La Division Euclidienne

La Division Euclidienne
1. Rappel : la division
1.1.
Activité 1
Résous les calculs suivants :
96 : 4 =
578 : 8 =
333 : 9 =
1.2.
266 : 7 =
540 : 36 =
280 : 35 =
Vocabulaire
36 : 3 = 12
Le naturel 36 est appelé dividende.
Le naturel 3 est appelé diviseur.
Le naturel 12 est appelé quotient.
1.3.
Exercices
1.3.1. Le naturel 17 n’est pas divisible par 5.
Il est compris entre 3.5 et 4.5.
Ecris un encadrement de 17 qui utilise ces nombres.
Exprime en français ce que signifie cet encadrement.
1.3.2. On divise 27 par 6. Relie par une flèche un nombre et un mot :
Cours de mathématiques
: La division euclidienne
27 .
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6.
. Quotient
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. Dividende
1.3.3. 7 est le diviseur et 27 le dividende. Quel est le quotient de cette
division ? Exprime cela par un encadrement.
2. Division Euclidienne
2.1.
Activité 1
Avec deux amis, tu joues aux dominos, jeu de 28 pièces. Tu dois distribuer
les dominos un à un, de telle manière que chaque joueur dispose du même
nombre de pièces.
Ainsi, après un premier tour de table, tu as distribué 3 pièces ; après le
deuxième tour, tu en as distribué 6,…
Complète le tableau suivant :
Nombre de
tours
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nombre de pièces
distribuées
0
Nombre de pièces
restantes
28
Possibilité de
continuer
oui
Combien de pièce, chaque joueur reçoit-il ? Restera – t –il des jetons ?
…………………………………………………………………………………
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28
3
Chaque joueur recevra……… domino(s) et il restera
……… domino(s).
28 = ….. . ….. + …..
2.2.
28 3
-27 9
Illustration
Cette division est appelée division euclidienne
28 est le ……………….
3 est le ……………….
9 est le ……………….
1 est le ……………….
…..……………….
…..……………….
…..……………….
…..……………….
Remarquons que :
28 =………………………… (… < …)
……… < …… < ……… (……………………………………………)
18 3
18 = ……………
-18 6
……… = …… < … … … ….
0
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2.3.
Définition
Le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient
entier, augmenté du reste.
D = d . q +1 avec 0

r<d
Remarque : si le reste est nul, la division est dite exacte.
Sur ta calculatrice, la touche ……. effectue la division euclidienne.
2.4.
Transformation de formules
d = …… - ……
……
q = …… - ……
……
r = …… - (…… . ……)
2.5.
Exercices
2.5.1. Le naturel 19 n’est pas divisible par 5. Il est compris entre 3 . 5 et
4 .5. Ecris un encadrement de 19 qui utilise ces nombres.
2.5.2. 8 est le diviseur et 29 le dividende. Quel est le quotient de cette
division ? Quel est son reste ?
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2.5.3. Complète le tableau suivant :
Division Dividende Diviseur Quotient Reste D = d .q + r Comparaison
de r et de d
38 : 7
34
3
1
8
5
3
207
9
115
6
86 : 9
67
3
7
2.5.4. Calcule le quotient entier et le reste de la division euclidienne de a
par b dans chaque cas suivants. Utilise ta calculatrice
a
27
437
144
1024
b
5
51
12
2
q
r
2.5.5. Petits problèmes :
2.5.5.1. Ludivine dit à ses 5 frères : « Si je vous donne à chacun 6
billes, il m’en restera 7 ». Et si Ludivine donnait 7 billes à
chacun de ses frères, combien lui en resterait-il ?
2.5.5.2. Un moniteur d’une colonie distribue des coquillages à ses
petits protégés pour qu’ils réalisent un motif décoratif sur le
sable. Chacun en reçoit 75 et le moniteur compte ce qu’il lui
reste. « Zut, dit-il, il m’en reste 46, j’aurais pu en donner 2 de
plus à chaque enfant ». Détermine le nombre d’enfants du groupe
ainsi que le nombre de coquillages dont dispose le moniteur.
2.5.6. Les égalités suivantes traduisent – elles une division euclidienne ?
Si oui, laquelle ?
37 = 4 . 8 + 5 ………………………………………
53 = 17 . 3 +2 ………………………………………
64 = 9 . 6 + 10 ………………………………………
56 = 6 . 8 + 8 ………………………………………
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Qui êtes-vous Monsieur Euclide ?
Euclide d'Alexandrie1
Grec (-320? ; -260?)
Euclide est un des plus grands mathématiciens de l’Antiquité et pourtant on ne
connaît pas grand chose de sa vie.
Il aurait commencé ses études dans l’Académie, l’école d’Athènes fondée par
Platon Il y apprend la géométrie d’Eudoxe de Cnide (-408 ; -355) et de Théétète
d'Athènes (-415 ; -369).
On sait qu’il vit à Alexandrie en Egypte, ville érigée par Alexandre le Grand en
331 avant J.C. et célèbre pour son phare aujourd'hui détruit.
Dans la prestigieuse Ecole d’Alexandrie, il dirige une équipe de mathématiciens
qui participent à l’écriture de son œuvre. Cette école connaîtra plus tard d’autres
savants tels qu’Archimède de Syracuse (-287 ; -212) et Apollonius de Perge (262 ; -190).
L’œuvre phénoménale, « Les éléments », que nous laisse Euclide, servira de
base à toute la géométrie pendant plus de 2000 ans. Une vraie encyclopédie,
composée de 13 livres, qui traite des figures géométriques, des polygones
inscrits et circonscrits à un cercle, des proportions, de la géométrie dans l’espace
ainsi que des nombres. Deux autres livres seront complétés plus tard par
Archimède (cercles, cylindres, Pi) et Apollonius (cônes, coniques : ellipse,
parabole, hyperbole).
Les premières démonstrations rendent cette œuvre novatrice pour l’époque.
Euclide apporte des définitions rigoureuses et démontre les grands théorèmes de
ses ancêtres, comme ceux de Thalès de Milet (-624 ; -548) et Pythagore de
Samos (-569 ; -475) par exemple.
1
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=89&IDD=0
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