Baccalauréat S Physique-Chimie Centres étrangers 2009 (extrait
publicité
Baccalauréat S Physique-Chimie Centres étrangers 2009 (extrait). Bac Panther Estimation de la masse du trou noir. Pour déterminer un ordre de grandeur de la masse M du trou noir, on considère dans cette question que l'étoile S2, de masse m, décrit une orbite circulaire de rayon r = 132 heures-lumière, la période de révolution étant T = 15,2 ans. 3.1 Schématiser la trajectoire de l'étoile S2 et représenter, en plusieurs points de la trajectoire, l'étoile, son vecteur vitesse, son vecteur accélération. 3.2 Montrer que la valeur v de la vitesse de l'étoile S2 a pour expression : 𝑣 = √ 𝐺𝑀 𝑟 3.3 En déduire l'expression de la période de révolution T de l'étoile. 3.4 Déterminer la valeur de la masse M du trou noir et la comparer à celle annoncée dans le document 1. Extrait du document 1 : L'orbite d'une étoile particulière a permis de démontrer l'existence d'un trou noir (1) de 3 à 4 millions de masses solaires. Masse du soleil : MS = 2,0 x 1030 kg Chemin de résolution 2ème loi de Newton 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗ 𝑀𝑚 𝐹⃗ = 𝐺 2 ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑟 𝑎=𝐺 𝑀 𝑟2 𝑣= √ 𝑎 = 𝐺𝑀 𝑟 𝑣2 𝑟 𝑇= 𝑇2 = 𝑀= Documents de Physique-Chimie-M. MORIN 4𝜋2 𝑟 3 𝐺𝑀 4𝜋2 𝐺 ∙ 𝑟3 𝑇2 2𝜋𝑟 𝑣 3.1. Astuce : Dans le document 1, il est indiqué que la trajectoire suit les lois de Képler. Dans l’approximation des orbites circulaires, le mouvement est alors uniforme. On a dans ce cas 𝑎⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑣 = 0 alors les vecteurs 𝑎⃗ et 𝑣⃗ sont perpendiculaires. 3.2. Référentiel : trou noir Système : étoile Bilan des forces : Force gravitationnelle (radiale, centripète, norme : 𝐹⃗ = 𝐺 𝑀𝑚 𝑟2 ∙ 𝑛⃗⃗ ) Application de la deuxième loi de Newton : 𝑑𝑝⃗ 𝑑𝑣⃗⃗ ∑ 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡 = = 𝑚 ∙ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗ 𝑑𝑡 soit 𝑑𝑡 𝑚 ∙ 𝑎⃗ = 𝐺 L’expression de l’accélération centripète est 𝑎𝑛 = 𝑀𝑚 𝑟2 ∙ 𝑛⃗⃗ donc 𝑎⃗ = 𝐺 𝑀 𝑟2 ∙ 𝑛⃗⃗ alors 𝑎 = 𝐺 𝑀 𝑟2 𝑣2 𝑟 Le mouvement étant uniforme, l’accélération est centripète donc on a 𝑎⃗ = 𝑎 ∙ 𝑛⃗⃗, alors on peut écrire 𝐺 𝑀 𝑟2 = 𝑣2 𝑟 𝐺𝑀 On en déduit que 𝑣 = √ 𝑟 3.3. Astuce : Pour trouver l’expression de la période, pensez à exprimer cette période en fonction du périmètre de l’orbite. La relation est 𝑇 = 2𝜋𝑟 On peut alors écrire 𝑣 = 𝑣 2𝜋𝑟 𝑇 =√ 𝐺𝑀 𝑟 Astuce : Quand on a une racine carré, pensez à élever l’équation au carré. 2𝜋𝑟 𝑇 3.4. =√ 4𝜋2 𝑟 2 𝑇2 𝐺𝑀 𝑟 𝐺𝑀 = 𝑟 devient 4𝜋2 𝑟 2 𝑇2 = 4𝜋2 𝑟 3 𝐺𝑀 soit 𝑇 = √ 𝑟 𝐺𝑀 = 2𝜋𝑟√ 𝑟 𝐺𝑀 , alors la masse du trou noir a pour expression M = 4𝜋2 𝑟 3 𝐺𝑇 2 Attention : Il faut convertir toutes les grandeurs dans les unités internationales (mètres et secondes). r = 132 heures-lumière T = 15,2 ans = 15,2 × 365,25 × 24 × 3 600 = 4,80 × 108 s 3 M= 4×𝜋2 ×(132×3600×3,00×108 ) 6,67×10−11 ×(15,2×365,25×24×3600)2 = 7,45 × 1036 kg !!! soit 7,45×1036 2,0×1030 = 3,75 × 106 masses solaires. Cette valeur est cohérente avec celle donnée dans le document 1 (3 à 4 millions de masses solaires). Documents de Physique-Chimie-M. MORIN
