrer que (A  B )    (A x B)  E  
Montrons l’implication => :
On suppose que A  B  .
Donc il existe x Є E tel que (x Є A) ^ (x Є B)
Donc (x, x) Є A x B car x Є A et x Є B
De plus (x, x) Є E
Donc (A x B)  E  
Montrons l’implication <= :
On suppose (A x B)E  
Donc il existe (x, x) Є A x B
Donc x Є A et x Є B
Donc AB  
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