Corrigé UE515 main

L3 GEEA - OH
Janvier 2009 – 2h
3 pages
Outils pour l’Ingénieur - CORRIGE -
P. SIGNORET
Etude de l’œil en optique paraxiale
I On s’intéresse tout d’abord à l’œil humain dans un environnement naturel, soit le schéma
équivalent :
n=1
rétine
cristallin
cornée
n1=1.336
n2=1.336
d2
d1
On appellera R1 le rayon de courbure de la cornée (de vergence V1) et V2 la vergence du
cristallin assimilé à une lentille mince.
I.1. Exprimer analytiquement la matrice de transfert entre la cornée et la rétine, en fonction
des paramètres : V1, V2, n1, n2, d1, d2.
a)

1
M

0
d 2  1
0  1


n 2 

1   V 2 1  0
d1 d 2

d1  1
Vequ
1  V1 
0

n
1
n
2
  ... 
n1 

1   V1 1 
 Vequ

avec Vequ  V1  V 2  V1 * V 2 *
d1 d 2
d1 

(1  V 2 ) 
n1 n 2
n1 
d1

1  V2
n1

d1
n1
b) cf cours : la vergence s’exprime en dioptries ou m 1
I.2. Application numérique : R1=3cm, V2=55,11 dioptries, d1=0,5 cm et d2=2cm.
V1=11,2 
a) Calculer la vergence équivalente du système complet.
Que vaut le déterminant de la matrice obtenue ? 1
1 

m
 0
64 

  64  127 


160 

Vérifier numériquement que sous ces conditions l’œil considéré est emmétrope :
a=M11=0  H iS  f i  H i Fi =
n2
 2,08 cm
Vequ
 S  Fi
Rappels :
H i S  f i (1  a ) , où f i est la distance focale image équivalente du système optique épais, a le
coefficient M11 de la matrice de transfert et S le point axial de sortie du système complet.
La matrice de réfraction d’un dioptre sphérique, comme la matrice de transfert d’une lentille
 1 0
n  no
 , où la vergence V vaut : V  i
mince, s’écrit : 
pour un dioptre, et de
R
  V 1
n
manière générale : V  i .
fi
d

1

Matrice de translation dans un milieu d’indice n : 
n

0 1 
( Représenter sur papier millimétré à l’échelle x2 l’image d’un faisceau parallèle incliné par
rapport à l’axe optique. Vérifier ainsi le caractère emmétrope de l’œil.
Avec une autre couleur, tracer l’image d’un rayon quelconque parallèle à l’axe optique, et en
déduire le foyer image équivalent puis le plan principal image équivalent, que nous
f1  11,93 cm et f 2  2,42 cm
désignerons respectivement Fi et Hi.
)
Nota Bene : Dans tout ce qui suit, on ne demande aucune construction graphique.
b) Sachant que V1, V2, d1 et n1 sont entachés d’une erreur de mesure de 3%, calculer
l’incertitude absolue sur la valeur de la vergence équivalente Vequ. Déduisez-en la valeur
numérique de l’incertitude relative sur Vequ.
Vequ  V1  V2 
Hypothèse :


V1V2 d1
V ' V d  V1V2' d1  V1V2d1' n1  V1V2d1 dn1
 dVequ  dV1  dV2  1 2 1
n1
n12
dV1  V1' d1' dn1
 

V1
d1 n1
Ainsi : dVequ   V1   V2 
V1V2d1  V1V2d1  V1V2d1  V1V2d1  
VV d 
 V1  V2  2 1 2 1  
n1
n1 

On trouve : dVequ  1,85 et
dVequ
Vequ
 2,89 % .
Autre méthode :
dVequ 
Vequ
V1
dVequ  (1 
Vequ
dV1 
V2
dV2 
Vequ
d1
dd1 
Vequ
n1
dn1 , avec rappel : Vequ  V1  V2 
V1V2 d1
n1
V2 d1
Vd
VV
VV d
) dV1  (1  1 1 ) dV2  1 2 dd1  1 22 1 dn1
n1
n1
n1
n1
soit dVequ  (1 
V2 d1
Vd
VV
VV d
) V1  (1  1 1 ) V2  1 2  d1  1 22 1  n1
n1
n1
n1
n1

VV d 
dVequ  V1  V2  2 1 2 1   … OK
n1 

c) Montrer que Vequ est une droite en fonction de V2, tous les autres paramètres étant
supposés constants. Calculer alors le coefficient directeur de cette droite, ainsi que son
ordonnée à l’origine.

d 
Trivial : Vequ  V1  V2 1  V1 1 
n1 

On trouve alors : a  0,97 et b  8,83 /m
d) On a relevé expérimentalement Vequ en fonction de V2 pour plusieurs V2, avec une erreur
de mesure. On a obtenu :
V2
30
42
54
66
Vequ
36,60
50,98
62,69
71,55
Rappeler ce qu’est une droite de régression. Calculez ensuite le coefficient directeur et
l’ordonnée à l’origine de cette droite de régression, ainsi que l’erreur commise par rapport à
la théorie sur ce coefficient directeur.
Rappels : Le coefficient directeur de la droite de régression est donné par l’expression cidessous : a 
x.y  x.y

x2  x
cf fichier excel joint
2
II On s’intéresse à présent à l’œil en vision marine, par exemple immergé dans une piscine
(indice de réfraction : 1,33)
II.1. Quels sont les paramètres modifiés ? V1=0.2 
II.2. L’eau rend-elle l’œil myope ou hypermétrope ? hypermétrope :
Fi se situe alors après S, puisque maintenant a>0 (a=0,17) et SFi  a.f i  0 .
III. Pour corriger cette vision aquatique, on utilise des lunettes de plongée.
III.1. On appelle z la distance entre ces lunettes et la cornée, f leur focale et  l’épaisseur au
centre de ces lunettes.
Sans effectuer de calculs, trouver la configuration la plus simple (distance + focale) qui
permet de corriger la vision aquatique.
Lame à faces // (f infinie), distance z qcq
III.2. (Question « Bonus »)
a b
 la matrice de transfert établie au I.1, justifier analytiquement le
En notant M  
c d
résultat trouvé intuitivement au III.1, en exprimant la matrice finale en fonction des
coefficients a, b, c, d et de z et .
 1 z   1
 *
T  M * 
 0 1   0
  a X

 CQFD
n   
c
Y


1
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